第一單元集合與常用邏輯用語(yǔ)1.編寫(xiě)意圖高考對(duì)集合和常用邏輯用語(yǔ)的要求不高,集合主要是一種基本語(yǔ)言和數(shù)學(xué)表達(dá)工具,常用邏輯用語(yǔ)主要是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和思維的工具.編寫(xiě)中注意到以下幾個(gè)問(wèn)題:(1)考慮到該部分在高考試題中的考查特點(diǎn)和難度,加強(qiáng)了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的講解和習(xí)題的訓(xùn)練力度,控制了選題的難度;(2)從近幾年高考來(lái)看,涉及該部分內(nèi)容的信息遷移題是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題,因此適當(dāng)加入了類似的題目;(3)考慮到該部分內(nèi)容是第一輪初始階段復(fù)習(xí)的知識(shí),因此在選題時(shí)盡量避免選用綜合性強(qiáng)、思維難度大的題目.2.教學(xué)建議高考對(duì)該部分內(nèi)容的要求不高,教師在引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)該部分時(shí),切忌對(duì)各層次知識(shí)點(diǎn)隨意拔高,習(xí)題一味求深、求廣、求難.教學(xué)時(shí),注意到如下幾個(gè)問(wèn)題:(1)集合主要是強(qiáng)調(diào)其工具性和應(yīng)用性,解集合問(wèn)題時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生充分利用Venn圖或數(shù)軸來(lái)幫助解題;(2)對(duì)“命題的逆命題、否命題與逆否命題”只要求做一般性了解,重點(diǎn)關(guān)注必要條件、充分條件、充要條件;(3)對(duì)邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義,只要求通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)例加以了解,幫助學(xué)生正確地表述相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容;(4)對(duì)于量詞,重在理解它們的含義,不要追求它們的形式化定義,在復(fù)習(xí)中,應(yīng)通過(guò)對(duì)具體實(shí)例的探究,加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于含有一個(gè)量詞的命題的否定的理解;(5)常用邏輯用語(yǔ)理論性強(qiáng),重在引導(dǎo)學(xué)生提高邏輯思維能力和判斷問(wèn)題的能力,在使用常用邏輯用語(yǔ)的過(guò)程中,體會(huì)運(yùn)用常用邏輯用語(yǔ)表述數(shù)學(xué)內(nèi)容的準(zhǔn)確性、簡(jiǎn)潔性,避免對(duì)邏輯用語(yǔ)的機(jī)械記憶和抽象解釋.3.課時(shí)安排本單元共3講、一個(gè)小題必刷卷(一),每講建議1課時(shí)完成,小題必刷卷(一)建議1課時(shí)講評(píng),本單元大約共需4課時(shí).第1講集合考試說(shuō)明1.集合的含義與表示:(1)了解集合的含義,體會(huì)元素與集合的屬于關(guān)系;(2)能用自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言(列舉法或描述法)描述不同的具體問(wèn)題.2.集合間的基本關(guān)系:(1)理解集合之間包含與相等的含義,能識(shí)別給定集合的子集;(2)在具體情境中,了解全集與空集的含義.3.集合的基本運(yùn)算:(1)理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義,會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集;(2)理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義,會(huì)求給定子集的補(bǔ)集;(3)能使用圖示法表達(dá)集合間的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算.考情分析考點(diǎn)考查方向考例考查熱度集合的概念求集合中元素的個(gè)數(shù)★☆☆集合間的基本關(guān)系集合間的包含關(guān)系、根據(jù)關(guān)系求參數(shù)等★☆☆集合的運(yùn)算交、并、補(bǔ)運(yùn)算,其中集合以不等式解集為主2017全國(guó)卷Ⅰ1,2017全國(guó)卷Ⅱ2,2017全國(guó)卷Ⅲ1,2016全國(guó)卷Ⅰ1,2016全國(guó)卷Ⅱ2,2016全國(guó)卷Ⅲ1,2015全國(guó)卷Ⅱ1,2014全國(guó)卷Ⅰ1,2014全國(guó)卷Ⅱ1★★★真題再現(xiàn)■[20172013]課標(biāo)全國(guó)真題再現(xiàn)1.[2017·全國(guó)卷Ⅰ]已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},則 ()A.A∩B={x|x<0} B.A∪B=RC.A∪B={x|x>1} D.A∩B=?[解析]A集合B={x|x<0},所以A∩B={x|x<0}.2.[2017·全國(guó)卷Ⅱ]設(shè)集合A={1,2,4},B={x|x24x+m=0}.若A∩B={1},則B= ()A.{1,3} B.{1,0}C.{1,3} D.{1,5}[解析]C因?yàn)锳∩B={1},所以方程x24x+m=0有一個(gè)根為1,得m=3,此時(shí)方程為x24x+3=0,得方程的另一個(gè)根為3,故B={1,3}.3.[2017·全國(guó)卷Ⅲ]已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為()A.3 B.2C.1 D.0[解析]BA表示圓x2+y2=1上所有點(diǎn)的集合,B表示直線y=x上所有點(diǎn)的集合.∵直線y=x過(guò)圓心,∴直線與圓的交點(diǎn)有兩個(gè),故選B.4.[2016·全國(guó)卷Ⅱ]已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x2)<0,x∈Z},則A∪B= ()A.{1} B.{1,2}C.{0,1,2,3} D.{1,0,1,2,3}[解析]C∵B={x|(x+1)(x2)<0,x∈Z}={x|1<x<2,x∈Z},∴B={0,1},∴A∪B={0,1,2,3}.5.[2016·全國(guó)卷Ⅰ]設(shè)集合A={x|x24x+3<0},B={x|2x3>0},則A∩B= ()A.3,32 B.3,32C.1,32 D.32,3[解析]D集合A=(1,3),B=32,+∞,所以A∩B=32,3.6.[2016·全國(guó)卷Ⅲ]設(shè)集合S={x|(x2)(x3)≥0},T={x|x>0},則S∩T= ()A.[2,3] B.(∞,2]∪[3,+∞)C.[3,+∞) D.(0,2]∪[3,+∞)[解析]D∵S={x|x≥3或x≤2},∴S∩T={x|0<x≤2或x≥3}.7.[2015·全國(guó)卷Ⅱ]已知集合A={2,1,0,1,2},B={x|(x1)(x+2)<0},則A∩B= ()A.{1,0} B.{0,1}C.{1,0,1} D.{0,1,2}[解析]A因?yàn)锽={x|2<x<1},所以A∩B={1,0},故選A.8.[2014·全國(guó)卷Ⅰ]已知集合A={x|x22x3≥0},B={x|2≤x<2},則A∩B= ()A.[2,1] B.[1,2)C.[1,1] D.[1,2)[解析]A集合A=(∞,1]∪[3,+∞),所以A∩B=[2,1].9.[2013·全國(guó)卷Ⅰ]已知集合A={x|x22x>0},B=x-5<x<5,則 A.A∩B=? B.A∪B=RC.B?A D.A?B[解析]BA={x|x<0或x>2},故A∪B=R.■[20172016]其他省份類似高考真題1.[2017·浙江卷]已知P={x|1<x<1},Q={x|2<x<0},則P∪Q= ()A.(2,1) B.(1,0)C.(0,1) D.(2,1)[解析]A利用數(shù)軸可得P∪Q=(2,1),因此選A.2.[2017·北京卷]若集合A={x|2<x<1},B={x|x<1或x>3},則A∩B= ()A.{x|2<x<1} B.{x|2<x<3}C.{x|1<x<1} D.{x|1<x<3}[解析]A由-2<x<1,x<-1或x>3,得2<x<3.[2017·山東卷]設(shè)函數(shù)y=4-x2的定義域?yàn)锳,函數(shù)y=ln(1x)的定義域?yàn)锽,則A∩B=A.(1,2) B.(1,2]C.(2,1) D.[2,1)[解析]D由4x2≥0得2≤x≤2,所以A={x|2≤x≤2};由1x>0得x<1,所以B={x|x<1}.故A∩B={x|2≤x<1},故選D.【課前雙基鞏固】知識(shí)聚焦1.(1)確定性互異性(2)∈?(3)描述法圖示法(4)NN*或N+ZQR2.任意一個(gè)元素B?A至少相同A=B不含3.且且A∩B或或A∪B不??UA對(duì)點(diǎn)演練1.2[解析]∵A∩B={1,1,2},∴A∩B所含元素之和為2.2.4[解析]因?yàn)?A∪B)?B,A={a,b},所以滿足條件的集合B可以是{c},{a,c},{b,c},{a,b,c},所以滿足條件的集合B有4個(gè).3.(∞,0)∪[1,+∞)[解析]因?yàn)?UA={x|x>2或x<0},B={y|1≤y≤3},所以(?UA)∪B=(∞,0)∪[1,+∞).4.1[解析]由題意可得1∈B,又a2+2≥2,故a=1,此時(shí)B={1,3},符合題意.5.0或3[解析]因?yàn)锽?A,所以m=3或m=m,即m=3或m=0或m=1,根據(jù)集合元素的互異性可知,m≠1,所以m=0或3.6.(0,1)[解析]集合A為函數(shù)y=log2(x+1)的定義域,即A={x|x>1},集合B為函數(shù)y=12x,x>0的值域,即B={y|0<y<1},所以兩個(gè)集合的交集為(0,17.0或1或1[解析]易得M={a}.∵M(jìn)∩N=N,∴N?M,∴N=?或N=M,∴a=0或a=±1.8.2≤a≤4[解析]由|xa|<1得1<xa<1,∴a1<x<a+1,由A?B得a-1≥1,a+1<5,或a9.4[解析]由題意知A={1,2},B={1,2,3,4}.又A?C?B,則集合C可能為{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.【課堂考點(diǎn)探究】例1[思路點(diǎn)撥](1)用列舉法表示出集合A,據(jù)x∈A確定集合B中元素;(2)因?yàn)?∈A,所以依據(jù)2a1=9或a2=9分類求解,但要注意元素的互異性.(1)C(2)3[解析](1)依題意有A={2,1,0,1,2},代入y=x2+1得到B={1,2,5},故B中有3個(gè)元素.(2)∵集合A,B中有唯一的公共元素9,∴9∈A.若2a1=9,即a=5,此時(shí)A={4,9,25},B={9,0,4},則集合A,B中有兩個(gè)公共元素4,9,與已知矛盾,舍去.若a2=9,則a=±3,當(dāng)a=3時(shí),A={4,9,5},B={2,2,9},B中有兩個(gè)元素均為2,與集合中元素的互異性矛盾,應(yīng)舍去;當(dāng)a=3時(shí),A={4,7,9},B={9,8,4},符合題意.綜上所述,a=3.變式題(1)A(2)C[解析](1)若x=1,則2x=3?A,此時(shí)x=1;若x=0,則2x=2∈A,此時(shí)不符合要求;若x=2,則2x=0∈A,此時(shí)不符合要求.所以B={1}.(2)當(dāng)k=0時(shí),x=1,所以1∈A,所以A錯(cuò)誤;令11=3k1,得k=103?Z,所以11?A,所以B錯(cuò)誤;令34=3k1,得k=11,所以34∈A,所以D錯(cuò)誤;因?yàn)閗∈Z,所以k2∈Z,則3k21∈A,所以C正確例2[思路點(diǎn)撥](1)由于集合M,N中均含有參數(shù),不妨對(duì)集合M中的參數(shù)n分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行分析,從而發(fā)現(xiàn)集合M,N之間的關(guān)系;(2)化簡(jiǎn)集合B,依據(jù)AB,分別確定滿足條件的a的各種情形,根據(jù)a的個(gè)數(shù)再確定子集的個(gè)數(shù).(1)D(2)C[解析](1)由題意,對(duì)于集合M,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),設(shè)n=2k(k∈Z),則x=k+1(k∈Z),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),設(shè)n=2k+1(k∈Z),則x=k+1+12(k∈Z),∴N?M,故選D(2)B={x|x22x3≤0,x∈N}={x|1≤x≤3,x∈N}={0,1,2,3},當(dāng)a分別取1,2,3時(shí),所得集合A分別為{0},{0,1},{0,1,2},均滿足AB,當(dāng)a=4時(shí),A={0,1,2,3},不滿足AB,同理,當(dāng)a≥5時(shí)均不滿足AB.所以滿足條件的正整數(shù)a所構(gòu)成的集合為{1,2,3},其子集有8個(gè).變式題(1)A(2)A[解析](1)由題意得集合A={x|x22x≤0}={x|0≤x≤2},要使得A?B,則a≥2,故選A.(2)如圖所示,∵A∪B=B∩C,∴A?B?C.例3[思路點(diǎn)撥](1)由P∩Q={0}得出參數(shù)a,進(jìn)而得出b,再求P∪Q;(2)集合A,B均為點(diǎn)集,A∩B表示求兩線段的交點(diǎn)坐標(biāo)所得的集合;(3)根據(jù)題意,集合A為函數(shù)y=lg(x1)的定義域,集合B為函數(shù)y=x2+2x+5的值域,求出B(1)C(2)C(3)D[解析](1)因?yàn)镻∩Q={0},所以0∈P,即log2a=0,解得a=1,所以b=0,于是P={3,0},Q={1,0},所以P∪Q={3,0,1}.(2)由y=x+1,y=2x,解得x=1,y=2,滿足0≤x(3)由題意得A={x|y=lg(x1)}=(1,+∞),B={y|y=x2+2x+5}=[2,+∞),則?UB=(∞,2),故A∩(?UB)=(1例4[思路點(diǎn)撥](1)分別求出集合A和B,根據(jù)A∩B有三個(gè)元素,求出實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)根據(jù)補(bǔ)集和交集的定義,結(jié)合空集的定義,即可得出p滿足的條件.(1)C(2)B[解析](1)集合A={x∈Z|x24x5<0}={0,1,2,3,4},B={x|4x>2m}=xx>m2,∵A∩B有三個(gè)元素,∴1≤m2<2,解得2≤m<4,∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2,4).(2)∵全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},∴?UA={x|x≤1},又(?UA)∩B=?,∴p≥1.例5[思路點(diǎn)撥]從新定義可知,集合PQ是由屬于P而不屬于Q的元素組成的,也可理解為P∩(?RQ).B[解析]由log2x<1,得0<x<2,所以P={x|0<x<2};由|x2|<1,得1<x<3,所以Q={x|1<x<3}.由題意,得PQ={x|0<x≤1}.強(qiáng)化演練1.D[解析]陰影部分對(duì)應(yīng)的集合為?U(A∪B),由題意可知A={x|1<x<3},B={x|x≥1},所以?U(A∪B)={x|x≤1}.2.D[解析]由A中x∈N,x<3,得到A={0,1,2}.當(dāng)a=0,b=1時(shí),x=01=1;當(dāng)a=0,b=2時(shí),x=02=2;當(dāng)a=1,b=0時(shí),x=10=1;當(dāng)a=1,b=2時(shí),x=12=1;當(dāng)a=2,b=0時(shí),x=20=2;當(dāng)a=2,b=1時(shí),x=21=1;當(dāng)a=b時(shí),x=0.故B={1,2,1,2,0},則A∩B={0,1,2}.3.C[解析]∵集合A={1,1,2},B={a+1,a22},A∩B={1,2},∴a+1=-1,a2-2=2或4.C[解析]由題意,集合A={x|x<a},B={x|x23x+2<0}={x|1<x<2},∵A∩B=B,∴B?A,則a≥2.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥2.5.B[解析]對(duì)于A,由于3×4與43均不屬于數(shù)集{1,3,4},故A不正確;對(duì)于B,選1,2時(shí),有1×2屬于{1,2,3,6},同理取1,3,取1,6,取2,3時(shí)也滿足,取2,6時(shí),有62屬于{1,2,3,6},取3,6時(shí),有63屬于{1,2,3,6},所以B正確;由“權(quán)集”定義知1≤a1<a2<…<an且ajai需要有意義,故不能有0,故C不正確;如集合{2,4},符合“權(quán)集”定義,但不含【備選理由】例1考查元素與集合的關(guān)系,要依據(jù)集合確定所選的元素;例2考查集合間的基本關(guān)系及元素的互異性;例3為集合類新定義試題.1[配合例1使用][2017·聊城三模]已知集合A={x|x2+x6>0},集合B={x|1<x<3},若a∈(A∪B),則a可以是 ()A.3 B.2C.1 D.3[解析]D∵集合A={x|x2+x6>0}={x|x<3或x>2},集合B={x|1<x<3},∴A∪B={x<3或x>1}.∵a∈(A∪B),∴a可以是3.2[配合例2使用][2017·洛陽(yáng)模擬]已知集合A={1,1,3},B={1,a22a},且B?A,則實(shí)數(shù)a不同取值的個(gè)數(shù)為 ()A.2 B.3C.4 D.5[解析]B因?yàn)锽?A,所以a22a=1或a22a=3,解得a=1或a=1或a=3,所以實(shí)數(shù)a不同取值的個(gè)數(shù)為3,故選B.3[配合例5使用][2017·成都三模]設(shè)S,T是R的兩個(gè)非空子集,如果存在一個(gè)從S到T的函數(shù)y=f(x)滿足:(1)T={f(x)|x∈S};(2)對(duì)任意x1,x2∈S,當(dāng)x1<x2時(shí),恒有f(x1)<f(x2),那么稱這兩個(gè)集合“保序同構(gòu)”.以下集合對(duì)不是“保序同構(gòu)”的是 ()A.A=N*,B=NB.A={x|1≤x≤3},B={x|x=8或0<x≤10}C.A={x|0<x<1},B=RD.A=Z,B=Q[解析]D由條件(1)知S為函數(shù)y=f(x)的定義域,T為函數(shù)的值域,由條件(2)知函數(shù)y=f(x)為增函數(shù).對(duì)于A,可構(gòu)造函數(shù)y=x1,x∈N*,y∈N,滿足條件;對(duì)于B,構(gòu)造函數(shù)y=-8(x=-1),52(x+1)(-1<x≤3),滿足條件;對(duì)于C,構(gòu)造函數(shù)y=tanπxπ2,x∈(0,第2講命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件考試說(shuō)明1.理解命題的概念;2.了解“若p,則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題,會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系;3.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義.考情分析考點(diǎn)考查方向考例考查熱度四種命題及其關(guān)系命題的四種形式及其真假判斷★☆☆充要條件的判斷判斷甲是乙的何種條件★☆☆充要條件的證明充分條件、必要條件的證明★☆☆真題再現(xiàn)■[20172013]課標(biāo)全國(guó)真題再現(xiàn)■[20172016]其他省份類似高考真題1.[2017·北京卷]設(shè)m,n為非零向量,則“存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn”是“m·n<0”的 ()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件[解析]A若存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn,則m·n=λn·n=λn2<0成立,所以為充分條件;當(dāng)“m·n<0”時(shí),m與n不一定共線,所以“存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn”不一定成立,所以為不必要條件.綜上可知,“存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要條件,故選A.2.[2017·天津卷]設(shè)θ∈R,則“θπ12<π12”是“sinθ<12”的 (A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件[解析]A當(dāng)θπ12<π12時(shí),可解得0<θ<π6,即0<sinθ<12,故充分性成立;由sinθ<12可取θ=0,但此時(shí)不滿足條件θπ12<π12,故必要性不成立.3.[2017·浙江卷]已知等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,則“d>0”是“S4+S6>2S5”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件[解析]C由題意,得Sn=na1+n(n-1)2d,則S4+S62S5=(4a1+6d)+(6a1+15d)2(5a1+10d)=d.因此當(dāng)d>0時(shí),S4+S62S5>0,則S4+S6>2S5;當(dāng)S4+S6>2S5時(shí),S4+S62S5>0,則d>0.所以“d>0”是“S4+S6>2S4.[2016·天津卷]設(shè){an}是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,公比為q,則“q<0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n,a2n1+a2n<0”的 ()A.充要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件[解析]C設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為a1,則a2n1+a2n=a1q2n2(1+q)<0,即q<1,故選C.【課前雙基鞏固】知識(shí)聚焦1.真假判斷為真判斷為假2.(1)充分(2)必要(3)充要對(duì)點(diǎn)演練1.④[解析]①是疑問(wèn)句,不是命題;②是祈使句,不是命題;③不能判斷真假,不是命題;④是命題.2.0[解析]①為假命題,集合N中最小的數(shù)是0;②為假命題,如a=12不滿足;③為假命題,如a=0,b=1,a+b=1,比2小;④為假命題,所給集合中的元素不滿足互異性3.若整數(shù)a不是奇數(shù),則a能被2整除[解析]以原命題結(jié)論的否定作條件,原命題條件的否定作結(jié)論得出逆否命題.4.充分不必要[解析]由a=3,可得M?N;反之由M?N可得a≤3.所以“a=3”是“M?N”的充分不必要條件.5.若a≠0或b≠0,a,b∈R,則a2+b2≠0[解析]“若p,則q”的逆否命題為“若q,則p”,又a=b=0的實(shí)質(zhì)為a=0且b=0,故其否定為a≠0或b≠0.6.?a,b∈R,若ab≤0,則a≤0[解析]?a,b∈R是大前提,在否命題中不變,又因?yàn)閍b>0,a>0的否定分別為ab≤0,a≤0,所以原命題的否命題為“?a,b∈R,若ab≤0,則a≤0”.7.[3,0][解析]由已知可得ax22ax3≤0恒成立.當(dāng)a=0時(shí),3≤0恒成立;當(dāng)a≠0時(shí),得a<0,Δ=4a故3≤a≤0.8.充分不必要[解析]依題意有p?r,r?s,s?q,∴p?r?s?q.又∵r?/p,∴q?/p.故p是q的充分不必要條件.【課堂考點(diǎn)探究】例1[思路點(diǎn)撥](1)根據(jù)原命題、逆命題、否命題、逆否命題之間的關(guān)系進(jìn)行判斷;(2)對(duì)于①②,按照要求寫(xiě)出相應(yīng)的逆命題、否命題,再判斷真假,對(duì)于③,可以直接利用原命題與逆否命題的等價(jià)性判斷原命題的真假,對(duì)于④⑤直接判斷.(1)A(2)①③[解析](1)逆命題是互換原命題的條件與結(jié)論,否命題是把原命題的條件和結(jié)論都否定,逆否命題是把原命題中的條件和結(jié)論先否定,再互換得到.故①正確,②錯(cuò)誤,③正確.(2)①命題“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題為“若x,y互為相反數(shù),則x+y=0”,顯然①為真命題;②否命題為“不全等三角形的面積不相等”,但不全等的三角形的面積也可能相等,故②為假命題;③原命題為真,所以它的逆否命題也為真,故③為真命題;④若ab是正整數(shù),則a,b不一定都是正整數(shù),例如a=1,b=3,故④為假命題;⑤構(gòu)造函數(shù)f(x)=x,g(x)=x,則f(x)g(x)=2x,顯然f(x)g(x)單調(diào)遞增,故⑤為假命題.變式題(1)D(2)B[解析](1)把原命題結(jié)論的否定作為條件,原命題條件的否定作為結(jié)論構(gòu)成逆否命題,即“若b2≠ac,則a,b,c不成等比數(shù)列”.(2)因?yàn)樵}“若x>1,則2x<3x”為真命題,所以其逆否命題也為真命題;由于它的逆命題“若2x<3x,則x>1”為假命題,所以其否命題也是假命題.故選B.例2[思路點(diǎn)撥](1)根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)和充分必要條件的概念判斷;(2)先求出兩個(gè)不等式的解集,再判斷這兩個(gè)集合的包含關(guān)系.(1)A(2)A[解析](1)若存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn,則m·n=λn·n=λn2<0成立,所以為充分條件;當(dāng)“m·n<0”時(shí),m與n不一定共線,所以“存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn”不一定成立,所以為不必要條件.綜上可知,“存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要條件,故選A.(2)當(dāng)θπ12<π12時(shí),可解得0<θ<π6,即0<sinθ<12,故充分性成立;由sinθ<12可取θ=0,但此時(shí)不滿足條件θπ12<π12,故必要性不成立.變式題(1)B(2)B[解析](1)取x=0.5,y=1.2,滿足1<xy<1,但不滿足[x]=[y],故“1<xy<1”不能推出“[x]=[y]”.反之,若[x]=[y],則有1<xy<1,故為必要不充分條件.(2)由12x<1知x>0,所以p對(duì)應(yīng)的集合為(0,+∞),由log2x<0知0<x<1,所以q對(duì)應(yīng)的集合為(0,1),顯然(0,1)(0,+∞),所以p是q的必要不充分條件例3[思路點(diǎn)撥](1)利用必要不充分條件得出兩個(gè)不等式的解集的包含關(guān)系,再根據(jù)包含關(guān)系可求出m的取值范圍;(2)先化簡(jiǎn)條件p,將“q的一個(gè)充分不必要條件是p”轉(zhuǎn)化為“p是q的必要不充分條件”,再用集合法求解.(1)A(2)C[解析](1)依題意,可得(1,4)(2m23,+∞),所以2m23≤1,解得1≤m≤1.(2)由4x-1≤1,解得3≤x<1;由x2+x<a2a,得x2+xa2+a<0.由q的一個(gè)充分不必要條件是p,可知p是q的必要不充分條件,即條件q對(duì)應(yīng)的x取值集合是條件p對(duì)應(yīng)的x取值集合的真子集.設(shè)f(x)=x2+xa2+a,其大致圖像如圖,則f(-3)=-a2+a+6≥0,變式題(1)B(2)C[解析](1)“a>b”不能推出“a1>b”,故選項(xiàng)A不是“a>b”的必要條件,不滿足題意;“a>b”能推出“a+1>b”,但“a+1>b”不能推出“a>b”,故滿足題意;“a>b”不能推出“|a|>|b|”,故選項(xiàng)C不是“a>b”的必要條件,不滿足題意;“a>b”能推出“a3>b3”,且“a3>b3”能推出“a>b”,故是充要條件,不滿足題意.故選B.(2)直線xyk=0與圓(x1)2+y2=2有兩個(gè)不同交點(diǎn)等價(jià)于|1-0-k|2<2,解得k∈(1,3).四個(gè)選項(xiàng)中只有(0,3)是(1,3)的真子集【備選理由】例1旨在加深學(xué)生對(duì)四種命題的認(rèn)識(shí);例2強(qiáng)化了充分、必要條件的判斷方法和對(duì)不等式性質(zhì)的理解與應(yīng)用;例3與分段函數(shù)結(jié)合考查充分、必要條件的判斷.1[配合例1使用]命題“若a2<b,則b<a<b”的逆否命題為 ()A.若a2≥b,則a≥b或a≤bB.若a2>b,則a>b或a<bC.若a≥b或a≤b,則a2≥bD.若a>b或a<b,則a2>b[解析]C由于b<a<b的否定是a≥b或a≤b,a2<b的否定是a2≥b,所以命題“若a2<b,則b<a<b”的逆否命題為“若a≥b或a≤b,則a2≥b”.2[配合例2使用]設(shè)a,b∈R,則“a-ba2<0”是“a<b”的 (A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件[解析]A若(ab)a2<0,則一定有ab<0,即a<b;反之,若a<b,a=0,則(ab)a2=0.故“(ab)a2<0”是“a<b”的充分不必要條件.3[配合例2使用][2017·九江二模]已知函數(shù)f(x)=ex,x≥-1,ln(-x),x<-1,A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件[解析]B若x=0,則f(x)=1;若f(x)=1,則x≥-1,ex=1或x<-1,ln(-x)=1,解得x=0或x=第3講簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞考試說(shuō)明1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義;2.理解全稱量詞與存在量詞的意義;3.能正確地對(duì)含一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.考情分析考點(diǎn)考查方向考例考查熱度邏輯聯(lián)結(jié)詞含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷★☆☆全稱命題和特稱命題全稱命題、特稱命題的真假判斷2014全國(guó)卷Ⅰ9★★☆命題的否定含一個(gè)量詞的命題的否定2015全國(guó)卷Ⅰ3★★☆真題再現(xiàn)■[20172013]課標(biāo)全國(guó)真題再現(xiàn)[2015·全國(guó)卷Ⅰ]設(shè)命題p:?n∈N,n2>2n,則p為 ()A.?n∈N,n2>2n B.?n∈N,n2≤2nC.?n∈N,n2≤2n D.?n∈N,n2=2n[解析]C特稱命題的否定是全稱命題,故選C.■[20172016]其他省份類似高考真題1.[2017·山東卷]已知命題p:?x>0,ln(x+1)>0;命題q:若a>b,則a2>b2.下列命題為真命題的是 ()A.p∧q B.p∧qC.p∧q D.p∧q[解析]B因?yàn)閤>0時(shí),x+1>1,所以ln(x+1)>0,所以p為真命題.若a>b,可取a=1,b=2,此時(shí)a2<b2,所以q為假命題,所以q為真命題,所以p∧q為真命題,故選B.2.[2016·浙江卷]命題“?x∈R,?n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是 ()A.?x∈R,?n∈N*,使得n<x2B.?x∈R,?n∈N*,使得n<x2C.?x∈R,?n∈N*,使得n<x2D.?x∈R,?n∈N*,使得n<x2[解析]D由全稱命題的否定是特稱命題,特稱命題的否定是全稱命題得,命題“?x∈R,?n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是“?x∈R,?n∈N*,使得n<x2”.【課前雙基鞏固】知識(shí)聚焦1.“且”“或”“非”∧∨2.(1)全稱量詞?(2)存在量詞?(3)?x0∈M,p(x0)?x∈M,q(x)對(duì)點(diǎn)演練1.③[解析]①不是由邏輯聯(lián)結(jié)詞連接形成的命題;②是由“且”連接而成的“p且q”形式的命題;③是“p或q”形式的命題.2.真[解析]因?yàn)閝是真命題,所以q是假命題,又p∨q是真命題,所以p是真命題.3.?x∈R,x2+x1≥0[解析]利用特稱命題的否定是全稱命題求解.4.所有的四邊形都不是平行四邊形[解析]該命題為特稱命題,即“存在四邊形是平行四邊形”,所以其否定是“所有的四邊形都不是平行四邊形”.5.存在一個(gè)奇數(shù),它的立方不是奇數(shù)[解析]利用全稱命題的否定是特稱命題求解.6.④[解析]顯然命題p為真命題,命題q為假命題,從而只有p∨q為真命題.7.若ab≠0,則a≠0且b≠08.(∞,4][解析]∵命題“?x∈R,ax2+4x+1>0”是假命題,∴命題“?x0∈R,ax02+4x0+1≤0”是真命題,∴a≤0或a>0,Δ=16-4a≥0,解得【課堂考點(diǎn)探究】例1[思路點(diǎn)撥](1)對(duì)于命題p和命題q,寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的p和q,則命題“至少有一位學(xué)員沒(méi)有降落在指定范圍”即可得到表示;(2)首先判斷p,q的真假,再根據(jù)真值表進(jìn)行分析判斷.(1)A(2)C[解析](1)命題p是“甲降落在指定范圍”,則p是“甲沒(méi)降落在指定范圍”,q是“乙降落在指定范圍”,則q是“乙沒(méi)降落在指定范圍”,命題“至少有一位學(xué)員沒(méi)有降落在指定范圍”包括“甲降落在指定范圍,乙沒(méi)降落在指定范圍”“甲沒(méi)降落在指定范圍,乙降落在指定范圍”“甲沒(méi)降落在指定范圍,乙沒(méi)降落在指定范圍”.所以命題“至少有一位學(xué)員沒(méi)有降落在指定范圍”可表示為p∨q.故選A.(2)若在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M,則|MA|≤1的概率為14×π×1212=π4,故命題p為真命題.因?yàn)閒(x)在區(qū)間1,32上是減函數(shù),所以f(x)min=f32=32+83≠4,故命題q為假命題變式題(1)C(2)C[解析](1)函數(shù)f(x)不是偶函數(shù),仍然可?x0∈R,f(x0)=f(x0),則p為假;f(x)=x|x|=x2(x≥0),-x2(x<0),在R(2)p是真命題,q是假命題,p是假命題,∴真命題是②③.例2[思路點(diǎn)撥](1)利用全稱命題的否定是特稱命題求解;(2)根據(jù)命題所涉及的具體知識(shí),直接判斷命題的真假.(1)D(2)B[解析](1)命題p:對(duì)任意的x∈R,都有x3x2+1<0的否定為p:存在x0∈R,使得x03x02+1≥0.(2)當(dāng)α=0,β=π2時(shí),sin(α+β)=sinα+sinβ,A為真命題;當(dāng)φ=π2時(shí),函數(shù)f(x)=sin2x+π2=cos2x是偶函數(shù),B為假命題;對(duì)于三次函數(shù)y=x3+ax2+bx+c,當(dāng)x→∞時(shí),y→∞,當(dāng)x→+∞時(shí),y→+∞,又該函數(shù)的圖像在R上連續(xù)不斷,故?x0∈R,x03+ax02+bx0+c=0,C為真命題;當(dāng)f(x)=0時(shí),(lnx)2+lnxa=0,則有a=(lnx)2+lnx=lnx+12214≥14,所以?a>0,函數(shù)f(x)=(lnx)2+lnxa有零點(diǎn),變式題C[解析]f'(x)=ex1,由f'(x)>0得x>0,由f'(x)<0得x<0,故當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)f(x)取得極小值,同時(shí)也是最小值,f(0)=e00=10=1>0,∴?x∈R,f(x)>0成立,即p是真命題.g(x)=lnx+x+1在(0,+∞)上為增函數(shù),當(dāng)x→0時(shí),g(x)<0,g(1)=0+1+1=2>0,則?x0∈(0,+∞),g(x0)=0成立,即命題q是真命題.p:?x0∈R,f(x0)≤0,q:?x∈(0,+∞),g(x)≠0.綜上,只有選項(xiàng)C正確.例3[思路點(diǎn)撥](1)由命題p為真命題,知存在x0∈1,52使對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0成立,然后采用分離變量的辦法把t分離出來(lái),求出分