第五章三角函數(shù)5.1.1任意角——(教學(xué)方式：基本概念課—逐點(diǎn)理清式教學(xué))課時(shí)目標(biāo)1．了解任意角的概念，能區(qū)分正角、負(fù)角與零角．了解象限角的概念，理解并掌握終邊相同的角的概念．2．能寫出終邊相同的角所組成的集合．利用象限角和終邊相同的角的概念解決簡單的問題．CONTENTS目錄123逐點(diǎn)清(一)任意角逐點(diǎn)清(二)象限角逐點(diǎn)清(三)終邊相同的角4逐點(diǎn)清(四)終邊相同角的應(yīng)用5課時(shí)跟蹤檢測(cè)逐點(diǎn)清(一)任意角01多維理解1．角的定義

角的概念角可以看成一條_____繞著它的端點(diǎn)_____所成的_____角的表示①始邊：射線的起始位置OA.②終邊：射線的終止位置OB.

③頂點(diǎn)：射線的端點(diǎn)O.

④記法：圖中的角α可記為“角α”或“∠α”或“∠AOB”射線旋轉(zhuǎn)圖形2．角的分類名稱定義圖示正角一條射線繞其端點(diǎn)按_______方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角一條射線繞其端點(diǎn)按________方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線______做任何旋轉(zhuǎn)形成的角逆時(shí)針順時(shí)針沒有3．角的運(yùn)算設(shè)α，β是任意兩個(gè)角，_____為角α的相反角．(1)α＋β：把角α的______旋轉(zhuǎn)角β.(2)α－β：α－β＝__________．－α終邊α＋(－β)1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)小于90°的角都是銳角．

(

)(2)終邊與始邊重合的角為零角．

(

)(3)大于90°的角都是鈍角．

(

)(4)相等的角終邊相同．

(

)微點(diǎn)練明××××√2.如圖是清代的時(shí)辰醒鐘，此醒鐘直徑12.5厘米，厚7.5厘米，由清朝宮廷鐘表處制造，以中國傳統(tǒng)的一日十二個(gè)時(shí)辰為表盤顯示，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)與普通機(jī)械鐘表的內(nèi)部結(jié)構(gòu)相似．則丑時(shí)與午時(shí)的夾角是(

)A．120° B．135°C．150° D．165°√3．經(jīng)過2個(gè)小時(shí)，鐘表的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是(

)A．60°，720° B．－60°，－720°C．－30°，－360° D．－60°，720°4.如圖，射線OA先繞端點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°到OB處，再按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)820°至OC處，則β＝________.－40°解析：因?yàn)椤螦OC＝60°＋(－820°)＝－760°，所以β＝－(760°－720°)＝－40°.逐點(diǎn)清(二)象限角02把角放在直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與______重合，角的始邊與______軸的非負(fù)半軸重合．那么，角的______在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾_________．如果角的終邊在__________，那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．多維理解原點(diǎn)終邊象限角坐標(biāo)軸上x|微|點(diǎn)|助|解|(1)銳角是第一象限角，鈍角是第二象限角，直角的終邊在坐標(biāo)軸上，它不屬于任何一個(gè)象限；正確區(qū)分銳角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角．銳角是0°<α<90°的角；0°～90°的角是0°≤α<90°的角；小于90°的角是α<90°的角(包括零角、負(fù)角)．(2)每一個(gè)象限都有正角和負(fù)角．1．(多選)下列各角是第二象限角的是(

)A．160°B．480°C．－960°D．1530°解析：160°很顯然是第二象限角；480°＝120°＋360°是第二象限角；－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；1530°＝4×360°＋90°不是第二象限角．微點(diǎn)練明√√√2．90°是(

)A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第二象限角 D．不屬于任何象限解析：因?yàn)?0°角的終邊落在y軸的非負(fù)半軸上，所以90°角不屬于任何象限．√3．下列敘述正確的是(

)A．三角形的內(nèi)角是第一或第二象限角B．鈍角是第二象限角C．第二象限角比第一象限角大D．小于180°的角是鈍角、直角或銳角√解析：直角不屬于任何一個(gè)象限，故A不正確；鈍角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正確；由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正確；由于零角和負(fù)角也小于180°，故D不正確．逐點(diǎn)清(三)終邊相同的角03多維理解1．終邊相同角的概念所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝___________________________，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}|微|點(diǎn)|助|解|(1)角α為任意角，“k∈Z”不能省略．k有三層含義：①特殊性：對(duì)k每賦一個(gè)整數(shù)值就有一個(gè)具體對(duì)應(yīng)的角．②一般性：表示所有與角α終邊相同的角(包括α自身)．③從幾何意義上看，k表示角的終邊按一定的方向轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)．k取正整數(shù)時(shí)，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)；k取負(fù)整數(shù)時(shí)，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)；k＝0時(shí)，沒有轉(zhuǎn)動(dòng)．(2)k·360°與α中間要用“＋”連接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)．(3)當(dāng)角的始邊相同時(shí)：相等的角的終邊一定相同，而終邊相同的角不一定相等；終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍；終邊不同則表示的角一定不同．2．象限角與軸線角的集合表示(1)象限角象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}(2)軸線角角的終邊的位置集合表示終邊落在x軸的非負(fù)半軸上{α|α＝k·360°，k∈Z}終邊落在x軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}終邊落在y軸的非負(fù)半軸上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}終邊落在y軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}終邊落在y軸上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}終邊落在x軸上{α|α＝k·180°，k∈Z}終邊落在坐標(biāo)軸上{α|α＝k·90°，k∈Z}微點(diǎn)練明1．將－885°化為α＋k·360°(0≤α<360°，k∈Z)的形式是(

)A．－165°＋(－2)·360°B．195°＋(－3)·360°C．195°＋(－2)·360°D．－195°＋(－3)·360°解析：∵－885°＋1080°＝195°，∴－885°＝195°＋(－1080°)＝195°＋(－3)·360°.√2．(多選)在－360°～360°范圍內(nèi)，與－410°角終邊相同的角是(

)A．－50° B．－40°C．310° D．320°解析：因?yàn)椋?0°＝－410°＋360°，310°＝－410°＋2×360°，所以與－410°角終邊相同的角是－50°和310°.√√√3．若角α，β的終邊相同，則α－β的終邊落在(

)A．x軸的非負(fù)半軸上 B．x軸的非正半軸上C．x軸上

D．y軸的非負(fù)半軸上解析：因?yàn)榻铅?，β的終邊相同，故α－β＝k·360°，k∈Z.所以α－β的終邊落在x軸的非負(fù)半軸上．4．已知－990°＜α＜－630°，且α與120°角的終邊相同，則α＝__________.解析：因?yàn)棣僚c120°角終邊相同，所以α＝k·360°＋120°，k∈Z.又－990°＜k·360°＋120°＜－630°，即－1110°＜k·360°＜－750°，故取k＝－3，則α＝－3×360°＋120°＝－960°.－960°逐點(diǎn)清(四)

終邊相同角的應(yīng)用04[例1]

如圖，終邊落在陰影部分的角的集合是

(

)A．{α|－45°≤α≤120°}B．{α|120°≤α≤315°}C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}√解析：陰影部分的角從－45°到90°＋30°＝120°，再加上360°的整數(shù)倍，即k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z.√2．表示區(qū)域角的三個(gè)步驟(1)先按逆時(shí)針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界．(2)按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α<x<β}，其中β－α<360°.(3)起始、終止邊界對(duì)應(yīng)的角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)域角集合．針對(duì)訓(xùn)練√解析：令k＝0，得45°≤α≤90°.則B選項(xiàng)中的陰影部分區(qū)域符合題意．√√課時(shí)跟蹤檢測(cè)05134567891011121314152√1．下列說法正確的是(

)A．最大的角是180° B．最大的角是360°C．角不可以是負(fù)的 D．角可以是任意大小16156789101112131415234√2．將－880°化為α＋k×360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是

(

)A．160°＋(－3)×360° B．200°＋(－2)×360°C．160°＋(－2)×360° D．200°＋(－3)×360°解析：－880°＝200°＋(－3)×360°.16156789101112131415342√3．“α是銳角”是“α是第一象限角”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：因?yàn)椤唉潦卿J角”能推出“α是第一象限角”，但是反之不成立，例如400°是第一象限角，但不是銳角，所以“α是銳角”是“α是第一象限角”的充分不必要條件．16156789101112131415342√4.已知角α在直角坐標(biāo)系中，如圖所示，其中射線OA與y軸正半軸的夾角為30°，則α的值為(

)A．－480°

B．－240°C．150° D．480°解析：由角α的終邊繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，可知α為正角.又旋轉(zhuǎn)量為480°，∴α＝480°.16156789101112131415342√5．下面各組角中，終邊相同的是(

)A．390°，690° B．－330°，750°C．480°，－420° D．3000°，－840°解析：因?yàn)椋?30°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，所以－330°與750°終邊相同．16156789101112131415342√6．在0°≤α＜360°中，與－510°角的終邊相同的角為(

)A．150° B．210°C．30° D．330°解析：與－510°角終邊相同的角可表示為β＝－510°＋k·360°，k∈Z.當(dāng)k＝2時(shí)，β＝210°.16156789101112131415342√7．(多選)角α＝45°＋k·180°(k∈Z)的終邊可能落在(

)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：當(dāng)k＝2m＋1(m∈Z)時(shí)，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α為第三象限角；當(dāng)k＝2m(m∈Z)時(shí)，α＝m·360°＋45°，故α為第一象限角．故α的終邊在第一或第三象限．√16156789101112131415342√8．若α為第二象限角，則k·180°＋α(k∈Z)的終邊所在的象限是

(

)A．第二象限 B．第一或第二象限C．第一或第三象限 D．第二或第四象限16156789101112131415342解析：因?yàn)棣翞榈诙笙藿?，則2n·180°＋90°<α<2n·180°＋180°，n∈Z，因此(2n＋k)·180°＋90°<k·180°＋α<(2n＋k)·180°＋180°，n，k∈Z，而2n為偶數(shù)，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，2n＋k為奇數(shù)，則k·180°＋α(k∈Z)為第四象限角，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，2n＋k為偶數(shù)，則k·180°＋α(k∈Z)為第二象限角，所以k·180°＋α(k∈Z)的終邊所在的象限是第二或第四象限．16156789101112131415342√A．第一象限

B．第二象限C．第三象限

D．第四象限√161567891011121314153421615678910111213141534210．如果角α與角x＋45°具有相同的終邊，角β與角x－45°具有相同的終邊，那么α與β之間的關(guān)系是(

)A．α＋β＝0°B．α－β＝90°C．α＋β＝k·360°(k∈Z)D．α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)√16156789101112131415342解析：利用終邊相同的角的關(guān)系，得α＝n·360°＋x＋45°(n∈Z)，β＝m·360°＋x－45°(m∈Z)．則α＋β＝(m＋n)·360°＋2x(n∈Z，m∈Z)，與x有關(guān)，故A、C錯(cuò)誤．因?yàn)棣粒拢?n－m)·360°＋90°(n∈Z，m∈Z)，又m，n是整數(shù)，所以n－m也是整數(shù)，用k(k∈Z)表示，所以α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)．故B錯(cuò)誤，D正確．1615678910111213141534211．若α＝2024°，則與α有相同終邊的最小正角β＝________.解析：因?yàn)?024°＝360°×5＋224°，所以與2024°終邊相同的最小正角是224°.224°1615678910111213141534212．在0°～360°范圍內(nèi)，與角－60°的終邊在同一條直線上的角為_______________．120°，300°1615678910111213141534213.已知角α的終邊在如圖陰影表示的范圍內(nèi)(不包含邊界)，那么角α的集合是__________________________________________.{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}16156789101112131415342解析：觀察題圖可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}．1615678910111213141534214．(10分)若角α滿足180°<α<360°，角5α與α有相同的始邊與終邊，求角α的值．解：∵角5α與α具有相同的始邊與終邊，∴5α＝k·360°＋α，k∈Z，得4α＝k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z，又180°<α<360°，∴180°<k·90°<360°，解得2<k<4，又k∈Z，∴k＝3.∴當(dāng)