第四章圖形的相似重難點(diǎn)檢測(cè)卷注意事項(xiàng)：本試卷滿(mǎn)分100分，考試時(shí)間120分鐘，試題共25題。答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置選擇題（10小題，每小題2分，共20分）1．（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）如果，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，掌握比例的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意設(shè)，，再代入化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：，設(shè)，，，故選：C．2．（24-25九年級(jí)上·河北石家莊·階段練習(xí)）如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則圖中三角形（陰影部分）與相似的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先根據(jù)題意可知的三邊，再分別求出各選項(xiàng)的三邊，然后根據(jù)三邊是否成比例得出答案．【詳解】根據(jù)勾股定理，可知，，．根據(jù)勾股定理得A選項(xiàng)的三邊為，∴，所以不與相似；根據(jù)勾股定理得B選項(xiàng)的三邊為，∴，所以與相似．根據(jù)勾股定理得C選項(xiàng)的三邊為，∴，所以不與相似；根據(jù)勾股定理得D選項(xiàng)的三邊為，∴，所以不與相似．故選：B．3．（24-25九年級(jí)上·山東聊城·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E在上，若，則與的周長(zhǎng)比為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)．熟練掌握三角形相似的判定定理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．由平行四邊形的性質(zhì)易證，，結(jié)合題意即得出，再根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)比等于相似比即得出答案．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，，，∴．∵，即，∴，∴與的周長(zhǎng)比為．故選C．4．（24-25九年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期中）如圖，五線(xiàn)譜是由等距離、等長(zhǎng)的五條平行橫線(xiàn)組成的，同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線(xiàn)上．若線(xiàn)段等于1.5，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】本題考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的應(yīng)用，作出適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解題關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作五線(xiàn)譜的垂線(xiàn)，分別交第三、四條直線(xiàn)于點(diǎn)、，由題意可得，，再由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，得到，即可求出線(xiàn)段的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作五線(xiàn)譜的垂線(xiàn)，分別交第三、四條直線(xiàn)于點(diǎn)、，由題意可知，，，，，，故選：B．5．（24-25九年級(jí)上·上海·階段練習(xí)）已知的三邊長(zhǎng)為1、2、，在下列給定條件的中，與一定相似的是（

）A．，，； B．，，；C．，，； D．，，．【答案】D【分析】本題主要考查相似三角形的判定定理，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵；由題意可知是一個(gè)含30度的直角三角形，然后可進(jìn)行排除選項(xiàng)．【詳解】解：∵的三邊長(zhǎng)為1、2、，且，∴是一個(gè)直角三角形，由選項(xiàng)可知：，所以只需滿(mǎn)足即可；故選D．6．（23-24九年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）如圖，設(shè)是已知線(xiàn)段，經(jīng)過(guò)點(diǎn)作，使，連接，在上截取；在上截?。c(diǎn)就是線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)．已知線(xiàn)段的長(zhǎng)為，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理、二次根式、線(xiàn)段和與差的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理和二次根式的性質(zhì)，從而完成求解．根據(jù)、，通過(guò)勾股定理計(jì)算得；結(jié)合，計(jì)算得，從而得到的值，即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∵，的長(zhǎng)為，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故選：C．7．（2024九年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，DE是的中位線(xiàn)，是的中位線(xiàn)，連結(jié)、、．已知，，，．則的長(zhǎng)度為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本題主要考查了中位線(xiàn)的性質(zhì)和位似圖形的判定與性質(zhì)．通過(guò)中位線(xiàn)的性質(zhì)得出，再證明，得出相似比為，即可得到，從而得出答案，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：DE是的中位線(xiàn)，是的中位線(xiàn)，，，，，，，∴與位似，點(diǎn)O為位似中心，，相似比為，，，，故選：B．8．（24-25九年級(jí)上·河南開(kāi)封·期中）如圖所示，在邊長(zhǎng)為6的正方形中，E為上的點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作交于點(diǎn)H，點(diǎn)M，N分別是和的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C．2 D．5【答案】B【分析】根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理得，再由正方形的性質(zhì)得由，得，推導(dǎo)出，進(jìn)而證明，得，則，于是得到問(wèn)題的答案．【詳解】解：∵點(diǎn)M，N分別是和的中點(diǎn)，若，∴是的中位線(xiàn)，∴，四邊形是邊長(zhǎng)為6的正方形，

，，∵F為的中點(diǎn)，∴，，，，，，∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線(xiàn)定理等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．9．（23-24九年級(jí)上·浙江寧波·期中）如圖，，、，分別是矩形四邊上的點(diǎn)，連結(jié)，相交于點(diǎn)，且，，設(shè)矩形、矩形、矩形、矩形的面積分別為、、，，矩形矩形，連接交，于點(diǎn)，．下列一定能求出面積的條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似矩形、相似三角形的性質(zhì)及判定，找到關(guān)鍵線(xiàn)段的長(zhǎng)運(yùn)用三角形面積公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似矩形設(shè)相似比，再運(yùn)用相似三角形得出關(guān)鍵線(xiàn)段長(zhǎng)，運(yùn)用三角形面積公式即可求解．【詳解】解：矩形矩形，設(shè)矩形與矩形的相似比為，即，設(shè)，，則在矩形、矩形中，，，矩形、矩形、矩形的對(duì)邊互相平行，，，，，，，，，，，，，故選：A．10．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，四邊形是菱形，菱形的對(duì)角線(xiàn)分別交、于P、Q兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中：①；②；③；④．正確的個(gè)數(shù)是（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①由矩形的性質(zhì)得，由菱形的性質(zhì)得，即可判斷；②由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性質(zhì)得，即可判斷；③由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性質(zhì)得由菱形的性質(zhì)得，，即可判斷；④由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性質(zhì)得，由線(xiàn)段和差得，即可判斷．【詳解】解：①四邊形是矩形，，，四邊形是菱形，，，，，，故此項(xiàng)正確；②，四邊形是矩形，，四邊形是菱形，，，，，，，故此項(xiàng)錯(cuò)誤；③，四邊形是矩形，，，，，，，四邊形是菱形，，，，，，，，故此項(xiàng)錯(cuò)誤；④四邊形是矩形，，，，，，，，故此項(xiàng)正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，并能熟練利用性質(zhì)進(jìn)行線(xiàn)段比例式之間是轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．二、填空題（6小題，每小題2分，共12分）11．（24-25九年級(jí)上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）如果兩個(gè)相似三角形的面積之比是，那么它們的對(duì)應(yīng)中線(xiàn)之比是．【答案】/【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，面積比等于相似比的平分，相似三角形對(duì)應(yīng)中線(xiàn)，對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比等于相似比.【詳解】解：∵兩個(gè)相似三角形的面積之比是，∴兩個(gè)相似三角形的相似比是，∴它們的對(duì)應(yīng)中線(xiàn)之比是故答案為：．12．（23-24九年級(jí)上·上海嘉定·期中）如圖，點(diǎn)G是重心，，如果，那么線(xiàn)段的長(zhǎng)為【答案】2【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：兩個(gè)三角形相似對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．先根據(jù)三角形重心性質(zhì)得到，，再證明，然后利用相似比可計(jì)算的長(zhǎng)．【詳解】解：∵點(diǎn)G是的重心，∴為中線(xiàn)，，∴，∵，∴，∴，即，∴．故答案為：2．13．（24-25九年級(jí)上·上?！るA段練習(xí)）如圖，在梯形中，，與相交于點(diǎn)O，如果，那么．【答案】【分析】本題考查三角形的面積比，涉及相似三角形判定與性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理，并能熟練應(yīng)用．先證明，再設(shè)，得出，然后結(jié)合，得出，因?yàn)椤⒏呦嗟?，它們的面積的比，然后列式計(jì)算，即可作答．【詳解】解：，∴∴，設(shè)，則，∴，∵，即，∵、高相等，它們的面積的比，∴，即，∴（負(fù)值已舍去），∴，故答案為：14．（24-25九年級(jí)上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）寧霞做測(cè)量陽(yáng)光下旗桿長(zhǎng)度的試驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)校的旗桿是在一個(gè)臺(tái)座上的（如圖所示）．經(jīng)測(cè)量旗桿底部點(diǎn)到臺(tái)座邊緣的距離為1，每級(jí)臺(tái)階高，階面長(zhǎng)，旗桿落在水平地面上的影長(zhǎng)，此時(shí)，豎直放在水平地面上1長(zhǎng)的測(cè)桿的影長(zhǎng)為，則學(xué)校的旗桿高度是．【答案】【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．熟練掌握相似三角形的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．如圖，記延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)為，由題意知，，，則，依題意得，，即，可求，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，記延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)為，由題意知，，，∴，∵豎直放在水平地面上1長(zhǎng)的測(cè)桿的影長(zhǎng)為，∴，即，解得，，∴，故答案為：．15．（上海市閔行區(qū)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試題）中，，，，將此三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線(xiàn)上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在點(diǎn)處，那么的面積是．

【答案】/【分析】此題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線(xiàn).．過(guò)作于，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理求得，再利用，得，過(guò)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，利用，得，故，即可求出即可求出的面積．【詳解】解：如圖，過(guò)作于，

∵將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∵中，，，，∴，∴是等腰三角形，∴，，∵，∴，過(guò)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．16．（24-25九年級(jí)上·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為【答案】/【分析】利用勾股定理求得和的長(zhǎng)，證明，得到，推出，得到，設(shè)，，再證明，得到，據(jù)此求解即可．【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)，如圖，∵，，，∴，∵為中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得，設(shè)，，，∵，，∴，∴，即，整理得，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)或都是原方程的解，但不符合題意，舍去，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運(yùn)算，等邊三角形的判定和性質(zhì)．正確引出輔助線(xiàn)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．三、解答題（9小題，共68分）17．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·期中）如圖，在中，，于D，若，，求AD的長(zhǎng)．【答案】．【分析】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．由在中，根據(jù)同角的余角相等，可得，又由，可證得，然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得．【詳解】解：∵在中，，，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴．18．（23-24九年級(jí)上·福建三明·期中）如圖，在中，．(1)在AB上求作點(diǎn)，使；(要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)(2)在（1）的條件下，求證【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用和尺規(guī)作圖．（1）已知是直角三角形，要使，則也是直角三角形，因此我們需要作點(diǎn)，使得；（2）根據(jù)（1）的條件，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得證．【詳解】（1）當(dāng)，時(shí)，．如圖1所示，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為D，則點(diǎn)D就是所求作的點(diǎn)．（2）∵,，,，

,19．（24-25九年級(jí)上·上海普陀·階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)D、F在邊AC上，點(diǎn)在邊AC上，且，．(1)求證：；(2)如果，，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查平行線(xiàn)分線(xiàn)段對(duì)應(yīng)成比例，相似三角形的判定和性質(zhì)：（1）利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的定理以及相似三角形判定及性質(zhì)即可得證；（2）平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，得到，進(jìn)而得到，證明，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵∴，∴且,∴,∴,∴；（2）解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．20．（24-25九年級(jí)上·上海·階段練習(xí)）已知：如圖，在四邊形中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且滿(mǎn)足，．(1)聯(lián)結(jié)，如果，求證：；(2)在（1）的條件下，如果，，那么________．（用含、的代數(shù)式表示）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)可得，結(jié)合，可推出，即可求證；（2）由可得，推出，得到，進(jìn)而得；根據(jù)可得，根據(jù)即可求解；【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖所示：∵，∴，即：∵，．∴，∴，即：，∴（2）解：∵，∴，∴，即：，∴，∵∴，∵，∴，∴，即：，∴，故答案為：．21．（24-25九年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期中）如圖，在中，，是斜邊上的高(1)求證：(2)如果，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確找出相似三角形．（1）證明，書(shū)寫(xiě)比例式即可求證；（2）證明，書(shū)寫(xiě)比例式即可求解．【詳解】（1）證明：∵是斜邊上的高，∴，∵∴∵∴∴∵∴∴∴；（2）解：∵，∴，∴，∴，∴22．（24-25八年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）（1）如圖1，在中，，請(qǐng)用全等三角形的知識(shí)說(shuō)明；（2）如圖，在中，為三角形的角平分線(xiàn)，于點(diǎn)交于點(diǎn)，．①求證：；②若，，直接寫(xiě)出__________．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）①見(jiàn)詳解；②【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，利用“”證明，即可證明；（2）①首先證明，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線(xiàn)于，，，可證明、為等腰三角形，進(jìn)而可得，，，然后根據(jù)即可證明結(jié)論；②首先證明，易得，結(jié)合題意可得，，，再證明，由相似三角形的性質(zhì)可得，易，即可獲得答案．【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如下圖，則，在和中，，∴，∴；（2）①證明：∵平分，，∵，∴，∴，如下圖，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線(xiàn)于，則，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴；②在和中,，∴，∴，∵，，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線(xiàn)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)，正確作出輔助線(xiàn)是解題關(guān)鍵．23．（2024九年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）小軍想用鏡子測(cè)量一棵古松樹(shù)的高度，但因樹(shù)旁有一條小河，不能測(cè)量鏡子與樹(shù)之間的距離，于是他利用鏡子進(jìn)行兩次測(cè)量，如圖，第一次他把鏡子放在點(diǎn)處，他在點(diǎn)處正好在鏡中看到樹(shù)尖的像；第二次他把鏡子放在點(diǎn)處，他在點(diǎn)處正好在鏡中看到樹(shù)尖的像．已知，，，小軍的眼睛距地面（即），量得，求這棵古松樹(shù)的高度AB．（鏡子大小忽略不計(jì)）【答案】【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，先證明，得出，再證明，得出，由，得出，繼而求出的長(zhǎng)度，代入即可求出的長(zhǎng)度，即可得出答案．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，，，∴，解得：，∴，解得：，答：這棵古松樹(shù)的高度為．24．（24-25九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）【基礎(chǔ)問(wèn)題】如圖1，在矩形中，點(diǎn)、分別在邊、上，，，，，求長(zhǎng)．【拓展延伸】（1）如圖2，在等邊中，為邊上一點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，且，，，則長(zhǎng)為_(kāi)_____________．（2）如圖3，在四邊形中，，交于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，，，，則______________．【答案】基礎(chǔ)問(wèn)題：；（1）18；（2）【分析】基礎(chǔ)問(wèn)題：先判斷出，進(jìn)而得出，再判斷出，得出，得，得比例式代值即可得出結(jié)論；（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出，，證明，得出比例式，求出即可；（2）根據(jù)已知條件證明，，都是底角相等的等腰三角形，可得，得比例式代值即可得出結(jié)論．【詳解】解：基礎(chǔ)問(wèn)題：四邊形是矩形，，，，，，，，∴，，∵，，，，；拓展延伸（1）三角形是等邊三角形，，，，，，，，∴，，∵，，，，；故答案為：18；（2）∵，，，∵，，，，∴，，都是底角相等的等腰三角形，∴，，∵，，，（負(fù)值舍去），．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，判斷出