第六單元不等式、推理與證明第33講不等關(guān)系與不等式課前雙擊鞏固1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法(1)作差法a(2)作商法a2.不等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱性:a>b?(雙向性).

(2)傳遞性:a>b,b>c?a>c(單向性).(3)可加性:a>b?a+cb+c(雙向性);

a>b,c>d?(單向性).

(4)可乘性:a>b,c>0?acbc;

a>b,c<0?acbc;

a>b>0,c>d>0?acbd(單向性).

(5)乘方法則:a>b>0?anbn(n∈N,n≥1)(單向性).

(6)開方法則:a>b>0?na>nb(n∈N,n≥2)(單向性題組一常識(shí)題1.[教材改編]設(shè)a=2,b=73,c=62,則a,b,c中最大者為.

2.[教材改編]若fx=2x22x,gx=x22,則fx與gx的大小關(guān)系是.

3.[教材改編]已知下列四個(gè)條件:①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0.不能推出1a<1b成立的序號(hào)是題組二常錯(cuò)題◆索引:求范圍時(shí)亂用不等式的加法原理;乘法運(yùn)算不注意符號(hào)的影響;除法運(yùn)算受定勢(shì)的影響,不注意不等式兩端的符號(hào).4.已知1<a<2,3<b<5,則2ab的取值范圍是.

5.已知a,b,c∈R+,設(shè)S=ab+c+ba+c+ca+6.已知2<a<3,3<b<2,則ab的取值范圍是課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)一比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小1(1)已知a>b>0,P=a2-b2a2+b2,Q=a(2)已知a,b,c為正數(shù),且3a=4b=6c,則下列正確的是 ()A.6c<3a<4b B.6c<4b<3aC.3a<4b<6c D.4b<3a<6c[總結(jié)反思](1)判斷兩個(gè)式子的大小關(guān)系的方法:作差、作商法;不等式性質(zhì)法;單調(diào)性法;中間量法;特殊值法;數(shù)形結(jié)合法等.(2)作差法的一般步驟:作差,變形,定號(hào),得出結(jié)論.式題(1)已知p∈R,M=(2p+1)(p3),N=(p6)(p+3)+10,則M,N的大小關(guān)系為.

(2)若a>0,且a≠7,則 ()A.77aa<7aa7B.77aa=7aa7C.77aa>7aa7D.77aa與7aa7的大小不確定探究點(diǎn)二不等式的性質(zhì)2(1)[2017·淮北一中四模]若a<b<0,給出下列不等式:①a2+1>b2;②|1a|>|b1|;③1a+b>1其中正確的個(gè)數(shù)是 ()A.0 B.1C.2 D.3(2)設(shè)0<a<1,b>c>0,則下列結(jié)論不正確的是 ()A.ab<acB.ba>caC.logab<logacD.ab>[總結(jié)反思]解決此類題目常用的三種方法:(1)直接利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證,利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時(shí)要特別注意前提條件;(2)利用特殊值法排除錯(cuò)誤答案;(3)利用函數(shù)的單調(diào)性,當(dāng)直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時(shí),可以利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.式題(1)若a<b<0,則下列不等式不能成立的是 ()A.a>b B.a2>abC.1a>1b D.1(2)[2017·北京朝陽區(qū)二模]已知x>y,則下列不等式一定成立的是 ()A.1x<B.log2(xy)>0C.x2>y2D.12x探究點(diǎn)三不等式性質(zhì)的應(yīng)用3(1)[2017·衡水中學(xué)三調(diào)]三個(gè)正數(shù)a,b,c滿足a≤b+c≤2a,b≤a+c≤2b,則ba的取值范圍是()A.2B.3C.2D.1,(2)已知12≤2x+y≤12,12≤3x+y≤12,則9[總結(jié)反思]運(yùn)用不等式的性質(zhì)解決問題時(shí),常用的方法是正確使用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo),并注意不等式性質(zhì)成立的條件以及等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想,比如減法可以轉(zhuǎn)化為加法,除法可以轉(zhuǎn)化為乘法等.但應(yīng)注意兩點(diǎn):一是必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì);二是在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍,解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系,再通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍.式題已知f(a,b)=ax+by,如果1≤f(1,1)≤2,且1≤f(1,1)≤1,則f(2,1)的取值范圍是.

第34講一元二次不等式及其解法課前雙擊鞏固1.一元二次不等式只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫作一元二次不等式.2.一元二次不等式的解集判別式Δ=b24acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖像一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩相異實(shí)根x1,x2(x1<x2)有兩相等實(shí)根x1=x2=b沒有實(shí)數(shù)根ax2+bx+c>0(a>0)的解集

ax2+bx+c<0(a>0)的解集

常用結(jié)論1.(1)“ax2+bx+c>0(a≠0,x∈R)恒成立”的充要條件是“a>0且b24ac<0”.(2)“ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立”的充要條件是“a<0且b24ac<0”.2.(1)對(duì)于不等式ax2+bx+c>0,求解時(shí)不要忘記討論a=0時(shí)的情形.(2)注意區(qū)分Δ<0時(shí),ax2+bx+c>0(a≠0)的解集為R還是?.題組一常識(shí)題1.[教材改編]不等式x23x10≤0的解集為.

2.[教材改編]已知一元二次方程x2+2ax+(7a6)=0(a∈R)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

3.[教材改編]已知集合A={x|x22x3<0},B={1,0,1,2,3},則A∩B=.

題組二常錯(cuò)題◆索引:解不等式時(shí)變形必須等價(jià);注意二次項(xiàng)的系數(shù)符號(hào);對(duì)參數(shù)的討論不要忽略二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況.4.不等式2x(x7)>3(x7)的解集為.

5.不等式(x+3)(1x)≥0的解集為.

6.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,不等式mx2+mx1<0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)一一元二次不等式的解法1(1)[2017·河南新鄉(xiāng)三模]若集合M={x|x2+5x14<0},N={x|1<x<4},則M∩N等于 ()A.? B.1C.2,4 D(2)已知不等式ax25x+b>0的解集為{x|3<x<2},則不等式bx25x+a>0的解集為 ()A.x13<x<12B.xx<13或x>12C.{x|3<x<2}D.{x|x<3或x>2}[總結(jié)反思]解一元二次不等式的一般步驟:①化為標(biāo)準(zhǔn)形式(二次項(xiàng)系數(shù)大于0);②確定判別式Δ的符號(hào)(若Δ≥0,則求出該不等式對(duì)應(yīng)的二次方程的根,若Δ<0,則對(duì)應(yīng)的二次方程無根);③結(jié)合二次函數(shù)的圖像得出不等式的解集.式題(1)已知集合A={x∈Z|x23x4≤0},B={x∈Z|2x2x6>0},則A∩B的真子集的個(gè)數(shù)為.

(2)已知一元二次不等式fx<0的解集為∞,110∪12,+∞,則不等式f10x>0的解集為.

探究點(diǎn)二一元二次不等式恒成立問題考向1形如f(x)≥0(x∈R)2不等式(a2)x2+2(a2)x4<0對(duì)一切x∈R恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

[總結(jié)反思](1)若不等式ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立,則滿足a(2)若不等式ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立,則滿足a(3)若不等式ax2+bx+c>0恒成立,則要考慮a=0時(shí)是否滿足.考向2形如f(x)≥0(x∈[a,b])3若對(duì)任意的x∈[1,2],都有x22x+a≤0(a為常數(shù)),則a的取值范圍是 ()A.(∞,3] B.(∞,0]C.[1,+∞) D.(∞,1][總結(jié)反思]一元二次不等式在指定范圍內(nèi)恒成立,其本質(zhì)是這個(gè)不等式的解集包含著指定的區(qū)間.恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)圖像在給定的區(qū)間上全部在x軸上方;恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)圖像在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.考向3形如f(x)≥0(參數(shù)m∈[a,b])4對(duì)任意a∈[1,1],函數(shù)f(x)=x2+(a4)x+42a的值總大于零,則x的取值范圍是.

[總結(jié)反思]解決一元二次不等式在給出參數(shù)取值范圍恒成立問題時(shí)一定要搞清誰是主元,誰是參數(shù),一般地,知道誰的范圍,誰就是主元,求誰的范圍,誰就是參數(shù).強(qiáng)化演練1.【考向1】[2017·南充檢測(cè)]關(guān)于x的不等式x2ax+a>0(a∈R)在R上恒成立的充分不必要條件是 ()A.a<0或a>4 B.0<a<2C.0<a<4 D.0<a<82.【考向2】[2017·吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬]若對(duì)任意x∈[1,2],有x2a≤0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A.a≤4 B.a≥4C.a≤5 D.a≥53.【考向1】若函數(shù)fx=x2+ax+1的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R,則實(shí)數(shù)aA.-B.-∞,-2∪C.-∞,-2∪D.-4.【考向3】不等式(a3)x2<(4a2)x對(duì)a∈(0,1)恒成立,則x的取值范圍是.

探究點(diǎn)三一元二次不等式的應(yīng)用5[2017·蕪湖一中月考]某廠以x千克/時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10),每小時(shí)可獲得的利潤是505x3x+1元.(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤不低于1500元,求x的取值范圍.(2)要使生產(chǎn)480千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大,問:該廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度?并求此最大利潤.

[總結(jié)反思]對(duì)于不等式應(yīng)用問題,一般可按四步進(jìn)行:一是理解題意,把握問題中的關(guān)鍵量;二是引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào),用不等關(guān)系構(gòu)造不等式;三是解不等式;四是回答實(shí)際問題.式題學(xué)校里兩條互相垂直的道路AM,AN旁有一矩形花園ABCD,現(xiàn)欲將其擴(kuò)建成一個(gè)更大的三角形花園APQ,要求點(diǎn)B,P在AM上,點(diǎn)D,Q在AN上,且PQ過點(diǎn)C,其中AM=AN=100m,AB=30m,AD=20m,如圖6341,記三角形花園APQ的面積為Sm2.(1)設(shè)DQ=xm(x>0),建立三角形花園APQ的面積S關(guān)于x的表達(dá)式.(2)要使三角形花園APQ的面積不小于1600m2,請(qǐng)問DQ的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)?圖6341

第35講二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題課前雙擊鞏固1.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域Ax+By+C>0直線Ax+By+C=0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包括

Ax+By+C≥0包括

不等式組各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的

2.線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x,y組成的

線性約束條件由關(guān)于x,y的不等式組成的不等式組

目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的函數(shù),如z=2x+3y等

線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的解析式

可行解滿足線性約束條件的

可行域由所有可行解組成的

最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得或的可行解

線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的或的問題

3.利用線性規(guī)劃求最值,用圖解法求解的步驟(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域.(2)作出目標(biāo)函數(shù)的等值線.(3)確定最優(yōu)解:在可行域內(nèi)平行移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)等值線,從而確定最優(yōu)解.題組一常識(shí)題1.[教材改編]不等式組x-y-2.[教材改編]若變量x,y滿足約束條件x+2y≤8,0≤x≤43.[教材改編]某蔬菜收購點(diǎn)租用車輛將100t新鮮辣椒運(yùn)往某市銷售,可租用的大卡車和農(nóng)用車分別為10輛和20輛,若每輛卡車載重8t,運(yùn)費(fèi)960元,每輛農(nóng)用車載重2.5t,運(yùn)費(fèi)360元,據(jù)此安排兩種車型使運(yùn)費(fèi)最少.設(shè)租用大卡車x輛,農(nóng)用車y輛,則應(yīng)滿足的不等關(guān)系為.

題組二常錯(cuò)題◆索引:不明確目標(biāo)函數(shù)的最值與等值線的截距間關(guān)系;不清楚目標(biāo)函數(shù)的幾何意義;對(duì)最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)理解不透.4.已知變量x,y滿足約束條件x+y≤1,x≥05.若變量x,y滿足x-y+5≥0,x+y≥06.已知變量x,y滿足y≥0,y-x+1≤0,y-2x+4≥0,若z=yax課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域考向1平面區(qū)域的面積問題1(1)在平面直角坐標(biāo)系中,不等式組3x-2y≥0A.1 B.3C.2 D.5(2)設(shè)不等式組x+y-3≤0,x-2y-3≤0,x≥1表示的平面區(qū)域?yàn)棣?,直線[總結(jié)反思]求解平面區(qū)域的面積問題的基本步驟:(1)畫出不等式組表示的平面區(qū)域;(2)判斷平面區(qū)域的形狀,也可將平面區(qū)域劃分為幾個(gè)三角形;(3)求解面積.考向2平面區(qū)域的形狀問題2不等式組2x-y+2≥0,xA.三角形 B.平行四邊形C.梯形 D.正方形[總結(jié)反思]平面區(qū)域的形狀問題主要有兩種題型:(1)確定平面區(qū)域的形狀,求解時(shí)先畫滿足條件的平面區(qū)域,然后判斷其形狀;(2)根據(jù)平面區(qū)域的形狀求解參數(shù)問題,求解時(shí)通常先畫滿足條件的平面區(qū)域,但要注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行必要的討論.強(qiáng)化演練1.【考向2】不等式組x+y-2≥0,A.等邊三角形B.梯形C.等腰直角三角形D.正方形2.【考向1】在平面直角坐標(biāo)系中,不等式組x≥0,x+yA.1 B.2C.4 D.83.【考向1】[2017·三明質(zhì)檢]在區(qū)域Ω=(x,y)|x≥0,x+y≤1,x-y≤1A.23 B.C.12 D.4.【考向2】若關(guān)于x,y的不等式組x≤0,x+y≥0探究點(diǎn)二求目標(biāo)函數(shù)的最值考向1求線性目標(biāo)函數(shù)的最值3(1)[2017·河南新鄉(xiāng)三模]已知變量x,y滿足約束條件-2x+y≤4,4x+3yA.12 B.C.2 D.11(2)[2017·衡水中學(xué)月考]已知變量x,y滿足約束條件y≥3x-3,2y≤x+4A.2 B.3C.4 D.5[總結(jié)反思]求目標(biāo)函數(shù)z=ax+by的最大值或最小值,先準(zhǔn)確作出可行域,再借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求目標(biāo)函數(shù)的最值.考向2求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值4(1)[2017·成都三模]若x,y滿足不等式組x≥2,x+y≤6,x-2yA.2 B.5C.4 D.5(2)若變量x,y滿足約束條件x-2y-4≤0,x+A.0,2 BC.-1,12[總結(jié)反思]目標(biāo)函數(shù)是非線性形式的函數(shù)時(shí),常考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,常見代數(shù)式的幾何意義主要有:(1)x2+y2表示點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)(0,0)間的距離,(x-a)2+(y-b(2)yx表示點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率,y-bx-a表示點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(考向3求線性規(guī)劃中的參數(shù)5(1)[2017·馬鞍山三模]已知變量x,y滿足x+y≥1,mx-y≤0,2x-y+2≥0,若A.83 B.C.1 D.2(2)[2017·煙臺(tái)二模]關(guān)于x,y的不等式組x+y-3≥0,x-2y+3≥0,x-2≤0表示的平面區(qū)域?yàn)镈,若區(qū)域D內(nèi)存在滿足A.-∞,1 B.C.-∞,5 D.[總結(jié)反思](1)線性規(guī)劃問題中的參數(shù)可以出現(xiàn)在約束條件或目標(biāo)函數(shù)中;(2)一般地,目標(biāo)函數(shù)只在可行域的頂點(diǎn)或邊界處取得最值.強(qiáng)化演練1.【考向1】若x,y滿足2x+y-2≥0,x+yA.3 B.2C.0 D.22.【考向1】若變量x,y滿足x-y+1≥0,x+y≥0,A.12 B.C.1 D.33.【考向2】[2017·泉州模擬]若x,y滿足約束條件2x-y≥0,x+2A.1 B.2C.3 D.44.【考向3】[2017·石家莊二模]變量x,y滿足|x+1|≤y≤12x+1時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=mx+y的最大值等于5,則實(shí)數(shù)m的值為 (A.1 B.1C.2 D.55.【考向3】已知變量x,y滿足x≥0,y≤1,2x-2y+1≤0,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y6.【考向3】若x,y滿足y≥1,y≤x-1,x+y≤探究點(diǎn)三線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用6咖啡館配制兩種飲料,甲種飲料分別用奶粉9g、咖啡4g、糖3g.乙種飲料分別用奶粉4g、咖啡5g、糖10g.已知每天使用原料限額為奶粉3600g、咖啡2000g、糖3000g.如果甲種飲料每杯能獲利0.7元,乙種飲料每杯能獲利1.2元.每天在原料的使用限額內(nèi)飲料能全部售出,每天配制甲種飲料杯、乙種飲料杯能獲利最大.

[總結(jié)反思]解線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟:(1)分析題意,設(shè)出未知量;(2)列出約束條件和目標(biāo)函數(shù);(3)作出平面區(qū)域;(4)判斷最優(yōu)解;(5)根據(jù)實(shí)際問題作答.式題[2017·長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)三模]某高新技術(shù)公司要生產(chǎn)一批新研發(fā)的A款產(chǎn)品和B款產(chǎn)品,生產(chǎn)一臺(tái)A款產(chǎn)品需要甲材料3kg,乙材料1kg,并且需要花費(fèi)1天時(shí)間,生產(chǎn)一臺(tái)B款產(chǎn)品需要甲材料1kg,乙材料3kg,也需要1天時(shí)間,已知生產(chǎn)一臺(tái)A款產(chǎn)品的利潤是1000元,生產(chǎn)一臺(tái)B款產(chǎn)品的利潤是2000元,公司目前有甲、乙材料各300kg,則在不超過120天的情況下,公司生產(chǎn)兩款產(chǎn)品的最大利潤是元.

第36講基本不等式課前雙擊鞏固1.基本不等式ab≤a(1)基本不等式成立的條件:.

(2)等號(hào)成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

2.幾個(gè)重要的不等式(1)a2+b2≥(a,b∈R).

(2)ba+ab≥(a,b同號(hào)(3)ab≤a+b22(a,b∈R)(4)a+b22≤a2+b22(a3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0,b>0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為,幾何平均數(shù)為ab,基本不等式可敘述為:.

4.利用基本不等式求最值問題已知x>0,y>0,則(1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),x+y有最小值是(簡(jiǎn)記:積定和最小).

(2)如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),xy有最大值是(簡(jiǎn)記:和定積最大).

題組一常識(shí)題1.[教材改編]已知x>2,則x+1x+2的最小值為2.[教材改編]已知正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y=1,則xy的最大值為.

3.[教材改編]一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園,則這個(gè)矩形菜園的最大面積為.

題組二常錯(cuò)題◆索引:對(duì)于基本不等式的應(yīng)用,注意字母的正負(fù)以及等號(hào)成立的條件,等號(hào)不成立時(shí),通常考慮利用函數(shù)的單調(diào)性求解.4.函數(shù)y=x2x-1(x<15.當(dāng)x≥4時(shí),x+4x-16.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=3,則4x+1y的最小值為課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)一利用基本不等式求最值考向1利用配湊法求最值1(1)[2017·重慶九校聯(lián)考]若a>0,則a+82a+1的最小值為(2)已知x+3y=1(x>0,y>0),則xy的最大值是.

[總結(jié)反思]利用配湊法求最值,主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.考向2利用常數(shù)代換法求最值2(1)[2017·煙臺(tái)一模]已知函數(shù)y=1+logmx(m>0且m≠1)的圖像恒過點(diǎn)M,若直線xa+yb=1(a>0,b>0)經(jīng)過點(diǎn)M,則a+b的最小值為 (A.2 B.3C.4 D.5(2)[2017·四川綿陽中學(xué)三模]已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足a7=a6+2a5,若存在兩項(xiàng)am,ap,使得amap=16a12,則1m+4pA.43 B.C.32 D.[總結(jié)反思]常數(shù)代換法主要解決形如“已知x+y=t(t為常數(shù)),求ax+by的最值”的問題,先將ax+by轉(zhuǎn)化為ax+by·考向3利用消元法求最值3[2017·浙江學(xué)軍中學(xué)模擬]已知正實(shí)數(shù)a,b滿足a2b+4≤0,則u=2a+3ba+A.有最大值14B.有最小值14C.有最小值3D.有最大值3[總結(jié)反思]當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí),通常是考慮利用已知條件消去部分變量后,湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”,最后利用基本不等式求最值.考向4利用兩次基本不等式求最值4已知a>b>0,那么a2+1b(a-[總結(jié)反思]利用基本不等式求函數(shù)或代數(shù)式的最值時(shí)一定要注意驗(yàn)證等號(hào)是否成立,特別是當(dāng)連續(xù)多次使用基本不等式時(shí),一定要注意每次是否能保證等號(hào)成立,并且注意取等號(hào)的條件的一致性,因此在利用基本不等式處理問題時(shí),列出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要步驟,也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法.強(qiáng)化演練1.【考向1】已知x∈0,14,則y=x(14x)的最大值為.

2.【考向1】若函數(shù)f(x)=x+1x-2(x<2)在x=a處取得最大值,則a= A.21 B.13C.1 D.23.【考向2】設(shè)直角坐標(biāo)系xOy平面內(nèi)的三點(diǎn)A(1,2),B(a,1),C(b,0),其中a>0,b>0,若A,B,C三點(diǎn)共線,則1a+2b的最小值為 (A.4 B.6C.8 D.94.【考向4】設(shè)a>b>0,則a2+1ab+1a(a-A.1 B.2C.3 D.45.【考向3】[2017·山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模]若a,b,c都是正數(shù),且a+b+c=2,則4a+1+1b+A.2 B.3C.4 D.6探究點(diǎn)二基本不等式與函數(shù)的綜合問題5(1)[2017·合肥質(zhì)檢]對(duì)函數(shù)fx,如果存在x0≠0使得fx0=f-x0,則稱(x0,fx0)與(x0,f-x0)為函數(shù)圖像的一組奇對(duì)稱點(diǎn).若fx=exa(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))存在奇對(duì)稱點(diǎn),則實(shí)數(shù)aA.-∞,B.1C.eD.1(2)[2017·南昌一模]已知兩條直線l1:y=m(m>0)和l2:y=82m+1,l1與函數(shù)y=log2x的圖像從左到右相交于點(diǎn)A,B,l2與函數(shù)y=log2x的圖像從左到右相交于點(diǎn)C,D,記線段AC和BD在x軸上的投影長(zhǎng)度分別為a,b[總結(jié)反思]形如y=ax2+bx+cdx+e的函數(shù)的值域或最值,式題若在函數(shù)y=fx圖像上不同兩點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)處的切線的斜率分別是kM,kN,規(guī)定φ(M,N)=|kM-kN||MN|(|MN|為線段MN的長(zhǎng)度)叫作曲線y=f(x)在點(diǎn)M與點(diǎn)N之間的“彎曲度”.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+2圖像上的不同兩點(diǎn)為M(x1,y1),N(x2,y2),且x1x2=1,則φ探究點(diǎn)三基本不等式的實(shí)際應(yīng)用6小王于年初用50萬元購買一輛大貨車,第一年因繳納各種費(fèi)用需支出6萬元,從第二年起,每年都比上一年增加支出2萬元,假定該車每年的運(yùn)輸收入均為25萬元.小王在該車運(yùn)輸累計(jì)收入超過總支出后,考慮將大貨車作為二手車出售,若該車在第n年年底出售,其銷售價(jià)格為(25n)萬元(國家規(guī)定大貨車的報(bào)廢年限為10年).(1)大貨車運(yùn)輸?shù)降趲啄昴甑?該車運(yùn)輸累計(jì)收入超過總支出?(2)在第幾年年底將大貨車出售,能使小王獲得的年平均利潤最大?(利潤=累計(jì)收入+銷售收入總支出)

[總結(jié)反思]利用基本不等式解決實(shí)際應(yīng)用題的基本思路:(1)設(shè)變量時(shí)一般把要求的變量定義為函數(shù);(2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后,再利用基本不等式求得函數(shù)的最值;(3)求最值時(shí)注意定義域的限制.第37講合情推理與演繹推理課前雙擊鞏固1.合情推理(1)定義:根據(jù)已有的事實(shí),經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想,再進(jìn)行,然后提出的推理叫作合情推理.

(2)分類:數(shù)學(xué)中常用的合情推理有和.

(3)歸納和類比推理的定義、特點(diǎn)及步驟名稱歸納推理類比推理定義根據(jù)某類事物的具有某些特征,推出該類事物的都具有這些特征的推理,或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理,叫作歸納推理

由兩類對(duì)象具有特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征,推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理,叫作類比推理

特點(diǎn)由到、

由到的推理

由到的推理

步驟①通過觀察發(fā)現(xiàn);

②從已知的中推出

①找出兩類事物之間的;

②用一類事物的去推測(cè),得出一個(gè)明確的命題(猜想)

2.演繹推理(1)模式:三段論①大前提:已知的一般原理;②小前提:所研究的特殊情況;③結(jié)論:根據(jù)一般原理,對(duì)特殊情況做出的判斷.(2)特點(diǎn):演繹推理是由到的推理.

題組一常識(shí)題1.[教材改編]仔細(xì)觀察如圖6371所示的圖形:圖(1)是一個(gè)水平擺放的小正方體木塊,圖(2)、圖(3)是由這樣的小正方體木塊疊放而成的,按照這樣的規(guī)律放下去,至第7個(gè)疊放的圖形中,小正方體木塊總數(shù)是.

圖63712.[教材改編]若數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列,且bn=a1+a2+…+ann,則{bn}也為等差數(shù)列.類比上述性質(zhì),相應(yīng)地:若數(shù)列{cn}是等比數(shù)列,且cn>0,則當(dāng)d3.[教材改編]給出如下“三段論”的推理過程:因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)是增函數(shù)(大前提),而y=log12x是對(duì)數(shù)函數(shù)(小前提),所以y=log12x是增函數(shù)則上述推理過程的錯(cuò)誤原因是.

題組二常錯(cuò)題◆索引:演繹推理中的大前提、小前提和結(jié)論判斷出現(xiàn)錯(cuò)誤或違背演繹推理規(guī)則;沒有理解類比推理中的規(guī)律,歸納推理中的猜想.4.正弦函數(shù)是奇函數(shù),因?yàn)閒(x)=sin(x+1)是正弦函數(shù),所以f(x)=sin(x+1)是奇函數(shù).以上推理的錯(cuò)誤原因是.

5.在平面幾何中有如下結(jié)論:若正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1,外接圓面積為S2,則S1S2=14.推廣到空間幾何體中可以得到類似結(jié)論:若正四面體ABCD的內(nèi)切球體積為V1,外接球體積為V2,則6.觀察下列各式:1+122<1+122+131+122+132+……照此規(guī)律,當(dāng)n∈N*時(shí),1+122+132+…+課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)一類比推理1(1)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則S4,S8S4,S12S8成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論有:設(shè)等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為Tn,則T4,,T12(2)[2017·太原三模]我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的論割圓術(shù)中有:“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周盒體而無所失矣.”它體現(xiàn)了一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程.比如在表達(dá)式1+11+11+…中“…”即代表無限次重復(fù),但原式卻是個(gè)定值,它可以通過方程1+1x=x(x>0)求得x=5+12.類比上述方法,A.3 B.13C.6 D.22[總結(jié)反思]類比推理是由特殊到特殊的推理,其一般步驟為:①找出兩類事物之間的相似性或一致性;②用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì),得出一個(gè)明確的命題(猜想).式題(1)[2017·吉林大學(xué)附屬中學(xué)模擬]如圖6372,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=a,CD=b(a>b).若EF∥AB,EF到CD與AB的距離之比為m∶n,則可推算出EF=ma+nbm+n,利用以上結(jié)論,推想出下面問題的結(jié)果.在上面的梯形ABCD中,分別延長(zhǎng)梯形的兩腰AD和BC交于O點(diǎn),設(shè)△OAB,△ODC的面積分別為S1,S2,則△OEF的面積S0滿足(利用m,n,S1,S(2)已知等差數(shù)列an中,a1009=0,則a1+a2+…+am=a1+a2+…+a2017m(m<2017).若等比數(shù)列bn中,b1010=1,則類比上述等差數(shù)列的結(jié)論,試寫出等比數(shù)列的結(jié)論為圖6372式題(1)[2017·吉林大學(xué)附屬中學(xué)模擬]如圖6372,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=a,CD=b(a>b).若EF∥AB,EF到CD與AB的距離之比為m∶n,則可推算出EF=ma+nbm+n,利用以上結(jié)論,推想出下面問題的結(jié)果.在上面的梯形ABCD中,分別延長(zhǎng)梯形的兩腰AD和BC交于O點(diǎn),設(shè)△OAB,△ODC的面積分別為S1,S2,則△OEF的面積S0滿足(利用m,n,S1,S(2)已知等差數(shù)列an中,a1009=0,則a1+a2+…+am=a1+a2+…+a2017m(m<2017).若等比數(shù)列bn中,b1010=1,則類比上述等差數(shù)列的結(jié)論,試寫出等比數(shù)列的結(jié)論為探究點(diǎn)二歸納推理2(1)[2017·南昌三模]已知13+23=622,13+23+33=1222,13+23+33+43=2022,….若13+23+33+43+…+n3=3025,則A.8 B.9 C.10 D.11(2)[2017·鄭州、平頂山、濮陽質(zhì)檢]平面內(nèi)凸四邊形有2條對(duì)角線,凸五邊形有5條對(duì)角線,以此類推,凸十三邊形的對(duì)角線條數(shù)為 ()A.42 B.65 C.143 D.169[總結(jié)反思]歸納推理是從特殊到一般的推理,所以應(yīng)根據(jù)題中所給的現(xiàn)有的圖形、數(shù)據(jù)、結(jié)構(gòu)等著手分析,從而找出一般性的規(guī)律或結(jié)論.式題(1)已知整數(shù)對(duì)的序列為(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,則第70個(gè)數(shù)對(duì)是 ()A.3,10 B.4,9 C.5(2)已知fx=2x2-x,設(shè)f1x=fx,fnx=fn1[fn1(x)](n>1,n∈N*),若fm(x)=x1-256x(m∈A.9 B.10 C.11 D.126探究點(diǎn)三演繹推理3如圖6373,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC⊥BC,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).圖6373求證:(1)AC⊥BC1;(2)AC1∥平面B1CD.

[總結(jié)反思]演繹推理是從一般到特殊的推理,其一般模式為三段論,應(yīng)用三段論解決問題時(shí),首先應(yīng)該明確大前提、小前提是什么,如果前提是顯然的,則可以省略.式題[2017·陜西渭南二模]某運(yùn)動(dòng)隊(duì)對(duì)A,B,C,D四位運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行選拔,只選一人參加比賽,在選拔結(jié)果公布前,甲、乙、丙、丁四位教練對(duì)這四位運(yùn)動(dòng)員預(yù)測(cè)如下:甲說:“是C或D參加比賽”;乙說:“是B參加比賽”;丙說:“A,D都未參加比賽”;丁說:“是C參加比賽”.若這四位教練中只有兩位說的話是對(duì)的,則參賽的運(yùn)動(dòng)員是.

第38講直接證明與間接證明課前雙擊鞏固1.直接證明(1)綜合法綜合法是從推導(dǎo)到的思維方法.

具體地說,綜合法是從出發(fā),經(jīng)過逐步的,最后達(dá)到.

(2)分析法分析法是從追溯到的思維方法,具體地說,分析法是從出發(fā),一步一步尋求結(jié)論成立的,最后達(dá)到或.

2.間接證明反證法:假設(shè)不成立(即在的條件下,不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出,因此說明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明了成立,這種證明方法,叫作反證法.

題組一常識(shí)題1.[教材改編]利用反證法證明“2,23,32不可能成等比數(shù)列”時(shí),正確的假設(shè)是.

2.[教材改編]要證明3+7<25,可選擇的方法有“綜合法、分析法、類比法、歸納法”四種,其中最合理的方法是.

3.[教材改編]已知數(shù)列an中,a1=2,an+1-3an=2,則數(shù)列題組二常錯(cuò)題◆索引:利用反證法證明“至少”“至多”問題時(shí)反設(shè)不正確;利用分析法證明時(shí)尋求的條件不充分,造成最后所求索的原因錯(cuò)誤;用反證法證明時(shí)對(duì)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”的結(jié)論否定出錯(cuò).4.利用反證法證明“已知a>0,b>0,且a+b>2,證明1+ba,1+ab中至少有一個(gè)小于5.若用分析法證明“設(shè)a>b>c且a+b+c=0,求證b2-ac<3a”,則索的因是(①ab>0;②ac>0;③(ab)(ac)>0;④(ab)(ac)<0.6.利用反證法證明“已知(x1)2+(y1)2=0,求證x=1且y=1”時(shí)的反設(shè)是.

課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)一綜合法1[2017·鷹潭一中月考]設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=1,an+1=n+2nS(1)證明:數(shù)列Snn(2)求數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和Tn

[總結(jié)反思](1)從已知出發(fā),逐步推理直到得出所證結(jié)論的方法為綜合法;(2)計(jì)算題的計(jì)算過程也是根據(jù)已知的式子進(jìn)行逐步推導(dǎo)的過程,也是使用的綜合法.式題[2017·遵義質(zhì)檢]設(shè)Tn是數(shù)列an的前n項(xiàng)之積,并滿足:Tn=1an.(1)證明:數(shù)列1Tn是等差數(shù)列;(2)令bn=ann2+n,證明:bn的前n

探究點(diǎn)二分析法2給定常數(shù)c>0,定義函數(shù)f(x)=2|x+c+4||x+c|,數(shù)列{an}滿足an+1=f(an).(1)若a1=c2,求a2及a3;(2)求證:對(duì)任意n∈N*,an+1an≥c.

[總結(jié)反思](1)分析法采用逆向思維,往往是先從所要證明的結(jié)論出發(fā),找到結(jié)論成立的充分條件;(2)應(yīng)用分析法的關(guān)鍵在于保證分析過程的每一步都可逆,它的常用書面表達(dá)形式為“要證……只需證……即證……”.式題已知m>0,a,b∈R,求證:a+mb1+m

探究點(diǎn)三反證法3設(shè)a>0,b>0,且a2+b2=1a2+1b2.證明:a2+a<2與b2+b<

[總結(jié)反思]反證法的一般步驟:(1)分清命題