第12章全等三角形(高效培優(yōu)單元測(cè)試·強(qiáng)化卷)(考試時(shí)間:100分鐘，試卷滿分:120分)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的）1．（本題3分）以下四個(gè)命題中，假命題是（

）A．三角形的三條高所在的直線一定相交于三角形內(nèi)B．三角形三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)銳角C．對(duì)頂角相等D．一個(gè)數(shù)能被4整除，這個(gè)數(shù)也能被2整除【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)頂角相等、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問題、判斷命題真假【分析】本題考查真假命題的判斷，逐一分析各選項(xiàng)的正確性，重點(diǎn)在于理解每個(gè)命題的數(shù)學(xué)依據(jù)，尤其是可能存在特殊情況或前提條件的情況．【詳解】解：選項(xiàng)A：銳角三角形的垂心在內(nèi)部；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)（即邊上）；鈍角三角形的垂心在外部；因此，選項(xiàng)A中“一定相交于三角形內(nèi)”不成立，存在反例（如鈍角三角形），是假命題，選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B：根據(jù)三角形內(nèi)角和為：若存在一個(gè)直角，則剩余兩角和為，必為兩個(gè)銳角；若存在一個(gè)鈍角（如），剩余兩角和為，均為銳角；若三個(gè)角均為銳角（如等邊三角形），顯然滿足條件，因此選項(xiàng)B中“三角形三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)銳角”為真命題，選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：根據(jù)幾何基本定理，對(duì)頂角一定相等，選項(xiàng)C為真命題，選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：因?yàn)?，能?整除的數(shù)必為偶數(shù)（即能被2整除），選項(xiàng)D為真命題，選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．2．（本題3分）小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊，你認(rèn)為將其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來一樣大小的三角形，應(yīng)該帶第（

）塊．A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】靈活選用判定方法證全等（全等三角形的判定綜合）【分析】本題主要考查三角形全等的判定，掌握判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有、、、、是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形全等判定的條件進(jìn)行解答即可．【詳解】解：、、塊玻璃不同時(shí)具備包括一個(gè)完整邊在內(nèi)的三個(gè)證明全等的要素，所以不能帶它們?nèi)?，只有第塊有完整的兩角及夾邊，符合，滿足題目要求的條件，是符合題意的．故選：A．3．（本題3分）如圖，，，且點(diǎn)A在上，點(diǎn)D在上，添加下列一個(gè)條件后，仍然無法判定的是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】添加條件使三角形全等（全等三角形的判定綜合）【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用全等三角形的判定方法是關(guān)鍵．依據(jù)題意，添加各個(gè)選項(xiàng)的條件后逐個(gè)分析判斷可以得解．【詳解】解：A，添加，結(jié)合，，∴不能滿足判定的條件，故A符合題意．B，添加，結(jié)合，，∴，故B不符合題意．C，添加，結(jié)合，，∴，故C不符合題意．D，添加，結(jié)合，，∴，故D不符合題意．故選：A．4．（本題3分）如圖，，垂足為點(diǎn)，厘米，厘米，射線，垂足為點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以2厘米/秒的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，隨著點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且始終保持，當(dāng)點(diǎn)離開點(diǎn)后，運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，與全等，的值可能為（

）A．2 B．2或6 C．6或8 D．2或6或8【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查三角形全等的性質(zhì)．首先根據(jù)題意可知，本題要分兩種情況討論：①當(dāng)E在線段上時(shí)，②當(dāng)E在射線上時(shí)；再分別分成兩種情況，，結(jié)合已知，運(yùn)用即可得出與全等，然后分別計(jì)算的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：①當(dāng)E在線段上，時(shí)，，，，，，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）；②當(dāng)E在上，時(shí)，，，，，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）；③當(dāng)E在線段上，時(shí)，，這時(shí)E在B點(diǎn)未動(dòng)，不合題意舍去；④當(dāng)E在上，時(shí)，，，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒），故選：D．5．（本題3分）如圖，在中，，，，（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】等邊對(duì)等角、三角形的外角的定義及性質(zhì)【分析】本題考查了等邊對(duì)等角、三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等邊對(duì)等角得到，，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，，進(jìn)而得到，再利用等量代換即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故選：C．6．（本題3分）如圖，在中，，為的角平分線，在邊上取點(diǎn)E，使，且，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，在上截取，證明，推出，根據(jù)等邊對(duì)等角，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理和平角的定義，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：在上截取，∵為的角平分線，，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴；故選A7．（本題3分）如圖，是等腰底邊上的中線，點(diǎn)在上，且，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】等邊對(duì)等角、三線合一、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】本題考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，垂直平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，掌握等腰三角形的判定及性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的定義可得，，由是中線可得，，，則是的垂直平分線，由此可得，，由，可得，根據(jù)即可求解．【詳解】解：∵是等腰三角形，，∴，，∵是上的中線，且，∴是的垂直平分線，∴，∴，∴，故選：D．8．（本題3分）如圖，中，、的角平分線BP、CP交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)BA、BC，于M，于N，則下列結(jié)論：①AP平分；②；③；④，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理、全等的性質(zhì)和HL綜合（HL）【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，過點(diǎn)作于，根據(jù)角平分線的判定定理和性質(zhì)定理判斷①；證明根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出判斷②；根據(jù)三角形的外角性質(zhì)判斷③；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷④，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①過點(diǎn)作于，如圖：∵平分，平分，，∴，∴，∵，∴平分，故①符合題意；②∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，故②不符合題意；③∵平分，平分，∴，∴，故③不符合題意；④由②可知，，故④符合題意，∴符合題意的有個(gè)，故選：B．9．（本題3分）如圖，在中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】作垂線(尺規(guī)作圖)、作角平分線(尺規(guī)作圖)、線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題主要考查作圖-基本作圖、線段的垂直平分線、角平分線等知識(shí)點(diǎn)，讀懂圖形信息、靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．由作圖可知平分，垂直平分線段，再根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：由作圖可知：平分，垂直平分線段，∴，，即C選項(xiàng)符合題意．故選：C．10．（本題3分）如圖，在中，，的垂直平分線交于，交于，平分，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】等邊對(duì)等角、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義、直角三角形以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義得到，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可．【詳解】解：∵是的垂直平分線，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴．故選B．二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分）11．（本題3分）用三個(gè)不等式，，中的兩個(gè)不等式作為題設(shè)條件，余下的一個(gè)不等式作為結(jié)論，組成一個(gè)命題，可以組成真命題的個(gè)數(shù)為個(gè)，請(qǐng)同學(xué)們寫出一個(gè)真命題．【答案】3如果，，那么或如果，，那么或如果，，那么【知識(shí)點(diǎn)】寫出命題的題設(shè)與結(jié)論、不等式的性質(zhì)、判斷命題真假【分析】本題主要考查了判斷命題真假，不等式的性質(zhì)，寫出命題的題設(shè)和結(jié)論當(dāng)選取，作為條件，為結(jié)論時(shí)，根據(jù)不等式兩邊同時(shí)除以一個(gè)正數(shù)不等號(hào)不改變方向即可證明；當(dāng)選取，作為條件，為結(jié)論時(shí)，根據(jù)不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)不改變方向即可證明；當(dāng)選取，作為條件為結(jié)論時(shí)，據(jù)不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)不改變方向即可證明．【詳解】解：當(dāng)選取，作為條件，為結(jié)論時(shí)，∵，，∴，即，∴此時(shí)命題是真命題；當(dāng)選取，作為條件，為結(jié)論時(shí)，∵，∴當(dāng)時(shí)，則，即，符合題意；當(dāng)時(shí)，則，即，不符合題意；∴此時(shí)命題是真命題；當(dāng)選取，作為條件為結(jié)論時(shí)，∵，，∴，即，∴此時(shí)命題是真命題；綜上所述，可以組成真命題的個(gè)數(shù)為3個(gè)，命題為：如果，，那么；如果，，那么；如果，，那么．故答案為：3；如果，，那．么或如果，，那么或如果，，那么．12．（本題3分）如圖，，，，，垂足分別為，，，，則．【答案】7【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)題意可證，可得，，再根據(jù)，由此即可求解．【詳解】解：∵，，，，，在和中，，，，，故答案為：7．13．（本題3分）如圖，點(diǎn)C在線段上，于點(diǎn)B，于點(diǎn)D，，且，，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始以速度沿向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以的速度從點(diǎn)E開始，在線段上往返運(yùn)動(dòng)（即沿運(yùn)動(dòng)），當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過P、Q分別作的垂線，垂足分別為M、N．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，當(dāng)以P、C、M三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與全等時(shí)，t的值為．【答案】2或【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)．分兩種情況討論，由全等三角形的判定和性質(zhì)可求解．【詳解】解：如圖，∵，，∴，，當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上時(shí)，∵以為頂點(diǎn)的三角形與全等，，又，，，，，；當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)第一次從點(diǎn)返回時(shí)，∵以為頂點(diǎn)的三角形與全等，，，；綜上所述：t的值為2或．故答案為：2或．14．（本題3分）如圖，在中，、的平分線相交于，過作∥，交于，交于，那么下列結(jié)論中：①都是等腰三角形；②；③的周長(zhǎng)等于；④．其中正確的是（填寫正確的序號(hào)）【答案】①②【知識(shí)點(diǎn)】?jī)芍本€平行內(nèi)錯(cuò)角相等、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題綜合運(yùn)用了角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定．結(jié)合角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，即可證明和是等腰三角形，然后根據(jù)線段的和差分析其它結(jié)論．【詳解】解：①∵的平分線相交于F，∴．∵，∴，∴，∴．∴都是等腰三角形．故①正確；②根據(jù)①得．故②正確；③根據(jù)②得．故③錯(cuò)誤；④和不一定相等，∴和不一定相等．故④錯(cuò)誤．故答案為：①②．15．（本題3分）如圖，在紙片中，，，沿過點(diǎn)B的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)E處，折痕為，若，求的長(zhǎng)為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理、三角形折疊中的角度問題【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)等面積法求高，解題的關(guān)鍵是作出常用輔助線及熟練掌握折疊的性質(zhì)．由折疊的性質(zhì)可得：，，，進(jìn)而證得，得到，由面積法可求解．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得：，，，，，如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N，則，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．三、解答題（共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．（本題8分）如圖，有下列三個(gè)條件：①，②，③．(1)從這三個(gè)條件中選兩個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論組成命題．在保證該命題為真命題的情況下，你選擇的條件是，結(jié)論是；(2)請(qǐng)寫出（1）中你組成的命題的證明過程．【答案】(1)①②，③；或①③，②；或②③，①(2)證明過程見解析【知識(shí)點(diǎn)】寫出命題的題設(shè)與結(jié)論、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)．應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時(shí)，平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．解題時(shí)一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．（1）三個(gè)命題分別是：已知①②，求證：③；已知①③，求證：②；已知②③，求證：①；（2）命題一證明：根據(jù)得到，接著得到即可證明；命題二證明：根據(jù)得到，接著由得到即可證明；命題三證明：根據(jù)得到，接著得到即可證明．【詳解】（1）解：命題一：已知①②，求證：③；命題二：已知①③，求證：②；命題三：已知②③，求證：①；（2）命題一：已知①②，求證：③證明：，，．，，，；命題二：已知①③，求證：②證明：，，．，，，；命題三：已知②③，求證：①證明：，，．，，，．17．（本題8分）如圖，，，，．(1)求證：；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】用SAS證明三角形全等（SAS）、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，外角性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．（1）由可證；（2）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，再由三角形內(nèi)角和定理可求，然后由外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：在和中，，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴．18．（本題8分）如圖1，在中，，延長(zhǎng)至點(diǎn)D，過點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，過點(diǎn)F作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，且．(1)求證：；(2)如圖2，連接，交于點(diǎn)H，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析(2)，見解析【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定證明即可；（2）證明，得到，即可得解．【詳解】（1）證明：，，，，，，；（2）解：，理由如下，，，，，，，，，．19．（本題8分）如圖，在梯形中，，E是中點(diǎn)，平分，求證：．【答案】見詳解【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和HL綜合（HL）、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，過點(diǎn)作，證明，得出，，證明，得出，即可證明．【詳解】解：過點(diǎn)作，∵平分，∴，∵，，∴，∴，，∵E是中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴．20．（本題8分）如圖，在等邊三角形中，為邊上一點(diǎn)，為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連接，交邊于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若的邊長(zhǎng)為，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】三線合一、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等邊三角形的判定和性質(zhì)【分析】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形三線合一等知識(shí)點(diǎn)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．（1）過作的平行線至于，易證是等邊三角形，再證明，得出結(jié)論；（2）利用是等邊三角形，，得出，再由，得出，由此得出與的關(guān)系解決問題．【詳解】（1）證明：如圖，過作交于點(diǎn)，，，為等邊三角形，，，是等邊三角形；，∵，，∵，，．（2）解：是等邊三角形，，，，，，，．21．（本題10分）如圖，在四邊形中，平分，，于點(diǎn)E．(1)求證：．(2)若，求的值．【答案】(1)見解析(2)．【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)．（1）過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，易得，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再利用證明，利用全等三角形的性質(zhì)即可證得；（2）證明，推出，通過線段的和差與等量代換即可證得結(jié)論．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，如圖所示：

∴．∵，∴，∴．又∵平分，∴．∵，，∴．在和中，，∴，∴；（2）解：∵，∴．∵平分，∴．∴，∴，∴，∵，∴．22．（本題10分）如圖，是等腰直角三角形，，點(diǎn)是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，將線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交直線于點(diǎn)．(1)若，則；(2)探究線段，之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；(3)將“點(diǎn)是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)”改為“點(diǎn)是射線上一點(diǎn)”，其余條件不變，若，，則．（直接寫出答案即可）【答案】(1)；(2)，證明見解析；(3)或3．【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性質(zhì)和判定、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解【分析】（1）利用等腰直角三角形性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，求出相關(guān)角的度數(shù)，進(jìn)而得到∠D的度數(shù)．（2）通過作輔助線構(gòu)造全等三角形，證明線段相等，再結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)得出與的數(shù)量關(guān)系．（3）分點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線和線段上兩種情況，利用三角形面積關(guān)系和相似三角形性質(zhì)求解的長(zhǎng)度．【詳解】（1）解：∵線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，．∵，∴．∵，∴在中，，故答案為：；（2）解：，證明如下：過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．∵，，∴．∵，∴，又，∴．在和中，，∴（）．∴，．∵，∴．∵，，∴（）．∴．（3）解：當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)，由（）知，設(shè)，