第1學(xué)時(shí)正、余弦定理第1學(xué)時(shí)題型一

利用正、余弦定理解三角形∵b>a，∴B>A＝45°，∴B有兩解，即B＝60°或120°.①當(dāng)B＝60°時(shí)，C＝180°－(45°＋60°)＝75°，方法二：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA.(2)(2025·八省聯(lián)考)在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos∠BAC＝

，則△ABC的面積為(

)A．6

B．8C．24 D．48√(2)(2025·八省聯(lián)考)在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos∠BAC＝

，則△ABC的面積為(

)A．6

B．8C．24 D．48√【解析】設(shè)AB＝c.方法二：在△ABC中，由正弦定理，狀元筆記(1)在已知三角形兩邊及其中一邊的對角，求該三角形的其他邊角時(shí)，首先必須判明是否有解(例如在△ABC中，已知a＝1，b＝2，A＝60°，則sinB＝

sinA＝

>1，問題就無解)，如果有解，是一解，還是兩解．(2)正、余弦定理可將三角形邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，也可將角(三角函數(shù))的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系．(3)在三角形的判斷中注意應(yīng)用“大邊對大角”．

思考題1

(1)(2017·課標(biāo)全國Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知C＝60°，b＝

，c＝3，則A＝________．75°√題型二

判斷三角形的形狀直角三角形題型二

判斷三角形的形狀直角三角形即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC為直角三角形，但無法判斷兩直角邊是否相等．又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以cosBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinBcosC＝0，又sinB≠0，所以cosC＝0，

(2)在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知

，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，試判斷△ABC的形狀．

(2)在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知

，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，試判斷△ABC的形狀．【答案】等邊三角形又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以△ABC是等邊三角形．狀元筆記

三角形形狀的判定方法(1)通過正弦定理和余弦定理，化邊為角(如a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等)，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷．此時(shí)注意一些常見的三角等式所體現(xiàn)的內(nèi)角關(guān)系，如sinA＝sinB?A＝B；sin(A－B)＝0?A＝B；sin2A＝sin2B?A＝B或A＋B＝

等．(2)利用正弦定理、余弦定理化角為邊，如sinA＝

，cosA＝

等，通過代數(shù)恒等變換，求出三條邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷．(3)注意無論是化邊還是化角，在化簡過程中出現(xiàn)公因式不要約掉，否則會(huì)有漏掉一種情況的可能．

思考題2

【多選題】(2025·山東師大附中模擬)已知a，b，c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，下列四個(gè)命題中正確的是(

)A．若sin2A＋sin2B＋cos2C>1，則△ABC為銳角三角形B．若acosA＝bcosB，則△ABC是等腰三角形C．若bcosC＋ccosB＝b，則△ABC是等腰三角形√√【解析】∵sin2A＋sin2B＋cos2C>1，故sin2A＋sin2B>sin2C，但不能說明△ABC為銳角三角形，∴A錯(cuò)誤；由acosA＝bcosB及正弦定理，可得sin2A＝sin2B，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴B錯(cuò)誤；由bcosC＋ccosB＝b及正弦定理，可知sinBcosC＋sinCcosB＝sinB，∴sinA＝sinB，∴A＝B，∴C正確；由已知和正弦定理，易知tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C，∴D正確．故選CD.題型三

與三角形面積有關(guān)的問題(1)求∠A；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得△ABC存在，求△ABC的面積．條件①：b＝7；狀元筆記

與三角形面積有關(guān)問題的解題策略(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關(guān)邊、角之后，直接求三角形的面積．(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他量．(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面積．【答案】(1)a＝2，b＝2

(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面積．【解析】(2)由題意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA.當(dāng)cosA≠0時(shí)，得sinB＝2sinA，由正弦定理，得b＝2a.題型四

正、余弦定理的應(yīng)用(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinC＝

cosB，a2＋b2－c2＝

ab.(1)求B；題型四

正、余弦定理的應(yīng)用(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinC＝

cosB，a2＋b2－c2＝

ab.(1)求B；

思考題4

(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB.(1)求sinA；(2)設(shè)AB＝5，求AB邊上的高．

思考題4

(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB.(1)求sinA；(2)設(shè)AB＝5，求AB邊上的高．【答案】(2)6本課總結(jié)1．根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角，(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換．2．用正弦(余弦)定理解三角形問題時(shí)可適當(dāng)應(yīng)用向量數(shù)量積