四川省綿陽(yáng)市三臺(tái)中學(xué)年高三下高考模擬（三）考試數(shù)學(xué)科目試卷說(shuō)明：考試時(shí)間分鐘，試卷滿分分.2開考前，請(qǐng)?jiān)谠嚲砩虾痛痤}卡上都要填寫好自己的個(gè)人信息，然后用鉛筆在答題卡的規(guī)定區(qū)域填寫，用黑色簽字筆在答題卡的指定區(qū)域書寫.考試結(jié)束后，只交回答題卡即可.85分在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，即可求解集合的交集.【詳解】集合，集合，所以，故選:C.2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則公差為（）A.4B.8C.10D.2【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列的公式及性質(zhì)即可求得公差.詳解】由等差數(shù)列公式得：，可得，即公差為，故選：D．3.設(shè)關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解，則p是q的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件第1頁(yè)/共21頁(yè)【答案】A【解析】【分析】先結(jié)合輔助角公式及正弦函數(shù)性質(zhì)求出對(duì)應(yīng)的范圍，然后結(jié)合充分必要條件的定義即可判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，所以由可以推出，由不可以推出，所以是的充分不必要條件．故選：A.4.函數(shù)滿足：，若，，則（）A.1B.C.5D.【答案】D【解析】【分析】分析函數(shù)的周期性，利用函數(shù)的周期性求的值.【詳解】由題意可得：，用代替可得：，兩式相加得：.所以，所以函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù).所以.又，所以.所以.所以.故選：D5.已知，，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】第2頁(yè)/共21頁(yè)【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷對(duì)數(shù)式、指數(shù)冪的大小關(guān)系.【詳解】，∴.故選：D6.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，圓錐的表面積為，則圓錐的高為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】借助圓錐表面積公式計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則，解得，所以圓錐的高.故選：B7.如圖，已知正三棱柱EF分別是棱與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先用幾何法表示出，再根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系即可比較大?。驹斀狻咳鐖D所示，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)作于，連接，第3頁(yè)/共21頁(yè)則，，，，，，所以，故選：A．8.設(shè)F是雙曲線F向C的一條漸近線引垂線，垂足為A另一條漸近線于點(diǎn)B，若，則雙曲線C的離心率是（）A.B.2C.D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)一漸近線的方程為，設(shè)，，由，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再由，斜率之積等于，求出，代入進(jìn)行運(yùn)算．【詳解】解：由題意得右焦點(diǎn)，設(shè)一漸近線的方程為，則另一漸近線的方程為，設(shè)，，，，，，，，第4頁(yè)/共21頁(yè)，由可得，斜率之積等于，即，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，求得點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．二、多選題：本題共3小題，共分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.某位射擊運(yùn)動(dòng)員的兩組訓(xùn)練數(shù)據(jù)如下：第一組：10，7，7，8，8，9，7；第二組：10，5，5，8，9，9，10．則（）A.兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等B.第一組數(shù)據(jù)的方差大于第二組數(shù)據(jù)的方差C.兩組數(shù)據(jù)的極差相等D.第一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)小于第二組數(shù)據(jù)的中位數(shù)【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意，由平均數(shù)，方差，極差以及中位數(shù)的定義，代入計(jì)算，即可判斷.【詳解】第一組數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?，其平均?shù)為，其方差為，其極差為，其中位數(shù)為：；第二組數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?，?頁(yè)/共21頁(yè)其方差，其極差為，其中位數(shù)為：所以AD正確，BC錯(cuò)誤；故選：AD.10.已知，，，，則（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】A、B寫出，、，的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡(jiǎn)，即可判斷正誤.【詳解】A：，，所以，，故，正確；B：，，所以，同理，故不一定相等，錯(cuò)誤；C：由題意得：，，正確；D：由題意得：，，故一般來(lái)說(shuō)故錯(cuò)誤；第6頁(yè)/共21頁(yè)故選：AC不動(dòng)點(diǎn)理論是泛函分析與拓?fù)鋵W(xué)中的重要理論，簡(jiǎn)單地講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)“不動(dòng)點(diǎn)”不動(dòng)點(diǎn)理論，下列說(shuō)法正確的是（）A.只有1個(gè)不動(dòng)點(diǎn)B.若（）沒有不動(dòng)點(diǎn)，則沒有零點(diǎn)C.若（）沒有不動(dòng)點(diǎn)，則方程無(wú)實(shí)根D.有3個(gè)不動(dòng)點(diǎn)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的定義，分別對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，判斷其是否滿足“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的條件，以及是否滿足題目中的其他條件．【詳解】對(duì)于A，令，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，則在在A正確；對(duì)于B，沒有不動(dòng)點(diǎn)等價(jià)于的圖象與直線沒有交點(diǎn)，沒有零點(diǎn)等價(jià)于的圖象與軸沒有交點(diǎn)，顯然，當(dāng)對(duì)稱軸在軸左邊，的圖象與沒有交點(diǎn)時(shí)，不能推出與軸沒有交點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，依題意，沒有不動(dòng)點(diǎn)等價(jià)于方程無(wú)實(shí)數(shù)根無(wú)實(shí)數(shù)根，即，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向上，則恒成立，即，恒有，而，因此有恒成立，即方程無(wú)實(shí)根，第7頁(yè)/共21頁(yè)當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向下，則恒成立，即，恒有，而，因此有恒成立，即方程無(wú)實(shí)根，所以函數(shù)（）沒有不動(dòng)點(diǎn)，則方程無(wú)實(shí)根，C正確；對(duì)于D，由，得，易知當(dāng)時(shí)，，時(shí)，的圖象與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.令，得，解得，此時(shí)，所以直線與曲線相切于點(diǎn).所以直線與曲線共有兩個(gè)交點(diǎn)，所以只有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；故選：AC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則______．【答案】【解析】第8頁(yè)/共21頁(yè)【詳解】，故.故答案為：13.已知二項(xiàng)式，其展開式中項(xiàng)系數(shù)為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式直接求解即可.【詳解】二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)為，令，解得：，，展開式中項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.14.在四棱錐中，，且，，若該四棱錐存在半徑為1的內(nèi)切球，則_______.【答案】##【解析】,截取一個(gè)正四棱錐平面，設(shè)，四棱錐的體積可轉(zhuǎn)化為，因?yàn)樗睦忮F存在半徑為1的內(nèi)切球，可得，聯(lián)立得到的關(guān)系式，化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】如圖，，且，可以在四棱錐上截取一個(gè)正四棱錐，此時(shí)四邊形為正方形，且邊長(zhǎng)為，第9頁(yè)/共21頁(yè)，，設(shè)，，且，，，O為BD中點(diǎn)，，，又，平面，，，，又因?yàn)樗睦忮F存在半徑為1的內(nèi)切球，，即，即，，解得，因?yàn)樗睦忮F存在半徑為1的內(nèi)切球，直徑為2，，而，故，故答案為：第10頁(yè)/共21頁(yè)15.設(shè)函數(shù).（1）求的最小正周期和對(duì)稱中心；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值.【答案】（1），，2）最小值為，最大值為.【解析】1）利用二倍角公式、兩角和與差的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后利用正弦函數(shù)性質(zhì)求解．（2）求出的取值范圍，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)得最值．1），∴的最小正周期是，由得，對(duì)稱中心是.，（2）時(shí)，，此時(shí).第11頁(yè)/共21頁(yè)最大值為，此時(shí)，，最小值為，此時(shí)，．綜上，的最小值為，最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式、兩角和與差的正弦公式，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，掌握正弦函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：．【答案】（1）（2）見解析【解析】，得到，利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，,進(jìn)而得：，利用累乘法求得，檢驗(yàn)對(duì)于也成立，得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到，進(jìn)而證得.【小問1詳解】∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，第12頁(yè)/共21頁(yè)∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式；【小問2詳解】∴17.如圖,矩形所在平面與平面垂直,且為上的動(dòng)點(diǎn).（1）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求證：；（2）若，在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的大小為.若存在,確定點(diǎn)的位置，若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見解析；第13頁(yè)/共21頁(yè)（2）在線段上距點(diǎn)處【解析】1平面為原點(diǎn),所在直線軸,建立空間直角坐標(biāo)系.計(jì)算可得；（2）設(shè)，利用向量法，根據(jù)二面角的大小為可求得.【小問1詳解】平面平面，平面平面，平面，平面，故可以為原點(diǎn),所在直線軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖.不妨設(shè)，，則，從而，于是，.【小問2詳解】設(shè)，，則，所以，易知向量為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，解得，令，則，從而，第14頁(yè)/共21頁(yè)依題意，即，解得（舍去）或，所以點(diǎn)在線段上距點(diǎn)處.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的值域；（2）若有唯一的極值點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】1）根據(jù)的正負(fù)可確定的單調(diào)性，由此可確定最值點(diǎn)，根據(jù)最值可得值域；（2）將問題轉(zhuǎn)化為討論的變號(hào)零點(diǎn)，令，分別在和的情況下，結(jié)合的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理的知識(shí)可說(shuō)明定滿足題意的的范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又，，，在上的值域?yàn)?【小問2詳解】，的極值點(diǎn)即為的變號(hào)零點(diǎn)，第15頁(yè)/共21頁(yè)設(shè)，；①若，與在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減；，，存在唯一的，使得，又定義域?yàn)?，，，且?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，存在唯一的極大值點(diǎn)，符合題意；②若，定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，，單調(diào)遞減，（i）當(dāng)時(shí)，，，即，上無(wú)極值點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，，，即，在上無(wú)極值點(diǎn)；（iii）當(dāng)時(shí)，，，存在唯一的，使得，即，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；是的極大值點(diǎn)，此時(shí)在上有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，；令，解得：，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；第16頁(yè)/共21頁(yè)令，解得：，（i）當(dāng)時(shí)，若，，，當(dāng)時(shí)，，，，使得，則當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)；若，則，，則，此時(shí)在上無(wú)極值點(diǎn)；不符合題意；（ii）當(dāng)時(shí)，，，，存在唯一的，使得，則當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，為唯一的極大值點(diǎn)，此時(shí)在有一個(gè)極值點(diǎn)，則符合題意；（iii）當(dāng)時(shí)，，；第17頁(yè)/共21頁(yè)當(dāng)時(shí)，；存在唯一的，使得，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，為的極大值點(diǎn)，此時(shí)在有一個(gè)極值點(diǎn)，不合題意；綜上所述：的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)的問題，解題基本思路是將問題轉(zhuǎn)化為討論導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，可以結(jié)合函數(shù)中的零點(diǎn)存在定理的知識(shí)來(lái)說(shuō)明變號(hào)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而得到函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)個(gè)數(shù).19.雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)在直線上，且其離心率為．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若一條直線與雙曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，且該直線與雙曲線的漸近線不平行，則定義該直線為雙曲線的切線，定義該公共點(diǎn)為切線的切點(diǎn)，已知點(diǎn)在直線上，且過(guò)點(diǎn)恰好可作雙曲線E的兩條切線，設(shè)這兩條切線的切點(diǎn)分別為和．（i）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求的取值范圍；（ii）設(shè)直線和直線分別與直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，證明：直線和直線交點(diǎn)在定直線上．（附：雙曲線以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為）【答案】（1）（2i）ii）證明見解析【解析】1）求出，再根據(jù)離心率得到，則得到其雙曲線方程；第18頁(yè)/共21頁(yè)（2i）首先排除切線斜率不存在的情況，再采用設(shè)線法，并聯(lián)立雙曲線方程，根據(jù)判別式得到的范圍；（ii和與直線交點(diǎn)為與直線交點(diǎn)為重合即可.【小問1詳解】直線方程中，令，則，則直線與軸交于，所以．離心率，所以，故．所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】（i）經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)一條切線斜率不存在時(shí)，若，顯然另一條切線方程斜率存在，設(shè)切線方程為，聯(lián)立雙曲線方程得，則，解得，而雙曲線漸近線方程為，則此時(shí)不符合題意，當(dāng)時(shí)，此時(shí)只有一條切線，顯然不合題意，則兩條切線斜率均存在，設(shè)切線斜率為，切線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立得：，令．整理得：，由于，所以且．上式整理得：．由題意，有兩個(gè)相異實(shí)根，所以，