第4章相交線和平行線一、相交線1、鄰補角與對頂角兩直線相交所成的四個角中存在幾種不同關(guān)系的角，它們的概念及性質(zhì)如下表：圖形頂點邊的關(guān)系大小關(guān)系對頂角112∠1與∠2有公共頂點∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長線對頂角相等即∠1=∠2鄰補角443∠3與∠4有公共頂點∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長線?！?+∠4=180°注意點：⑴對頂角是成對出現(xiàn)的，對頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個角；⑵如果∠α與∠β是對頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對頂角⑶如果∠α與∠β互為鄰補角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補角。⑶兩直線相交形成的四個角中，每一個角的鄰補角有兩個，而對頂角只有一個。2、垂線⑴定義，當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。⑵垂線性質(zhì)1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直(與平行公理相比較記)⑶垂線性質(zhì)2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段最短。3、垂線的畫法：⑴過直線上一點畫已知直線的垂線；⑵過直線外一點畫已知直線的垂線。注意：①畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線；②過一點作線段的垂線，垂足可在線段上，也可以在線段的延長線上。畫法：⑴一靠：用三角尺一條直角邊靠在已知直線上，⑵二移：移動三角尺使一點落在它的另一邊直角邊上，⑶三畫：沿著這條直角邊畫線，不要畫成給人的印象是線段的線。4、點到直線的距離直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離記得時候應(yīng)該結(jié)合圖形進行記憶。PABO如圖，PO⊥AB，同P到直線AB的距離是PO的長。PO是垂線段。PO是點PPABO現(xiàn)實生活中開溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質(zhì)的應(yīng)用。5、如何理解“垂線”、“垂線段”、“兩點間距離”、“點到直線的距離”這些相近而又相異的概念分析它們的聯(lián)系與區(qū)別⑴垂線與垂線段區(qū)別：垂線是一條直線，不可度量長度；垂線段是一條線段，可以度量長度。聯(lián)系：具有垂直于已知直線的共同特征。(垂直的性質(zhì))⑵兩點間距離與點到直線的距離區(qū)別：兩點間的距離是點與點之間，點到直線的距離是點與直線之間。聯(lián)系：都是線段的長度；點到直線的距離是特殊的兩點(即已知點與垂足)間距離。⑶線段與距離距離是線段的長度，是一個量；線段是一種圖形，它們之間不能等同。二、平行線1、平行線的概念：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，直線與直線互相平行，記作∥。2、兩條直線的位置關(guān)系在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：⑴相交；⑵平行。因此當(dāng)我們得知在同一平面內(nèi)兩直線不相交時，就可以肯定它們平行；反過來也一樣（這里，我們把重合的兩直線看成一條直線）判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時，可以根據(jù)它們的公共點的個數(shù)來確定：①有且只有一個公共點，兩直線相交；②無公共點，則兩直線平行；③兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合（因為兩點確定一條直線）3、平行公理――平行線的存在性與惟一性經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行4、平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行如左圖所示，∵∥，∥∴∥注意符號語言書寫，前提條件是兩直線都平行于第三條直線，才會結(jié)論，這兩條直線都平行。5、三線八角1212345678如圖，直線被直線所截①∠1與∠5在截線的同側(cè)，同在被截直線的上方，叫做同位角（位置相同）②∠5與∠3在截線的兩旁（交錯），在被截直線之間（內(nèi)），叫做內(nèi)錯角（位置在內(nèi)且交錯）③∠5與∠4在截線的同側(cè)，在被截直線之間（內(nèi)），叫做同旁內(nèi)角。④三線八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型；內(nèi)錯角是“Z”型；同旁內(nèi)角是“U”型。6、如何判別三線八角判別同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角的關(guān)鍵是找到構(gòu)成這兩個角的“三線”，有時需要將有關(guān)的部分“抽出”或把無關(guān)的線略去不看，有時又需要把圖形補全。如圖，判斷下列各對角的位置關(guān)系：⑴∠1與∠2；⑵∠1與∠7；⑶∠1與∠BAD；⑷∠2與∠6；⑸∠5與∠8。我們將各對角從圖形中抽出來（或者說略去與有關(guān)角無關(guān)的線），得到下列各圖。如圖所示，不難看出∠1與∠2是同旁內(nèi)角；∠1與∠7是同位角；∠1與∠BAD是同旁內(nèi)角；∠2與∠6是內(nèi)錯角；∠5與∠8對頂角。ABABC17ABF21ABABCD26ADBF1BBAFE58C7、兩直線平行的判定方法方法一兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡稱：同位角相等，兩直線平行方法二兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行簡稱：內(nèi)錯角相等，兩直線平行方法三兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行ABABCDEF1234幾何符號語言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）∵∠1＝∠2∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）注意：⑴幾何中，圖形之間的“位置關(guān)系”一般都與某種“數(shù)量關(guān)系”有著內(nèi)在的聯(lián)系，常由“位置關(guān)系”決定其“數(shù)量關(guān)系”，反之也可從“數(shù)量關(guān)系”去確定“位置關(guān)系”。上述平行線的判定方法就是根據(jù)同位角或內(nèi)錯角“相等”或同旁內(nèi)角“互補”這種“數(shù)量關(guān)系”，判定兩直線“平行”這種“位置關(guān)系”。⑵根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有兩種：①如果兩條直線沒有交點（不相交），那么兩直線平行。②如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行。三、平行線的性質(zhì)1、平行線的性質(zhì)：性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；ABCDABCDEF1234幾何符號語言：∵AB∥CD∴∠1＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵AB∥CD∴∠3＝∠2（兩直線平行，同位角相等）∵AB∥CD∴∠4＋∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）2、平行線的性質(zhì)與判定①平行線的性質(zhì)與判定是互逆的關(guān)系兩直線平行同位角相等；兩直線平行內(nèi)錯角相等；兩直線平行同旁內(nèi)角互補。其中，由角的相等或互補（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)。易錯點1：對頂角與鄰補角識別混淆典型錯誤：在復(fù)雜相交線圖形中，誤將有公共邊但不互補的角當(dāng)作鄰補角；把不滿足兩邊反向延長線關(guān)系的角錯認(rèn)成對頂角。例如，在三條直線相交形成多個角的圖形中，將僅相鄰但角度和不為180°的兩個角判定為鄰補角。注意事項：對頂角需同時滿足“有公共頂點”和“兩邊互為反向延長線”，二者缺一不可；鄰補角必須同時具備“有公共頂點”?“有一條公共邊”?“另一邊互為反向延長線”且兩角之和為180°。識別時要仔細(xì)觀察角的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。易錯點2：垂線性質(zhì)應(yīng)用錯誤典型錯誤：誤以為在空間中過一點也只有一條直線與已知直線垂直；在計算點到直線距離時，未選取垂線段長度，而是隨意選取斜線段長度。比如在長方體模型中，錯誤認(rèn)為過頂點與棱垂直的直線唯一（忽略空間中不同平面的垂線）。注意事項：“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”的性質(zhì)限定在同一平面內(nèi)；點到直線的距離是垂線段的長度，找距離時需先確定垂足位置，不能用斜線段代替。易錯點3：三線八角判斷失誤典型錯誤：在非“三線八角”標(biāo)準(zhǔn)圖形中，強行套用同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義。例如，當(dāng)兩條直線未被第三條直線所截形成封閉圖形時，錯誤認(rèn)定某些角為同位角；混淆同位角和同旁內(nèi)角的位置特征，將形如“U”的同旁內(nèi)角錯看成同位角。注意事項：識別三類角的前提是兩條直線被第三條直線所截；同位角在截線同側(cè)且在被截直線同一方（“F”型），內(nèi)錯角在截線兩側(cè)且在被截直線之間（“Z”型），同旁內(nèi)角在截線同側(cè)且在被截直線之間（“U”型），要結(jié)合圖形形狀輔助判斷。易錯點4：平行線定義理解偏差典型錯誤：忽略“在同一平面內(nèi)”的前提條件，認(rèn)為空間中不相交的直線就是平行線；將重合的兩條直線錯誤判斷為平行線。比如在正方體中，認(rèn)為不在同一平面的兩條不相交棱是平行關(guān)系。注意事項：平行線定義明確限定于同一平面，在立體空間中不相交的直線可能既不平行也不相交（異面直線）；重合的直線是同一條直線，不屬于平行關(guān)系。易錯點5：平行線判定與性質(zhì)混淆典型錯誤：已知兩直線平行，用判定定理推導(dǎo)角的關(guān)系（如由AB∥CD，錯誤通過“同位角相等”證明∠1=∠5，實際應(yīng)使用性質(zhì)定理）；或已知角的關(guān)系，錯誤使用性質(zhì)定理證明直線平行（如由∠1=∠5，用“兩直線平行，同位角相等”得出AB∥CD）。注意事項：判定定理是通過角的數(shù)量關(guān)系（相等或互補）推出直線的位置關(guān)系（平行）；性質(zhì)定理是在已知直線平行的前提下，推導(dǎo)角的數(shù)量關(guān)系。使用時需先明確已知條件是線的關(guān)系還是角的關(guān)系，再選擇對應(yīng)定理。易錯點6：平行公理推論使用不當(dāng)?shù)湫湾e誤：在未明確直線是否在同一平面的情況下，直接運用“平行于同一條直線的兩條直線互相平行”。例如在三棱柱中，三條棱分別平行于不同方向，錯誤應(yīng)用該推論得出棱與棱平行的結(jié)論。注意事項：平行公理推論成立的條件是所有直線在同一平面內(nèi)，在立體圖形或未明確平面條件時，不能隨意使用該推論判斷直線平行關(guān)系。易錯點7：復(fù)雜圖形中的線角關(guān)系混亂典型錯誤：在多個相交線和平行線組合的復(fù)雜圖形中，無法準(zhǔn)確分離出基本模型（如“三線八角”）；在計算角度時，混淆不同直線形成的同位角、內(nèi)錯角，導(dǎo)致角度推導(dǎo)錯誤。注意事項：面對復(fù)雜圖形，可通過標(biāo)記關(guān)鍵角和線、分離基本圖形的方法簡化問題；計算角度時要明確角是由哪兩條直線被哪條直線所截形成，避免跨模型錯誤推導(dǎo)。易錯點8：實際問題建模錯誤典型錯誤：在應(yīng)用平行線知識解決實際問題（如測量、建筑設(shè)計）時，忽略實際場景限制，直接套用定理。例如在不規(guī)則地形測量中，未考慮地面不平對平行線判定的影響，錯誤使用平行線性質(zhì)計算距離。注意事項：將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實際問題時，需結(jié)合具體情境分析，驗證定理使用的前提條件是否滿足，必要時對實際情況進行合理抽象和簡化。題型01對頂角與鄰補角識別混淆1．（21-22七年級下·河北秦皇島·期中）下列各圖中，與是對頂角的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查對頂角，根據(jù)對頂角的特點，共用頂點，兩邊互為反向延長線，進行判斷即可．【詳解】解：A、不是對頂角，不符合題意；B、是對頂角，符合題意；C、不是對頂角，不符合題意；D、不是對頂角，不符合題意；故選B．2．（24-25七年級下·廣西南寧·期中）如圖，直線、相交形成四個角，已知，則的度數(shù)是．【答案】/50度【分析】本題考查的是鄰補角的性質(zhì)，根據(jù)鄰補角互補可得答案.【詳解】解：∵直線、相交形成四個角，，∴，故答案為：3．（24-25七年級下·陜西安康·期中）如圖，已知直線，，相交于點O，，，則．【答案】50【分析】本題考查對頂角相等、幾何圖形中角的運算，根據(jù)先根據(jù)平角定義求得，再根據(jù)對頂角相等求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，故答案為：50．4．（2025·河南·中考真題）如圖所示，有一個六邊形零件，利用圖中的量角器可以量出該零件內(nèi)角的度數(shù)，則所量內(nèi)角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了量角器，對頂角，正確讀出量角器度數(shù)是解題關(guān)鍵．由量角器可知，，再利用對頂角相等求解即可．【詳解】解：由量角器可知，，，即所量內(nèi)角的度數(shù)為，故選：C．5．（24-25七年級下·甘肅定西·期中）如圖，直線、相交于點，把分成兩部分．(1)圖中的對頂角為______，的鄰補角為______；(2)若平分，，求和的度數(shù)．【答案】(1)，(2)，【分析】本題考查對頂角，鄰補角，幾何圖形中角度的計算，找準(zhǔn)角之間的和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)對頂角的定義，鄰補角的定義，進行判斷即可；（2）設(shè)，根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)平角的定義，列出方程進行求解即可．【詳解】（1）由圖可知：的對頂角為，的鄰補角為．（2）設(shè)，則．∵平分，∴，∵，∴，解得，∴，，∴∴．6．（24-25七年級下·陜西漢中·期中）如圖，直線與相交于點O，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了對頂角的性質(zhì)，角和差的計算，根據(jù)對頂角的性質(zhì)得，再由計算即可．【詳解】解：∵，，∴故選：C．題型02垂線性質(zhì)應(yīng)用錯誤7．（天津市河西區(qū)2024-2025學(xué)年七年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷）如圖，直線和相交于點，，若，則的大小為（

）A．42° B．32° C．22° D．18°【答案】B【分析】本題考查了垂直的定義，平角的定義，根據(jù)垂直得到，再由平角即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：B．8．（24-25七年級下·全國·期中）如圖，連接直線l外一點P與直線l上各點O，，，，…，其中，這些線段，，，，…中，最短的線段是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查垂線段最短，根據(jù)垂線段最短即可解答．【詳解】解：∵，∴根據(jù)垂線段最短可得，最短的線段是．故選：A．9．（云南省臨滄地區(qū)中學(xué)等學(xué)校2024—2025學(xué)年下學(xué)期5月大聯(lián)考七年級數(shù)學(xué)試題）如圖，直線，相交于點，，垂足為，平分，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了垂線的定義，角平分線的定義，幾何圖形中角度的計算，由垂線的定義可得，由角平分線的定義可得，據(jù)此根據(jù)平角的定義可得答案．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，∴，故選：C．10．（24-25七年級下·浙江溫州·期中）如圖，是斜拉橋結(jié)構(gòu)示意圖，其中索塔頂端距橋梁的高度為米，拉索長度都為480米．為提升橋梁的穩(wěn)定性，需在橋梁上A，B兩點間（不含點A，B，C）的位置與索塔頂端間添加拉索，增加的拉索長度可以是（

）米A．280 B．288 C．420 D．500【答案】C【分析】題目主要考查點到直線的距離，結(jié)合圖形求解即可【詳解】解：根據(jù)題意得：米，米，∴在橋梁上A，B兩點間（不含點A，B，C）的位置與索塔頂端間添加拉索，增加的拉索長度取值范圍為：，符合題意的只有選項C，故選：C11．（陜西省陜西多校期末檢測2024-2025學(xué)年七年級下學(xué)期7月期末數(shù)學(xué)試題）如圖，直線，相交于點O，過點O作，且平分，已知，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了角的平分線和角的計算，涉及到的角有平角、直角；熟練掌握平角等于度，直角等于度，是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的定義和垂線定義解答即可．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴．故選A．12．（24-25七年級下·陜西渭南·期末）如圖，直線，相交于點，，垂足為點，，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了垂線的定義、對頂角相等，由垂線的定義可得，然后結(jié)合求解即可．【詳解】解：因為，所以，因為，所以，所以．題型03根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系13．（24-25七年級下·浙江寧波·期中）如圖，已知，與相交于點，與相交于點，則下列說法正確的是（

）①若，則；②若，則；③；④．A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④【答案】B【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：①若，則，∵，∴，∴，故①正確；②如圖，延長交于點G，∵，∴，若，則，∴，故②正確；③分別過點作，則，∴，∴，∵∴，故③正確；④由③知，∴，∵，∴，∴，則當(dāng)且僅當(dāng)時，，故④錯誤．故選：B．14．（24-25八年級下·河南許昌·期中）某同學(xué)結(jié)合角平分線的知識將問題進行深入探究，如圖所示，已知，點E的位置移到上方，點F在延長線上，與的平分線相交于點G，則與之間的數(shù)量關(guān)系是．【答案】【分析】本題考查了平行公理推論、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．過點作，過點作，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，從而可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，最后根據(jù)角的和差、等量代換即可得出結(jié)論．【詳解】解：過點作，過點作，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∵與的平分線相交于點G，∴，，∵，，∴，∴，，∴，∴．故答案為：15．（24-25七年級下·廣西南寧·期中）如圖，若則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)逐一排除即可，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、∵，∴，故原選項符合題意；、由，可得，原選項不符合題意；、由，不能得，原選項不符合題意；、由，不能得，原選項不符合題意；故選：．16．（24-25七年級下·江蘇南京·期末）如圖，若，，則與的關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用平行線的性質(zhì)，通過找中間角建立與的關(guān)系．利用和，結(jié)合平行線的性質(zhì)，找到與、相關(guān)的角，進而得出與的關(guān)系．【詳解】解：如圖：，，，，，．故選：B．題型04根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)17．（24-25七年級下·遼寧丹東·期中）如圖，若，則，，之間的關(guān)系式為．【答案】【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．如圖所示，過點C作，由平行線的性質(zhì)得到，，然后等量代換求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點C作，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．18．（24-25六年級下·山東煙臺·期中）如圖，，思考解決下列問題：試探究．【答案】【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)以及學(xué)生歸納總結(jié)找規(guī)律的能力，分別過、…作直線平行于，利用平行線的性質(zhì)即可求出各組的值；再根據(jù)規(guī)律，歸納總結(jié)得到．【詳解】解：當(dāng)有個角時，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補，得出，當(dāng)有個角時，過點作直線平行于，同理可得，當(dāng)有個角時，分別過點、作直線平行于，同理可得，根據(jù)規(guī)律，可得當(dāng)有個角時，，故答案為：．19．（24-25七年級下·全國·期中）如圖所示，平分，且，若，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)以及角的和差倍分關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)．先由，根據(jù)內(nèi)錯角相等判定，利用平行線同旁內(nèi)角互補得，結(jié)合算出；再依據(jù)，將轉(zhuǎn)化為，從而求出答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴故選：B．20．（24-25七年級下·全國·期中）如圖，直線，一副三角板按如圖1擺放，其中，，．保持三角板不動，現(xiàn)將三角板繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒，且，則經(jīng)過秒邊與三角板的一條直角邊（邊，）平行．【答案】或或或【分析】延長交于P點，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后分四種情況解答即可．【詳解】解：如圖，延長交于P點，∵，，，，，①如圖，當(dāng)時，，此時D旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為，；②如圖當(dāng)時，，，此時D旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為，；③如圖當(dāng)時，，，此時D旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為，；④如圖當(dāng)時，，，此時D旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為，；綜上所述：經(jīng)過15或60或105或150秒邊與三角板的一條直角邊（邊，）平行．故答案為：15或60或105或15021．（24-25七年級下·浙江紹興·期末）如圖，已知，，，則．【答案】【分析】本題考查了根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)，作，則，再結(jié)合題意可得，求出，即可得解，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，作，則，，∵，∴，∴，∴，故答案為：．22．（24-25七年級下·浙江杭州·期中）如圖，，一塊三角板的頂點在直線上，邊、分別交直線于、兩點．，，．點在的平分線上，連接，且，若，則的度數(shù)為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】題主要查了平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)并作出合理的輔助線是解決本題的關(guān)鍵．過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，設(shè)，用含有的式子表示角，根據(jù)的大小列出關(guān)于的方程，于是得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點作，則，，，，設(shè)，則，，，點在的平分線上，且，，，，，，，即的度數(shù)為，故選：B．23．（24-25七年級下·重慶云陽·期末）如圖，，連接，點為線段上一點，若，，則．【答案】40【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)得到角度數(shù)量關(guān)系是關(guān)鍵．如圖所示，過點作，則，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：40．24．（22-23七年級下·陜西咸陽·期末）如圖，，連接，若平分，，，則的度數(shù)是．【答案】【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，由平行線的性質(zhì)得，即得，進而由角平分線的定義得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，故答案為：．題型05平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用25．（2025·河北·中考真題）榫卯結(jié)構(gòu)是兩個構(gòu)件采取凹凸結(jié)合的連接方式．如圖是某個構(gòu)件的截面圖，其中，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，結(jié)合題意，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故選：C．26．（24-25七年級下·浙江杭州·期中）一學(xué)員在廣場上練習(xí)駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是（

）A．第一次向右拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐C．第一次向左拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐【答案】C【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．首先根據(jù)作出圖形，利用平行線的性質(zhì)求出答案，注意排除法在選擇題中的應(yīng)用．【詳解】解：當(dāng)?shù)谝淮蜗蛴夜諘r（如圖1），兩次拐彎后，行駛方向與原來的方向相同，，且向左拐，A、B錯誤；當(dāng)?shù)谝淮蜗蜃蠊諘r（如圖2），兩次拐彎后，行駛方向與原來的方向相同，，且向右拐，D錯誤，故選：C．27．（2025·浙江·二模）如圖，水平放置的長方體容器，容器里裝有某溶液，光線射向容器液面，折射后光線由方向變成方向．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，求出，結(jié)合，即可得到答案．【詳解】解：由題意得，，，，故選：C．28．（24-25七年級上·河南洛陽·期末）如圖①，“二八大杠”傳統(tǒng)老式自行車承載了一代人的回憶，圖②是它的幾何示意圖．已知，，當(dāng)，時，的度數(shù)為．【答案】/66度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)．根據(jù)，可得，根據(jù)，可得，由此可得，即可得解．【詳解】解：∵，，，，，，故答案為：．29．（24-25八年級上·遼寧沈陽·期末）生活中常見的探照燈、汽車大燈等燈具都與拋物線有關(guān)．如圖，從光源P點照射到拋物線上的光線，等反射以后沿著與平行的方向射出，若，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．無法確定【答案】C【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，又因為，所以，再根據(jù)，即可解得．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴．故選：C．30．（21-22七年級下·新疆喀什·期中）一輛汽車在筆直的公路上行駛，在兩次轉(zhuǎn)彎后，仍在原來的方向上平行前進，那么這兩次轉(zhuǎn)彎的角度可以是（

）A．先右轉(zhuǎn)，再左轉(zhuǎn) B．先左轉(zhuǎn)，再右轉(zhuǎn)C．先左轉(zhuǎn)，再右轉(zhuǎn) D．先右轉(zhuǎn)，再右轉(zhuǎn)【答案】B【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)判定即可．【詳解】解：如圖所示：A、故本選項錯誤；B、故本選項正確；C、故本選項錯誤；D、故本選項錯誤．故選B．題型06根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度31．（24-25七年級下·浙江紹興·期末）如圖，已知．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，即可得到結(jié)論；（2）由（1）知，得到，進而推出，即可解答．【詳解】（1）證明：∵，∴，；（2）解：由（1）知，，，，，，∵．32．（24-25七年級下·陜西渭南·期末）如圖，已知分別交、于點、，，，過點作，，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用平行線的性質(zhì)證得垂直．首先得到，然后得到，進而根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：因為，，所以，即，因為，所以，所以，所以．33．（24-25七年級下·四川成都·期中）如圖，在中，，垂足為D，點E在上，，垂足為F．(1)求證：．(2)如果，且，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確判定平行線．（1）先利用垂直得到直角，再利用同位角相等，兩直線平行即可求證；（2）先判定，再利用平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴．34．（24-25七年級下·上海嘉定·期中）如圖，已知，與交于點，，，則的度數(shù)為多少？【答案】【分析】本題考查平行線的判定及性質(zhì)．過點P作，可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，，進而根據(jù)角的和差即可求解．【詳解】解：過點P作，∵，，∴，∴，，∴．35．（24-25七年級下·浙江寧波·期中）如圖，已知，為直線上的一點，為直線上的一點，連結(jié)，過點作的垂線分別交、的平分線于點、，在點整個運動過程中，當(dāng)時，則．【答案】【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，垂直的定義，過F作，過G作，根據(jù)平行線的傳遞性得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，，，則可得出，，設(shè)，，則，，根據(jù)角平分線的定義以及鄰補角的定義可得出，，進而得出，結(jié)合，可得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)，垂直的定義可得出，求出，，即可求解．【詳解】解∶如圖，過F作，過G作，∵，∴，∴，，，，∴，，設(shè)，，∴，，∵平分，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，∴，，∴，故答案為：．36．（24-25七年級下·甘肅張掖·期中）如圖，已知，，則=．【答案】【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，由，得，則有，然后代入求解即可，掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：．題型07根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明37．（24-25七年級下·江蘇南通·期末）如圖，已知，．(1)求證：；(2)利用此圖形，試證明“三角形內(nèi)角和為°”，即求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，證明三角形內(nèi)角和為°，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)得出，結(jié)合已知得出，即可得證；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化為，進而根據(jù)平角的定義，即可得證．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴∴；（2）證明：∵，∴，又∵，∴38．（24-25七年級下·安徽亳州·期末）如圖，，點E在上，若是的角平分線，且，試說明，請補全證明過程，即在橫線處填上結(jié)論或理由．證明：（已知），________（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．是的角平分線（已知），________（角平分線定義），________（等式的基本事實）．（已知），（________）________（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．．【答案】；；；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的意義等知識，讀懂各步推理是解題的關(guān)鍵；根據(jù)各步推理，結(jié)合平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的意義即可完成．【詳解】證明：（已知），（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．是的角平分線（已知），（角平分線定義），（等式的基本事實）．（已知），（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．．故答案為：；；；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；．39．（24-25七年級下·浙江溫州·期中）如圖，．(1)請說明的理由，完成下面的填空．解：因為，根據(jù)“”，得．所以．又因為，所以，即．根據(jù)“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”，得．再根據(jù)“”，得．(2)設(shè)，若，求的值．【答案】(1)垂直的定義；；；兩直線平行，同位角相等(2)【分析】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)、角的和差求解即可．【詳解】（1）解：因為，，根據(jù)“垂直的定義”，得∠．所以．又因為，所以，即．根據(jù)“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”，得B．再根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”，得．故答案為：垂直的定義；∠1；；兩直線平行，同位角相等；（2）因為所以所以設(shè)，所以，因為，所以因為所以解得40．（24-25七年級下·天津和平·期末）如圖，點C在線段上，點F在線段上，，．(1)求證：；(2)已知于點A．①若，求的度數(shù)；②若，則______（用表示）．【答案】(1)見解析(2)①；②【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，平角的定義，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）由同旁內(nèi)角互補得出，再由平行線的性質(zhì)結(jié)合題意可得，即可得證；（2）①由平行的性質(zhì)可得，再求出，最后由平角的定義計算即可得解；②由平行的性質(zhì)可得，再求出，最后由平角的定義計算即可得解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：①∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；②∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．41．（24-25七年級下·江西贛州·期末）課本再現(xiàn)如圖1，點，，分別是三角形的邊，，上的點，，，求證：．（1）請完成下列證明過程，并在括號內(nèi)填上推理的根據(jù)．證明：，（

）．，（

）．．類比探究（2）如圖2，若，，平分，，求．【答案】（1）；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；；兩直線平行，同位角相等；（2）【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，（1）由平行線的性質(zhì)可得出答案；（2）證明，得出，求出，則可得出答案；掌握平行線的性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵，∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵，∴（兩直線平行，同位角相等），∴，故答案為：；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；；兩直線平行，同位角相等；（2）解：∵，，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴．42．（24-25七年級下·甘肅張掖·期中）已知，，求證：．【答案】證明見詳解【分析】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題關(guān)鍵．首先證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到，然后根據(jù)，證明，即可得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證得．【詳解】證明：，，，，，，．題型08平行線四大模型綜合43．（24-25六年級下·山東淄博·期末）如圖，點是直線上一點，是直線上一點，是直線、之間的一點，連結(jié)，，且滿足．(1)求證：；(2)如圖，作，直線與的角平分線交于點．若，求的度數(shù)；(3)如圖，平分，平分，，已知，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握平行線的判定定理（同位角相等，兩直線平行等）和性質(zhì)（兩直線平行，同位角相等等）以及角平分線將角分為兩個相等角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）通過作輔助線，利用平行線的性質(zhì)得到角的關(guān)系，從而證明兩直線平行．（2）利用角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，建立角度之間的等式關(guān)系來求解角度和．（3）借助角平分線的定義和平行線的性質(zhì)，結(jié)合已知角度求出目標(biāo)角度．【詳解】（1）解：過點作，，，即，，，，，（2）解：平分，，又，，，過作，，，，，，即，，，，（3）解：平分，設(shè)，，，平分，，又，，，．44．（24-25七年級下·河南省直轄縣級單位·期中）【閱讀理解】“兩條平行線被第三條直線所截”是平行線中的一個重要的“基本圖形”，與平行線有關(guān)的角都存在著這個“基本圖形”，當(dāng)發(fā)現(xiàn)題目的圖形“不完整”時要添加適當(dāng)?shù)妮o助線將其補充完整．將“非基本圖形”轉(zhuǎn)化為“基本圖形”這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．(1)【建立模型】如圖①②已知，點E在直線、之間，請分別寫出與、之間的關(guān)系，并對圖②中的結(jié)論進行證明．(2)【解決問題】如圖是一盞可調(diào)節(jié)臺燈，如圖③為示意圖．固定支撐桿底座于點與是分別可繞點A和B旋轉(zhuǎn)的調(diào)節(jié)桿，臺燈燈罩可繞點C旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)光線角度，在調(diào)節(jié)過程中，最外側(cè)光線、組成的始終保持不變．現(xiàn)調(diào)節(jié)臺燈，使外側(cè)光線，求的度數(shù)．(3)【拓展應(yīng)用】如圖④，已知和分別平分和，若，請直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)圖①中，即；圖②中，；證明見解析(2)(3)【分析】本題考查的是平行公理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵；（1）如圖①，過作直線，可得，再利用平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；如圖②，過作直線，可得，再利用平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）如圖③，延長，交于點，過作，證明，再利用平行線的性質(zhì)可得答案；（3）由（1）的結(jié)論可得：，，證明，，結(jié)合可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖①，過作直線，∵，∴，∴，，∴，即；如圖②，過作直線，∵，∴，∴，，∴；（2）解：如圖③，延長，交于點，過作，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如圖④，由（1）的結(jié)論可得：，，∵和分別平分和，∴，，∵，∴，∴，∴．45．（24-25七年級下·河南商丘·期末）綜合與探究：【知識儲備】構(gòu)造平行線是初中數(shù)學(xué)常見的一種作輔助線的方法，平行線的本質(zhì)作用是“移角（改變角的位置，不改變角的大?。?，具體來說，要轉(zhuǎn)移角的位直線的平行線”實現(xiàn)．【初步感知】已知：如圖1，直線，點P在直線之間，試探究三者的數(shù)量關(guān)系．分析：我們過點P作的平行線，可以實現(xiàn)“移角”的功能．請你解決這個問題，并說明理由．【方法應(yīng)用】已知：如圖2，直線，當(dāng)點P在直線下方時，三者的數(shù)量關(guān)系改變嗎？若改變，僅就圖2寫出新的關(guān)系式，并說明理由．【拓展探索】如圖3，將一塊等腰直角三角板的頂點G放置在直．板繞頂點G轉(zhuǎn)動，過點E作（點C在E的左側(cè)），并保持點E在直線的上方，在旋轉(zhuǎn)過程中，探索與之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)果．【答案】初步感知：，見解析；方法應(yīng)用：改變，，見解析；拓展探索：當(dāng)點F在直線與直線之間時，；當(dāng)點F在直線的上方時，；當(dāng)點F在直線的下方時，【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，初步感知∶過點P作，則，再證明，進而可得；方法應(yīng)用：過點P作，則，再證明，進而可得；拓展探索∶分三種情況求解：①當(dāng)點F在直線與直線之間時，②當(dāng)點F在直線的上方時，③當(dāng)點F在直線的下方時．【詳解】解：．理由如下：過點P作．，，．即．【方法應(yīng)用】解：當(dāng)點P在下方時，三者的數(shù)量關(guān)系改變．新的關(guān)系式：．（形式不唯一）理由如下：過點P作．，，，，，．，．【拓展探索】如圖3中，當(dāng)點F在直線與直線之間時，；如圖4中，當(dāng)點F在直線的上方時，；如圖5中，當(dāng)點F在直線的下方時，．具體分析如下：①如圖3中，當(dāng)點F在直線與直線之間時，．理由如下：過點F作．，，，，即．②如圖4中，當(dāng)點F在直線的上方時，．理由如下：過點F作．，，，，即．③如圖5中，當(dāng)點F在直線的下方時，．理由如下：過點F作．，，，，即．46．（24-25七年級上·福建泉州·期末）已知，點分別在直線上，點在之間，連接．(1)如圖1，若，直接寫出的度數(shù)