第二十四講平移、旋轉(zhuǎn)與軸對稱1．(2021·成都中考)在平面直角坐標系xOy中，點M(－4，2)關(guān)于x軸對稱的點的坐標是(C)A．(－4，2)B．(4，2)C．(－4，－2)D．(4，－2)2．(2021·涼山州中考)下面四個交通標志圖是軸對稱圖形的是(C)3．如圖，△A′B′C′是由△ABC經(jīng)過平移得到的，△A′B′C′還可以看作是△ABC經(jīng)過怎樣的圖形變化得到？下列結(jié)論：①1次旋轉(zhuǎn)；②1次旋轉(zhuǎn)和1次軸對稱；③2次旋轉(zhuǎn)；④2次軸對稱．其中所有正確結(jié)論的序號是(D)A．①④B．②③C．②④D．③④4．(2021·瀘州中考)在平面直角坐標系中，將點A(－3，－2)向右平移5個單位長度得到點B，則點B關(guān)于y軸的對稱點B′的坐標為(C)A．(2，2)B．(－2，2)C．(－2，－2)D．(2，－2)5．如圖，在平面直角坐標系中，點B在第一象限，點A在x軸的正半軸上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點B的對應點B′的坐標是(B)A．(－1，2＋eq\r(3))B．(－eq\r(3)，3)C．(－eq\r(3)，2＋eq\r(3))D．(－3，eq\r(3))6．(2021·玉林模擬)如圖，一塊等邊三角形的木板，邊長為1，現(xiàn)將木板沿水平線翻滾，那么B點從開始至結(jié)束所走過的路徑長度為__eq\f(4π,3)__．7．如圖，在平面直角坐標系中，△OAB的頂點A，B的坐標分別為(3，eq\r(3))，(4，0).把△OAB沿x軸向右平移得到△CDE，如果點D的坐標為(6，eq\r(3))，則點E的坐標為__(7，0)__．8．如圖，將正方形網(wǎng)格放置在平面直角坐標系中，其中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C的坐標分別為A(0，3)，B(－1，1)，C(3，1).△A′B′C′是△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形，將△A′B′C′繞點B′逆時針旋轉(zhuǎn)180°，點A′的對應點為M，則點M的坐標為__(－2，1)__．9．圖1，圖2都是由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個網(wǎng)格圖中有3個小等邊三角形已涂上陰影．請在余下的空白小等邊三角形中，分別按下列要求選取一個涂上陰影：(1)使得4個陰影小等邊三角形組成一個軸對稱圖形．(2)使得4個陰影小等邊三角形組成一個中心對稱圖形．(請將兩個小題依次作答在圖1，圖2中，均只需畫出符合條件的一種情形)【解析】(1)軸對稱圖形如圖1所示．(答案不唯一)(2)中心對稱圖形如圖2所示．(答案不唯一)10．(2021·麗水中考)如圖，在5×5的方格紙中，線段AB的端點均在格點上，請按要求畫圖．(1)如圖1，畫出一條線段AC，使AC＝AB，C在格點上；(2)如圖2，畫出一條線段EF，使EF，AB互相平分，E，F(xiàn)均在格點上；(3)如圖3，以A，B為頂點畫出一個四邊形，使其是中心對稱圖形，且頂點均在格點上．【解析】如圖(答案均不唯一)：(1)線段AC即為所作，(2)線段EF即為所作，(3)四邊形ABHG即為所作．11．(2021·嘉興中考)將一張三角形紙片按如圖步驟①至④折疊兩次得圖⑤，然后剪出圖⑤中的陰影部分，則陰影部分展開鋪平后的圖形是(D)A．等腰三角形B．直角三角形C．矩形 D．菱形12.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝8，點D在AB上，且BD＝eq\r(3)，點E在BC上運動．將△BDE沿DE折疊，點B落在點B′處，則點B′到AC的最短距離是__eq\f(\r(3),2)__．13．如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形①沿x軸正半軸滾動并且按一定規(guī)律變換，每次變換后得到的圖形仍是等腰直角三角形．第一次滾動后點A1(0，2)變換到點A2(6，0)，得到等腰直角三角形②；第二次滾動后點A2變換到點A3(6，0)，得到等腰直角三角形③；第三次滾動后點A3變換到點A4(10，4eq\r(2))，得到等腰直角三角形④；第四次滾動后點A4變換到點A5(10＋12eq\r(2)，0)，得到等腰直角三角形⑤…依此規(guī)律，則第2020個等腰直角三角形的面積是__22__020__．14．(2021·樂山中考)在等腰△ABC中，AB＝AC，點D是BC邊上一點(不與點B，C重合)，連接AD.(1)如圖1，若∠C＝60°，點D關(guān)于直線AB的對稱點為點E，連接AE，DE，則∠BDE＝________；(2)若∠C＝60°，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，連接BE.①在圖2中補全圖形；②探究CD與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，若eq\f(AB,BC)＝eq\f(AD,DE)＝k，且∠ADE＝∠C.試探究BE，BD，AC之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明．【解析】(1)∵AB＝AC，∠C＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，∵點D關(guān)于直線AB的對稱點為點E，∴DE⊥AB，∴∠BDE＝180°－60°－90°＝30°；答案：30°(2)①補全圖形如下：②CD＝BE，證明如下：∵AB＝AC，∠C＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∵線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，∴AD＝AE，∠EAD＝60°，∴∠BAC＝∠EAD＝60°，∴∠BAC－∠BAD＝∠EAD－∠BAD，即∠EAB＝∠DAC，在△EAB和△DAC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠EAB＝∠DAC，,AE＝AD，))∴△EAB≌△DAC(SAS)，∴CD＝BE；(3)AC＝k(BD＋BE)，證明如下：連接AE，如圖：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠ADE＝∠C，∴∠ABC＝∠ADE，∵eq\f(AB,BC)＝eq\f(AD,DE)，∴△ABC∽△ADE，∴∠DAE＝∠BAC，eq\f(AB,AD)＝eq\f(AC,AE)，∴∠DAE－∠BAD＝∠BAC－∠BAD，即∠EAB＝∠DAC，∵AB＝AC，∴AE＝AD，在△EAB和△DAC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠EAB＝∠DAC，,AE＝AD，))∴△EAB≌△DAC(SAS)，∴CD＝BE，∴BC＝BD＋CD＝BD＋BE，而eq\f(AB,BC)＝eq\f(AC,BC)＝k，∴eq\f(AC,BD＋BE)＝k，即AC＝k(BD＋BE).【核心素養(yǎng)題】如圖①，要在一條筆直的路邊l上建一個燃氣站，向l同側(cè)的A，B兩個城鎮(zhèn)分別鋪設(shè)管道輸送燃氣．試確定燃氣站的位置，使鋪設(shè)管道的路線最短．(1)如圖②，作出點A關(guān)于l的對稱點A′，線段A′B與直線l的交點C的位置即為所求，即在點C處建燃氣站，所得路線ACB是最短的．為了證明點C的位置即為所求，不妨在直線l上另外任取一點C′，連接AC′，BC′，證明AC＋CB＜AC′＋C′B.請完成這個證明．(2)如果在A，B兩個城鎮(zhèn)之間規(guī)劃一個生態(tài)保護區(qū)，燃氣管道不能穿過該區(qū)域．請分別給出下列兩種情形的鋪設(shè)管道的方案(不需說明理由).①生態(tài)保護區(qū)是正方形區(qū)域，位置如圖③所示；②生態(tài)保護區(qū)是圓形區(qū)域，位置如圖④所示．【解析】(1)在題干圖②中，連接A′C′，∵點A，點A′關(guān)于l對稱，點C在l上，∴CA＝CA′，∴AC＋BC＝A′C＋BC＝A′B，同理可得AC′＋C′