成都石室錦城外國語學(xué)校中考數(shù)學(xué)期末幾何綜合壓軸題易錯(cuò)匯編一、中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題1．如圖1，在中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，，連接，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn).（1）觀察猜想圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）探究證明把繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請(qǐng)直接寫出面積的最大值.解析：（1）PM=PN，；（2）等腰直角三角形，理由詳見解析；（3）.【詳解】試題分析：(1)已知點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線定理可得,,,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DPM=∠DCE，∠NPD=∠ADC，在中，，，，可得BD=EC，∠DCE+∠ADC=90°，即可得PM=PN，∠DPM+∠NPD=90°，即；（2）是等腰直角三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易證△BAD≌△CAE，即可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，根據(jù)三角形的中位線定理及平行線的性質(zhì)（方法可類比（1）的方法）可得PM="PN,"∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC，所以∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD，∠DPN=∠PNC+∠PCN=∠DBC+∠PCN，即可得∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°，即△PMN為等腰直角三角形；（3）把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖的位置，此時(shí)PN=(AD+AB)="7,"PM=(AE+AC)=7,且PN、PM的值最長，由（2）可知PM=PN，，所以面積的最大值為.試題解析：（1）PM=PN，；（2）等腰直角三角形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)可得∠BAD=∠CAE，又AB=AC,AD=AE∴△BAD≌△CAE∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)∴PM是△DCE的中位線∴PM=CE，且,同理可證PN=BD，且∴PM="PN,"∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC，∴∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD，∠DPN=∠PNC+∠PCN=∠DBC+∠PCN，∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°，即△PMN為等腰直角三角形.(3).考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)和三角形的綜合題.2．（基礎(chǔ)鞏固）（1）如圖①，，求證：．（嘗試應(yīng)用）（2）如圖②，在菱形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊上兩點(diǎn)，將菱形沿翻折，點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線上的點(diǎn)P處，若，求的值．（拓展提高）（3）如圖③，在矩形中，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，連接，若，求的長．解析：（1）見解析；（2）；（3）．【分析】（1）由證明，再根據(jù)相似三角形的判定方法解題即可；（2）由菱形的性質(zhì)，得到，，繼而證明是等邊三角形，結(jié)合（1）中相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，設(shè)，則可整理得到，據(jù)此解題；（3）在邊上取點(diǎn)E，F(xiàn)，使得，由矩形的性質(zhì)，得到，結(jié)合（1）中相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)解題即可．【詳解】解：（1）證明：∵，∴，即，∵，∴；（2）∵四邊形是菱形，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，由（1）得，，∴，設(shè)，則∴，可得①，②，①－②，得，∴，∴的值為；（3）如圖，在邊上取點(diǎn)E，F(xiàn)，使得，設(shè)AB=CD=m，∵四邊形是矩形，∴，∴，=DF，，由（1）可得，，∴，∴，整理，得，解得或（舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合題、等邊三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．3．綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)問題：（1）如圖1，是等腰直角三角形，過斜邊的中點(diǎn)作正方形，分別交，于點(diǎn)，，則，，之間的數(shù)量關(guān)系為______．問題解決：（2）如圖2，在任意內(nèi)，找一點(diǎn)，過點(diǎn)作正方形，分別交，于點(diǎn)，，若，求的度數(shù)；圖2拓展提升：（3）如圖3，在（2）的條件下，分別延長，，交于點(diǎn)，，則，，的數(shù)量關(guān)系為______．圖3（4）在（3）的條件下，若，，則______．解析：（1）；（2）135°；（3）；（4）【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的斜邊與直角邊的關(guān)系及正方形的性質(zhì)即可得出數(shù)量關(guān)系；（2）延長至點(diǎn)，使，連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)易證，從而可得DP=DB，進(jìn)而可證，從而可得，，由三角形內(nèi)角和定理即可求得∠ADB的度數(shù)；（3）由正方形的對(duì)邊平行的性質(zhì)易得AM=DM，BN=DN，從而在Rt△MDN中，由勾股定理即可得MN、AM、BN的數(shù)量關(guān)系；（4）由（2）知FP=BE，即可求得DE=DF=1，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可分別求得EM、FN的長，從而可得DM、DN的長，在Rt△MDN中，由勾股定理即可求得MN的長．【詳解】（1）∵是等腰直角三角形，且AB=AC，∴，∠A=∠B=45°，∵四邊形DECF是正方形，且D是AB的中點(diǎn)，∴DF=FC=CE=DE，∠DFA=∠DEB=90°，DF∥BC，DE∥AC，∴∠ADF=∠B=45°，∠BDE=∠A=45°，∴AF=DF，BE=DE，∴F、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴CF=BE，∴AC=AF+CF=AF+BE，∴；（2）延長至點(diǎn)，使，連接．∵四邊形是正方形，∴，．∵，，，∴．∴．∵，，，∴．又∵，，∴．∴．同理可得：．∵，∴．∴．∴．（3）∵DF∥BC，DE∥AC，∴∠CBD=∠NDB，∠DAC=∠ADM，∵，，∴∠ABD=∠NDB，∠ADM=∠DAB，∴BN=DN，AM=DM．在Rt△MDN中，由勾股定理得：故答案為：，（4）∵△ABC是直角三角形，AC=3，BC=4，∴由勾股定理得：AB=5，設(shè)正方形DECF的邊長為x，由（2）知，AP=AB=5，BE=FP，CP=AP-AC=2，∵FP=CP+CF，BE=BC-CE，即4-x=2+x，解得x=1，∴BE=BC-CE=3，AF=AC-CF=2，∵EM∥AC，F(xiàn)N∥BC，∴△BME∽△BAC，△AFN∽△ACB∴，，∴，．∵DM=ME-DE=，DN=FN-DF=，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，截長補(bǔ)短法作輔助線是本題的關(guān)鍵．4．定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做“對(duì)補(bǔ)四邊形”，例如，四邊形中，若或，則四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”．（概念理解）（1）如圖1，四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”．①若，則________；②若．且時(shí)．則_______；（拓展提升）（2）如圖，四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”，當(dāng)，且時(shí)，圖中之間的數(shù)量關(guān)系是，并證明這種關(guān)系；（類比應(yīng)用）（3）如圖3，在四邊形中，平分；①求證：四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”；②如圖4，連接，當(dāng)，且時(shí)，求的值．解析：（1）①，②；（2），理由見解析；（3）①見解析，②．【分析】（1）①根據(jù)“對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義，結(jié)合，即可求得答案；②根據(jù)“對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義，由，得，再利用勾股定理即可求得答案；（2）延長至點(diǎn)，使得，連接，根據(jù)“對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義，可證明，繼而證明，從而可得結(jié)論；（3）①過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則,可證，進(jìn)而可證四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”；②設(shè)，則根據(jù)，再運(yùn)用建立方程，解方程即可求得．【詳解】（1），設(shè)，根據(jù)“對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義，，即，解得，，，．故答案為：．②如圖1，連接，，，，在中，在中，，，，故答案為：．（2），理由如下：如圖2，延長至點(diǎn),使得，連接，四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”，，，，，，，，即，，，，，,，，即，故答案為：．（3）①證明：如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，平分，，，，，，，與互補(bǔ)，四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”；②由①可知四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”，，，，設(shè)，則，，，，，，，整理得：，解得：．在中，，．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，四邊形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，解一元二次方程，三角函數(shù)的定義等知識(shí)，熟練掌握勾股定理和全等三角形的判定和性質(zhì)，準(zhǔn)確理解新定義是解題的關(guān)鍵．5．（了解概念）在凸四邊形中，若一邊與它的兩條鄰邊組成的兩個(gè)內(nèi)角相等，則稱該四邊形為鄰等四邊形，這條邊叫做這個(gè)四邊形的鄰等邊．（理解運(yùn)用）（1）在鄰等四邊形中，，，若是這個(gè)鄰等四邊形的鄰等邊，則的度數(shù)為__________；（2）如圖，凸四邊形中，P為邊的中點(diǎn)，，判斷四邊形是否為鄰等四邊形，并證明你的結(jié)論；（拓展提升）（3）在平面直角坐標(biāo)系中，為鄰等四邊形的鄰等邊，且邊與x軸重合，已知，，，若在邊上使的點(diǎn)P有且僅有1個(gè)，則m的值是__________．解析：（1）130°；（2）四邊形ABCD是鄰等四邊形，理由見解析；（3）﹣5±4【分析】（1）根據(jù)鄰等四邊形的定義即可求解；（2）由△ADP∽△PDC，可得，∠DAP＝∠DPC，∠APD＝∠PCD，由P為AB的中點(diǎn)，可得AP＝BP，則，可證△BPC∽△ADP，由相似三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠B即可；（3）①若點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)，如圖，由AB為鄰等邊，則有∠DAB＝∠ABC＝∠DPC，可證△ADP∽△BPC，可得＝，設(shè)點(diǎn)P（n，0），由等腰直角三角形可求∠BAD＝45°，可求B、C橫坐標(biāo)之差為3，B（m+3，0），將AP，BP，AD，BC，代入得：，整理可得：﹣n2+（m+1）n+2m﹣18＝0，由題意可知n只有一個(gè)解，可求得m＝﹣5+4；②若點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)，可求得∠BAD＝135°，可證△ADP∽△BPC，可得＝，可求得B、C橫坐標(biāo)之差為3，，可求得m＝﹣5﹣4．【詳解】解：（1）∵CD為鄰等邊，∴∠C＝∠D，又∵，，∴∠C＝∠D＝（360°﹣∠A﹣∠B）÷2＝130°，∴∠C＝130°．故答案為：130°；（2）四邊形ABCD是鄰等四邊形，理由如下：∵△ADP∽△PDC，∴，∠DAP＝∠DPC，∠APD＝∠PCD，∠ADP＝∠PDC，又∵P為AB的中點(diǎn)，∴AP＝BP，∴，∴，∵∠APD+∠BPC＝180°﹣∠DPC，∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠DPC，且∠APD＝∠PCD，∴∠BPC＝∠PDC，∵∠ADP＝∠PDC，∴∠ADP＝∠BPC，∴△BPC∽△ADP，∴∠B＝∠A，∴四邊形ABCD為鄰等四邊形；（3）若點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)，如圖，∵AB為鄰等邊，則有∠DAB＝∠ABC＝∠DPC，又∵∠ADP+∠DPA＝180°﹣∠DAB，∠BPC+∠DPA＝180°﹣∠DPC，∴∠DAB＝∠DPC，∠ADP＝∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴＝，設(shè)點(diǎn)P（n，0），∵A（﹣2，0），D（2，4），∴∠BAD＝45°，∴∠ABC＝45°，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，則∠CEB＝90°，∠BCE＝∠ABC＝45°，∴CE＝BE，∵點(diǎn)C（m，3），∴CE＝3，∴BE＝3，∴B（m+3，0），∴AP＝n+2，BP＝m+3﹣n，∴AD＝＝，BC＝＝，代入＝得：，整理可得：﹣n2+（m+1）n+2m﹣18＝0，由題意可知n只有一個(gè)解，∴△＝（m+1）2+4（2m﹣18）＝0，解得：m＝﹣5±4，又∵點(diǎn)C在點(diǎn)D右側(cè)，∴m＝﹣5+4；②若點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)，如圖，此時(shí)，∵A（﹣2，0），D（2，4），∴∠OAD＝45°，∴∠BAD＝∠ABC＝∠DPC＝135°，∵∠ADP+∠DPA＝180°﹣∠DAB，∠BPC+∠DPA＝180°﹣∠DPC，∴ADP＝∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴＝，由①得：B（m+3，0），C（m，3），P（n，0），AP＝﹣2﹣n，BP＝n﹣m﹣3，AD＝，BC＝，∴，解得：m＝﹣5±4，又∵點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)，∴m＝﹣5﹣4；綜上所述：m＝﹣5±4．【點(diǎn)睛】本題是相似綜合題，考查新定義圖形，仔細(xì)閱讀題目，抓住定義中的性質(zhì)，會(huì)驗(yàn)證新定義圖形，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)造關(guān)于n的一元二次方程是解題關(guān)鍵．6．我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”（1）概念理解：請(qǐng)你根據(jù)上述定義舉一個(gè)等鄰角四邊形的例子；（2）問題探究；如圖1，在等鄰角四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂線恰好交于AB邊上一點(diǎn)P，連結(jié)AC，BD，試探究AC與BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）應(yīng)用拓展；如圖2，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，將Rt△ABD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如圖3），當(dāng)凸四邊形AD′BC為等鄰角四邊形時(shí)，求出它的面積．解析：（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由見解析；（3）10或12﹣．【分析】（1）矩形或正方形鄰角相等，滿足“等鄰角四邊形”條件；（2）AC=BD，理由為：連接PD，PC，如圖1所示，根據(jù)PE、PF分別為AD、BC的垂直平分線，得到兩對(duì)角相等，利用等角對(duì)等角得到兩對(duì)角相等，進(jìn)而確定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB與三角形DPB全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；（3）分兩種情況考慮：（i）當(dāng)∠AD′B=∠D′BC時(shí)，延長AD′，CB交于點(diǎn)E，如圖3（i）所示，由S四邊形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′，求出四邊形ACBD′面積；（ii）當(dāng)∠D′BC=∠ACB=90°時(shí)，過點(diǎn)D′作D′E⊥AC于點(diǎn)E，如圖3（ii）所示，由S四邊形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′，求出四邊形ACBD′面積即可．【詳解】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由為：連接PD，PC，如圖1所示：∵PE是AD的垂直平分線，PF是BC的垂直平分線，∴PA=PD，PC=PB，∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠PAD=∠PBC，∴∠APC=∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC=BD；（3）分兩種情況考慮：（i）當(dāng)∠AD′B=∠D′BC時(shí)，延長AD′，CB交于點(diǎn)E，如圖3（i）所示，∴∠ED′B=∠EBD′，∴EB=ED′，設(shè)EB=ED′=x，由勾股定理得：42+（3+x）2=（4+x）2，解得：x=4.5，過點(diǎn)D′作D′F⊥CE于F，∴D′F∥AC，∴△ED′F∽△EAC，∴，即，解得：D′F=，∴S△ACE=AC×EC=×4×（3+4.5）=15；S△BED′=BE×D′F=×4.5×=，則S四邊形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣=10；（ii）當(dāng)∠D′BC=∠ACB=90°時(shí)，過點(diǎn)D′作D′E⊥AC于點(diǎn)E，如圖3（ii）所示，∴四邊形ECBD′是矩形，∴ED′=BC=3，在Rt△AED′中，根據(jù)勾股定理得：AE=，∴S△AED′=AE×ED′=××3=，S矩形ECBD′=CE×CB=（4﹣）×3=12﹣3，則S四邊形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′=+12﹣3=12﹣．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了“等鄰角四邊形”的理解，三角形，四邊形的內(nèi)角和定理，角平分線的意義，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，理解“等鄰角四邊形”的定義是解本題的關(guān)鍵，分類討論是解本題的難點(diǎn)，是一道中考常考題．7．如圖所示，在△ABC中，，D、E分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且，連結(jié)AD、AE，點(diǎn)M、N、P分別是CD、AE、AC的中點(diǎn)，設(shè)．（1）觀察猜想①在求的值時(shí)，小明運(yùn)用從特殊到一般的方法，先令，解題思路如下：如圖1，先由，得到，再由中位線的性質(zhì)得到，，進(jìn)而得出△PMN為等邊三角形，∴．②如圖2，當(dāng)，仿照小明的思路求的值；（2）探究證明如圖3，試猜想的值是否與的度數(shù)有關(guān)，若有關(guān)，請(qǐng)用含的式子表示出，若無關(guān)，請(qǐng)說明理由；（3）拓展應(yīng)用如圖4，，點(diǎn)D、E分別是射線AB、CB上的動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)M、N、P分別是線段CD、AE、AC的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出MN的長．解析：（1）②；（2）的值與的度數(shù)有關(guān)，；（3）MN的長為或．【分析】（1）②先根據(jù)線段的和差求出，再根據(jù)中位線定理、平行線的性質(zhì)得出，從而可得出，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得；（2）參照題（1）的方法，得出為等腰三角形和的度數(shù)，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可求出答案；（3）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)D、E分別是邊AB、CB上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)和當(dāng)點(diǎn)D、E分別是邊AB、CB的延長線上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，如圖（見解析），先利用等腰三角形的性質(zhì)與判定得出，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出BC、CE的長，由根據(jù)等腰三角形的三線合一性得出，從而可得的值，最后分別利用（2）的結(jié)論即可得MN的長．【詳解】（1）②∴∴為等腰直角三角形，∵點(diǎn)M、N、P分別是CD、AE、AC的中點(diǎn)∴∴為等腰直角三角形，∴即；（2）的值與的度數(shù)有關(guān)，求解過程如下：由（1）可知，，即為等腰三角形如圖5，作則在中，，即則；（3）依題意，分以下兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)D、E分別是邊AB、CB上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)如圖6，作的角平分線交AB邊于點(diǎn)F，并連結(jié)BP，，即設(shè)，則解得或（不符題意，舍去）即由（2）可知，點(diǎn)P是AC上的中點(diǎn)，（等腰三角形的三線合一）在中，，即②如圖7，當(dāng)點(diǎn)D、E分別是邊AB、CB的延長線上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)同理可得：綜上，MN的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查了中位線定理、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），依據(jù)題意，正確分兩種情況，并結(jié)合題（2）的結(jié)論是解題關(guān)鍵．8．（感知）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將線段繞著點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至線段，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，易知，得到點(diǎn)的坐標(biāo)為．（探究）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將線段繞著點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至線段．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)．（用含的代數(shù)式表示）（2）求出BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式．（拓展）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，將線段繞著點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至線段，連結(jié)、，則的最小值為_______．解析：【探究】（1）點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）；【拓展】．【分析】探究:（1）證明△AOC≌△CMB（AAS），即可求解；（2）根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，m+1），點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解；拓展：BO+BA=，BO+BA的值，相當(dāng)于求點(diǎn)P（m，m）到點(diǎn)M（1，-1）和點(diǎn)N（0，-1）的最小值，即可求解．【詳解】解：探究：（1）過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)．，．線段繞著點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至線段，．．．，，．點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)為（2）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，m+1），點(diǎn)C為（0，m），設(shè)直線BC為：y=kx+b，，解得：，∴；則BC所在的直線為：；拓展：如圖作BH⊥OH于H．設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m），由（1）知：OC=HB=m，OA=HC=1，則點(diǎn)B（m，1+m），則：BO+BA=，BO+BA的值，相當(dāng)于求點(diǎn)P（m，m）到點(diǎn)M（1，-1）和點(diǎn)N（0，-1）的最小值，相當(dāng)于在直線y=x上尋找一點(diǎn)P（m，m），使得點(diǎn)P到M（0，-1），到N（1，-1）的距離和最小，作M關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)M′（-1，0），易知PM+PN=PM′+PN≥NM′，M′N=，故：BO+BA的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題為一次函數(shù)綜合題，主要考查的是三角形全等的思維拓展，其中拓展，將BO+BA的值轉(zhuǎn)化點(diǎn)P（m，m）到點(diǎn)M（1，-1）和點(diǎn)N（0，-1）的最小值，是本題的新穎點(diǎn)9．如圖1，在正方形中，點(diǎn)分別在邊上，且，延長到點(diǎn)G，使得，連接．（特例感知）（1）圖1中與的數(shù)量關(guān)系是______________．（結(jié)論探索）（2）圖2，將圖1中的繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接并延長到點(diǎn)G，使得，連接，此時(shí)與還存在（1）中的數(shù)量關(guān)系嗎？判斷并說明理由．（拓展應(yīng)用）（3）在（2）的條件下，若，當(dāng)是以為直角邊的直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長．解析：(1)=，(2)存在，證明見解析，（3）或或16或4．【分析】(1)連接GC，證△CDG≌△CBE，得出△GCE為等腰直角三角形即可；(2)類似（1）的方法，先證△AFD≌△AEB，再證△CDG≌△CBE，得出△GCE為等腰直角三角形即可；(3)根據(jù)E、F是直角頂點(diǎn)分類討論，結(jié)合（2）中結(jié)論，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：(1)連接GC，∵AE=AF，AD=AB，∴DF=BE，∵，∴DG=BE，∵∠GDC=∠B=90°，DC=BC，∴△CDG≌△CBE，∴CE=CG，∠GCD=∠ECB，∵∠ECB+∠DCE=90°，∴∠GCE=∠GCD+∠DCE=90°，∴=；故答案為：=；(2)存在，連接GC，∵AE=AF，AD=AB，∠FAE=∠DAB=90°，∴∠FAD=∠EAB，∴△FAD≌△EAB，∴FD=EB=GD，∠FDA=∠EBA，∵∠GDC+∠FDA=90°，∠EBC+∠EBA=90°，∴∠GDC=∠EBC，∵DC=BD，∴△CDG≌△CBE，與（1）同理，=；(3)當(dāng)∠FEG=90°時(shí)，如圖1，因?yàn)椤螰EA=∠GEC=45°，所以，A、E、C在一條直線上，∵AB=5，∴AC=5,CE=5-3=2,GE=EC=4；如圖2，E在CA延長線上，同理可得，EC=8，GE=EC=16；當(dāng)∠EFG=90°時(shí)，如圖3，∠AFD=∠EFG+∠AFE=135°，由（2）得，∠AFD=∠AEB=135°，DF=BE，所以，B、E、F在一條直線上，作AM⊥EF，垂足為M，∵，∴EF=6，AM=ME=MF=3，，BE=DF=1,FG=2，；如圖4，同圖3，BE=DF=7，F(xiàn)G=14，EF=6，，綜上，的長為或或16或4．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)倪B接輔助線，構(gòu)造全等三角形；會(huì)分類討論，結(jié)合題目前后聯(lián)系，解決問題．10．觀察猜想：（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，點(diǎn)E在斜邊AB上，連接DE，且DE＝AE，將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接EF，則＝______，sin∠ADE＝________，探究證明：（2）在（1）中，如果將點(diǎn)D沿CA方向移動(dòng)，使CD＝AC，其余條件不變，如圖2，上述結(jié)論是否保持不變？若改變，請(qǐng)求出具體數(shù)值：若不變，請(qǐng)說明理由．拓展延伸（3）如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝a，點(diǎn)D在邊AC的延長線上，E是AB上任意一點(diǎn)，連接DE．ED＝nAE，將線段DE繞著點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至點(diǎn)F，連接EF．求和sin∠ADE的值分別是多少？（請(qǐng)用含有n，a的式子表示）解析：（1）；；（2）不變；（3）＝；sin∠ADE＝．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定得到∠A＝∠ACE＝30°，△BEC是等邊三角形，據(jù)此求得CE的長度，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)來求EF的長度，易得答案；（2）不變．理由：如圖2，過點(diǎn)D作DG∥BC交AB于點(diǎn)G，構(gòu)造直角三角形：△ADG，結(jié)合含30度角的直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合方程求得答案；（3）如圖3，過點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義列出方程并解答．【詳解】（1）如圖1，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°．又CE＝AE，∴∠ACE＝∠A＝30°，∴∠BCE＝60°，∴△BEC是等邊三角形，∴BE＝CE．∴AE＝CE＝BE．∴AD＝AB＝CE．又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：FC＝EC，∠FCE＝90°，∴EF＝CE，∴＝＝．∵∠ADE＝30°，∴sin∠ADE＝．故答案是：；；（2）不變，理由：如圖2，過點(diǎn)D作DG∥BC交AB于點(diǎn)G，則△ADG是直角三角形．∵∠DAG＝30°，DE＝AE，設(shè)DG＝x，∴∠AED＝30°，AD＝x，∠DEG＝∠DGE＝60°．∴DE＝DF＝x，sin∠ADE＝．∵∠EDF＝90°，∴EF＝x．∴＝＝．∵∠ADE＝30°，∴sin∠ADE＝．（3）過點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，設(shè)AE＝x，則DE＝nx．∵∠CAB＝a，∴AG＝cosα?x，EG＝sinα?x．∴DG＝＝?x．∴AD＝cosα?x+?x．∵∠EDF＝90°，DE＝DF，∴EF＝DE＝nx．∴＝＝，sin∠ADE＝＝＝．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定，作輔助線構(gòu)造直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解．11．（1）閱讀理解：我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中．漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．根據(jù)“趙爽弦圖”寫出勾股定理和推理過程；（2）問題解決：勾股定理的證明方法有很多，如圖②是古代的一種證明方法：過正方形的中心，作，將它分成4份．所分成的四部分和以為邊的正方形恰好能拼成以為邊的正方形．若，求的值；（3）拓展探究：如圖③，以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到“勾股樹”的部分圖形．設(shè)大正方形的邊長為定值，小正方形的邊長分別為．已知，當(dāng)角變化時(shí)，探究與的關(guān)系式，并寫出該關(guān)系式及解答過程（與的關(guān)系式用含的式子表示）．解析：（1）見詳解；（2）EF=或；（3）c+b=n，理由見詳解【分析】（1）根據(jù)大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和，即可得到結(jié)論；（2）設(shè)EF=a，F(xiàn)D=b，由圖形的特征可知：a+b=12，a-b=±5，進(jìn)而即可求解；（3）設(shè)正方形E的邊長為e，正方形F的邊長為f，由相似三角形的性質(zhì)可知：，結(jié)合勾股定理，可得，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）證明：∵在圖①中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．∴c2＝ab×4＋（b?a）2，化簡得：a2＋b2＝c2；（2）由題意得：正方形ACDE被分成4個(gè)全等的四邊形，設(shè)EF=a，F(xiàn)D=b，∴a+b=12，∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4個(gè)全等的四邊形和正方形CBLM拼成，∴，，，當(dāng)EF>DF時(shí)，∵，∴a-b=5，∴，解得：a=，∴EF=；同理，當(dāng)EF<DF時(shí)，EF=故EF=或（3）設(shè)正方形E的邊長為e，正方形F的邊長為f，∵，∴圖中①與②與③，三個(gè)直角三角形相似，∴，即：，∵圖形③是直角三角形，∴，∴，即：c+b=n，【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理及其證明過程，相似三角形的判定和性質(zhì)，找準(zhǔn)圖形中線段長和面積的數(shù)量關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．12．如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，連接DE，將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α.（1）問題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，（2）拓展探究試判斷：當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖2的情況給出證明.（3）問題解決當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段BD的長.解析：（1）①,②.（2）無變化；理由參見解析.（3），.【分析】（1）①當(dāng)α=0°時(shí)，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據(jù)點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，分別求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．②α=180°時(shí)，可得AB∥DE，然后根據(jù)，求出的值是多少即可．（2）首先判斷出∠ECA=∠DCB，再根據(jù)，判斷出△ECA∽△DCB，即可求出的值是多少，進(jìn)而判斷出的大小沒有變化即可．（3）根據(jù)題意，分兩種情況：①點(diǎn)A，D，E所在的直線和BC平行時(shí)；②點(diǎn)A，D，E所在的直線和BC相交時(shí)；然后分類討論，求出線段BD的長各是多少即可．【詳解】（1）①當(dāng)α=0°時(shí)，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC=，∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，∴,BD=8÷2=4，∴．②如圖1，，當(dāng)α=180°時(shí)，可得AB∥DE，∵，∴（2）如圖2，，當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小沒有變化，∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵，∴△ECA∽△DCB，∴．（3）①如圖3，，∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，∴AD=∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴BD=AC=．②如圖4，連接BD，過點(diǎn)D作AC的垂線交AC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作AC的垂線交AC于點(diǎn)P，，∵AC=，CD=4，CD⊥AD，∴AD=，∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，∴DE==2，∴AE=AD-DE=8-2=6，由（2），可得，∴BD=．綜上所述，BD的長為或．13．(1)方法選擇如圖①，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，，．求證：.小穎認(rèn)為可用截長法證明：在上截取，連接…小軍認(rèn)為可用補(bǔ)短法證明：延長至點(diǎn)，使得…請(qǐng)你選擇一種方法證明．(2)類比探究（探究1）如圖②，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，，是的直徑，．試用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（探究2）如圖③，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，．若是的直徑，，則線段，，之間的等量關(guān)系式是______．(3)拓展猜想如圖④，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，．若是的直徑，，則線段，，之間的等量關(guān)系式是______．解析：(1)方法選擇：證明見解析；(2)【探究1】：；【探究2】；(3)拓展猜想：.【分析】（1）方法選擇：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠ABC=60°，如圖①，在BD上截取DM=AD，連接AM，由圓周角定理得到∠ADB=∠ACB=60°，得到AM=AD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BM=CD，于是得到結(jié)論；（2）類比探究：如圖②，由BC是⊙O的直徑，得到∠BAC=90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=45°，過A作AM⊥AD交BD于M，推出△ADM是等腰直角三角形，求得DM=AD根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；【探究2】如圖③，根據(jù)圓周角定理和三角形的內(nèi)角和得到∠BAC=90°，∠ACB=60°，過A作AM⊥AD交BD于M，求得∠AMD=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到MD=2AD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BM=CD，于是得到結(jié)論；（3）如圖④，由BC是⊙O的直徑，得到∠BAC=90°，過A作AM⊥AD交BD于M，求得∠MAD=90°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BM=CD，DM=AD，于是得到結(jié)論．【詳解】(1)方法選擇：∵，∴，如圖①，在上截取，連接，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∵，∴，∴，∴；(2)類比探究：如圖②，∵是的直徑，∴，∵，∴，過作交于，∵，∴是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；[探究2]如圖③，∵若是的直徑，，∴，，過作交于，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；故答案為；(3)拓展猜想：；理由：如圖④，∵若是的直徑，∴，過作交于，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．14．（1）（探究發(fā)現(xiàn)）如圖1，的頂點(diǎn)在正方形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)處，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，的兩邊分別與正方形的邊和交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合）．則之間滿足的數(shù)量關(guān)系是．（2）（類比應(yīng)用）如圖2，若將（1）中的“正方形”改為“的菱形”，其他條件不變，當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)猜想結(jié)論并說明理由．（3）（拓展延伸）如圖3，，，，平分，，且，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，求的長．解析：（1）（2）結(jié)論不成立．（3）【分析】（1）結(jié)論：．根據(jù)正方形性質(zhì)，證，根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得結(jié)論；（2）結(jié)論不成立．．連接，在上截取，連接．根據(jù)菱形性質(zhì)，證，四點(diǎn)共圓，分別證是等邊三角形，是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)證，根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得結(jié)論；（3）由可知是鈍角三角形，，作于，設(shè)．根據(jù)勾股定理，可得到，由，得四點(diǎn)共圓，再證是等邊三角形，由（2）可知：，故可得．【詳解】（1）如圖1中，結(jié)論：．理由如下：∵四邊形是正方形，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為．（2）如圖2中，結(jié)論不成立．．理由：連接，在上截取，連接．∵四邊形是菱形，，∴，∵，∴四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵，，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，（3）如圖3中，由可知是鈍角三角形，，作于，設(shè)．在中，，∵，∴，解得（舍棄）或，∴，∵，∴四點(diǎn)共圓，∵平分，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，由（2）可知：，∴．【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：正方形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，圓的性質(zhì).綜合運(yùn)用各個(gè)幾何性質(zhì)定理是關(guān)鍵；此題比較綜合.15．性質(zhì)探究如圖①，在等腰三角形中，，則底邊與腰的長度之比為________．理解運(yùn)用⑴若頂角為120°的等腰三角形的周長為，則它的面積為________；⑵如圖②，在四邊形中，．①求證：；②在邊上分別取中點(diǎn)，連接．若，,直接寫出線段的長．類比拓展頂角為的等腰三角形的底邊與一腰的長度之比為________（用含的式子表示）．解析：性質(zhì)探究：；理解運(yùn)用：（1）；（2）①見解析；②；類比拓展：.【分析】性質(zhì)探究：作CD⊥AB于D，則∠ADC=∠BDC=90°，由等腰三角形的性質(zhì)得出AD=BD，∠A=∠B=30°，由直角三角形的性質(zhì)得出AC=2CD，AD=CD，得出AB=2AD=2CD，即可得出結(jié)果；理解運(yùn)用：（1）同上得出則AC=2CD，AD=CD，由等腰三角形的周長得出4CD+2CD=8+4，解得：CD=2，得出AB=4，由三角形面積公式即可得出結(jié)果；（2）①由等腰三角形的性質(zhì)得出∠EFG=∠EGF，∠EGH=∠EHG，得出∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH即可；②連接FH，作EP⊥FH于P，由等腰三角形的性質(zhì)得出PF=PH，由①得：∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°，由四邊形內(nèi)角和定理求出∠FEH=120°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠EFH=30°，由直角三角形的性質(zhì)得出PE=EF=5，PF=PE=5，得出FH=2PF=10，證明MN是△FGH的中位線，由三角形中位線定理即可得出結(jié)果；類比拓展：作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性質(zhì)得出BD=CD，∠BAD=∠BAC=α，由三角函數(shù)得出BD=AB×sinα，得出BC=2BD=2AB×sinα，即可得出結(jié)果．【詳解】性質(zhì)探究解：作CD⊥AB于D，如圖①所示：則∠ADC=∠BDC=90°，∵AC=BC，∠ACB=120°，∴AD=BD，∠A=∠B=30°，∴AC=2CD，AD=CD，∴AB=2AD=2CD，∴=；故答案為；理解運(yùn)用（1）解：如圖①所示：同上得：AC=2CD，AD=CD，∵AC+BC+AB=8+4，∴4CD+2CD=8+4，解得：CD=2，∴AB=4，∴△ABC的面積=AB×CD=×4×2=4；故答案為4（2）①證明：∵EF=EG=EH，∴∠EFG=∠EGF，∠EGH=∠EHG，∴∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH；②解：連接FH，作EP⊥FH于P，如圖②所示：則PF=PH，由①得：∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°，∴∠FEH=360°-120°-120°=120°，∵EF=EH，∴∠EFH=30°，∴PE=EF=5，∴PF=PE=5，∴FH=2PF=10，∵點(diǎn)M、N分別是FG、GH的中點(diǎn)，∴MN是△FGH的中位線，∴MN=FH=5；類比拓展解：如圖③所示：作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=α，∵sinα=，∴BD=AB×sinα，∴BC=2BD=2AB×sinα，∴=2sinα；故答案為2sinα．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、四邊形內(nèi)角和定理、就直角三角形等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)．（1）問題解決：如圖①，連接，分別取，的中點(diǎn)，，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是_____，位置關(guān)系是____；（2）問題探究：如圖②，是將圖①中的繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的三角形，連接，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接，．判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；（3）拓展延伸：如圖③，是將圖①中的繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的三角形，連接，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接，．若正方形的邊長為1，求的面積．解析：（1），；（2）的形狀是等腰直角三角形，理由見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)題意可得PQ為△BOC的中位線，再根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求解；（2）連接并延長交于點(diǎn)，根據(jù)題意證出，為等腰直角三角形，也為等腰直角三角形，由且可得是等腰直角三角形；（3）延長交邊于點(diǎn)，連接，．證出四邊形是矩形，為等腰直角三角形，，再證出為等腰直角三角形，根據(jù)圖形的性質(zhì)和勾股定理求出O′A，O′B和BQ的長度，即可計(jì)算出的面積．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別為，的中點(diǎn)，∴PQ為△BOC的中位線，∵四邊形是正方形，∴AC⊥BO，∴，；故答案為：，；（2）的形狀是等腰直角三角形．理由如下：連接并延長交于點(diǎn)，由正方形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)可得，∠，是等腰直角三角形，，．∴，．又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴．∴．∴，．∴，∴．∴為等腰直角三角形．∴，．∴也為等腰直角三角形．又∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，且．∴的形狀是等腰直角三角形．（3）延長交邊于點(diǎn)，連接，．∵四邊形是正方形，是對(duì)角線，∴．由旋轉(zhuǎn)得，四邊形是矩形，∴，．∴為等腰直角三角形．∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，．∴．∴，．∴．∴．∴為等腰直角三角形．∵是的中點(diǎn)，∴，．∵，∴，，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)、三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．17．（1）（閱讀與證明）如圖1，在正的外角內(nèi)引射線，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E（點(diǎn)E在內(nèi)），連接，、分別交于點(diǎn)F、G．①完成證明：點(diǎn)E是點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，，，．正中，，，，得．在中，，______．在中，，______．②求證：．（2）（類比與探究）把（1）中的“正”改為“正方形”，其余條件不變，如圖2．類比探究，可得：①______；②線段、、之間存在數(shù)量關(guān)系___________．（3）（歸納與拓展）如圖3，點(diǎn)A在射線上，，，在內(nèi)引射線，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E（點(diǎn)E在內(nèi)），連接，、分別交于點(diǎn)F、G．則線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為__________．解析：（1）①60°，30°；②證明見解析；（2）①45°；②BF=(AF+FG)；（3）．【分析】（1）①根據(jù)等量代換和直角三角形的性質(zhì)即可確定答案；②在FB上取AN=AF，連接AN．先證明△AFN是等邊三角形，得到∠BAN=∠2=∠1，然后再證明△ABN≌△AEF，然后利用全等三角形的性質(zhì)以及線段的和差即可證明；（2）類比（1）的方法即可作答；（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論，即可總結(jié)出答案．【詳解】解：（1）①∵，，∴，即60°；∵∴故答案為60°，30°；②在FB上取FN=AF，連接AN∵∠AFN=∠EFG=60°∴△AFN是等邊三角形∴AF=FN=AN∵FN=AF∴∠BAC=∠NAF=60°∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2∴∠BAN=∠2∵點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E∴∠2=∠1,AC=AE∴∠BAN=∠2=∠1∵AB=AC∴AB=AE在△ABN和△AEFFN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE∴△ABN≌△AEF∴BN=EF∵AG⊥CE，∠FEG=30°∴EF=2FG∴BN=EF=2FG∵BF=BN+NF∴BF=2FG+AF（2）①點(diǎn)E是點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，，，．正方形ABCD中，，，，得．在中，，45．在中，，45．故答案為45°；②在FB上取FN=AF，連接AN∵∠AFN=∠EFG=45°∴△AFN是等腰直角三角形∴∠NAF=90°，AF=AN∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2=90°,FN=AF∴∠BAN=∠2∵點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E∴∠2=∠1,AC=AE∴∠BAN=∠2=∠1∵AB=AC∴AB=AE在△ABN和△AEFFN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE∴△ABN≌△AEF∴BN=EF∵AG⊥CE，∠FEG=45°∴EF=FG∴BN=EF=FG∵BF=BN+NF∴BF=FG+AF（3）由（1）得：當(dāng)∠BAC=60°時(shí)BF=AF+2FG=；由（2）得：當(dāng)∠BAC=90°時(shí)BF=AF+2FG=；以此類推，當(dāng)當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的應(yīng)用，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．18．在中，，．點(diǎn)D在邊上，且，交邊于點(diǎn)F，連接．（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)時(shí)，①求證：；②推斷：_________．；（2）探究證明：如圖2，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄康亩葦?shù)是否為定值，并說明理由；（3）拓展運(yùn)用：如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)D作的垂線，交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)K，若，求的長．解析：（1）①證明見解析，②；（2）為定值，證明見解析；（3）【分析】（1）①利用已知條件證明即可得到結(jié)論，②先證明利用相似三角形的性質(zhì)再證明結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得答案；（2）由（1）中②的解題思路可得結(jié)論；（3）設(shè)則利用等腰直角三角形的性質(zhì)分別表示：由表示再證明利用相似三角形的性質(zhì)建立方程求解，即可得到答案．【詳解】證明：（1）①②推斷：理由如下：（2）為定值，理由如下：由（1）得：（3），設(shè)則，解得：【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的全等的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，更重要的是考查學(xué)生的學(xué)習(xí)探究的能力，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．19．實(shí)際問題：某商場(chǎng)為鼓勵(lì)消費(fèi)，設(shè)計(jì)了投資活動(dòng)．方案如下：根據(jù)不同的消費(fèi)金額，每次抽獎(jiǎng)時(shí)可以從100張面值分別為1元、2元、3元、…、100元的獎(jiǎng)券中（面值為整數(shù)），一次任意抽取2張、3張、4張、…等若干張獎(jiǎng)券，獎(jiǎng)券的面值金額之和即為優(yōu)惠金額．某顧客獲得了一次抽取5張獎(jiǎng)券的機(jī)會(huì)，小明想知道該顧客共有多少種不同的優(yōu)惠金額？問題建模：從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù)，這個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？模型探究：我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡單的情形入手，再逐次遞進(jìn)，從中找出解決問題的方法．探究一：（1）從1，2，3這3個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？表①所取的2個(gè)整數(shù)1，21，3，2，32個(gè)整數(shù)之和345如表①，所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3，4，5，也就是從3到5的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3，最大是5，所以共有3種不同的結(jié)果．（2）從1，2，3，4這4個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？表②所取的2個(gè)整數(shù)1，21，3，1，42，32，43，42個(gè)整數(shù)之和345567如表②，所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3，4，5，6，7，也就是從3到7的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3，最大是7，所以共有5種不同的結(jié)果．（3）從1，2，3，4，5這5個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．（4）從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．探究二：（1）從1，2，3，4這4個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．（2）從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．探究三：從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù)，這4個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．歸納結(jié)論：從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù)，這個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．問題解決：從100張面值分別為1元、2元、3元、…、100元的獎(jiǎng)券中（面值為整數(shù)），一次任意抽取5張獎(jiǎng)券，共有______種不同的優(yōu)惠金額．拓展延伸：（1）從1，2，3，…，36這36個(gè)整數(shù)中任取多少個(gè)整數(shù)，使得取出的這些整數(shù)之和共有204種不同的結(jié)果？（寫出解答過程）（2）從3，4，5，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù)，這個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．解析：探究一：（3）；（4）（，為整數(shù)）；探究二：（1）（2）；探究三：歸納結(jié)論：（為整數(shù)，且，＜＜）；問題解決：；拓展延伸：（1）個(gè)或個(gè)；（2）．【分析】探究一：（3）根據(jù)（1）（2）的提示列表，可得答案；（4）仔細(xì)觀察（1）（2）（3）的結(jié)果，歸納出規(guī)律，從而可得答案；探究二：（1）仿探究一的方法列表可得答案；（2）由前面的探究概括出規(guī)律即可得到答案；探究三：根據(jù)探究一，探究二，歸納出從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù)的和的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)上面探究歸納出從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù)，這個(gè)整數(shù)之和的結(jié)果數(shù)；問題解決：利用前