第五章

控制系統(tǒng)的時頻域分析方法5.1控制系統(tǒng)的時域分析（一）時域響應(yīng)概述：回顧時域響應(yīng)的性能指標(biāo)

（1）動態(tài)性能指標(biāo)上升時間、峰值時間、超調(diào)量、調(diào)整時間

（2）穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)

穩(wěn)態(tài)誤差

（二）時域響應(yīng)常用的Matlab函數(shù)：產(chǎn)生輸入信號：gensig求取系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)：step求取系統(tǒng)的沖激響應(yīng)：impulse連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)：initial連續(xù)系統(tǒng)對任意輸入的響應(yīng)：lsim求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)值：dcgain求具有反饋結(jié)構(gòu)的閉環(huán)傳函：feedback對于離散系統(tǒng)只需在連續(xù)系統(tǒng)對應(yīng)函數(shù)前加d就可以，如dstep，dimpulse,dinitial,dlsim等。調(diào)用格式與step、impulse類似。1、gensig()函數(shù)的用法例5-1

[u,t]=gensig(type,tau)[u,t]=gensig(type,tau,tf,ts)

信號序列時間序列信號類型信號周期持續(xù)時間采樣時間2、step()函數(shù)的用法例5-2

step(sys);step(sys,t);y=step(num,den,t);

[y,x,t]=step(num,den);[y,x,t]=step(A,B,C,D,iu);輸出矩陣狀態(tài)軌跡時間序列自動生成時間向量[0,t]3、dstep()函數(shù)的用法例5-3

dstep(numz,denz);

dstep(A,B,C,D);

dstep(A,B,C,D,iu);第iu個輸入4、impluse()函數(shù)的用法例5-4

impluse(sys);impluse(sys,t);y=impluse(num,den,t);

[y,x,t]=impluse(num,den);[y,x,t]=impluse(A,B,C,D,iu);輸出矩陣狀態(tài)軌跡時間序列自動生成時間向量[0,t]5、dimpulse()函數(shù)的用法例5-5

dimpulse(numz,denz);

dimpulse(A,B,C,D);

dimpulse(A,B,C,D,iu);第iu個輸入6、initial()函數(shù)的用法例5-6[y,t,x]=initial(sys,x0);[y,t,x]=initial(sys,x0,t);7、dinitial()函數(shù)的用法例5-7dinitial(sys,x0);[y,x,n]=dinitial(sys,x0,n);8、lsim()函數(shù)的用法例5-8[y,t,x]=lsim(sys,u,t);[y,t,x]=lsim(sys,u,t,x0);9、dlsim()函數(shù)的用法例5-9

dlsim(sys,u);[y,x]=dlsim(sys,u,x0);11、dcgain()函數(shù)的用法

k=dcgain(sys);12、feedback()函數(shù)的用法例5-10sys=feedback(sys1,sys2);（三）頻域分析：

常用的作圖方法：Bode圖，奈奎斯特圖頻域響應(yīng)常用的Matlab函數(shù)：畫Bode圖：bode畫奈奎斯特圖：nyquist畫尼克爾斯圖：nichols繪制零極點位置：pzmap計算增益和相位裕度：margin對于離散系統(tǒng)只需在連續(xù)系統(tǒng)對應(yīng)函數(shù)前加d就可以，如dbode，dnyquist,dnichols。調(diào)用格式類似。（1）Bode圖1.產(chǎn)生頻率向量——橫軸頻率向量可由logspace()函數(shù)來構(gòu)成。此函數(shù)的調(diào)用格式為ω=logspace(m,n,npts)此命令可生成一個以10為底的指數(shù)向量(10m∽10n)，點數(shù)由npts任意選定。10m10nnpts2.輸入畫Bode圖的命令——縱軸連續(xù)系統(tǒng)的伯德圖可利用bode()函數(shù)來繪制，連續(xù)系統(tǒng)的調(diào)用格式為：

bode(sys);bode(sys,w);[mag,phase,w]=bode(num,den)[mag,phase]=bode(num,den,w)[mag,phase,w]=bode(A,B,C,D)[mag,phase,w]=bode(A,B,C,D,iu)

式中num,den和A,B,C,D分別為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程的參數(shù)，w為Bode圖的頻率點。幅頻相頻離散系統(tǒng)的調(diào)用格式為：

[mag,phase,w]=dbode(numz,denz,Ts)[mag,phase]=dbode(numz,denz,Ts,w)[mag,phase,w]=dbode(A,B,C,D,Ts,iu)[mag,phase,w]=dbode(A,B,C,D,Ts,iu,w)

式中numz,denz和A,B,C,D分別為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程的參數(shù)，Ts為取樣頻率,w為Bode圖的頻率點。幅頻相頻3.顯示繪制結(jié)果可以利用下面的MATLAB命令

>>subplot(2,1,1);semilogx(w,20*log10(mag))>>subplot(2,1,2);semilogx(w,phase)subplot把屏幕分成兩個部分

semilogx生成半對數(shù)坐標(biāo)圖同一個窗口上同時繪制出系統(tǒng)的Bode圖了，其中前一條命令中對幅值向量mag求取分貝(dB)值。M行N列4.求幅值裕量和相位裕量

[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys)或

[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys)式中Gm和Pm分別為系統(tǒng)的幅值裕量和相位裕量

Wcg

和Wcp分別為幅值裕量和相位裕量處相應(yīng)的頻率值例5-2已知二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線k=1.5;ng=1.0;dg=poly([0-1-2]);w=logspace(-1,1,100);[m,p]=bode(k*ng,dg,w);subplot(2,1,1);semilogx(w,20*log10(m));grid;ylabel('增益(dB)');subplot(2,1,2);semilogx(w,p);grid;xlabel('頻率(rad/s)');ylabel('相角(deg)');>>[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(k*ng,dg)Gm=4.0000Pm=

41.5340Wcg=1.4142Wcp=0.6118>>G=20*log10(Gm)G=

12.0412相位裕量幅值裕量練習(xí)已知二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)的Bode圖k=100;z=[-4];p=[0-0.5-50-50];[num,den]=zp2tf(z,p,k);Bode(num,den);title(‘Bodeplot’);gridon（2）Nyquist圖連續(xù)系統(tǒng)函數(shù)的調(diào)用格式為

nyquist(sys)

nyquist(sys,w)[Re,Im,w]=nyquist(num,den)[Re,Im,w]=nyquist(num,den,w)[Re,Im,w]=nyquist(A,B,C,D)其中

返回值Re,Im和w分別為頻率特性的實部向量、虛部向量和對應(yīng)的頻率向量離散系統(tǒng)函數(shù)的調(diào)用格式為

dnyquist(a,b,c,d,Ts)

dnyquist(a,b,c,d,Ts,iu)

dnyquist(a,b,c,d,Ts,iu,w)其中

TS和w分別為頻率特性的取樣時間和對應(yīng)的頻率向量例例5-16、5-17例

繪制

的nyquist圖和bode圖。解

MATLAB編程如下：?num=[10];?den=[1,1.2,10];?w=logspace(-2,2,1000);?nyquist(num,den,w)?grid?bode(num,den,w)?grid練習(xí)已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

繪制系統(tǒng)nyquist曲線。解

MATLAB編程如下：?k=50;?z=[];?p=[-52];?[num,den]=zp2tf(z,p,k);?nyquist(num,den)（3）Nichols圖連續(xù)系統(tǒng)函數(shù)的調(diào)用格式為

nichols(sys)

nichols(sys,w)

nichols(num,den)

nichols(num,den,w)

nichols(A,B,C,D)其中

w對應(yīng)的頻率向量離散系統(tǒng)函數(shù)的調(diào)用格式為

dnichols(num,den,Ts)

dnichols(num,den,Ts,w)

dnichols(a,b,c,d,Ts)

dnichols(a,b,c,d,Ts,iu)

dnichols(a,b,c,d,Ts,iu,w)其中

TS和w分別為頻率特性的取樣時間和對應(yīng)的頻率向量例例5-18、5-19（4）pzmap

繪制零極點位置調(diào)用格式為

pzmap(p,z);P—零點向量z—極點向量例5-24重要（三）根軌跡：所謂根軌跡是指，當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無窮大時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在s平面上的軌跡。一般來說，這一參數(shù)選作開環(huán)系統(tǒng)的增益K，而在無零極點對消時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點。根軌跡分析方法是分析和設(shè)計線性定?？刂葡到y(tǒng)的圖解方法，使用十分簡便。

通常來說，繪制系統(tǒng)的根軌跡是很繁瑣的事情，因此在教科書中介紹的是一種按照一定規(guī)則進行繪制的概略根軌跡。在MATLAB中，專門提供了繪制根軌跡的有關(guān)函數(shù)。rlocus：求系統(tǒng)根軌跡。rlocfind：計算給定一組根的根軌跡增益。對于圖所示的負反饋系統(tǒng)，其特征方程可表示為

或

利用rlocus()函數(shù)可繪制出當(dāng)開環(huán)增益K由0至∝變化時，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根在s平面變化的軌跡，函數(shù)的調(diào)用格式為：rlocus(GH);rlocus(GH,k);

[r,K]=rlocus(num,den)[r,K]=rlocus(a,b,c,d)

其中：返回值r為系統(tǒng)的閉環(huán)極點，K為相應(yīng)的增益。例>>num=[11];den=[1560];rlocus(num,den)>>

r=rlocus(num,den,10)r=-2.1056+2.8714i-2.1056-2.8714i-0.7887K(s+1)s(s+2)1(s+3)-R(s)C(s)>>[r,k]=rlocus(num,den)命令

[K,poles]=rlocfind(num,den)或[K,poles]=rlocfind(A,B,C,D)

了解特定的復(fù)根對應(yīng)的增益K的取值只有運行了rlocus函數(shù)并得到根軌跡后，才能合法調(diào)用運行rlocfind函數(shù)后，MATLAB會在根軌跡圖上產(chǎn)生‘+’提示符，通過鼠標(biāo)將提示符移動到根軌跡相應(yīng)的位置確定，所選的K值就會在命令窗口顯示selected_point=-0.3212+0.0000ik=2.1281poles=-2.3394+1.0735i-2.3394-1.0735i-0.3212例

特定的根對應(yīng)的增益K>>rlocus(num,den)>>[k,poles]=rlocfind(num,den)Selectapointinthegraphicswindow第三節(jié)

控制系統(tǒng)的設(shè)計方法控制系統(tǒng)的設(shè)計，就是在系統(tǒng)中引入適當(dāng)?shù)沫h(huán)節(jié)，用以對原有系統(tǒng)的某些性能進行校正，使之達到理想的效果，故又稱為系統(tǒng)的校正，下面介紹幾種常用的系統(tǒng)校正方法的計算機輔助設(shè)計實現(xiàn)。校正的目的：設(shè)計控制器使系統(tǒng)滿足給定的性能不可變部分性能如何描述？控制器的設(shè)計：傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)選擇

根據(jù)被控對象以及控制要求，選擇適當(dāng)?shù)目刂破骷翱刂埔?guī)律設(shè)計一個滿足給定性能指標(biāo)的控制系統(tǒng)。校正(補償)：通過改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，或在系統(tǒng)中增加附加裝置或元件對已有的系統(tǒng)（固有部分）進行再設(shè)計使之滿足性能要求?？刂葡到y(tǒng)的設(shè)計本質(zhì)上是尋找合適的校正裝置(校正裝置)設(shè)超前校正裝置的傳遞函數(shù)為1超前校正(1)極坐標(biāo)圖當(dāng)ω＝0→∞變化時，Gc(jω)的相位角φ>0，Gc(jω)的軌跡為一半圓，由圖可得超前校正的最大超前相位角φm為

令

可得對應(yīng)于最大相位角φm時的頻率ωm為(2)對數(shù)坐標(biāo)圖超前校正裝置的對數(shù)坐標(biāo)如圖

利用頻率法設(shè)計超前校正裝置的步驟:(1)根據(jù)性能指標(biāo)對穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的要求,確定增益kc；(2)利用確定的開環(huán)增益kc，畫出未校正系統(tǒng)的Bode圖，并求出其相位裕量r0和幅值裕量kg；(3)確定為使相位裕量達到要求值，所需增加的超前相位角φｃ，即φｃ＝r-r0+ε.式中r為要求的相位裕量，ε是考慮到系統(tǒng)增加串聯(lián)超前校正裝置后系統(tǒng)的剪切頻率要向右移而附加的相位角，一般取ε=5

~15

；(4)令超前校正裝置的最大超前相位角φｍ=φｃ，則由下式可求出校正裝置的參數(shù)α；(5)若將校正裝置的最大超前相位角處的頻率ωｍ作為校正后系統(tǒng)的剪切頻率ωｃ，則有即由此可見，未校正系統(tǒng)的幅頻特性幅值等于-10lgα

時的頻率即為ωc；(6)根據(jù)ωｍ=ωc，利用下式求參數(shù)T(7)畫出校正后系統(tǒng)的Bode圖，檢驗性能指標(biāo)是否已全部達到要求，若不滿足要求，可增大ε值，從第三步起重新計算。例已知被控對象的傳遞函數(shù)為G(s),系統(tǒng)設(shè)計指標(biāo)要求如下：

(1)速度誤差常數(shù)為10

(2)相角裕量為45解：（1）確定kc（2）畫出未校正系統(tǒng)的Bode圖，并求出其相位裕量r0>>num=2000;>>den=[1302000];>>bode(num,den)>>[Gm,r0,Wcg,Wcp]=margin(num,den);r0=32.6133（3）確定為使相位裕量達到要求值，所需增加的超前相位角φｃ，即φｃ＝r-r0+ε（4）令超前校正裝置的最大超前相位角φｍ=φｃ，確定參數(shù)α；>>t=sin(18*pi/180)>>a=(1+t)/(1-t)a=1.8944（5）確定校正裝置的最大超前相位角處的頻率ωｍ

從Bode圖中可看到Wm=9rad/s（6）根據(jù)ωｍ=ωc，求參數(shù)T>>a=1.89;>>-10*log10(a)ans=-2.7646>>T=1/(sqrt(1.89)*9)T=0.0808（7）最終得到（8）比較分析零點出現(xiàn)在極點之后給系統(tǒng)加入滯后的相角，使得系統(tǒng)動態(tài)性能變差，降低系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差2滯后校正1.滯后校正裝置的特性設(shè)滯后校正裝置的傳遞函數(shù)為其頻率特性為（1）極坐標(biāo)圖滯后校正裝置的極坐標(biāo)圖如圖。由圖可求得最大滯后相位角φｍ和對應(yīng)的頻率ωｍ分別為（2）對數(shù)坐標(biāo)圖滯后校正裝置的對數(shù)坐標(biāo)圖如圖采用相位滯后網(wǎng)絡(luò)校正系統(tǒng)的步驟為：1、由對穩(wěn)態(tài)誤差要求確定開環(huán)增益K；2