2025年秋季高二年級12月月考數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.若向量，，且，則λ=（） A.0 B.1 C.2 D.32.“”,是直線與直線平行的（） A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件3.設，，直線經(jīng)過圓C:的圓心，則的最小值為（） A． B．4 C． D．64.一個盒子中裝有標號為1,2,3,4,5的5張標簽，隨機地選取兩張標簽，標簽的選取是有放回的，兩張標簽上的數(shù)字為相等整數(shù)的概率為（）

A. B. C. D.5.已知橢圓的中心在原點，離心率，且它的一個焦點與拋物線的焦點重合，則此橢圓方程為（） A． B. C. D. 6.已知直線l過定點A3,3,1，且方向向量為s=(0,1,1)，則點P4,3,2到l A.62 B.22 C.?107.已知直線l:y=x+m與圓C:x2+y2=4交于A,B兩點，O為坐標原點.若∠AOB≤90°，則實數(shù)m的取值范圍是（）

C. D.8.P是雙曲線x216?y29=1的右支上一點，M、N分別是圓(x+5)2 A.7 B.8 C.9 D.10二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若構成空間的一個基底，則下列向量中不共面的是（） A. B.

C. D.10.袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，記事件A={第一次摸到紅球}，事件B={第二次摸到紅球}，事件C={兩個球顏色相同}。則下列結論正確的是()

A.PA=25 B.PA∪B=710

C.11.已知為坐標原點,,點、是拋物線上兩點，為的焦點，則下列說法中正確的有（） A．若，則最小值為 B．周長的最小值為 C．為直徑的圓與軸相切 D．若直線經(jīng)過點，則填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.已知.如果，那么.已知向量，，則向量a在向量b上的投影向量的坐標是.已知橢圓M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，A(0,b)，且△AF1F2是面積為43的正三角形．過四、解答題：本小題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知圓內(nèi)有一點，為過點且傾斜角為的弦（1）當時，求弦長；（2）當弦被點平分時，求直線的方程.

16.如圖，在空間四邊形OABC中，2BD=DC，點E為AD的中點，設OA=a(1)試用向量a，b，c表示向量OE；(2)若OA=OC=4，OB=2，∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，求OE17.象棋是中華民族優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化遺產(chǎn)，為弘揚棋類運動精神，傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，豐富校園文化生活，培養(yǎng)學生良好的心態(tài)和認真謹慎的生活觀，某學校高一年級舉辦象棋比賽.比賽分為初賽和決賽、初賽采用線上知識能力競賽，共有500名學生參加，從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成5組：，，，，，并整理得到如圖頻率分布直方圖：(1)根據(jù)直方圖，求的值，并估計這次知識能力競賽的眾數(shù)和中位數(shù)；(2)決賽環(huán)節(jié)學校決定從知識能力競賽中抽出成績最好的兩個同學甲和乙進行現(xiàn)場棋藝比拼，比賽采取三局兩勝制.若甲每局比賽獲勝的概率均為，且各輪比賽結果相互獨立.求乙最終獲勝的概率.

18.如圖,四棱錐和四棱錐中,底面為邊長為的正方形,平面平面,且.

(1)求證:平面;

(2)求直線與平面所成角的正弦值;

(3)求四棱錐和四棱錐重合部分的體積.19.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的焦距為25，F(xiàn)1(1)求雙曲線C的方程(2)記雙曲線C的左、右頂點分別為A1，A2，直線l:x=my+3與C的右支交于M(ⅰ)求實數(shù)m的取值范圍;(ⅱ)若直線A1M，A2N的斜率分別為k1

《2025年秋季高二年級12月月考》參考答案題號12345678910答案ADCBCABDBCABC題號11答案ACD填空題：12、0.513、14、16D【解析】本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化，屬于拔高題．

由題設通過雙曲線的定義推出|PF1|?|PF2|=8，利用|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|?|NF2|，推出|PM|?|PN|≤|PF1|+|MF1|?|PF2|?|NF2|，求出最大值．

解：在雙曲線x2ACD【解析】拋物線的焦點為，準線方程為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，設點、，對于A選項，若，則直線過點，設直線的方程為，聯(lián)立可的，，由韋達定理可的，，所以，，當且僅當時，等號成立，故最小值為，A對；對于B選項，過點作垂直于直線，垂足為點，由拋物線的定義可得，所以，，當且僅當、、三點共線時，取最小值，且最小值為，所以，的周長為，B錯；對于C選項，線段的中點為，，而為點到軸的距離，故為直徑的圓與軸相切，C對；對于D選項，若直線經(jīng)過點，由 A選項可得，D對.故選：ACD.14.【解析】16

由△AF1F2面積為3，且其為正三角形，可得【解答】

解：如圖，設|OF2|=c，則a2=b2+c2，

因△AF1F2面積為43，且其為正三角形，

又|OA|=b，則b=3c12?2c?b=43?b=23c=2，則a=4，

又直線BC過F1，與AF2垂直，△AF解答題：15.(1) （2）【解析】(1)解：圓的方程可化為：，則，半徑，當時，直線的斜率為1，則直線方程，…………………3分則圓心到直線的距離，所以弦長；…………………7分（2）設直線的斜率為，根據(jù)條件可知，則，所以，………………10分則直線的方程為，即．………………13分16.(1)OE=1【解析】解：(1)∵2BD=DC故OD=OB∵點E為AD的中點，∴OE=(2)由題意得a?c=8，a?故OE?=?=?=?83．17.(1)，眾數(shù)：85，中位數(shù)：80(2)【解析】（1）由頻率分布直方圖，的頻率為的頻率為的頻率為0.42，的頻率為0.08，所以的頻率為，所以，……………3分眾數(shù)：最高矩形對應區(qū)間為，中點即為眾數(shù)：85中位數(shù)：累積頻率達到0.5時，由頻率分布直方圖知中位數(shù)為80.……7分（2）因為乙最終獲勝，比分可能是，，設乙獲勝為事件A，獲勝為事件，…………………9分若乙獲勝，則概率為，……………11分若乙獲勝，則概率為，………………14分又A，B兩個事件互斥，則乙最終獲勝的概率為.………15分18.(1)解析如下（2）.（3）.【解析】(1)證明:因為平面平面,所以,

又因為平面,平面,所以平面.…………4分

(2)分別以為軸建立空間直角坐標系,

由題意得:,,

所以,……………………6分

設平面的法向量為,

故,

令得,故平面的一個法向量為,…………9分

直線與平面所成角為,

,………11分

所以直線與平面所成角的正弦值.……………………12分

(3)連接,由且,

可得:四邊形為平行四邊形,故相交,設交點為;

易得四邊形為平行四邊形,故相交,設交點為,

故四棱錐和四棱錐重合部分為幾何體,

分別取的中點,連接,

容易得到幾何體為三棱柱.

幾何體由四棱錐與三棱柱組合而成.

所以幾何體的體積.

……………17分注：第一問建系，第三問補成棱柱計算亦可.19.(1)x24?y2=1