第五章一元一次方程【清單01】一元一次方程的概念1.方程：含有的叫作方程．2.方程的解：使方程左右兩邊相等的，叫作方程的解。3.一元一次方程定義：只含有，未知數(shù)的次數(shù)都是，且兩邊都是的方程叫作一元一次方程。細節(jié)剖析：判斷是否為一元一次方程，應看是否滿足：①只含有一個，未知數(shù)的次數(shù)為；②未知數(shù)所在的式子是，即分母中不含．4.一元一次方程的解：能使一元一次方程兩邊的叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。【清單02】等式的基本性質(zhì)等式的性質(zhì)1等式的兩邊都（或都）同，所得結(jié)果仍是等式。字母表達式為：．等式的性質(zhì)2等式的兩邊都或都以同（除數(shù)），所得結(jié)果仍是等式。字母表達式為：．細節(jié)剖析：等式的傳遞性【清單03】一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的．(2)去括號：依據(jù)乘法分配律和去括號法則，先去，再去，最后去．(3)移項：把含有未知數(shù)的項移到方程一邊，移到方程另一邊．(4)合并：逆用分配律，分別合并含有未知數(shù)的及，把方程化為ax＝b(a≠0)的形式．(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以的系數(shù)得到方程的解(a≠0)．(6)檢驗：把方程的代入原方程，若方程左右兩邊的值，則是方程的；若方程左右兩邊的值，則不是方程的解．【清單04】一元一次方程的應用首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設要求的未知量或間接設一關(guān)鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設、列、解、答．一元一次方程應用題解題一般步驟：①：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數(shù)量之間關(guān)系②：設未知數(shù)（一般求什么，就設什么為x） ③：找出能夠表示應用題全部意義的一個相等關(guān)系④：根據(jù)這個相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，進而列出方程⑤：解所列出的方程，求出未知數(shù)的值⑥：檢驗所求解是否符合題意，寫出答案（包括單位名稱）【清單05】用一元一次方程解決實際問題的常見類型（1）探索規(guī)律型問題；（2）數(shù)字問題；（3）銷售問題（利潤＝售價﹣進價，利潤率＝×100%）；（4）工程問題（①工作量＝人均效率×人數(shù)×時間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作量的和＝工作總量）；（5）行程問題（路程＝速度×時間）；速度×時間=路程；相遇問題：S甲＋S乙=S總；追及問題：S快-S慢=S相距；（6）等值變換問題；（7）和，差，倍，分問題；（8）分配問題；（9）比賽積分問題；（10）水流航行問題（順水速度＝靜水速度+水流速度；逆水速度＝靜水速度﹣水流速度）．易錯一、利用一元一次方程的定義求參數(shù)###易錯總結(jié)1.漏驗未知數(shù)系數(shù)≠0（如ax+2=0，易只求a的取值卻漏驗a≠0）；2.誤判未知數(shù)次數(shù)（如x(k-1)+3=0，易算錯k=2卻忽略“次數(shù)=1”的核心條件）；3.未排除多未知數(shù)（如ax+by=5，未令b=0確保只含一個未知數(shù)）。###解題技巧1.緊扣定義列雙條件：①未知數(shù)次數(shù)=1；②未知數(shù)系數(shù)≠0；2.求參數(shù)后代入系數(shù)檢驗，避免“系數(shù)為0”的錯誤；3.多字母時先令非目標未知數(shù)的系數(shù)為0，再滿足一元一次方程條件。例題1．（24-25七年級上·山東濱州·期末）若是關(guān)于的一元一次方程，則的值為．易錯二、已知一元一次方程的解求參數(shù)或代數(shù)式的值###易錯總結(jié)1.代入解時計算失誤（如x=2代入3x+a=7，誤算6+a=7得a=2）；2.忽略方程解的整體性（如已知x=1是ax+b=0的解，求a+b時未關(guān)聯(lián)方程）；3.未化簡方程直接代入（如復雜方程未整理就代解，增加計算錯誤率）。###解題技巧1.“代入-求解”兩步走：先將解代入方程，再解關(guān)于參數(shù)的一元一次方程；2.代數(shù)式求值可“整體代入”（如由方程得a+2b=3，直接用其求2a+4b的值）；3.計算后回代檢驗，確保參數(shù)值使原方程成立。例題2．（24-25七年級上·江蘇揚州·期末）若關(guān)于x的一元一次方程的解為，則代數(shù)式的值為．易錯三、已知含參數(shù)一元一次方程的解為整數(shù)解求參數(shù)的值###易錯總結(jié)1.漏考慮參數(shù)取值范圍（如用含參數(shù)表達式表示解后，未結(jié)合整數(shù)定義限定參數(shù)）；2.解的表達式化簡錯誤（如整理方程時移項、系數(shù)化為1出錯，導致解的形式有誤）；3.忽略參數(shù)為整數(shù)的隱含條件（如參數(shù)未明確時，漏算整數(shù)參數(shù)的所有可能值）。###解題技巧1.先整理方程，用參數(shù)表示解（如解為x=(m+3)/2，確保表達式最簡）；2.根據(jù)“解為整數(shù)”列條件：分子能被分母整除，分情況求參數(shù)；3.檢驗所有參數(shù)值，確保代入后原方程解為整數(shù)。例題3．（24-25七年級上·江蘇揚州·期末）若關(guān)于的方程的解為正整數(shù)，整數(shù)的值是．易錯四、已知含參數(shù)一元一次方程的解求另一元一次方程的解###易錯總結(jié)1.求參數(shù)時計算失誤（如代解入第一個方程算錯參數(shù)，導致后續(xù)連鎖錯誤）；2.漏用參數(shù)值（求出參數(shù)后，未代入第二個方程直接求解）；3.忽略方程整理（第二個方程未化簡直接代入?yún)?shù)，增加計算難度）。###解題技巧1.分兩步：先將已知解代入第一個方程，求出參數(shù)值；2.把參數(shù)值代入第二個方程，轉(zhuǎn)化為無參數(shù)方程；3.解第二個方程后，回代參數(shù)與解到兩個原方程檢驗，確保正確。例題4．（24-25七年級上·浙江嘉興·期末）已知為實數(shù)，關(guān)于的方程的解為，則關(guān)于的方程的解為．易錯五、一元一次方程中與運算有關(guān)的新定義型問題###易錯總結(jié)1.誤讀新定義規(guī)則（如混淆新運算符號的優(yōu)先級，或漏看定義中的限制條件）；2.列方程時未按新定義轉(zhuǎn)化（如未將新運算表達式替換為常規(guī)運算，導致方程列錯）；3.求解后未檢驗是否符合新定義的范圍（如忽略定義中“未知數(shù)為整數(shù)”等附加條件）。###解題技巧1.先精讀新定義，用常規(guī)運算式表示新運算（如定義a⊕b=2a-b，直接替換進方程）；2.按新定義列一元一次方程，再用常規(guī)解法求解；3.將解代入新定義驗證，確保符合所有規(guī)則。例題5．（24-25七年級上·貴州畢節(jié)·期末）對于任意有理數(shù)a，b，定義一種新運算：，等式右邊是通常的加法、減法運算，如：．(1)求的值；(2)若，求的值．易錯六、解一元一次方程中的新定義型拓展問題###易錯總結(jié)1.誤解新定義內(nèi)涵（如錯解“解滿足某條件”的新定義，偏離方程求解核心）；2.列方程時漏用新規(guī)則（未將新定義條件轉(zhuǎn)化為等式，導致方程列錯）；3.求解后未驗證新定義（忽略新定義對解的限制，如“解為正數(shù)”等條件）。###解題技巧1.拆解新定義：明確新規(guī)則中“方程形式”“解的要求”等關(guān)鍵信息，轉(zhuǎn)化為數(shù)學表達式；2.按常規(guī)步驟解方程，再結(jié)合新定義篩選或驗證解；3.復雜新定義可舉例輔助理解，確保每步都符合新規(guī)則。例題6．（24-25七年級上·湖北孝感·期末）定義：如果兩個一元一次方程的解之和為2，我們就稱這兩個方程為“和諧方程”．例如：方程和為“和諧方程”．(1)方程與方程是“和諧方程”嗎？請說明理由；(2)若關(guān)于x的方程與方程是“和諧方程”，求m的值；(3)若關(guān)于x方程與是“和諧方程”，求n的值．一、單選題1．（25-26七年級上·黑龍江佳木斯·期中）已知關(guān)于x的方程的解是，則m的值為（

）A． B． C．1 D．32．（2024·廣東清遠·二模）關(guān)于x的一元一次方程與的解相同，則a的值為（

）A． B．1 C．7 D．3．（24-25七年級上·甘肅武威·期末）已知方程是關(guān)于x的一元一次方程，則m的值（

）A．2或0 B．0 C．2或 D．24．（24-25七年級上·陜西咸陽·階段練習）已知關(guān)于的一元一次方程解為正整數(shù)，則所有滿足條件的的整數(shù)有（

）個．A．3 B．4 C．6 D．85．（2025七年級下·全國·專題練習）已知關(guān)于x的一元一次方程的解為，則關(guān)于y的一元一次方程的解為（）A． B． C． D．6．（2025·江蘇鎮(zhèn)江·二模）若兩個方程的解相差（為正整數(shù)），則稱解較大的方程為另一方程的“—方程”．如：方程是方程的“5—方程”．當時，關(guān)于的方程是方程的“3—方程”，則代數(shù)式的值為（

）A． B．0 C．1 D．6二、填空題7．（24-25七年級上·甘肅張掖·期末）已知是關(guān)于的一元一次方程，則．8．（24-25七年級上·山東聊城·期末）已知是方程的解，那么代數(shù)式的值是．9．（24-25七年級上·云南楚雄·期末）關(guān)于x的方程的解是整數(shù)，則整數(shù)k的可能值有個．10．（24-25七年級上·江蘇南通·階段練習）若關(guān)于的方程，無論為任何數(shù)時，它的解總是，那么．11．（24-25七年級下·吉林長春·月考）若關(guān)于的方程的解與方程的解互為相反數(shù)，則的值為．12．（24-25七年級上·浙江紹興·期末）已知關(guān)于的一元一次方程的解為，那么關(guān)于的一元一次方程的解為．三、解答題13．（24-25七年級下·吉林長春·月考）如果是關(guān)于的方程的解，求的值．14．（24-25七年級下·湖南湘西·階段練習）如果，為定值，關(guān)于的一次方程，無論為何值時，它的解總是．求的值．15．（24-25七年級下·湖南衡陽·期末）定義：如果兩個一元一次方程的解之和為1，我們就稱這兩個方程為“美好方程”．例如：方程和為“美好方程”．(1)若關(guān)于x的方程與方程是“美好方程”，求m的值；(2)若“美好方程”的兩個解的差為8，其中一個解為n，求n的值；(3)若關(guān)于x的一元一次方程和是“美好方程”，求關(guān)于y的一元一次方程的解．16．（24-25七年級上·湖南株洲·期末）新定義：若是關(guān)于x