新高考數(shù)學(xué)數(shù)列的概念選擇題專項訓(xùn)練之知識梳理與訓(xùn)練含解析一、數(shù)列的概念選擇題1．數(shù)列中，，則數(shù)列的前8項和等于（）A．32 B．36 C．38 D．40答案：B解析：B【分析】根據(jù)所給數(shù)列表達式，遞推后可得.并將原式兩邊同時乘以后與變形后的式子相加，即可求得，即隔項和的形式.進而取n的值，代入即可求解.【詳解】由已知，①得，②由得，取及，易得，，，故.故選：B.【點睛】本題考查了數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，對數(shù)列表達式進行合理變形的解決此題的關(guān)鍵，屬于中檔題.2．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即，（，），此數(shù)列在現(xiàn)代物理、化學(xué)等方面都有著廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列的每一項被2除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，則數(shù)列的前2020項的和為（）A．1348 B．1358 C．1347 D．1357答案：C解析：C【分析】由題意可知，得數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，前3項和為，又，由此可得答案【詳解】解：由數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，各項除以2的余數(shù)，可得數(shù)列為，所以數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，前3項和為，因為，所以數(shù)列的前2020項的和為故選：C3．已知數(shù)列滿足，且，則該數(shù)列前2016項的和為（）A．2015 B．2016 C．1512 D．答案：C解析：C【分析】通過計算出數(shù)列的前幾項確定數(shù)列是以2為周期的周期數(shù)列，進而計算可得結(jié)論．【詳解】依題意，，，，從而數(shù)列是以2為周期的周期數(shù)列，于是所求值為，故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是聯(lián)想到數(shù)列的周期性并找到數(shù)列的周期.4．已知數(shù)列的前n項和為，若，則（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】令得，令得可解得.【詳解】因為，所以，因為，所以.故選：A5．若數(shù)列{an}滿足，則的值為（）A．2 B．－3 C． D．答案：D解析：D【分析】分別求出，得到數(shù)列是周期為4的數(shù)列，利用周期性即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，，，，，，…，因此數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，∴.故選D.【點睛】本題主要考查的是通過觀察法求數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.6．設(shè)數(shù)列滿足若，則（）A． B． C． D．答案：C解析：C【分析】由題意有且，即可求，進而可得，即可比較它們的大小.【詳解】由題意知：，，∴，而，∴，故選：C【點睛】本題考查了根據(jù)數(shù)列間的遞推關(guān)系比較項的大小，屬于簡單題.7．已知數(shù)列，，其中，且，是方程的實數(shù)根，則等于（）A．24 B．32 C．48 D．64答案：D解析：D【分析】根據(jù)題意，得到，，求得，推出，進而可求出，，從而可求出結(jié)果.【詳解】因為，是方程的實數(shù)根，所以，，又，所以；當時，，所以，因此，所以.故選：D.【點睛】本題主要考查由數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列中的項，屬于?？碱}型.8．數(shù)列的一個通項公式是（）A． B． C． D．答案：C解析：C【分析】根據(jù)數(shù)列項的規(guī)律即可得到結(jié)論．【詳解】因為數(shù)列3，7，11，的一個通項公式為，故數(shù)列，，，，的一個通項公式是，故選：C．【點睛】本題主要考查數(shù)列通項公式的求法，利用條件找到項的規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．9．數(shù)列的一個通項公式是（）A． B． C． D．答案：D解析：D【分析】根據(jù)數(shù)列分子分母的規(guī)律求得通項公式.【詳解】由于數(shù)列的分母是奇數(shù)列，分子是自然數(shù)列，故通項公式為.故選：D【點睛】本小題主要考查根據(jù)數(shù)列的規(guī)律求通項公式，屬于基礎(chǔ)題.10．已知數(shù)列的通項公式為，則數(shù)列中的最大項為（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】由，當n2時，an＋1－an0，當n2時，an＋1－an0，從而可得到n＝2時，an最大.【詳解】解：，當n2時，an＋1－an0，即an＋1an；當n＝2時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當n2時，an＋1－an0，即an＋1an.所以a1a2＝a3，a3a4a5…an，所以數(shù)列中的最大項為a2或a3，且.故選：A.【點睛】此題考查數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)：最值問題，屬于基礎(chǔ)題.11．數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】由題意，根據(jù)累加法，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，因此，，，…，，以上各式相加得：，又，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查累加法求數(shù)列的通項，屬于基礎(chǔ)題型.12．已知數(shù)列的前項和為，且，則的通項公式是（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】根據(jù)計算可得；【詳解】解：因為①，當時，，即當時，②，①減②得，所以故選：B【點睛】本題考查利用定義法求數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.13．已知數(shù)列前n項和為，且滿足則（）A． B．C． D．答案：C解析：C【分析】由條件可得出，然后可得，即可推出選項C正確.【詳解】因為所以，所以所以，所以所以故選：C【點睛】本題主要考查的是數(shù)列的前項和與的關(guān)系，解答的關(guān)鍵是由條件得到，屬于中檔題.14．數(shù)列滿足，則數(shù)列的前48項和為（）A．1006 B．1176 C．1228 D．2368答案：B解析：B【分析】根據(jù)題意，可知，分別列出各項，再整理得出，，，，，，，可知，相鄰的奇數(shù)項之和為2，相鄰的偶數(shù)項之和為等差數(shù)列，首項為8，公差為16，利用分組求和法，即可求出的前48項和.【詳解】解：由題可知，，即：，則有：，，，，，，，，，，.所以，，，，，，，，可知，相鄰的奇數(shù)項之和為2，相鄰的偶數(shù)項之和為等差數(shù)列，首項為8，公差為16，設(shè)數(shù)列的前48項和為，則，，所以數(shù)列的前48項和為：1176.故選：B.【點睛】本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，以及利用分組求和法求和，考查歸納思想和計算能力.15．已知數(shù)列中，，且對，總有，則（）A．1 B．3 C．2 D．答案：C解析：C【分析】根據(jù)數(shù)列的前兩項及遞推公式,可求得數(shù)列的前幾項,判斷出數(shù)列為周期數(shù)列,即可求得的值.【詳解】數(shù)列中,,且對,總有當時,當時,當時,當時,當時,當時,由以上可知,數(shù)列為周期數(shù)列,周期為而所以故選:C【點睛】本題考查了數(shù)列遞推公式的簡單應(yīng)用,周期數(shù)列的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、數(shù)列多選題16．意大利人斐波那契于1202年從兔子繁殖問題中發(fā)現(xiàn)了這樣的一列數(shù)：….即從第三項開始，每一項都是它前兩項的和.后人為了紀念他，就把這列數(shù)稱為斐波那契數(shù)列.下面關(guān)于斐波那契數(shù)列說法正確的是（）A． B．是偶數(shù) C． D．…答案：AC【分析】由該數(shù)列的性質(zhì)，逐項判斷即可得解.【詳解】對于A，，，，故A正確；對于B，由該數(shù)列的性質(zhì)可得只有3的倍數(shù)項是偶數(shù)，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，，，，各式相加解析：AC【分析】由該數(shù)列的性質(zhì)，逐項判斷即可得解.【詳解】對于A，，，，故A正確；對于B，由該數(shù)列的性質(zhì)可得只有3的倍數(shù)項是偶數(shù)，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，，，，各式相加得，所以，故D錯誤.故選：AC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是合理利用該數(shù)列的性質(zhì)去證明選項.17．設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為答案：AD【分析】分類討論大于1的情況，得出符合題意的一項.【詳解】①,與題設(shè)矛盾.②符合題意.③與題設(shè)矛盾.④與題設(shè)矛盾.得，則的最大值為.B，C，錯誤.故選：AD.【點睛】解析：AD【分析】分類討論大于1的情況，得出符合題意的一項.【詳解】①,與題設(shè)矛盾.②符合題意.③與題設(shè)矛盾.④與題設(shè)矛盾.得，則的最大值為.B，C，錯誤.故選：AD.【點睛】考查等比數(shù)列的性質(zhì)及概念.補充：等比數(shù)列的通項公式：.18．已知正項數(shù)列的前項和為，若對于任意的，，都有，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．若該數(shù)列的前三項依次為，，，則D．數(shù)列為遞減的等差數(shù)列答案：AC【分析】令，則，根據(jù)，可判定A正確；由，可判定B錯誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可判定C正確；，根據(jù)，可判定D錯誤.【詳解】令，則，因為，所以為等差數(shù)列且公差，故A正確；由，所以，故B錯誤；解析：AC【分析】令，則，根據(jù)，可判定A正確；由，可判定B錯誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可判定C正確；，根據(jù)，可判定D錯誤.【詳解】令，則，因為，所以為等差數(shù)列且公差，故A正確；由，所以，故B錯誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，，故，故C正確；由，因為，所以是遞增的等差數(shù)列，故D錯誤.故選：AC.【點睛】解決數(shù)列的單調(diào)性問題的三種方法；1、作差比較法：根據(jù)的符號，判斷數(shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列；2、作商比較法：根據(jù)或與1的大小關(guān)系，進行判定；3、數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)的圖象直觀判斷.19．已知數(shù)列是首項為1，公差為d的等差數(shù)列，則下列判斷正確的是（）A．a(chǎn)1＝3 B．若d＝1，則an＝n2+2n C．a(chǎn)2可能為6 D．a(chǎn)1，a2，a3可能成等差數(shù)列答案：ACD【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和通項公式，逐個選項進行判斷即可求解【詳解】因為，，所以a1＝3，an＝[1+(n-1)d](n+2n).若d＝1，則an＝n(n+2n)；若d＝0，則a2＝解析：ACD【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和通項公式，逐個選項進行判斷即可求解【詳解】因為，，所以a1＝3，an＝[1+(n-1)d](n+2n).若d＝1，則an＝n(n+2n)；若d＝0，則a2＝6.因為a2＝6+6d，a3＝11+22d，所以若a1，a2，a3成等差數(shù)列，則a1+a3＝a2，即14+22d＝12+12d，解得.故選ACD20．記為等差數(shù)列前項和，若且，則下列關(guān)于數(shù)列的描述正確的是（）A． B．數(shù)列中最大值的項是C．公差 D．數(shù)列也是等差數(shù)列答案：AB【分析】根據(jù)已知條件求得的關(guān)系式，然后結(jié)合等差數(shù)列的有關(guān)知識對選項逐一分析，從而確定正確選項.【詳解】依題意，等差數(shù)列中，即，.對于A選項，，所以A選項正確.對于C選項，，，所以，解析：AB【分析】根據(jù)已知條件求得的關(guān)系式，然后結(jié)合等差數(shù)列的有關(guān)知識對選項逐一分析，從而確定正確選項.【詳解】依題意，等差數(shù)列中，即，.對于A選項，，所以A選項正確.對于C選項，，，所以，所以C選項錯誤.對于B選項，，令得，由于是正整數(shù)，所以，所以數(shù)列中最大值的項是，所以B選項正確.對于D選項，由上述分析可知，時，，當時，，且.所以數(shù)列的前項遞減，第項后面遞增，不是等差數(shù)列，所以D選項錯誤.故選：AB【點睛】等差數(shù)列有關(guān)知識的題目，主要把握住基本元的思想.要求等差數(shù)列前項和的最值，可以令或來求解.21．已知數(shù)列的前項和為，前項積為，且，則（）A．當數(shù)列為等差數(shù)列時，B．當數(shù)列為等差數(shù)列時，C．當數(shù)列為等比數(shù)列時，D．當數(shù)列為等比數(shù)列時，答案：AC【分析】將變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性可得，再結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)即可判斷正確選項【詳解】由，可得，令，，所以是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以，所以當數(shù)列為等差數(shù)列時，；解析：AC【分析】將變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性可得，再結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)即可判斷正確選項【詳解】由，可得，令，，所以是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以，所以當數(shù)列為等差數(shù)列時，；當數(shù)列為等比數(shù)列時，且，，同號，所以，，均大于零，故.故選：AC【點睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列，考查邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題22．已知數(shù)列為等差數(shù)列，則下列說法正確的是（）A．（d為常數(shù)） B．數(shù)列是等差數(shù)列C．數(shù)列是等差數(shù)列 D．是與的等差中項答案：ABD【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)直接判斷AD選項，根據(jù)等差數(shù)列的定義的判斷方法判斷BC選項.【詳解】A.因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，即，所以A正確；B.因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，那么，所以數(shù)解析：ABD【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)直接判斷AD選項，根據(jù)等差數(shù)列的定義的判斷方法判斷BC選項.【詳解】A.因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，即，所以A正確；B.因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，那么，所以數(shù)列是等差數(shù)列，故B正確；C.，不是常數(shù)，所以數(shù)列不是等差數(shù)列，故C不正確；D.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，所以是與的等差中項，故D正確.故選：ABD【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)與判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題型.23．設(shè)d為正項等差數(shù)列的公差，若，，則（）A． B． C． D．答案：ABC【分析】由已知求得公差的范圍：，把各選項中的項全部用表示，并根據(jù)判斷各選項．【詳解】由題知，只需，，A正確；，B正確；，C正確；，所以，D錯誤.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性解析：ABC【分析】由已知求得公差的范圍：，把各選項中的項全部用表示，并根據(jù)判斷各選項．【詳解】由題知，只需，，A正確；，B正確；，C正確；，所以，D錯誤.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，解題方法是由已知確定的范圍，由通項公式寫出各項（用表示）后，可判斷．24．公差為的等差數(shù)列，其前項和為，，，下列說法正確的有（）A． B． C．中最大 D．答案：AD【分析】先根據(jù)題意得，，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得，，，中最大，，即：.進而得答案.【詳解】解：根據(jù)等差數(shù)列前項和公式得：，所以，，由于，，所以，，所以，中最大，由于，所以，即：解析：AD【分析】先根據(jù)題意得，，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得，，，中最大，，即：.進而得答案.【詳解】解：根據(jù)等差數(shù)列前項和公式得：，所以，，由于，，所以，，所以，中最大，由于，所以，即：.故AD正確，BC錯誤.故選：AD.【點睛】本題考查等差數(shù)列的前項和公式與等差數(shù)列的性質(zhì)，是中檔題.25．已知為等差數(shù)列，其前項和為，且，則以下結(jié)論正確的是（