深圳坪山街道培英學(xué)校初中部中考數(shù)學(xué)期末幾何綜合壓軸題模擬匯編一、中考幾何壓軸題1．在與中，且，點D始終在線段AB上（不與A、B重合）．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若度，的度數(shù)______，______；（2）類比探究：如圖2，若度，試求的度數(shù)和的值；（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，M為DE的中點，當(dāng)時，BM的最小值為多少？直接寫出答案．2．類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個案例，請補充完整．原題：如圖1，在平行四邊形中，點是的中點，點是線段上一點，的延長線交射線于點．若，求的值．（1）嘗試探究在圖1中，過點作交于點，則和的數(shù)量關(guān)系是_________，和的數(shù)量關(guān)系是_________，的值是_________．（2）類比延伸如圖2，在原題的條件下，若，則的值是_________（用含有的代數(shù)式表示），試寫出解答過程．（3）拓展遷移如圖3，梯形中，，點是的延長線上的一點，和相交于點．若，，，則的值是________（用含、的代數(shù)式表示）．3．（1）證明推斷：如圖（1），在正方形中，點，分別在邊，上，于點，點，分別在邊，上，．求證：；（2）類比探究：如圖（2），在矩形中，將矩形沿折疊，使點落在邊上的點處，得到四邊形，交于點，連接交于點．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接，若，，求的長．4．某數(shù)學(xué)課外活動小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，針對圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側(cè)作多邊形，它們的面積之間的關(guān)系問題”進行了以下探究：類比探究：（1）如圖2，在中，為斜邊，分別以為直徑，向外側(cè)作半圓，則面積之間的關(guān)系式為_____________；推廣驗證：（2）如圖3，在中，為斜邊，分別以為邊向外側(cè)作，，滿足，則（1）中所得關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請證明你的結(jié)論；若不成立，請說明理由；拓展應(yīng)用：（3）如圖4，在五邊形中，，點在上，，求五邊形的面積．5．《函數(shù)的圖象與性質(zhì)》拓展學(xué)習(xí)展示：（問題）如圖①，在平面直角坐標系中，拋物線：與軸相交于，兩點，與軸交于點，則______，______．（操作）將圖①中拋物線沿方向平移長度的距離得到拋物線，在軸左側(cè)的部分與在軸右側(cè)的部分組成的新圖象記為，如圖②．請直接寫出圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式．（探究）在圖②中，過點作直線平行于軸，與圖象交于，兩點，如圖③．求出圖象在直線上方的部分對應(yīng)的函數(shù)隨的增大而增大時的取值范圍．（應(yīng)用）是拋物線對稱軸上一個動點，當(dāng)是直角三角形時，直接寫出點的坐標．6．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，直線BD，CE交于點F，直線BD，AC交于點G．則線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）類比探究如圖2，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，直線BD，CE交于點F，AC與BD相交于點G．若AB＝kAC，試判斷線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系以及直線BD和CE相交所成的較小角的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸如圖3，在平面直角坐標系中，點M的坐標為（3.0），點N為y軸上一動點，連接MN．將線段MN繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段MP，連接NP，OP．請直接寫出線段OP長度的最小值及此時點N的坐標．7．綜合與實踐動手操作利用旋轉(zhuǎn)開展教學(xué)活動，探究圖形變換中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法．如圖1，將等腰直角三角形的邊繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，，，連接，過點作交延長線于點．思考探索（1）在圖1中：①求證：；②的面積為______；③______．拓展延伸（2）如圖2，若為任意直角三角形，．、、分別用、、表示．請用、、表示：①的面積：______；②的長：______；（3）如圖3，在中，，，，，，連接．①的面積為______；②點是邊的高上的一點，當(dāng)______時，有最小值______．8．問題探究：（1）如圖①，已知在△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，則AB的最大值是．（2）如圖②，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D為△ABC內(nèi)一點，且AD＝2，BD＝2．，CD＝6，請求出∠ADB的度數(shù)．問題解決：（3）如圖③，某戶外拓展基地計劃在一處空地上修建一個新的拓展游戲區(qū)△ABC，且AB＝AC．∠BAC＝120°，點A、B、C分別是三個任務(wù)點，點P是△ABC內(nèi)一個打卡點．按照設(shè)計要求，CP＝30米，打卡點P對任務(wù)點A、B的張角為120°，即∠APB＝120°．為保證游戲效果，需要A、P的距離與B、P的距離和盡可能大，試求出AP+BP的最大值．9．（發(fā)現(xiàn)問題）（1）如圖，已知和均為等邊三角形，在上，在上，易得線段和的數(shù)量關(guān)系是．（2）將圖中的繞點旋轉(zhuǎn)到圖的位置，直線和直線交于點①判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．②圖中的度數(shù)是．（3）（探究拓展）如圖3，若和均為等腰直角三角形，，，，直線和直線交于點，分別寫出的度數(shù)，線段、之間的數(shù)量關(guān)系．10．（問題探究）（1）如圖1，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點B，D，E在同一直線上，連接AD，BD．①請?zhí)骄緼D與BD之間的位置關(guān)系？并加以證明．②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，求線段AD的長．（拓展延伸）（2）如圖2，△ABC和△DEC均為直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．將△DCE繞點C在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠BCD為α（0°≤α＜360°），作直線BD，連接AD，當(dāng)點B，D，E在同一直線上時，畫出圖形，并求線段AD的長．11．問題情境：兩張直角三角形紙片中，．連接，，過點作的垂線，分別交線段，于點，（與在直線異側(cè)）．特例分析：（1）如圖1，當(dāng)時，求證：；拓展探究：（2）當(dāng)，探究下列問題：①如圖2，當(dāng)時，直接寫出線段與之間的數(shù)量關(guān)系：；②如圖3，當(dāng)時，猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；推廣應(yīng)用：（3）若圖3中，，設(shè)的面積為，則的面積為．（用含，的式子表示）12．綜合與實踐操作探究（1）如圖1，將矩形折疊，使點與點重合，折痕為，與交于點．請回答下列問題：①與全等的三角形為______，與相似的三角形為______．并證明你的結(jié)論：（相似比不為1，只填一個即可）：②若連接、，請判斷四邊形的形狀：______．并證明你的結(jié)論；拓展延伸（2）如圖2，矩形中，，，點、分別在、邊上，且，將矩形折疊，使點與點重合，折痕為，與交于點，連接．①設(shè)，，則與的數(shù)量關(guān)系為______；②設(shè)，，請用含的式子表示：______；③的最小值為______．13．如圖，在中，，，，為底邊上一動點，連接，以為斜邊向左上方作等腰直角，連接．觀察猜想：（1）當(dāng)點落在線段上時，直接寫出，的數(shù)量關(guān)系：_______．類比探究：（2）如圖2，當(dāng)點在線段上運動時，請問（1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；拓展延伸：（3）在點運動過程中，當(dāng)時，請直接寫出線段的長．14．已知：，過平面內(nèi)一點分別向、、畫垂線，垂足分別為、、．（問題引入）如圖①，當(dāng)點在射線上時，求證：．（類比探究）（1）如圖②，當(dāng)點在內(nèi)部，點在射線上時，求證：．（2）當(dāng)點在內(nèi)部，點在射線的反向延長線上時，在圖③中畫出示意圖，并直接寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．（知識拓展）如圖④，、、是的三條弦，都經(jīng)過圓內(nèi)一點，且．判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．15．（問題情境）（1）如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是AD邊上的一個動點，以CE為邊在CE的右側(cè)作正方形CEFG，連接DG、BE，則DG與BE的數(shù)量關(guān)系是；（類比探究）（2）如圖2，四邊形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，點E是AD邊上的一個動點，以CE為邊在CE的右側(cè)作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，連接DG、BE．判斷線段DG與BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（拓展提升）（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，則2BG+BE的最小值為．16．定義：有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做等補四邊形．（問題理解）(1)如圖1，點A、B、C在⊙O上，∠ABC的平分線交⊙O于點D，連接AD、CD．求證：四邊形ABCD是等補四邊形；（拓展探究）(2)如圖2，在等補四邊形ABCD中，AB＝AD，連接AC，AC是否平分∠BCD？請說明理由；（升華運用）(3)如圖3，在等補四邊形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分線交CD的延長線于點F．若CD＝6，DF＝2，求AF的長．17．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中和△DCE中，，，，點D是BC的垂線AF上任意一點．填空：①的值為；②∠ABE的度數(shù)為．（2）類比探究：如圖2，在△ABC中和△DCE中，，，點D是BC的垂線AF上任意一點．請判斷的值及∠ABE的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸：在（2）的條件下，若，，請直接寫出BE的長．18．我們定義：連結(jié)凸四邊形一組對邊中點的線段叫做四邊形的“準中位線”．（1）概念理解：如圖1，四邊形中，為的中點，，是邊上一點，滿足，試判斷是否為四邊形的準中位線，并說明理由．（2）問題探究：如圖2，中，，，，動點以每秒1個單位的速度，從點出發(fā)向點運動，動點以每秒6個單位的速度，從點出發(fā)沿射線運動，當(dāng)點運動至點時，兩點同時停止運動．為線段上任意一點，連接并延長，射線與點構(gòu)成的四邊形的兩邊分別相交于點，設(shè)運動時間為．問為何值時，為點構(gòu)成的四邊形的準中位線．（3）應(yīng)用拓展：如圖3，為四邊形的準中位線，，延長分別與，的延長線交于點，請找出圖中與相等的角并證明．19．綜合與實踐問題情境：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點D，點E是射線AD上的一個動點(不與點A重合)將線段AE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF，連接CF交線段AB于點G，交AD于點H、連接EG．特例分析:(1)如圖1，當(dāng)點E與點D重合時，“智敏”小組提出如下問題，請你解答：①求證：AF=CD；②用等式表示線段CG與EG之間的數(shù)量關(guān)系為：_______；拓展探究:(2)如圖2，當(dāng)點E在線段AD的延長線上，且DE=AD時，“博?！毙〗M發(fā)現(xiàn)CF=2EG．請你證明；(3)如圖3，當(dāng)點E在線段AD的延長線上，且AE=AB時，的值為_______；推廣應(yīng)用:(4)當(dāng)點E在射線AD上運動時，，則的值為______用含m.n的式子表示)．20．隨著教育教學(xué)改革的不斷深入，數(shù)學(xué)教學(xué)如何改革和發(fā)展，如何從“重教輕學(xué)”向自主學(xué)習(xí)探索為主的方向發(fā)展，是一個值得思考的問題．從數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展歷程來看分析，不外乎就是三個環(huán)節(jié)：（觀察猜想）-（探究證明）-（拓展延伸）．下面同學(xué)們從這三個方面試看解決下列問題：已知：如圖1所示將一塊等腰三角板放置與正方形的重含，連接、，E是的中點，連接．（觀察猜想）（1）與的數(shù)量關(guān)系是________，與的位置關(guān)系是___________；（探究證明）（2）如圖2所示，把三角板繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，線段與的關(guān)系是否仍然成立，并說明理由；（拓展延伸）（3）若旋轉(zhuǎn)角，且，求的值．【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、中考幾何壓軸題1．（1）90度；1；（2）的度數(shù)為90度，的值為；（3）BM的最小值為1．【分析】（1）度，利用SAS證明，即可得出，的值為1；（2）度，證明，即可得出，；（3）當(dāng)CD最小時，即CD垂直于AB解析：（1）90度；1；（2）的度數(shù)為90度，的值為；（3）BM的最小值為1．【分析】（1）度，利用SAS證明，即可得出，的值為1；（2）度，證明，即可得出，；（3）當(dāng)CD最小時，即CD垂直于AB時，CD最小，此時DE最小，而BM是直角三角形DBE斜邊上的中線，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．【詳解】（1）①∵∴∴∵，∴∴，∴∴，∴，的值為1；（2）在中，，令，則，同理令，∴，∴①∵即∴②有①②得∴，∴（3）在中，，∴，當(dāng)CD最小時，即CD垂直于AB時，CD最小，此時DE最小，而，∴，而BM是直角三角形DBE斜邊上的中線，∴【點睛】本題涉及全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定、特殊的三角函數(shù)值和直角三角形的性質(zhì)．是一個綜合性比較強的題目，要熟練掌握各個知識點．2．（1）；；；（2）；（3）．【分析】（1）本問體現(xiàn)“特殊”的情形，是一個確定的數(shù)值．如答圖1，過E點作平行線，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形和中位線的性質(zhì)，分別將各相關(guān)線段均統(tǒng)一用EH來表示，最解析：（1）；；；（2）；（3）．【分析】（1）本問體現(xiàn)“特殊”的情形，是一個確定的數(shù)值．如答圖1，過E點作平行線，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形和中位線的性質(zhì)，分別將各相關(guān)線段均統(tǒng)一用EH來表示，最后求得比值；（2）本問體現(xiàn)“一般”的情形，不再是一個確定的數(shù)值，但（1）問中的解題方法依然適用，如答圖2所示．（3）本問體現(xiàn)“類比”與“轉(zhuǎn)化”的情形，將（1）（2）問中的解題方法推廣轉(zhuǎn)化到梯形中，如答圖3所示．【詳解】解：（1）依題意，過點作交于點，如圖1所示．則有，∴，∴．∵，，∴，又∵為中點，∴為的中位線，∴．．故答案為：；；．（2）如圖2所示，作交于點，則．∴，∴．∵，∴．∵，∴．∴，∴．∴．故答案為：．（3）如圖3所示，過點作交的延長線于點，則有．∵，∴，∴，∴．又，∴．∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題的設(shè)計獨特：由平行四邊形中的一個特殊的例子出發(fā)（第1問），推廣到平行四邊形中的一般情形（第2問），最后再通過類比、轉(zhuǎn)化到梯形中去（第3問）．各種圖形雖然形式不一，但運用的解題思想與解題方法卻是一以貫之：即通過構(gòu)造相似三角形，得到線段之間的比例關(guān)系，這個比例關(guān)系均統(tǒng)一用同一條線段來表達，這樣就可以方便地求出線段的比值．本題體現(xiàn)了初中數(shù)學(xué)的類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，有利于學(xué)生觸類旁通、舉一反三．3．（1）見解析；（2）；見解析；（3）【分析】（1）先△ABE≌△DAQ，可得AE＝DQ;再證明四邊形DQFG是平行四邊形即可解決問題；（2）如圖2中，作GM⊥AB于M．然后證明△ABE∽△GM解析：（1）見解析；（2）；見解析；（3）【分析】（1）先△ABE≌△DAQ，可得AE＝DQ;再證明四邊形DQFG是平行四邊形即可解決問題；（2）如圖2中，作GM⊥AB于M．然后證明△ABE∽△GMF即可解決問題；（3）如圖3中，作PM⊥BC交BC的延長線于M．利用相似三角形的性質(zhì)求出PM，CM即可解決問題．【詳解】（1）如圖（1），∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．∴∠QAO+∠OAD＝90°．∵AE⊥DQ，∴∠ADO+∠OAD＝90°．∴∠QAO＝∠ADO．∴△ABE≌△DAQ（ASA），∴AE＝DQ．∵四邊形ABCD是正方形，AE⊥DQ，AE⊥GF，∴DG∥QF，DQ∥GF，∴四邊形DQFG是平行四邊形，∴DQ=GF，∴FG=AE；（2）．理由：如圖（2）中，作GM⊥AB于M．∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∽△GMF，∴GF：AE＝GM：AB，∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四邊形AMGD是矩形，∴GM＝AD，∴GF：AE＝AD：AB，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD，∴GF：AE＝BC：AB，∵，∴．（3）解：如圖（3）中，作PM⊥BC交BC的延長線于M．由BE：BF＝3：4，設(shè)BE＝3k，BF＝4k，則EF＝AF＝5k，∵，，∴AE＝，在直角三角形ABE中，根據(jù)勾股定理，得，∴∴k＝1或﹣1（舍去），∴BE＝3，AB＝9，∵BC：AB＝2：3，∴BC＝6，∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，∴∠FEB＝∠EPM，∴△FBE∽△EMP，∴，∴，∴EM＝，PM＝，∴CM＝EM﹣EC＝﹣3＝，∴PC＝=．【點睛】本題考查了正方形、矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，是解題的關(guān)鍵．4．（1）S1+S2=S3，(2)成立，證明見解析，（3）【分析】（1）分別寫出三個半圓的面積，再利用勾股定理轉(zhuǎn)化即可．（2）先證明三個三角形相似，再計算出三個三角形的面積，即可得出結(jié)論．（3）解析：（1）S1+S2=S3，(2)成立，證明見解析，（3）【分析】（1）分別寫出三個半圓的面積，再利用勾股定理轉(zhuǎn)化即可．（2）先證明三個三角形相似，再計算出三個三角形的面積，即可得出結(jié)論．（3）先添加輔助線，在第二問的思路下，先證明三個三角形相似，得出三個三角形的面積關(guān)系，再利用30°、45°的直角三角形計算出相應(yīng)的邊，計算出五邊形的面積即可．【詳解】解：（1）設(shè)AB=b,AC=a,BC=c.則有：所以在Rt△ABC中，有a2+b2=c2，且故答案為：S1+S2=S3（2）∵∴設(shè)AB、AC、BC邊上的高分別為h1，h2，h3∴，設(shè)AB=b,AC=a,BC=c則∴又在Rt△ABC中，有a2+b2=c2∴故依然成立（3）連接PD、BD，作AF⊥BP，EM⊥PD∵∠ABP=30°，∠BAP=105°∴∠APB=45°在Rt△ABF中，AF=AB=,BF=3,在Rt△AFP中,AF=PF=,則AP=，∵∠A=∠E,∴△ABP∽△EDP∴∠EPD=45°∠EDP=30°∴∠BPD=90°又PE=∴PM=EM=1,MD=則PD=1+∴=所以五邊形的面積為：【點睛】本題考查勾股定理、與勾股定理有關(guān)的圖形問題、相似三角形．是中考的?？贾R．5．【問題】，1；【操作】當(dāng)時，，當(dāng)時，；【探究】或；【應(yīng)用】點的坐標為：或【分析】問題:即可求解；操作：拋物線G1沿BC方向平移BC長度的距離得到拋物線G2，相當(dāng)于拋物線向左平移3個單位，向上平解析：【問題】，1；【操作】當(dāng)時，，當(dāng)時，；【探究】或；【應(yīng)用】點的坐標為：或【分析】問題:即可求解；操作：拋物線G1沿BC方向平移BC長度的距離得到拋物線G2，相當(dāng)于拋物線向左平移3個單位，向上平移個單位，即可求解；探究：將點C的坐標代入兩個函數(shù)表達式，求出G1、G2的頂點坐標，即可求解；應(yīng)用：證明∠EPN=∠MDP，利用tan∠EPN=tan∠MDP，即可求解．【詳解】解：問題：，解得：，，故答案為：，1；操作：拋物線沿方向平移長度的距離得到拋物線，相當(dāng)于拋物線向左平移3個單位，向上平移個單位，：，：，當(dāng)時，，當(dāng)時，；探究：點的坐標為．當(dāng)時，，解得：，，∴，當(dāng)時，，解得：，，∴，∵，，∴拋物線的頂點為，拋物線的頂點為，∴或時，函數(shù)隨的增大而增大；應(yīng)用：如圖，過點作軸的平行線交過點與軸的垂線于點，交過點與軸的垂直的直線于點，設(shè)點，則，，，，∵，，∴，∴，即，即，解得：，故點的坐標為：或．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及解直角三角形、圖形的平移等，具有一定的綜合性，關(guān)鍵在于根據(jù)題意作出圖形進行解答．6．（1）BD＝CE，BD⊥CE，理由見詳解；（2）AB=kAC，180°-α-β；（3）N(0，3)，OP的最小值為3【分析】（1）先證明△ABD≌△ACE，從而得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE解析：（1）BD＝CE，BD⊥CE，理由見詳解；（2）AB=kAC，180°-α-β；（3）N(0，3)，OP的最小值為3【分析】（1）先證明△ABD≌△ACE，從而得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，結(jié)合∠AGB＝∠FGC，即可得到結(jié)論；（2）先證明ABCADE，從而得，結(jié)合∠BAD=∠CAE，可得BADCAE，進而即可得到結(jié)論；（3）把OPM繞點M順時針旋轉(zhuǎn)90°得到（與N重合），則，，(3，3)，，進而即可求解．【詳解】解：（1）BD＝CE，BD⊥CE，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∵∠BAD＝∠BAC?∠DAC，∠CAE＝∠DAE?∠DAC∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AGB＝∠FGC，∴∠CFG＝∠BAG＝90°，即BD⊥CE，故答案是：BD＝CE，BD⊥CE；（2）∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，∴ABCADE，∴，∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴BADCAE，∴∠ABD=∠ACE，又∵∠AGB＝∠FGC，∴∠BFC=∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-α-β，∴AB=kAC，直線BD和CE相交所成的較小角的度數(shù)為：180°-α-β；（3）由題意得：MN=MP，∠NMP=90°，把OPM繞點M順時針旋轉(zhuǎn)90°得到（與N重合），則，，∵點M的坐標為（3，0），∴(3，3)∵OPM，∴，即線段OP長度最小時，的長度最小，∴當(dāng)⊥y軸時，的長度最小，此時(0，3)，∴N(0，3)，OP的最小值為3.【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過旋轉(zhuǎn)變換，構(gòu)造相似三角形或全等三角形，是解題的關(guān)鍵．7．（1）①見解析；②；③；（2）①；②；（3）①24；②，【分析】（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，然后利用AAS，即可得到結(jié)論成立；②求出，即可求出面積；③求出，即可求出答案；（2）①過點作交延長線解析：（1）①見解析；②；③；（2）①；②；（3）①24；②，【分析】（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，然后利用AAS，即可得到結(jié)論成立；②求出，即可求出面積；③求出，即可求出答案；（2）①過點作交延長線于點，由（1）可知，求出的長度，即可求出答案；②求出CH的長度，利用勾股定理，即可求出答案；（3）①過點A作AE⊥BC，過點作交延長線于點，然后證明，求出，CH的長度，即可求出面積；②點C是點B關(guān)于AE的對稱點，則BD=CD，設(shè)與AE的交點為點D，使得有最小值為，為線段的長度，然后利用勾股定理求出，再利用平行線分線段成比例求出DE的長度即可．【詳解】解：（1）如圖：①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，則，，∵，∴，∴，∴（AAS）；②∵，∴，∴的面積為；故答案為：．③在直角三角形中，∵，，∴；故答案為：．（2）①過點作交延長線于點，由（1）可知，，∴，，∴的面積為：故答案為：；②∵，由勾股定理，則；故答案為：；（3）①過點A作AE⊥BC，過點作交延長線于點，如圖與（1）同理，可證，∵，∴，∴，∵，，，，∴；∴，∴，∴，，∴，∴的面積為：；故答案為：18．②由題意，點C是點B關(guān)于AE的對稱點，則BD=CD，設(shè)與AE的交點為點D，則此時有最小值，如圖：此時的最小值為線段的長度，∵；∵AE∥，∴，即，∴，∴，∴當(dāng)時，有最小值．故答案為：；．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，最短路徑問題等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的作出輔助線，從而進行解題．8．（1）4（2）135°（3）PA+PB的最大值為米【分析】（1）作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，求出OA=OB=OC=2，可得結(jié)論；（2）將△ABD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBT解析：（1）4（2）135°（3）PA+PB的最大值為米【分析】（1）作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，求出OA=OB=OC=2，可得結(jié)論；（2）將△ABD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBT，連接DT，利用勾股定理的逆定理證明∠CTD＝90°，可得結(jié)論；（3）將△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACK，延長CK交PA延長線于J，作△PJC的外接圓，連接OP，OC，OJ，證明PA+PB=JC，再求出JC的最大值即可求解．【詳解】（1）如圖①，作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，∵∠BOC=2∠BAC＝90°，OB=OC∴△OBC是等腰直角三角形∵BC=4∴OB=OC=2=OA∵AB≤OA+OB∴AB≤4∴AB的最大值為4故答案為：4；（2）如圖②，將△ABD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBT，連接DT由題意可得DT=BD=2，CT=AD=2∵CD=6∴∴∠CTD＝90°，∵△BDT是等腰直角三角形∴∠DTB=45°∴∠CTB=45°+90°=135°∴∠ADB=∠CTB=135°（3）如圖③，將△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACK，延長CK交PA延長線于J，作△PJC的外接圓，連接OP，OC，OJ∵∠PAK＝120°，∠AKC＝∠APB＝120°∴∠JAK＝∠JKA＝60°∴∠AJK＝60°∴△JAK是等邊三角形∴AK=KJ∴∠COP＝2∠AJK＝120°∵PC=30∴OP=OC=OJ=∵CJ≤OJ+OC∴CJ≤∵PA+PB=AK+CK+KJ+KC=JC∴PA+PB的最大值為米．【點睛】此題主要考查旋轉(zhuǎn)的綜合運用，解題的關(guān)鍵是熟知三角形外接圓的性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用及三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用．9．（1）；（2）①，證明見解析；②；（3），【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合等量代換即可求解；（2）①根據(jù)SAS證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；②由全等三角形的性質(zhì)得，然后利用等解析：（1）；（2）①，證明見解析；②；（3），【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合等量代換即可求解；（2）①根據(jù)SAS證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；②由全等三角形的性質(zhì)得，然后利用等量代換即可求解；（3）首先證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，和，即可求解．【詳解】（1）∵和均為等邊三角形∴CA=CB，CD=CE∴AC-CD=BC-CE，即AD=BE∴AD=BE；（2）①AD=BE證明：∵和均為等邊三角形∴CA=CB，CD=CE，∴∴∴AD=BE②∵∴設(shè)BC和AF交于點O，如圖2∵∴，即∴；（3）結(jié)論，證明：∵，AB=BC，DE=EC∴，∴∴，∴∵∴【點睛】本題考查了幾何變換綜合，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵證明全等和相似，并且分類討論．10．（1）①，證明見解析；②4；（2）畫圖見解析，或【分析】（1）①由“”可證，可得，可得；②過點作于點，由勾股定理可求，，的長，即可求的長；（2）分點在左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論，根據(jù)勾股定理和相似解析：（1）①，證明見解析；②4；（2）畫圖見解析，或【分析】（1）①由“”可證，可得，可得；②過點作于點，由勾股定理可求，，的長，即可求的長；（2）分點在左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論，根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：（1）和均為等腰直角三角形，，，，，，且，，，，，，故答案為：；②如圖，過點作于點，，，，，，，故答案為：4；（2）若點在右側(cè)，如圖，過點作于點，，，，，．，，，，，，，，，，，即，，，，，若點在左側(cè)，，，，，．，，，，，，，，，，，，即，，，，．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點，關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線．11．（1）詳見解析；（2）①；②，證明詳見解析；（3）．【分析】（1）在等腰三角形ABM中三線合一，即AM還為三角形的角平分線與底邊中線，可用AAS證，可得，即可得證；（2）①由題意可知，，，且，解析：（1）詳見解析；（2）①；②，證明詳見解析；（3）．【分析】（1）在等腰三角形ABM中三線合一，即AM還為三角形的角平分線與底邊中線，可用AAS證，可得，即可得證；（2）①由題意可知，，，且，，可證∽，同理可證∽，可得，，即可得出BD與AN的數(shù)量關(guān)系；②過E點作AC的平行線，交AN的延長線于點P，連接PC，可證∽，即，可得，四邊形為平行四邊形，所以，即可得出BD與AN的數(shù)量關(guān)系；（3）由（2）②已證四邊形為平行四邊形，所以，且∽，，所以，即ACE的面積可得．【詳解】（1）證明：∵，于點，∴，，（等腰三角形三線合一）∵，，且，∴，∵，∴，即．∴，∵，∴，在ABM和CAN中，∴（AAS），∴，∴．（2）①．∵由題意可知，，，且，，∴，∴∽，同理，，，且，，∴，∴∽，∴，即，，即，∴．②．證明：過E點作AC的平行線，交AN的延長線于點P，連接PC．∴，∵，∴，∴，∵于點，∴．∴．∴．∴，∴∽，∴，∵，∴，，∴．∵，∴四邊形為平行四邊形．∴，∴．（3）．∵由（2）②已證四邊形為平行四邊形，∴，又∵∽，∴，∴．【點睛】本題主要考察了等腰三角形三線合一、全等三角形的證明與應(yīng)用、相似三角形的證明與應(yīng)用、平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造出全等三角形，且掌握相似三角形面積之比為邊長之比的平方．12．（1）①；或；證明見解析；②菱形，證明見解析；（2）①；②；③【分析】（1）①利用矩形的性質(zhì)與軸對稱的性質(zhì)證明如圖1，連接證明即可得到答案；②如圖1，由①得：再證明四邊形為平行四邊形解析：（1）①；或；證明見解析；②菱形，證明見解析；（2）①；②；③【分析】（1）①利用矩形的性質(zhì)與軸對稱的性質(zhì)證明如圖1，連接證明即可得到答案；②如圖1，由①得：再證明四邊形為平行四邊形與可得結(jié)論；（2）①如圖2，連接由折疊可得：再利用勾股定理可得答案；②如圖3，連接交于證明四邊形是菱形，可得從而可得答案；③由②得：可得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：（1）①矩形由折疊可得：如圖1，連接由折疊可得：同理：故答案為：，或②如圖1，由①得：矩形四邊形為平行四邊形，四邊形為菱形，（2）①如圖2，連接由折疊可得：矩形，，故答案為：②如圖3，連接交于矩形重合，同理可得：由對折可得：四邊形是菱形，，，故答案為：③由②得：當(dāng)時，最小，最小值為的最小值為：故答案為：【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．13．（1）=；（2）成立，證明見解析；（3）或【分析】（1）證明是等腰直角三角形即可．（2）結(jié)論成立．取的中點，連接，．證明，推出，再證明，可得結(jié)論．（3）分兩種情形：如圖中，取的中點，連接．當(dāng)解析：（1）=；（2）成立，證明見解析；（3）或【分析】（1）證明是等腰直角三角形即可．（2）結(jié)論成立．取的中點，連接，．證明，推出，再證明，可得結(jié)論．（3）分兩種情形：如圖中，取的中點，連接．當(dāng)點在線段上時，如圖中，當(dāng)點在線段上時，分別利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）如圖（1）中，，都是等腰直角三角形，，，，，故答案為：．（2）如圖（2）中，結(jié)論成立．理由：取的中點，連接，．，，，，，，，都是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，．（3）如圖中，取的中點，連接．當(dāng)點在線段上時，，，，，，在中，，．如圖中，當(dāng)點在線段上時，同法可得，，，綜上所述，的長為或．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．14．【問題引入】見解析；【類比探究】（1）見解析；（2）圖見解析，；【知識拓展】，證明見解析【分析】[問題引入]利用AAS證明△POE≌△POD，即可得出結(jié)論；[類比探究]（1）過點F作FN解析：【問題引入】見解析；【類比探究】（1）見解析；（2）圖見解析，；【知識拓展】，證明見解析【分析】[問題引入]利用AAS證明△POE≌△POD，即可得出結(jié)論；[類比探究]（1）過點F作FN⊥OB，F(xiàn)M⊥OA，垂足分別為N、M，F(xiàn)M與PE交于點Q，先證明△PFQ為等邊三角形，得出FG=PH，再運用矩形性質(zhì)得出OM=OF，ON=OF，即可證得結(jié)論；（2）作FN⊥OB于點N，F(xiàn)M⊥OA于點M，射線FM交PE于點Q，作PH⊥FQ于點H，F(xiàn)G⊥PQ于點G，同（1）可證：NE=FG=PH=MD，ON=OM=OF，即可得出結(jié)論；[知識拓展]過點O作OM⊥AB，ON⊥EF，OQ⊥CD，垂足分別為M、N、Q，利用垂徑定理可得出PB-PA=2PM，PF-PE=2PN，PD-PC=2PQ，再運用[類比探究]得：PM+PN=PQ，從而證得結(jié)論．【詳解】[問題引入]證明：∵，，，∴．∵，∴．∴．[類比探究]（1）過點作，，垂足分別為、，與交于點．∵，，，則為等邊三角形，、邊上的高相等，即．在矩形、矩形中，有，，∴．∴．∵，，∴，同理，，∴，∴．（2）結(jié)論：．作于點，于點，射線與的交點為，作于點，于點，同（1）可證，，∴．[知識拓展]數(shù)量關(guān)系：．理由如下：過點作，，，垂足分別為、、．由垂徑定理可得．∴．同理，，由[類比探究]得，∴，∴．∴．【點睛】本題是圓的綜合題，考查了全等三角形判定和性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，矩形性質(zhì)，垂徑定理等，熟練掌握全等三角形判定和性質(zhì)及垂徑定理等相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．15．（1）DG=BE；（2），DG⊥BE；（3）4．【分析】（1）通過證明△DCG和△BCE（SAS）全等，得到DG=BE．（2）通過證明△DCG∽△BCE得到，所以．∠BEC=∠DGC．延長BE解析：（1）DG=BE；（2），DG⊥BE；（3）4．【分析】（1）通過證明△DCG和△BCE（SAS）全等，得到DG=BE．（2）通過證明△DCG∽△BCE得到，所以．∠BEC=∠DGC．延長BE、GD相交于點H．因為矩形ECGF，所以∠FEC=∠FGC=90°，所以∠HEF+∠BEC=180°-∠FEC=90°，∠FGH+∠DGC=90°，所以∠H=∠F=90°，所以DG⊥BE．（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延長線于M．首先證明點G的運動軌跡是線段GM，將2BG+BE的最小值轉(zhuǎn)化為求2（BG+DG）的最小值．【詳解】（1）DG=BE理由：∵正方形ABCD，∴CD=CB，∠BCD=90°∵正方形ECGF，∴CG=CE，∠ECG=90°∴∠ECG=∠BCD=90°∴∠DCG=∠BCE在△DCG和△BCE中∴△DCG≌△BCE（SAS）∴DG=BE（2），DG⊥BE．理由如下：延長BE、GD相交于點H．∵矩形ECGF、矩形ABCD，∴∠ECG=∠BCD=90°，∴∠DCG=∠BCE，∵CD：CB=2：4=1：2，CG：CE=1：2，∴CD：CB=CG：CE，∵∠DCG=∠BCE，∴△DCG∽△BCE，∴，∠BEC=∠DGC，∴∵矩形ECGF∴∠FEC=∠FGC=∠F=90°∴∠HEF+∠BEC=180°-∠FEC=90°，∠FGH+∠DGC=90°，∴∠H=∠F=90°∴DG⊥BE（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延長線于M．易證△ECN∽△CGM，∴，∵EN=AB=2，∴CM=1，∴點G的運動軌跡是直線MG，作點D關(guān)于直線GM的對稱點G′，連接BG′交GM于G，此時BG+GD的值最小，最小值=BG′由（2）知，∴BE=2DG∴2BG+BE=2BG+2DG=2（BG+DG）∴2BG+BE的最小值就是2（BG+DG）的最小值．∵BG′=，∴2BG+BE的最小值為4故答案為4．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．在判斷全等和相似時出現(xiàn)“手拉手”模型證角相等．這里注意利用三邊關(guān)系來轉(zhuǎn)化線段的數(shù)量關(guān)系求出最小值．16．(1)見解析；(2)AC平分∠BCD，理由見解析；(3)AF＝4．【分析】（1）由圓內(nèi)接四邊形互補可知∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°，再證AD=CD，即可根據(jù)等補四邊形的解析：(1)見解析；(2)AC平分∠BCD，理由見解析；(3)AF＝4．【分析】（1）由圓內(nèi)接四邊形互補可知∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°，再證AD=CD，即可根據(jù)等補四邊形的定義得出結(jié)論；（2）過點A分別作AE⊥BC于點E，AF垂直CD的延長線于點F，證△ABE≌△ADF，得到AE=AF，根據(jù)角平分線的判定可得出結(jié)論；

（3）連接AC，先證∠EAD=∠BCD，推出∠FCA=∠FAD，再證△ACF∽△DAF，利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等可求出AF的長．【詳解】(1)證明：∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°.∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠CBD∴弧AD＝弧CD∴AD＝CD∴四邊形ABCD是等補四邊形(2)AC平分∠BCD，理由如下：過點A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F則∠AEB＝∠AFD＝90°∵四邊形ABCD是等補四邊形∴∠ADC+∠B＝180°又∵∠ADC+∠ADF＝180°∴∠B＝∠ADF在△AFD與△AEB中∴≌∴∴點A一定在∠BCD的平分線上即AC平分∠BCD.(3)連接AC同(2)理得∠EAD＝∠BCD由(2)知AC平分∠BCD所以∠FCA＝∠BCD同理∠FAD＝∠EAD∴∠FCA＝∠FAD.又∵∠F＝∠F∴△FAD∽△FCA∴即∴AF＝4【點睛】本題考查了新定義等補四邊形，圓的有關(guān)性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是要能夠通過自主學(xué)習(xí)來進行探究，運用等．17．（1）①1；②90°；（2）(2),，理由見解析；（3）或【分析】（1）①根據(jù)已知條件可知為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可證明，即可得出答案；②根據(jù)，得出，因為，繼而推出；（2）利用已知解析：（1）①1；②90°；（2）(2),，理由見解析；（3）或【分析】（1）①根據(jù)已知條件可知為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可證明，即可得出答案；②根據(jù)，得出，因為，繼而推出；（2）利用已知條件證明△ACD∽△BCE，即可推出,；（3）當(dāng)點E在AF右邊時，如圖2所示，由已知條件可得出，在中運用勾股定理可求出AD的值，再運用（2）中結(jié)論即可得出BE的值；當(dāng)點E在AF左邊時，如圖3所示，可證明，，再運用（2）中結(jié)論即可得出BE的值．【詳解】解：（1）①∵，，∴為等邊三角形∴∴∴∴的值為1；故答案為：1；②∵∴∵∴∴∵∴故答案為：90°．（2）,.理由如下：在Rt△ABC中，，.∴.同理：.∴.又.∴.∴△ACD∽△BCE.∴,.∴.（3）當(dāng)點E在AF右邊時，如圖2所示：∵，，，∴，∴∵∴；當(dāng)點E在AF左邊時，如圖3所示同理，可得，∵∴∴∴∵∵∴綜上所述，BE的值為或.【點睛】本題是一道關(guān)于三角形相似的綜合題目，涉及的知識點有全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定、解直角三角形、勾股定理的應(yīng)用等多個知識點，它充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題中的數(shù)形結(jié)合思想和整體轉(zhuǎn)化思想．18．（1）是，理由見解析；（2）或或；（3），證明見解析．【分析】（1）證明，可得，又點F為CD中點,即可得出結(jié)論；（2）當(dāng)為點構(gòu)成的四邊形的準中位線．則M、N一定是中點，再分兩種情況討論：和，根解析：（1）是，理由見解析；（2）或或；（3），證明見解析．【分析】（1）證明，可得，又點F為CD中點,即可得出結(jié)論；（2）當(dāng)為點構(gòu)成的四邊形的準中