期末重難點(diǎn)真題特訓(xùn)之易錯(cuò)必刷題型（114題33個(gè)考點(diǎn)）【精選最新考試題型專訓(xùn)】易錯(cuò)必刷題一、菱形的性質(zhì)與判定1．（24-25九年級(jí)上·廣東茂名·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在菱形中，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接．如果，那么的長(zhǎng)為（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【分析】本題考查了三角形的中位線性質(zhì)、菱形的性質(zhì)．熟練掌握三角形的中位線性質(zhì)、菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)求出，再根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：在中，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，，，，，四邊形是菱形，．故選B．2．（23-24九年級(jí)上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期中）如圖，菱形的對(duì)角線、交于點(diǎn)，若與關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，，，則菱形的邊長(zhǎng)是．【答案】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到、、、，根據(jù)，利用勾股定理計(jì)算，再次利用勾股定理計(jì)算即可．本題考查了菱形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握菱形的基本性質(zhì)并靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：四邊形是菱形，且繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，，，，，即菱形的邊長(zhǎng)是，故答案為：．3．（24-25九年級(jí)上·江蘇南通·開(kāi)學(xué)考試）已知：如圖，在中，點(diǎn)、在上，且．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，四邊形應(yīng)滿足什么條件？（不需要說(shuō)明理由）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)；理由見(jiàn)解析【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定．注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出，，由證得，繼而證得結(jié)論；（2）由菱形的判定定理容易得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接交于，如圖所示：四邊形是平行四邊形，∴，．，，．在和中，，．，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，四邊形應(yīng)滿足；理由如下：由（1）得：四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形．易錯(cuò)必刷題二、矩形的性質(zhì)與判定1．（23-24九年級(jí)上·云南大理·期中）如圖，在矩形中，連接，相交于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（

）A．4 B．8 C．16 D．不能確定【答案】B【分析】本題考查矩形的對(duì)角線相等的性質(zhì)，屬于矩形的基本性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單．根據(jù)矩形的對(duì)角線相等可得，即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，故選：B．2．（2024·吉林松原·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，將一張矩形紙片對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，折痕為．如圖2，把矩形紙片展平后，沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在上，折痕為，則的度數(shù)是．【答案】60【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，關(guān)鍵是由折疊的性質(zhì)推出是等邊三角形．連接，由線段垂直平分線的性質(zhì)得到，由折疊的性質(zhì)得到，因此是等邊三角形，得到．【詳解】解：連接，由題意知垂直平分，∴，由折疊的性質(zhì)得到，∴，∴是等邊三角形，∴．故答案為：60．3．（24-25九年級(jí)上·河南焦作·期中）如圖，中，，平分，，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)作于F，若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)．【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，（1），根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得，然后根據(jù)，可得，即可得出結(jié)論；（2），根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)勾股定理得，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)得，，最后根據(jù)三角形的面積相等得出答案.【詳解】（1）證明：∵，平分，∴，∴.∵，∴．∵，∴，∴四邊形是矩形；（2）解：∵，平分，∴.∵，∴.∵四邊形是矩形，∴，.∵，∴．易錯(cuò)必刷題三、正方形的性質(zhì)與判定1．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）正方形與的位置如圖所示，已知，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，等式的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．由四邊形是正方形，是直角三角形得到，則，化簡(jiǎn)即可．【詳解】四邊形是正方形，是直角三角形，∴，∴，∵，，．故選：C．2．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，是四邊形的對(duì)角線，點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)．若，則四邊形一定是(

)

A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】D【分析】本題考查了正方形的判定，三角形中位線定理、平行四邊形的判定和矩形的判定．先根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到CD，CD，CD，CD，則CD，，所以可判斷四邊形為平行四邊形，同理可得AB，則，則可判斷四邊形為菱形，然后證明，于是可判斷四邊形是正方形．【詳解】解：點(diǎn)為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為的中位線，CD，CD，同理可得CD，CD，CD，，四邊形為平行四邊形，同理可得AB，AB，AB，AB，，四邊形為菱形，AB，CD，，，，，，，四邊形是正方形．故選：D．3．（23-24九年級(jí)上·湖北·階段練習(xí)）《九章算術(shù)》勾股章[一五]問(wèn)“勾股容方”描述了關(guān)于圖形之間關(guān)系的問(wèn)題：如圖，知道一個(gè)直角三角形較短直角邊（“勾”）與較長(zhǎng)直角邊（“股”）的長(zhǎng)度，那么，以該三角形的直角頂點(diǎn)為一個(gè)頂點(diǎn)、另外三個(gè)頂點(diǎn)分別在該三角形三邊上的正方形的邊長(zhǎng)就可以求得．（我們不妨稱這個(gè)正方形為該直角三角形的“所容正方形”）其文如下：?jiǎn)栴}：一個(gè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為和，它的“所容正方形”的邊長(zhǎng)是多少？答案：．解：(1)已知：如圖，在中，，若，，求“所容正方形”的邊長(zhǎng)．(2)應(yīng)用（1）中的結(jié)論解決問(wèn)題：如圖，中山公園有一塊菱形場(chǎng)地，其面積為，兩條對(duì)角線長(zhǎng)度之和為．現(xiàn)要在這個(gè)菱形場(chǎng)地上修建一個(gè)正方形花圃，并且要使正方形花圃的四個(gè)頂點(diǎn)分別落在菱形場(chǎng)地的四條邊上，則該正方形花圃的邊長(zhǎng)為多少？【答案】(1)正方形邊長(zhǎng)為；(2)該正方形花圃的邊長(zhǎng)為．【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正方形的判定與性質(zhì)、菱形性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確理解題意、熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)、合理利用所求的相關(guān)結(jié)論作答．（1）連接CE，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，即，根據(jù)面積計(jì)算的不同方式即可求得正方形邊長(zhǎng)；（2）設(shè)菱形兩條對(duì)角線交于點(diǎn)，其長(zhǎng)度分別為，，根據(jù)題意得到、的值，判定四邊形為正方形，且為直角的“所容正方形”后結(jié)合（1）中得到的結(jié)論即可得到正方形花圃的邊長(zhǎng)．【詳解】（1）解：連接，如圖，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，四邊形是正方形，，，，在中，，，，，即，，．故“所容正方形”的邊長(zhǎng)為．（2）解：如圖，設(shè)菱形的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)，且其長(zhǎng)度分別為，，則，，，根據(jù)題意可得：，整理得，若正方形為在這個(gè)菱形場(chǎng)地上修建的正方形花圃，則根據(jù)菱形和正方形的對(duì)稱性可得，，則四邊形也為正方形，且這個(gè)正方形為直角三角形的“所容正方形”，則由（1）的結(jié)論可得：正方形的邊長(zhǎng)，正方形的邊長(zhǎng)為，即在這個(gè)菱形場(chǎng)地上按要求修建的正方形花圃的邊長(zhǎng)為．易錯(cuò)必刷題四、四邊形綜合問(wèn)題1．（23-24九年級(jí)上·廣東湛江·期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M在DC上，且DM=1，N是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值為（

）A．4 B． C． D．5【答案】D【分析】由正方形的對(duì)稱性可知點(diǎn)B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接BM交AC于N′，N′即為所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的長(zhǎng)即可．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱，∴DN=BN，連接BD，BM交AC于N′，連接DN′，∴當(dāng)B、N、M共線時(shí)，DN+MN有最小值，則BM的長(zhǎng)即為DN+MN的最小值，∴AC是線段BD的垂直平分線，又∵CD=4，DM=1∴CM=CD-DM=4-1=3，在Rt△BCM中，BM=故DN+MN的最小值是5．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題及正方形的性質(zhì)，先作出D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)，由軸對(duì)稱及正方形的性質(zhì)判斷出D的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B是解答此題的關(guān)鍵．2．（23-24九年級(jí)上·河南駐馬店·期末）如圖在矩形中，，，為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度沿運(yùn)動(dòng)，最終到達(dá)點(diǎn)，若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，則當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，值為．

【答案】6或11/11或6【分析】分在上、在上兩種情況，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：①當(dāng)在上時(shí)，的面積等于，，解得：；②當(dāng)在上時(shí)，的面積等于，，，解得：；綜上所述，的值為6或11，故答案為：6或11．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)以及三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，分情況討論是解題的關(guān)鍵．3．（23-24九年級(jí)上·陜西寶雞·期中）如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，．(1)求證：四邊形OBEC是矩形；(2)若∠ABC=120°，AB=6，求矩形OBEC的周長(zhǎng)；【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得，即可得；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得BC=AB=6，，則，根據(jù)直角三角的性質(zhì)和勾股定理得，即可得．【詳解】（1）證明：∵，∴，，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴，∴，∴四邊形OBEC是矩形．（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AB=6，∴BC=AB=6，，∴，在，，，∴矩形OBEC的周長(zhǎng)為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，矩形的判定，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．易錯(cuò)必刷題五、認(rèn)識(shí)一元二次方程1．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）將下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次項(xiàng)系數(shù)是，一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：選項(xiàng)A中，，其二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是1，故選項(xiàng)A符合題意；選項(xiàng)B中，，其二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是，故選項(xiàng)B不符合題意；選項(xiàng)C中，，其二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)系數(shù)是6，常數(shù)項(xiàng)是，故選項(xiàng)C不符合題意；選項(xiàng)D中，，其二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)系數(shù)是6，常數(shù)項(xiàng)是1，故選項(xiàng)D不符合題意．故選：A．2．（2024·四川廣安·模擬預(yù)測(cè)）我們知道，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，即不存在一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于，若我們規(guī)定一個(gè)新數(shù)“i”，使其滿足（即方程有一個(gè)根為i），并且進(jìn)一步規(guī)定：一切實(shí)數(shù)可以與新數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，且原有的運(yùn)算律和運(yùn)算法則仍然成立，于是有，，，．從而對(duì)任意正整數(shù)n，我們可得到，同理可得，，，那么，的值為．【答案】0【分析】本題考查數(shù)字類(lèi)規(guī)律探究，根據(jù)已知條件可知：，每四個(gè)一循環(huán)，每個(gè)循環(huán)內(nèi)的四個(gè)數(shù)的和為0，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，可知：，且，，，，故每四個(gè)一循環(huán)，每個(gè)循環(huán)內(nèi)的四個(gè)數(shù)的和為0，∵，∴；故答案為：0．3．（2024九年級(jí)上·上海·專題練習(xí)）從探究2中我們可以看出，由于參賽球隊(duì)的支數(shù)x只能是正整數(shù)，因此可列表如下：x12345678910……可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，，所以是方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．思考(1)一元二次方程的根的定義應(yīng)怎樣描述呢？(2)方程有一個(gè)根為，它還有其它的根嗎？【答案】(1)一元二次方程根的定義：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的根(2)【分析】本題考查一元二次方程的根．（1）根據(jù)一元二次方程根的定義即可求解；（2）將代入方程，驗(yàn)證左右兩邊相等，可知也是方程的一個(gè)根．【詳解】（1）解：一元二次方程根的定義：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的根；（2）由于時(shí)，，故也是方程的一個(gè)根．即：方程還有另一個(gè)根：．易錯(cuò)必刷題六、用配方法求解一元二次方程1．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)值運(yùn)算程序，則輸入x的值為（

）A．3或 B．6或 C．1或3 D．27【答案】B【分析】本題主要考查了解一元二次方程，根據(jù)流程圖可得方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：由題意得，，∴，∴，解得或，故選：B．2．（23-24九年級(jí)上·遼寧丹東·期中）當(dāng)x取何值時(shí)，多項(xiàng)式有（填最大值或最小值），其最大值或最小值是．【答案】最大值【分析】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，利用配方法得到，再由偶次方的非負(fù)性即可得到答案．【詳解】解：，∵，∴，∴，∴，∴有最大值，最小值為，故答案為：．3．（24-25九年級(jí)上·廣西河池·期中）閱讀材料：選取二次三項(xiàng)式中的前兩項(xiàng)，配成完全平方式的過(guò)程叫配方．例如：選取二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方：；請(qǐng)根據(jù)閱讀材料解決下列問(wèn)題：(1)【直接應(yīng)用】，將代數(shù)式配方：______；(2)【類(lèi)比應(yīng)用】已知，求的值；(3)【知識(shí)拓展】求當(dāng)，為何值時(shí)，代數(shù)式取得最小值，最小值為多少？【答案】(1)(2)(3)16【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）依題意，得，即可作答．（2）先整理原式為，再結(jié)合非負(fù)性，得出，，然后代入計(jì)算，即可作答．（3）先整理原式為，因?yàn)?，所以?dāng)，時(shí)，取得最小值，最小值為16，即可作答．【詳解】（1）解：依題意，，故答案為：；（2）解：∵，∴配方得：，即，，，故．（3）解：依題意，，，，時(shí)，即當(dāng)，時(shí)，則，即取得最小值，最小值為16．易錯(cuò)必刷題七、用公式法求解一元二次方程1．（23-24九年級(jí)上·陜西延安·期中）若一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范圍．本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，，解得：．故選：C．2．（23-24九年級(jí)上·內(nèi)蒙古包頭·開(kāi)學(xué)考試）已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．【答案】且/且【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程的定義．直接利用一元二次方程根的判別式、一元二次方程的定義求解即可得．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，，解得且．故答案為：且．3．（24-25九年級(jí)上·江蘇連云港·期中）關(guān)于x的方程；(1)求證：不論m取何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)請(qǐng)取一個(gè)合適的m值，并求此時(shí)方程的根．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程的兩根為，【分析】本題考查了一元二次方程的解法和根的判別式的應(yīng)用，能正確運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．（1）先求出判別式的值，再根據(jù)“”的意義證明即可；（2）根據(jù)求根公式得出，，即可求出的值和方程的根．【詳解】（1）證明：由題意得：，∴無(wú)論取何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（2）解：由（1）可取當(dāng)時(shí)，則方程變?yōu)椋獾茫?，，?dāng)時(shí)，方程的兩根為，．易錯(cuò)必刷題八、用因式分解法求解一元二次方程1．（2024·云南紅河·模擬預(yù)測(cè)）如圖是由一些等邊三角形“△”堆成的“金字塔”圖形，它的下一排依次比上一排多一個(gè)“△”；若第個(gè)圖形的“△”的個(gè)數(shù)為45個(gè)，則的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】此題考查了圖形變化類(lèi)規(guī)律問(wèn)題的解決能力，解一元二次方程，關(guān)鍵是能根據(jù)觀察圖形變化，能夠猜想、驗(yàn)證、歸納出此題規(guī)律，并能運(yùn)用此規(guī)律解決相關(guān)問(wèn)題．找出規(guī)律，第個(gè)圖形有個(gè)“△”，再解一元二次方程即可．【詳解】解：第1個(gè)圖形有1個(gè)，第2個(gè)圖形有個(gè)，第3個(gè)圖形有個(gè)，第4個(gè)圖形有個(gè)，，則第個(gè)圖形有個(gè)，∴，解得：或（舍），故選：C．2．（24-25九年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·開(kāi)學(xué)考試）解一元二次方程的根是．【答案】【分析】本題考查解一元二次方程，直接利用因式分解法求解即可．【詳解】，，∴，故答案為：．3．（24-25九年級(jí)上·廣東河源·期中）下面是小剛在作業(yè)本中做的一道題，老師說(shuō)小剛的方法有問(wèn)題，可是小剛不明白，你能幫幫他嗎？解一元二次方程：．解：原方程變形為…………①兩邊同時(shí)除以，得…………②移項(xiàng)，合并得…………③系數(shù)化為1，得…………④上述解法中，該解法第一步采用的是______法解方程；第二步的依據(jù)是______，你認(rèn)為第______步有問(wèn)題，問(wèn)題在于______，請(qǐng)你將該方法正確的過(guò)程寫(xiě)出來(lái)．【答案】因式分解，等式的性質(zhì)，二，可以為0；見(jiàn)詳解【分析】依題意，因?yàn)榭梢詾?，所以方程兩邊除以之前要進(jìn)行討論；先移項(xiàng)得到，然后利用因式分解法解方程．本題考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【詳解】解：依題意，該解法第一步采用的是提公因式法解方程；第二步的依據(jù)是等式的性質(zhì)，你認(rèn)為第二步有問(wèn)題，問(wèn)題在于可以為0．則正確解法為：，∴，∴，則或，∴，．故答案為：因式分解，等式的性質(zhì)，二，可以為0；易錯(cuò)必刷題九、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系1．（24-25九年級(jí)上·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）若m、n是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，則的值為（

）A．4 B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟知是一元二次方程的兩根時(shí)，是解答此題的關(guān)鍵．先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出，再代入化簡(jiǎn)后的代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵m，n是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∴，故選：A．2．（23-24九年級(jí)上·浙江寧波·期中）一元二次方程的兩根和為．【答案】/【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，即可得出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意得：，故答案為：．3．（24-25九年級(jí)上·貴州畢節(jié)·期中）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則稱這樣的方程為“伴根方程”．例如：一元二次方程的兩個(gè)根是，且，則方程是“伴根方程”，(1)方程______“伴根方程”；（填“是”或“不是”）(2)已知關(guān)于x的一元二次方程（m是常數(shù)）是“伴根方程”，求m的值；(3)若關(guān)于x的一元二次方程是“伴根方程”，證明：．【答案】(1)是(2)1或(3)見(jiàn)解析【分析】（1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根據(jù)“伴根方程”的定義進(jìn)行判斷；（2）先利用因式分解法解一元二次方程得到，，再根據(jù)“伴根方程”的定義得到，然后解關(guān)于的方程即可．（3）先設(shè)一元二次方程的兩根分別為，則，整理得，則，即，整理得，即可作答．本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，．也考查了因式分解法來(lái)解一元二次方程，平方差公式．【詳解】（1）解：∵，∴，得，，，方程是“伴根方程”，故答案為：是；（2）解：，，或，，，∵方程是常數(shù)）是“伴根方程”，，或．（3）證明：設(shè)一元二次方程的兩根分別為，則，∴，，，，，．易錯(cuò)必刷題十、一元二次方程的應(yīng)用（營(yíng)銷(xiāo)、增長(zhǎng)率、傳播）問(wèn)題1．（24-25九年級(jí)上·安徽蕪湖·期中）化學(xué)是一門(mén)以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的學(xué)科，小華在化學(xué)老師的幫助下，學(xué)會(huì)了用高錳酸鉀制取氧氣的實(shí)驗(yàn)，回到班上后，第一節(jié)課手把手教會(huì)了同一個(gè)學(xué)習(xí)小組的名同學(xué)做該實(shí)驗(yàn)，第二節(jié)課小華因家中有事請(qǐng)假了，班上其余會(huì)做該實(shí)驗(yàn)的每名同學(xué)又手把手教會(huì)了名同學(xué)，這樣全班43名同學(xué)恰好都會(huì)做這個(gè)實(shí)驗(yàn)了．求的值．【答案】的值為6【分析】本題主要考查一元二次方程的運(yùn)用，理解題目中數(shù)量關(guān)系，掌握一元二次方程的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．小華第一節(jié)課手把手教會(huì)了同一個(gè)學(xué)習(xí)小組的名同學(xué)做該實(shí)驗(yàn)，班上其余會(huì)做該實(shí)驗(yàn)的每名同學(xué)又手把手教會(huì)了名同學(xué)，全班43名同學(xué)恰好都會(huì)做，由此數(shù)量關(guān)系列式即可求解．【詳解】解：由題意得，解得（不符合題意，舍去），答：的值為6．2．（24-25九年級(jí)上·江西南昌·期中）據(jù)統(tǒng)計(jì)，某紅色博物館開(kāi)館的第一個(gè)月進(jìn)館75000人次，由于紅色文化深入人心，進(jìn)館人次逐月增加，第三個(gè)月進(jìn)館108000人次．若進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率相同．(1)求進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率；(2)因條件限制，該紅色博物館月接納能力不能超過(guò)120000人次，在進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率不變的條件下，該紅色博物館能否接納第四個(gè)月的進(jìn)館人次？并說(shuō)明理由．【答案】(1)進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為(2)紅色博物館不能接納第四個(gè)月的進(jìn)館人次，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了一元二次方程的增長(zhǎng)率的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為x，列式，進(jìn)行計(jì)算，即可作答．（2）根據(jù)月平均增長(zhǎng)率為，算出第四個(gè)月的進(jìn)館人次為，再與進(jìn)行比較，即可作答．【詳解】（1）解：設(shè)進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得，解得：，（不合題意，舍去）答：進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為；（2）解：不能，理由如下：依題意，第四個(gè)月的進(jìn)館人次，答：紅色博物館不能接納第四個(gè)月的進(jìn)館人次．3．（24-25九年級(jí)上·四川成都·期中）某商場(chǎng)以每件元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品每天的銷(xiāo)售量（件）與每件售價(jià)（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．設(shè)該商場(chǎng)銷(xiāo)售這種商品每天獲利（元）．(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)該商場(chǎng)規(guī)定這種商品每件售價(jià)不得高于40元，商品要想獲得元的利潤(rùn)，每件商品的售價(jià)應(yīng)定為多少元？【答案】(1)(2)元【分析】本題考查了一次函數(shù)、一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為：，將點(diǎn)代入即可求解；（2）根據(jù)即可求解；【詳解】（1）解：設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為：，將點(diǎn)代入得：，解得：，∴與之間的函數(shù)關(guān)系式為：，（2）解：由題意得：，令，則，解得：，∵商場(chǎng)規(guī)定這種商品每件售價(jià)不得高于40元，∴，∴商品要想獲得元的利潤(rùn)，每件商品的售價(jià)應(yīng)定為元易錯(cuò)必刷題十一、一元二次方程的應(yīng)用（圖形、動(dòng)態(tài)幾何、行程）問(wèn)題1．（24-25九年級(jí)上·山西陽(yáng)泉·期中）如圖，設(shè)計(jì)修建一個(gè)矩形花壇，已知花壇長(zhǎng)150米，寬80米．設(shè)計(jì)在花壇中修建一條橫向通道和兩條縱向通道，各通道的寬度相等且為x米．(1)用含x的式子表示橫向通道的面積；(2)當(dāng)三條通道的面積是矩形面積的八分之一時(shí)，求通道的寬．【答案】(1)(2)通道的寬是5米【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．（1）根據(jù)橫向通道的面積等于矩形長(zhǎng)乘以通道寬計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意得出甬道總面積為各通道面積之和，即可根據(jù)當(dāng)三條通道的面積是矩形面積的八分之一列方程求解即可．【詳解】（1）解：橫向通道的面積為：；（2）解：橫向通道的面積為：，通道總面積為，依題意：，整理得：，，（不符合題意，舍去），∴通道的寬為5米．2．（23-24九年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿著一條直線且加速度不變的運(yùn)動(dòng)，叫做勻變速直線運(yùn)動(dòng)．在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，每個(gè)時(shí)間段的平均速度為初速度和末速度的算術(shù)平均數(shù)，路程等于時(shí)間與平均速度的乘積．若一個(gè)小球以5米/秒的速度開(kāi)始向前滾動(dòng)，并且均勻減速，4秒后小球停止運(yùn)動(dòng)．(1)小球的滾動(dòng)速度平均每秒減少多少？(2)小球滾動(dòng)5米用了多少秒？（精確到0.1，，）【答案】(1)小球的滾動(dòng)速度平均每秒減少(2)小球滾動(dòng)約用了秒【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)以的速度開(kāi)始向前滾動(dòng)，并且均勻減速，后小球停止運(yùn)動(dòng)列式計(jì)算即可；（2）設(shè)小球滾動(dòng)約用了秒，由時(shí)間速度路程，列出一元二次方程，解方程即可．【詳解】（1）解：小球的滾動(dòng)速度平均每秒減少，答：小球的滾動(dòng)速度平均每秒減少．（2）解：設(shè)小球滾動(dòng)約用了秒，此時(shí)速度為，由題意得：，整理得：，解得：或，當(dāng)時(shí)，，不符題意，舍去，，答：小球滾動(dòng)約用了秒．3．（23-24九年級(jí)上·甘肅平?jīng)觥るA段練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊向點(diǎn)C以的度移動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P，點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)．(1)如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，的長(zhǎng)度等于？(2)在（1）中，當(dāng)?shù)拿娣e等于時(shí)，求P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．【答案】(1)3秒(2)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間2秒或3秒．【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理．找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后，PQ的長(zhǎng)度等于，利用勾股定理列出方程，求解即可；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后，的面積等于，表示出，，則，再由三角形面積公式列方程求解即可．【詳解】（1）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后，PQ的長(zhǎng)度等于．∵點(diǎn)P的速度為，點(diǎn)Q的速度為，∴，∴．∵，∴，∴，解得：（不符合題意，舍去），，∴3秒后，的長(zhǎng)度為；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后，的面積等于，∴，，則，∵的面積等于∴，解得，，

∴P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間2秒或3秒．易錯(cuò)必刷題十二、用樹(shù)狀圖或表格求概率1．（2024·山西大同·二模）張老師在化學(xué)實(shí)驗(yàn)室取了3個(gè)外觀、大小完全相同的燒杯，分別放入等體積的鹽酸、白醋、氫氧化鈉溶液，已知這三種溶液都是無(wú)色液體且放置順序已被打亂．張老師叫小徐同學(xué)向其中兩個(gè)燒杯中分別滴入紫色石蕊溶液（紫色石蕊溶液遇酸性溶液變紅，遇堿性溶液變藍(lán)），則這兩個(gè)燒杯中的溶液都變紅的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率，列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．列表，共有6種等可能的結(jié)果，其中2個(gè)燒杯中溶液都變紅的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：把鹽酸、白醋、氫氧化鈉溶液和水記為A、B、C，列表如下：ABCA（B，A）（C，A）B（A，B）（C，B）C（A，C）（B，C）共有6種等可能的結(jié)果，其中2個(gè)燒杯中溶液都變紅的結(jié)果有2種，∴2個(gè)燒杯中溶液都變紅的概率為．故選：A．2．（2024·遼寧鐵嶺·模擬預(yù)測(cè)）大數(shù)據(jù)分析技術(shù)為打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)發(fā)揮了重要作用．如圖是小明同學(xué)的健康碼（綠碼）示意圖，用黑白打印機(jī)打印于邊長(zhǎng)為的正方形區(qū)域內(nèi)，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)，經(jīng)過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，據(jù)此可以估計(jì)黑色部分的總面積約為．【答案】2.4【分析】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，經(jīng)過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，可得點(diǎn)落入黑色部分的概率為0.6，根據(jù)邊長(zhǎng)為的正方形的面積為，進(jìn)而可以估計(jì)黑色部分的總面積【詳解】解：∵經(jīng)過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，∴點(diǎn)落入黑色部分的概率為0.6，∵邊長(zhǎng)為的正方形的面積為，設(shè)黑色部分的面積為S，則，解得．∴估計(jì)黑色部分的總面積約為．故答案為：2.4．3．（24-25九年級(jí)上·四川成都·期中）某校開(kāi)展了學(xué)習(xí)黨史的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．初三年級(jí)學(xué)生的比賽成績(jī)根據(jù)結(jié)果分為，，，四個(gè)等級(jí)．其等級(jí)對(duì)應(yīng)的分值分別為100分分、90分8分、80分分、70分及以下．現(xiàn)將初三學(xué)生的最后等級(jí)成績(jī)分析整理繪制得到了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖中的信息解決下面的問(wèn)題．(1)由圖可知該校初三共名學(xué)生，比賽成績(jī)等級(jí)為級(jí)的學(xué)生人數(shù)是人；(2)由圖可知的值為；(3)初三年級(jí)本次比賽獲得滿分的4人中有2個(gè)男生和2個(gè)女生，現(xiàn)從這4個(gè)學(xué)生中隨機(jī)選2人參加學(xué)校決賽，若每個(gè)學(xué)生被抽取的可能性相等，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或者列表法求抽取的人中至少有1個(gè)女生的概率．【答案】(1)500，210(2)18(3)【分析】本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖的關(guān)聯(lián)、列表法與樹(shù)狀圖法：利用列表法或樹(shù)狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出，再?gòu)闹羞x出符合事件或的結(jié)果數(shù)目，然后根據(jù)概率公式計(jì)算事件或事件的概率．（1）用等級(jí)人數(shù)除以它所占的百分比得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)，然后用總?cè)藬?shù)乘以等級(jí)人數(shù)所占的百分比得到等級(jí)人數(shù)；（2）先用1分別減去、、等級(jí)的百分比得到等級(jí)所占的百分比，從而確定的值；（3）畫(huà)樹(shù)狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果，再找出抽取的2人中至少有1個(gè)女生的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算．【詳解】（1）解：(名)，所以該校初三共500名學(xué)生，比賽成績(jī)等級(jí)為級(jí)的學(xué)生人數(shù)為(名)；故答案為：500，210；（2）解：等級(jí)人數(shù)所占的百分比為，所以，故答案為：18；（3）解：畫(huà)樹(shù)狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取的2人中至少有1個(gè)女生的結(jié)果數(shù)為10種，所以抽取的2人中至少有1個(gè)女生的概率．易錯(cuò)必刷題十三、用頻率估計(jì)概率1．（23-24九年級(jí)上·山東日照·開(kāi)學(xué)考試）拋擲一枚質(zhì)地均勻的圖釘，圖釘落地后，可能針尖朝上，也可能針尖朝下數(shù)學(xué)小組的同學(xué)進(jìn)行拋擲圖釘實(shí)驗(yàn)，得到如表實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的（

）實(shí)驗(yàn)次數(shù)針尖朝上次數(shù)針尖朝上頻率A．投擲次針尖朝上的次數(shù)是B．投擲次的針尖朝上的頻率是C．任意投擲一枚圖釘，針尖朝上的概率是D．投擲2000次圖釘，針尖朝上的次數(shù)大約有1100次【答案】C【分析】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．分別由頻率頻數(shù)試驗(yàn)次數(shù)，頻率估計(jì)概率判斷即可．【詳解】解：A、投擲次針尖朝上的次數(shù)是，原說(shuō)法正確，不符合題意；B、投擲次的針尖朝上的頻率是，原說(shuō)法正確，不符合題意；C、任意投擲一枚圖釘，針尖朝上的概率是，原說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；D、投擲2000次圖釘，針尖朝上的次數(shù)大約有次，原說(shuō)法正確，不符合題意；故選：C．2．（2024九年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）某水果銷(xiāo)售網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)以元的成本價(jià)購(gòu)進(jìn)沃柑．如表是平臺(tái)銷(xiāo)售部通過(guò)隨機(jī)取樣，得到的“沃柑損壞率”統(tǒng)計(jì)表的一部分，從而可大約估計(jì)每千克沃柑的實(shí)際售價(jià)定為元時(shí)（精確到元），可獲得13000元利潤(rùn)．（銷(xiāo)售總金額-損耗總金額-銷(xiāo)售部分成本＝銷(xiāo)售總利潤(rùn)）沃柑總質(zhì)量…100200300400500損壞沃柑質(zhì)量…【答案】【分析】本題主要考查了利用頻率估計(jì)概率、一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)，正確確定沃柑的完好率是解題關(guān)鍵．從表格中可以看出，沃柑損壞的頻率在常數(shù)左右擺動(dòng)，并且隨統(tǒng)計(jì)量的增加這種規(guī)律逐漸明顯，易得沃柑的完好率應(yīng)為．設(shè)每千克沃柑的實(shí)際售價(jià)定為元，根據(jù)題意列方程求解即可獲得答案．【詳解】解：從表格中可以看出，沃柑損壞的頻率在常數(shù)左右擺動(dòng)，并且隨統(tǒng)計(jì)量的增加這種規(guī)律逐漸明顯，所以沃柑的完好率應(yīng)為，設(shè)每千克沃柑的實(shí)際售價(jià)定為元，則有，解得，所以，可大約估計(jì)每千克沃柑的實(shí)際售價(jià)定為元時(shí)，可獲得13000元利潤(rùn)．故答案為：．3．（23-24九年級(jí)上·內(nèi)蒙古通遼·單元測(cè)試）王老師將1個(gè)黑球和若干個(gè)白球放入一個(gè)不透明的口袋并攪勻，讓若干學(xué)生進(jìn)行摸球?qū)嶒?yàn)，每次摸出一個(gè)球（有放回），下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．摸球的次數(shù)n1001502005008001000摸到黑球的次數(shù)m233160130203251摸到黑球的頻率0.230.210.300.260.253(1)補(bǔ)全上表中的有關(guān)數(shù)據(jù)______；(2)根據(jù)上表數(shù)據(jù)估計(jì)從袋中摸出一個(gè)球是黑球的概率是______；（精確到0.01）(3)估算袋中白球的個(gè)數(shù)．【答案】(1)(2)(3)3個(gè)【分析】此題考查了利用頻率估計(jì)概率，在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近．（1）由頻率等于摸到黑球次數(shù)÷摸球的次數(shù)即可得到答案；（2）計(jì)算所得的摸到黑球的頻率的平均數(shù)表示該事件發(fā)生的概率即可；（3）列用概率公式列出方程求解即可．【詳解】（1）解：依題可知，摸到黑球的頻率為：摸到黑球次數(shù)÷摸球的次數(shù)；摸到黑球的頻率為：；（2）解：利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理方法，所得的摸到黑球的頻率的平均值為：；（3）解：設(shè)白球的個(gè)數(shù)為個(gè)，結(jié)合（2）中摸到黑球的概率為：；∴，可得：；經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；∴估算袋中的白球個(gè)數(shù)為3個(gè)；易錯(cuò)必刷題十四、成比例線段1．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，，，，下列各式中，一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)比例的性質(zhì)，最小項(xiàng)與最大項(xiàng)的積等于其余兩項(xiàng)的積，根據(jù)題意要求，將個(gè)數(shù)化為一個(gè)等積式，再化為比例式即可，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，，，∴，∴，故選：．2．（2024·湖南益陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）小明家鄉(xiāng)有一小山，他查閱資料得到該山“等高線示意圖”（如圖所示），山上有三處觀景臺(tái)A，B，C在同一直線上，將這三點(diǎn)標(biāo)在“等高線示意圖”后，剛好都在相應(yīng)的等高線上，設(shè)A、B兩地的實(shí)際直線距離為m，B、C兩地的實(shí)際直線距離為n，則的值為．【答案】2【分析】本題考查了比例線段．根據(jù)題意，得出、兩地的實(shí)際直線距離，、兩地的實(shí)際直線距離，然后求根據(jù)比例線段求值即可．【詳解】解：由題意，得、兩地的實(shí)際直線距離為，、兩地的實(shí)際直線距離為，，即．故答案為：2．3．（24-25九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)D，E分別在邊，上，，交于點(diǎn)O，，，，，．求，的長(zhǎng)．【答案】，．【分析】本題考查成比例線段；先求得，再根據(jù)求得；由求得．【詳解】∵，，，∴，的長(zhǎng)分別為；易錯(cuò)必刷題十五、黃金分割1．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）大自然是美的設(shè)計(jì)師，校園里一片小小的樹(shù)葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”的美．如圖，點(diǎn)P是的黃金分割點(diǎn)，即，這個(gè)無(wú)理數(shù)約是（

）A．0.505 B．0.618 C．0.707 D．0.828【答案】B【分析】本題考查了黃金分割的意義，無(wú)理數(shù)的估算．先估算得出，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，觀察四個(gè)選項(xiàng)，選項(xiàng)B符合題意；故選：B．2．（23-24九年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，蝴蝶的身體長(zhǎng)度與它展開(kāi)的雙翅的長(zhǎng)度之比是黃金比，已知蝴蝶展開(kāi)的雙翅的長(zhǎng)度是，則蝴蝶身體的長(zhǎng)度為.（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【分析】本題考查黃金比，根據(jù)黃金比列式求解即可得到答案．【詳解】解：∵蝴蝶的身體長(zhǎng)度與它展開(kāi)的雙翅的長(zhǎng)度之比是黃金比，蝴蝶展開(kāi)的雙翅的長(zhǎng)度是，∴蝴蝶的身體長(zhǎng)度為：故答案為：．3．（23-24九年級(jí)上·江西鷹潭·期中）人體上半身長(zhǎng)和下半身長(zhǎng)的黃金比為，這時(shí)人的身長(zhǎng)比例看上去更美觀．某演員的身長(zhǎng)情況如圖所示，她想通過(guò)穿高跟鞋使身長(zhǎng)比例更美觀，于是她購(gòu)買(mǎi)了一雙6厘米的高跟鞋．請(qǐng)依據(jù)“黃金比”判斷這雙高跟鞋的高度是偏高還是偏低？

【答案】這雙高跟鞋的高度偏高【分析】本題主要考查了黃金分割比例，設(shè)出人體上半身長(zhǎng)和下半身長(zhǎng)成黃金比例時(shí)，高跟鞋的高，利用黃金比例求出此時(shí)高跟鞋的高是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：設(shè)這雙高跟鞋的高度為時(shí)，人體上半身長(zhǎng)和下半身長(zhǎng)成黃金比例，由題意得：，解得：，，這雙高跟鞋的高度偏高．易錯(cuò)必刷題十六、平行線分線段成比例1．（23-24九年級(jí)上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，五線譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)都在橫線上．若線段，則線段的長(zhǎng)是（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交過(guò)點(diǎn)的平行線于點(diǎn)，交的鄰近平行線于點(diǎn)，根據(jù)題意，，利用平行線分線段成比例定理計(jì)算即可．本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交過(guò)點(diǎn)的平行線于點(diǎn)，交的鄰近平行線于點(diǎn)，根據(jù)題意，設(shè)，，，，，故選：C2．（23-24九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·開(kāi)學(xué)考試）如圖，、相交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別在、上，．若，，，，則．【答案】【分析】本題考查了線段成比例，熟悉掌握線段成比例的比值關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段成比例的比值關(guān)系列式運(yùn)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，解得：．故答案為：．3．（2024九年級(jí)上·北京·專題練習(xí)）如圖，在中,D、E、F分別是上的點(diǎn)，且，，，，求和的長(zhǎng)．【答案】，【分析】本題考查平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例，注意對(duì)應(yīng)線段是解答的關(guān)鍵．利用平行線分線段成比例得到，，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，即，解得：，∴．∵，∴，即，解得：，∴，∴，．易錯(cuò)必刷題十七、相似多邊形的性質(zhì)1．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖所示的兩個(gè)矩形相似，則矩形的面積為（）

A．312.5 B．300 C．600 D．337.5【答案】D【分析】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)圖示得，，∴，解得：，矩形的面積為故選：D．2．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖所示的兩個(gè)四邊形相似，則α的度數(shù)是．【答案】67°/67度【分析】此題考查了相似多邊形的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是掌握相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等定理的應(yīng)用．由兩個(gè)四邊形相似，根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，即可求得的度數(shù)，又由四邊形的內(nèi)角和等于，即可求得的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形四邊形，∴，∵，∴．故答案為：．3．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）在的矩形花壇四周修筑小路．(1)如圖①，如果四周小路的寬均相等，且寬度為x，那么矩形和矩形相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如圖②，如果互相平行的兩條小路的寬相等，且寬度分別為，試問(wèn)：當(dāng)兩條小路的寬x與y的比值為多少時(shí)，矩形和矩形相似？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)不相似，見(jiàn)解析(2)，見(jiàn)解析【分析】此題考查了相似多邊形的判定．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．（1）首先設(shè)四周的小路的寬為x，易得，則可判定：小路四周所圍成的矩形和矩形不相似；（2）由相似多邊形的性質(zhì)可得：當(dāng)時(shí)，小路四周所圍成的矩形和矩形相似，繼而求得答案．【詳解】（1）解：不相似，理由如下：如果四周的小路的寬均相等，那么小路四周所圍成的矩形和矩形不相似；設(shè)四周的小路的寬為x，∵，，∴，∴小路四周所圍成的矩形和矩形不相似；（2）解：當(dāng)小路的寬x與y的比值為時(shí)，矩形和矩形相似．理由如下：當(dāng)矩形和矩形相似時(shí)，解得所以當(dāng)小路的寬x與y的比值為時(shí)，矩形和矩形相似．易錯(cuò)必刷題十八、選擇或補(bǔ)充條件使兩個(gè)三角形相似1．（2024·黑龍江綏化·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)P在的邊上，要判斷，添加一個(gè)條件，下列不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是相似三角形的判定，分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可．【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，又∵，∴，故此選項(xiàng)不符合題意；B、當(dāng)時(shí)，又∵，∴，故此選項(xiàng)不符合題意；C、當(dāng)時(shí)，又∵，∴，故此選項(xiàng)不符合題意；D、當(dāng)時(shí)，無(wú)法得到，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．2．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知點(diǎn)D，E分別在的邊上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使得．（寫(xiě)出一個(gè)即可）【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查添加條件使三角形相似，根據(jù)題意，得到兩個(gè)三角形有一對(duì)公共角，根據(jù)相似三角形的判定方法，添加條件即可．【詳解】解：∵點(diǎn)D，E分別在的邊上，∴，∴當(dāng)時(shí)，；故答案為：（答案不唯一）．3．（23-24九年級(jí)上·陜西西安·期中）如圖，為邊上一點(diǎn)，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在邊上求作一點(diǎn)，使.（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查作圖相似變換，解題的關(guān)鍵是若，則，根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的方法，作，交于點(diǎn)即可．【詳解】解：如圖，點(diǎn)即為所求.

易錯(cuò)必刷題十九、相似三角形判定定理的證明1．（23-24九年級(jí)上·福建泉州·期中）如下圖，各正方形的邊長(zhǎng)均為，則四個(gè)陰影三角形中，一定相似的一對(duì)是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】A【分析】此題考查的是相似三角形的判定和勾股定理，首先根據(jù)小正方形的長(zhǎng)為1，利用勾股定理求出每個(gè)陰影部分的邊長(zhǎng)，然后用三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似來(lái)判定，掌握利用勾股定理求出三邊，然后利用三邊對(duì)應(yīng)成比例來(lái)判定兩個(gè)三角形相似是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】由圖中各正方形的邊長(zhǎng)均為，根據(jù)勾股定理，可得出①圖中陰影三角形的邊長(zhǎng)分別為：，，；②圖中陰影三角形的邊長(zhǎng)分別為：，，；③圖中陰影三角形的邊長(zhǎng)分別為：，，；④圖中陰影三角形的邊長(zhǎng)分別為：，，；可以得出①②兩個(gè)陰影三角形的邊長(zhǎng)比，圖①②兩個(gè)陰影三角形相似；故答案為：A.2．（23-24九年級(jí)上·四川樂(lè)山·期末）如圖，在中，是斜邊上的高，于點(diǎn)．除自身外，圖中與相似的三角形的個(gè)數(shù)是．【答案】【分析】根據(jù)是斜邊上的高，于點(diǎn)，得，，再根據(jù)相似三角形的判定，即可．【詳解】∵是斜邊上的高，于點(diǎn)，∴，，在和中，∵，∴；在和中，∵，∴；∵，∴，∴；∵，，∴，在和中，，∴；∴圖中與相似的三角形有個(gè)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理．3．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在等邊三角形中，D，E，F(xiàn)分別是三邊上的點(diǎn)，，那么與相似嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【答案】見(jiàn)解析【分析】利用等邊三角形性質(zhì)及已知條件，可得，根據(jù)三角形全等的判定定理得出，同理可得出，所以，可得為等邊三角形，根據(jù)三角形相似的判定定理即可證明兩個(gè)等邊三角形相似．【詳解】解：與相似，理由如下：∵為等邊三角形，∴，∵，∴，在與中，，∴，同理可得：，∴，∴為等邊三角形，∴，∴．【點(diǎn)睛】題目主要考查了相似三角形的判定、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．易錯(cuò)必刷題二十、相似三角形實(shí)際應(yīng)用1．（23-24九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）景區(qū)有一口水井，距離井邊米處是最深的井底，小明想知道井有多深，于是走進(jìn)觀察，在距離井邊米處剛好能看見(jiàn)井底，如果小明眼睛離地面的高度米，你能計(jì)算出水井的深度嗎？【答案】10米【分析】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用舉例，先證明，可得，從而可得答案；【詳解】解：，，，，，，米．2．（23-24九年級(jí)上·河南洛陽(yáng)·期中）《周髀算經(jīng)》中記載了“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測(cè)深，臥矩以知遠(yuǎn)，環(huán)矩以為圓，合矩以為方”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的）．小南利用“矩”可測(cè)量大樹(shù)的高度．如圖，通過(guò)不斷調(diào)整自己的姿勢(shì)和“矩”的擺放位置，使斜邊保持水平，并且邊與點(diǎn)B在同一直線上，已知“矩”的兩邊長(zhǎng)分別為，，小南的眼睛到地面的距離為，測(cè)得，求樹(shù)高．【答案】樹(shù)高為【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用舉例，據(jù)題意可得，，即可得出，由相似三角形的性質(zhì)可得出，即可得出，再根據(jù)即可得出答案．【詳解】解：據(jù)題意可得，，，．，，，，，．答：樹(shù)高為．3．（2024·北京東城·一模）每當(dāng)優(yōu)美的“東方紅”樂(lè)曲從北京站的鐘樓響起時(shí)，會(huì)喚起很多人的回憶，也引起了同學(xué)們的關(guān)注．某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量北京站鐘樓的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)在鐘樓下方有建筑物遮擋，不能直接到達(dá)鐘樓底部點(diǎn)B的位置，被遮擋部分的水平距離為的長(zhǎng)度．通過(guò)對(duì)示意圖的分析討論，制定了多種測(cè)量方案，其中一種方案的測(cè)量工具是皮尺和一根直桿．同學(xué)們?cè)谀硟商斓恼鐣r(shí)刻測(cè)量了鐘樓頂端A的影子D到點(diǎn)C的距離，以及同一時(shí)刻直桿的高度與影長(zhǎng)．設(shè)的長(zhǎng)為x米，的長(zhǎng)為y米．測(cè)量數(shù)據(jù)（精確到0.1米）如表所示：直桿高度直桿影長(zhǎng)的長(zhǎng)第一次1.00.615.8第二次1.00.720.1(1)由第一次測(cè)量數(shù)據(jù)列出關(guān)于x，y的方程是______，由第二次測(cè)量數(shù)據(jù)列出關(guān)于x，y的方程是______；(2)該小組通過(guò)解上述方程組成的方程組，已經(jīng)求得，則鐘樓的高度約為_(kāi)_____米．【答案】(1)，(2)43【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，由同一時(shí)刻測(cè)量，得到是本題的關(guān)鍵．（1）由同一時(shí)刻測(cè)量，可得，分別代入第一次測(cè)量、第二次測(cè)量的數(shù)值，可得其關(guān)于、的方程；（2）已經(jīng)求得，將代入任一個(gè)方程，可求得的值，即得鐘樓的高度．【詳解】（1）由同一時(shí)刻測(cè)量，可得，第一次測(cè)量：，化簡(jiǎn)得，，第二次測(cè)量：，化簡(jiǎn)得，，故答案為：，；（2）對(duì)于，代入，得，，解得：，鐘樓米，故答案為：43．易錯(cuò)必刷題二十一、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合1．（23-24九年級(jí)上·遼寧鞍山·期中）如圖，平分，D為中點(diǎn)，，求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)D為中點(diǎn)，得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論．【詳解】證明：∵D為中點(diǎn)，，∵平分，，∵，，∴，．2．（2025九年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，中，，點(diǎn)D在邊上，且交于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)若，E是中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由可得出，再結(jié)合公共角相等，即可證出；（2）在中，點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)可求出的長(zhǎng)，再利用相似三角形的性質(zhì)，即可求出的長(zhǎng)．本題考查了勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵∴．又∵，∴；（2）解：在中，∴∵E是中點(diǎn)，∴∵，∴即∴．3．（24-25九年級(jí)上·浙江·期中）如圖，在中，D是上一點(diǎn)，已知．(1)求證：；(2)已知，，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)．【分析】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且它們的夾角相等”可判斷三角形相似；（2）由三角形內(nèi)角和可得，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解【詳解】（1）證明：，，，（2）解：，，，，．易錯(cuò)必刷題二十二、相似三角形——?jiǎng)狱c(diǎn)問(wèn)題1．（23-24九年級(jí)上·河北石家莊·期中）如圖，在中，，，，是上一點(diǎn)，，點(diǎn)從出發(fā)沿方向，以的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)處，線段將分成兩部分，可以使其中一部分與相似的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．0個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理“有兩個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形相似”，按點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，一次進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)時(shí)，，③當(dāng)時(shí)，，④當(dāng)時(shí)，，綜上：一共有4個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握“有兩個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形相似”．2．（23-24九年級(jí)上·山東濱州·期末）如圖，在中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)．若點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，問(wèn)經(jīng)過(guò)秒鐘，與相似．【答案】2或5/5或2【分析】分和兩種情況解答即可．【詳解】解：設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，根據(jù)題意，，，則，當(dāng)時(shí)，則，即，解得：；當(dāng)時(shí)，則，即，解得：，綜上，當(dāng)經(jīng)過(guò)2或5秒鐘，與相似．故答案為：2或5．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，理解題意，掌握相似三角形的性質(zhì)，分類(lèi)討論是解答的關(guān)鍵．3．（24-25九年級(jí)上·河北秦皇島·期中）如圖，在中，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊運(yùn)動(dòng)，速度為，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊運(yùn)動(dòng)，速度為，如果P、Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么經(jīng)過(guò)多少秒時(shí)，以B、Q、P為頂點(diǎn)的三角形與相似．【答案】當(dāng)秒或秒時(shí)，以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，則，，，再分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，則，，，當(dāng)時(shí)，，即，解得：；當(dāng)時(shí)，，即，解得：；綜上所述，當(dāng)秒或秒時(shí)，以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似．易錯(cuò)必刷題二十三、相似三角形的綜合問(wèn)題1．（2024九年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，D、E分別AB、AC上的點(diǎn)（1）如果DE∥BC，那么ADE和ABC是位似圖形嗎？為什么？（2）如果ADE和ABC是位似圖形，那么DE∥BC嗎？為什么？【答案】（1）是位似圖形，見(jiàn)解析；（2）平行，見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)DE∥BC，可得，則有，根據(jù)點(diǎn)A是△ADE和△ABC的公共點(diǎn)，點(diǎn)D和點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)E和點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，直線BD與CE交于點(diǎn)A，可得和是位似圖形；(2)根據(jù)和是位似圖形，可得，則有∠ADE=∠B，可得．【詳解】解：(1)和是位似圖形．理由是：,∴，，∴，∴．又∵點(diǎn)A是和的公共點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，∴和是位似圖形．(2)．理由是：∵和是位似圖形，∴∴∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了位似圖形的判定和平行線的判定與性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2024九年級(jí)·廣西梧州·學(xué)業(yè)考試）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別在AB、BC、CD上，且于F．（1）求證：△BEF∽△CFG；（2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）【分析】（1）證明∠BEF=∠CFG，結(jié)合∠B=∠C=可證得△BEF∽△CFG；（2）由△BEF∽△CFG，可得，代入數(shù)據(jù)可得CG．【詳解】解：(1)∵ABCD是正方形，于F∴∠B=∠C=∠EFG=∴∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠CFG=∴∠BEF=∠CFG∴△BEF∽△CFG(2)解:∵△BEF∽△CFG∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了在正方形中進(jìn)行一線三角形相似的證明，并利用相似進(jìn)行線段長(zhǎng)度的計(jì)算，熟知以上模型是解題的關(guān)鍵．3．（2024·河南·一模）（1）如圖1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝30°，連接CD，BE交于點(diǎn)F．＝；∠BFD＝；（2）如圖2，在矩形ABCD和△DEF中，AB＝AD，∠EDF＝90°，∠DEF＝60°，連接AF交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．求的值及∠AGC的度數(shù)，并說(shuō)明理由．（3）在（2）的條件下，將△DEF繞點(diǎn)D在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AF，CE所在直線交于點(diǎn)P，若DE＝1，AD＝，求出當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)AF的長(zhǎng)．【答案】（1）1，150°；（2），∠AGC＝90°，見(jiàn)解析；（3）6【分析】（1）利用SAS判斷出得出CD=BE，再用數(shù)據(jù)線的外角和三角形的內(nèi)角和定理，即可得出結(jié)論.（2）先判斷出進(jìn)而判斷出△ADF∽△CDE,即可得出結(jié)論.（3）先求出EF=2，設(shè)出CE，進(jìn)而表示出AE，分兩種情況：用勾股定理求出CE，即可得出結(jié)論.【詳解】解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝30°，∴∠BAC+∠BAD＝∠DAE+∠BAD，∴∠CAD＝∠BAE，∵AC＝AB，AD＝AE，∴△CAD≌△BAE（SAS），∴CD＝BE，∴＝1，∵△CAD≌△BAE（SAS），∴∠ACD＝∠ABE，∴∠BFD＝∠DCB+∠CBE＝∠DCB+∠ABE+∠ABC＝∠DCB+∠ACD+∠ABC＝∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠BAC＝150°，故答案為1，150°；（2）如圖2，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AB＝CD，∵AB＝AD，∴＝，在Rt△DEF中，∠DEF＝60°，∴tan∠DEF＝，∴＝，∴，∵∠EDF＝90°＝∠ADC，∴∠ADF＝∠CDE，∴△ADF∽△CDE，∴，∠DAF＝∠DCE，AD與CD的交點(diǎn)記作點(diǎn)O，∵∠DCE+∠COD＝90°，∴∠DAF+∠AOG＝90°，∴∠AGC＝90°；（3）如備用圖，連接AC，在Rt△ADC中，AD＝，∴AB＝AD＝，根據(jù)勾股定理得，AC＝2，由（2）知，，∴AF＝CE，設(shè)CE＝x．則AF＝x，在Rt△DEF中，∠DEF＝60°，DE＝1，∴EF＝2，∴AE＝AF﹣EF＝x﹣2，由（2）知，∠AEC＝90°，在Rt△ACE中，AE2+CE2＝AC2，∴（x﹣2）2+x2＝28，∴x＝﹣（舍）或x＝2，∴AF＝x＝6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形圖形綜合應(yīng)用，結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解.易錯(cuò)必刷題二十四、圖形的位似1．（24-25九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·開(kāi)學(xué)考試）如圖，和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，點(diǎn)在線段上，若，則和的周長(zhǎng)之比為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)位似變換的概念得到，，得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比解答即可．本題考查的是位似變換的概念、相似三角形的性質(zhì)，熟記相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，∵和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形∴，，∴，∴和的周長(zhǎng)之比為，故選：C．2．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，作的位似圖形．已知的面積為3，，則的面積為．【答案】27【分析】此題主要考查了位似變換，正確得出面積比與相似比的關(guān)系是解題關(guān)鍵．直接利用相似三角形的性質(zhì)，面積比等于相似比的平方，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：由題意，，，∴，∵的面積為3，∴的面積為：27．故答案為：27．3．（24-25九年級(jí)上·山東聊城·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為．(1)以原點(diǎn)O為位似中心，在y軸的左側(cè)按放大，畫(huà)出的一個(gè)位似；(2)畫(huà)出將向右平移3個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位后得到的；(3)與是位似圖形嗎？若是，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出位似中心M，并寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)見(jiàn)詳解；(2)見(jiàn)詳解；(3)與是位似圖形，圖見(jiàn)詳解，點(diǎn)是位似中心【分析】本題考查的是畫(huà)位似圖形，平移圖形，判斷兩個(gè)圖形位似，熟記位似的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵；（1）分別確定O，A，B關(guān)于位似中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O，，，再順次連接即可；（2）分別確定，，平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，，再順次連接即可；（3）連接，，由交點(diǎn)可得位似中心，從而可得答案.【詳解】（1）解：如圖，即為所作圖形；（2）解：如圖，即為所作圖形；（3）解：由作圖可知，，是相似三角形，又因?yàn)閷?duì)應(yīng)點(diǎn)所連直線經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，所以和是位似圖形，點(diǎn)M為所求位似中心，點(diǎn)M的坐標(biāo)為．易錯(cuò)必刷題二十五、投影1．（23-24九年級(jí)上·河北保定·期末）在燈光下，四個(gè)選項(xiàng)中，燈光與物體的影子最合理的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了中心投影，根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過(guò)點(diǎn)光源即可判斷求解，掌握中心投影的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過(guò)點(diǎn)光源，∴燈光與物體的影子最合理的是，故選：．2．（23-24九年級(jí)上·江蘇蘇州·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在斜坡的頂部有一鐵塔，是的中點(diǎn)，在陽(yáng)光的照射下，塔影留在坡面上．已知，，小明和小華的身高都是，同一時(shí)刻小明站在處，影長(zhǎng)為，小華站在平地上，影長(zhǎng)為，則塔高是米．【答案】【分析】設(shè)塔影留在坡面部分的塔高，塔影留在平地部分的塔高，根據(jù)平行線分線段成比例可知，進(jìn)而解答即可．本題考查了相似三角形的相關(guān)應(yīng)用，利用平底和斜坡上的物高與影長(zhǎng)比得到相應(yīng)的塔高的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，設(shè)塔影留在坡面部分的塔高、塔影留在平地部分的塔高，則鐵塔的高AB為，∵，∴，∵，點(diǎn)是CD的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴∴鐵塔的高度為．故答案為：．3．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，正方體上面放著一個(gè)圓柱，已知正方體的一個(gè)側(cè)面平行于投影面，圓柱下底面的中心正對(duì)正方體上底面的中心，圓柱的高等于，底面圓的直徑為，若．(1)畫(huà)出該立體圖形在投影面P上的正投影；(2)計(jì)算正投影的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了立體圖形的有關(guān)知識(shí)，正投影的面積等于正方形和長(zhǎng)方形的面積和是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題中說(shuō)明，畫(huà)出立體圖形在投影面上的正投影即可；（2）正投影的面積是由正方形和長(zhǎng)方形組成，計(jì)算它們的面積和即可．【詳解】（1）如圖所示：（2）正投影的面積正方形面積長(zhǎng)方形面積．易錯(cuò)必刷題二十六、求三視圖側(cè)面積或表面積1．（2024·江蘇南通·二模）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖（圖中尺寸單位：cm），根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)可計(jì)算出該幾何體的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題主要考查了由三視圖確定幾何體和求圓柱體的側(cè)面積．根據(jù)三視圖確定該幾何體是圓柱體，再計(jì)算圓柱體的側(cè)面積．【詳解】解：由三視圖可知該幾何體是圓柱體，它的底面直徑是，高是．所以該幾何體的側(cè)面積為．故選：A．2．（2024九年級(jí)上·山東青島·專題練習(xí)）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為【答案】/【分析】本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是首先根據(jù)三視圖得到幾何體的形狀，難度不大．首先根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀，然后計(jì)算其表面積即可．【詳解】解：觀察該幾何體的三視圖發(fā)現(xiàn)其為半個(gè)圓柱，半圓柱的直徑為6，高為6，故其表面積為：．故答案為：．3．（23-24九年級(jí)上·安徽宿州·單元測(cè)試）已知下圖為一幾何體從不同方向看到的圖形．(1)寫(xiě)出這個(gè)幾何體的名稱；(2)若長(zhǎng)方形的高為8，三角形的邊長(zhǎng)為3，求這個(gè)幾何體的側(cè)面積．【答案】(1)直三棱柱(2)【分析】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，用到的知識(shí)點(diǎn)為：棱柱的側(cè)面都是長(zhǎng)方形，上下底面是幾邊形就是幾棱柱．（1）只有棱柱的主視圖和左視圖才能出現(xiàn)長(zhǎng)方形，根據(jù)俯視圖是三角形，可得到此幾何體為直三棱柱；（2）側(cè)面積為長(zhǎng)方形，它的長(zhǎng)和寬分別為、8，計(jì)算出一個(gè)長(zhǎng)方形的面積．【詳解】（1）只有棱柱的主視圖和左視圖才能出現(xiàn)長(zhǎng)方形，根據(jù)俯視圖是三角形，可得到此幾何體為直三棱柱；（2）這個(gè)幾何體的側(cè)面積為（平方厘米）．易錯(cuò)必刷題二十七、反比例函數(shù)1．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）下列式子中：①；②；③；④；⑤．能表示y是x的反比例函數(shù)的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】本題主要考查了正比例函數(shù)及反比例函數(shù)的定義，正確理解相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)反比例函數(shù)的定義分析即可得出答案．【詳解】解：①，不是反比例函數(shù)；②，是反比例函數(shù)；③，是反比例函數(shù)；④，是反比例函數(shù)；⑤，不是反比例函數(shù)．綜上所述，能表示y是x的反比例函數(shù)的有3個(gè)．故選：B．2．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，的延長(zhǎng)線垂直于x軸，點(diǎn)在反比例函數(shù)上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖像和之間，寫(xiě)出一個(gè)符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)：．【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，因?yàn)榈难娱L(zhǎng)線垂直于軸，點(diǎn)在反比例函數(shù)上，確定點(diǎn)的橫坐標(biāo)以及縱坐標(biāo)的下限，點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象和之間，確定點(diǎn)縱坐標(biāo)的上限，從中可以找出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】的延長(zhǎng)線垂直于軸，點(diǎn)的橫坐標(biāo)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象和之間，點(diǎn)在反比例函數(shù)上，當(dāng)時(shí)，的值，點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)橫坐標(biāo)為2，縱坐標(biāo)大于1小于即可，可以為，故答案為：．3．（23-24九年級(jí)上·吉林·期末）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，其中點(diǎn)坐標(biāo)為2,1，點(diǎn)到軸的距離為1．(1)試確定、的值；(2)求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，；(2)【分析】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了待定系數(shù)法，熟練掌握此方法是解本題的關(guān)鍵．（1）由A為兩函數(shù)的交點(diǎn)，故將A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中，得到關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值；將A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，得到關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值；（2）由（1）求出的k的值，確定出一次函數(shù)解析式，把代入一次函數(shù)解析式求出y的值，即為B的縱坐標(biāo)，進(jìn)而確定出點(diǎn)B的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：為一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，∴將代入一次函數(shù)解析式得：，解得：；將代入反比例函數(shù)解析式得：，解得：；故答案為：，；（2）解：，，，點(diǎn)到軸的距離為1，，，的坐標(biāo)為．易錯(cuò)必刷題二十八、已知反比例函數(shù)的圖象，判斷其解析式1．（23-24九年級(jí)上·河南商丘·階段練習(xí)）二氧化氯固體溶于水可制得二氧化氯消毒液．只有甲、乙、丙、丁四瓶二氧化氯消毒液，如圖，平面直角坐標(biāo)系中，軸表示消毒液的質(zhì)量，軸表示二氧化氯的濃度（瓶中二氧化氯固體的質(zhì)量與消毒液的質(zhì)量的比值），其中描述甲、丁的兩點(diǎn)恰好在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，則這四瓶消毒液中含二氧化氯固體質(zhì)量最少的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】C【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．結(jié)合實(shí)際含義理解圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的含義是解題的關(guān)鍵．由題意知，的值表示二氧化氯固體的質(zhì)量，根據(jù)圖象確定乙瓶的二氧化氯固體的質(zhì)量最多，甲、丁兩瓶二氧化氯固體的質(zhì)量相同，丙瓶二氧化氯固體的質(zhì)量最少，然后作答即可．【詳解】解：由題意知，的值表示二氧化氯固體的質(zhì)量，∵描述甲、丁的兩點(diǎn)恰好在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，∴甲、丁兩瓶二氧化氯固體的質(zhì)量相同，∵點(diǎn)乙在反比例函數(shù)圖象上方，點(diǎn)丙在反比例函數(shù)圖象下方，∴乙瓶的的值最大，即二氧化氯固體的質(zhì)量最多；丙瓶的的值最小，即二氧化氯固體的質(zhì)量最少，故選：C．2．（2024·河北邯鄲·二模）如圖，已知兩點(diǎn)分布在曲線的兩側(cè)，寫(xiě)出一個(gè)符合條件的k的整數(shù)值：．【答案】-4（答案不唯一）【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，先求出經(jīng)過(guò)點(diǎn)的反比例函數(shù)的解析式分別為，結(jié)合已知兩點(diǎn)分布在曲線的兩側(cè)，即可作答．【詳解】解：設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的反比例函數(shù)的解析式分別為把兩點(diǎn)分別代入，得出∴即經(jīng)過(guò)點(diǎn)的反比例函數(shù)的解析式分別為∵已知兩點(diǎn)分布在曲線的兩側(cè)，、∴則（答案不唯一）故答案為：3．（23-24九年級(jí)上·廣西欽州·階段練習(xí)）如圖，，兩點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，兩點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，，，，求的值．【答案】4【分析】設(shè)，，，，則，，然后根據(jù)，，列式求解即可．【詳解】解：設(shè)，，，，則，，則，，得，同理：，得，又，，解得．【點(diǎn)睛】考查反比例函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化線段長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．易錯(cuò)必刷題二十九、已知反比例函數(shù)的增減性求參數(shù)1．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉反比例函數(shù)的增減性，當(dāng)，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減?。划?dāng)，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．反比例函數(shù)中，則每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，由于，得到，從而得到的取值范圍．【詳解】解：∵在反比例函數(shù)中，∴反比例函數(shù)圖象在第一，三象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，∵，∴這兩個(gè)點(diǎn)在第三象限，∴，解得：，故選：B．2．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）反比例函數(shù)的圖象在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大，則的值可以是．（寫(xiě)出一個(gè)符合條件的實(shí)數(shù)即可）【答案】．（答案不唯一，符合條件的實(shí)數(shù)即可）【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)：①當(dāng)時(shí)，圖象分別位于第一、三象限；當(dāng)時(shí)，圖象分別位于第二、四象限．根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．【詳解】∵反比例函數(shù)的圖象在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大，∴，則．故的值可以是．（答案不唯一，符合條件的實(shí)數(shù)即可）故答案為：．（答案不唯一，符合條件的實(shí)數(shù)即可）3．（23-24九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）在反比例函數(shù)的圖象上有不重合的兩點(diǎn)、，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2．(1)求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(2)過(guò)點(diǎn)向軸作垂線，垂足是，試求．【答案】(1)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4；(2)【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)．（1）將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入求解即可；（2）設(shè)，則有，，根據(jù)三角形面積公式可得答案．【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)的圖象上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，∴，∴，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4；（2）解：設(shè)則有，，，∴．易錯(cuò)必刷題三十、求特殊圖形的面積1．（23-24九年級(jí)上·安徽滁州·期中）如圖所示是反比例函數(shù)的圖象的一支．根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題：(1)圖象的另一支在哪個(gè)象限？常數(shù)的取值范圍是什么？(2)在這個(gè)函數(shù)圖象的某一支上任取兩點(diǎn)，，如果，試比較和的大小．【答案】(1)第三象限，(2)【分析】本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，（1）根據(jù)一支所處象限可求得另一支所在象限，同時(shí)可知反比例函數(shù)的系數(shù)大于零，即可解得答案；（2）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，在圖象的每一個(gè)象限內(nèi)隨增大而減小，即可求得答案．【詳解】（1）解：根據(jù)反比例圖象的性質(zhì)得，其中一支在第一象限，則另一支在第三象限，∵圖象在第一、三象限，則∴，（2）∵函數(shù)圖象在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)隨增大而減小，∴如果，則．2．（2024九年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，矩形的邊在x軸上，頂點(diǎn)A在雙曲線上，頂點(diǎn)B在雙曲線上，求矩形的面積．

【答案】矩形的面積是2【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可得矩形的面積和矩形的面積，根據(jù)可得結(jié)論．【詳解】解：設(shè)，則，由此可得：，，則有．【點(diǎn)睛】考查反比例函數(shù)的幾何意義的綜合應(yīng)用，通過(guò)反比例函數(shù)上一點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為．3．（23-24九年級(jí)上·湖南邵陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖雙曲線與矩形的邊、分別交于E、F點(diǎn)，OA、OC在坐標(biāo)軸上，且，求k．【答案】【分析】本題考查反比例函數(shù)與幾何圖形面積的綜合問(wèn)題，即利用圖形面積求值，以及矩形的性質(zhì)等知識(shí)，連接，利用雙曲線，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用矩形的性質(zhì)及，用含m的代數(shù)式表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由點(diǎn)B和F的縱坐標(biāo)相等，可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后根據(jù)四邊形的面積矩形的面積減去的面積減去的面積，建立關(guān)于k的方程，解方程求出k的值，再根據(jù)函數(shù)圖象的位置，可得出符合題意的k的值．【詳解】解：如圖，連接，設(shè)，∵，∴，∵矩形，點(diǎn)在上，且在反比例函數(shù)圖象上，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，解得：．易錯(cuò)必刷題三十一、求反比例函數(shù)解析式1．（2024·貴州黔東南·一模）已知反比例函數(shù)的圖象如圖所示，線段平行軸，其中點(diǎn)坐標(biāo)為，而反比例函數(shù)圖像恰好經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，則的值為（

）

A．6 B．5 C．4 D．2【答案】A【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正確求得中點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．求得的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入即可求得．【詳解】平行軸，的縱坐標(biāo)相同，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，中點(diǎn)的坐標(biāo)為．又反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，．故選A．2．（23-24九年級(jí)上·重慶長(zhǎng)壽·期中）已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，該反比例函數(shù)的圖象上另一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為6，則A點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【分析】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，先將代入求出k的值，再將點(diǎn)A的橫坐標(biāo)代入解析式即可．【詳解】解：點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，，當(dāng)x=6時(shí)，，A點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為：．3．（24-25九年級(jí)上·湖南永州·單元測(cè)試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，若反比例函數(shù)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求k的值．【答案】【分析】本題主要考查反比例函