《等腰三角形的綜合運(yùn)用（第一課時(shí)）》教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：進(jìn)一步理解和掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定,并能綜合運(yùn)用這些知識(shí)判斷三角形形狀和求三角形邊角等有關(guān)計(jì)算。在例題探究過程中培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析和歸納能力，并體驗(yàn)轉(zhuǎn)化和方程等思想的應(yīng)用。教學(xué)重點(diǎn)：等腰三角形性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用教學(xué)難點(diǎn)：結(jié)合等腰三角形、角平分線、中垂線等知識(shí)，來解決三角形有關(guān)邊角問題的計(jì)算.教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)5分鐘知識(shí)回顧同學(xué)們，大家好，本節(jié)課我們將學(xué)習(xí)等腰三角形的綜合運(yùn)用（第一課時(shí)），首先一起回顧等腰三角形的定義，判定和性質(zhì)。1.等腰三角形【定義】有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。【性質(zhì)】①等邊對(duì)等角；②三線合一；③對(duì)稱軸有1條或3條.【判定】①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；(定義)②等角對(duì)等邊.2.特殊的等腰三角形：等邊三角形【定義】三邊都相等的三角形是等邊三角形.【性質(zhì)】①三邊都相等；②三個(gè)角都是60°；③三線合一；=4\*GB3④對(duì)稱軸有3條.【判定】①三邊都相等的三角形是等邊三角形（定義）；②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.以上判定方法都是可以彼此推導(dǎo)的。下面我們將通過幾個(gè)例題來進(jìn)一步復(fù)習(xí)等腰三角形判定和性質(zhì)的運(yùn)用。18分鐘知識(shí)運(yùn)用一、運(yùn)用等腰三角形的判定進(jìn)行三角形形狀的判斷例已知三角形△ABC的三邊長為a,b,c,(1)∠A=70°,∠B=40°,則三角形的形狀為_________;(2)∠A:∠B:∠C=1:1:2,則三角形的形狀為_________;(3)當(dāng)滿足(a-b)(b-c)(c-a)=0時(shí),則三角形的形狀為_________;(4)當(dāng)滿足(a-b)+(b-c)+(c-a)=0時(shí),則三角形的形狀為________.教師提問：當(dāng)三角形的內(nèi)角或邊分別滿足以上條件時(shí)，我們將如何來判斷三角形形狀呢？下面我們來逐一分析！主要步驟：(1)∵∠A=70°,∠B=40°根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠C=180°-∠A-∠B=70°∵∠A=∠C∴△ABC是等腰三角形(2)∵∴∠A=∠B=45°,∠C=45°×2=90°根據(jù)“等角對(duì)等邊”和直角三角形定義，得∴△ABC是等腰直角三角形(3)∵(a-b)(b-c)(c-a)=0，∴a-b，b-c，c-a中至少有一個(gè)為0即a-b=0，或b-c=0，或c-a=0∴a=b或b=c或a=c∴△ABC是等腰三角形(4)∵(a-b)+(b-c)+(c-a)=0，(a-b)，(b-c)，(c-a)均具有非負(fù)性∴(a-b)=0，且(b-c)=0，且(c-a)=0∴a=b且b=c且a=c∴△ABC是等邊三角形【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體驗(yàn)如何分析題目中已有條件進(jìn)行角或邊計(jì)算，然后利用等腰（等邊）三角形的判定方法，進(jìn)行三角形形狀的判斷的過程，鍛煉學(xué)生對(duì)三角形內(nèi)角和定理的靈活運(yùn)用和對(duì)判定方法的理解和運(yùn)用?！窘夂蠓此肌恳话愕兀袛嗳切涡螤畹年P(guān)鍵在于要先求出三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)或三條邊長，或找到角（邊）所滿足的重要數(shù)量關(guān)系，然后再利用等腰（等邊）三角形的判定方法，進(jìn)行三角形形狀的判斷。二、運(yùn)用等腰三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行邊角等有關(guān)計(jì)算及證明例如圖，在△ABC中，∠A=40°,AB=AC,AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)D,求∠DBC=______教師提問：請(qǐng)問題目中有哪些已知的邊角條件和特殊三角形圖形？教師提出：已知∠A=40°，AB=AC,AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)D.教師追問：根據(jù)“AB的垂直平分線DE”，你能得出什么結(jié)論？教師提出：首先得出∠AED=90°，AE=BE.又根據(jù)“垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)距離相等”，可以得出AD=BD.教師提問：題目中有哪些特殊的三角形圖形呢？教師提出：因?yàn)锳B=AC，AD=BD,根據(jù)等腰三角形定義，我們得出△ABC,△ADB為等腰三角形。我們來看下本題目的問題，求∠DBC的度數(shù)，如何來求呢？方法一：∠DBC=∠ABC-∠ABD=方法二：∠DBC=180°-∠C-∠BDC=均使用到等腰三角形性質(zhì)：等邊對(duì)等角.變式:如圖，在△ABC中，∠ABC=120°，點(diǎn)D，E分別在AC和AB上，且AE=ED=DB=BC,若∠A的度數(shù)為,則用的代數(shù)式表示∠C為____，∠A=____°.教師提問：請(qǐng)問題目中有哪些已知的邊角條件和特殊三角形圖形？教師提出：題中已知∠ABC=120°，和AE=ED=DB=BC.教師追問：你能從“AE=ED=DB=BC”得到什么結(jié)論呢？教師提出：可以得出三個(gè)等腰三角形△AED，△BDE，△BCD，也可以根據(jù)“等邊對(duì)等角”，找到一些角之間的相等關(guān)系，例如根據(jù)AE=ED得出∠A=∠EDA，根據(jù)ED=DB得出∠BED=∠EBD,根據(jù)DB=BC得出∠BDC=∠C.教師提問：但這些角等于多少度呢？和已知角∠ABC之間是什么關(guān)系呢？教師提出：好的，我們一起看下問題，若∠A的度數(shù)為x°,如何用x的代數(shù)式表示∠C？教師提示：根據(jù)剛才分析，我們可以嘗試用x表示出上面這些角.主要步驟∵AE=ED∴設(shè)∠A=∠ADE=∴∠BED=∠A+∠ADE=∵ED=DB∴∠EBD=∠BED=∵∠BDC=∠EBD+∠A=∵DB=BC∴∠C=∠BDC=在△ABC中∵∠A+∠ABC+∠C=180°∴++=180°∴=15∴∠A=15°【設(shè)計(jì)意圖】借助本題及變式，帶領(lǐng)學(xué)生一起體驗(yàn)和歸納等腰三角形中求角問題的一般方法。題目由易到難，由特殊到一般，鍛煉學(xué)生分析問題和解決問題的能力?！窘夂蠓此肌恳话愕?，求等腰三角形中角的度數(shù)問題，我們主要依據(jù)“等邊對(duì)等角”性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和外角和性質(zhì)，由已知角逐步推導(dǎo)計(jì)算出未知角的度數(shù)?；蛘弑匾獣r(shí)，通過合理設(shè)元，利用方程的思想求解出未知角的度數(shù)。下面我們來完成一道三角形求邊長問題例如圖,△ABC是等邊三角形,AD⊥BC,DE⊥AB,垂足分別為D,E.若AB=8,則BD=_____,BE=_____.

教師提問：請(qǐng)問題目中有哪些已知條件和哪些特殊三角形圖形？教師提出：如圖△ABC是等邊三角形，我們可以得到三條邊相等，三個(gè)內(nèi)角均為60°。教師提問：AD⊥BC，同學(xué)們你可以得出什么結(jié)論？教師提出：∠ADC=90°，教師追問：還有嗎？教師提出：AD三線合一，所以AD是高線，也是角平分線和中線，所以∠BAD=∠CAD=30°，BD=CD。DE⊥AB可以推出∠BED=90°.教師提問：我們來看下問題，若AB=8,求BC長？教師提出：根據(jù)上面的分析，BC=AB=8,而D為BD中點(diǎn)，所以BD=1/2BC=4。教師追問：如何來求DE呢？教師提出：我們來觀察△BDE，發(fā)現(xiàn)∠BDE=30°，而BE恰好是這個(gè)直角三角形30°所對(duì)的直角邊，所以根據(jù)：直角三角形30°所對(duì)的直角邊等于斜邊一半“，得出BE=1/2BD=2主要步驟：∵△ABC為等邊三角形∴BC=AC=AB=8,∠B=∠C=∠BAC=60°∵AD⊥BC∴BD=BC=4∵DE⊥AB∴∠DEB=90°∴∠EDB=180°-∠B-∠DEB=30°∴BE=BD=2【設(shè)計(jì)意圖】本題主要考查等邊三角形的“三線合一”性質(zhì)和直角三角形中的性質(zhì)(直角三角形30°所對(duì)的直角邊等于斜邊一半)在求邊長問題中的綜合運(yùn)用，鞏固性質(zhì)的理解和運(yùn)用。2分鐘課堂小結(jié)本節(jié)課，我們進(jìn)行了以下知識(shí)的學(xué)習(xí)回顧等腰三角形和等邊三角形定義、性質(zhì)和判定；學(xué)習(xí)運(yùn)用等腰或等邊三角形的判定知識(shí)進(jìn)行三角形形狀的判斷；學(xué)習(xí)綜合運(yùn)用等腰或等邊三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行三角形邊角等有關(guān)問題的計(jì)算及證明.課后作業(yè)如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°,DE垂直平分AC，交BC于點(diǎn)D，垂足為點(diǎn)E.若DE=2cm,則DC=____cm,BC=____cm.若D為△ABC的邊BC上一點(diǎn)，且AD=BD，AB=AC=CD，則∠B=_______°．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,∠C=30°,AD是BC邊上的高，BE是角平分線，AD與BE相交于點(diǎn)F，求證：△AEF是等邊三角形.知能演練提升一、能力提升1.小明用含有30°角的兩個(gè)完全相同的三角尺拼成的圖案如圖所示.若連接BD,則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是()A.2 B.3C.4 D.52.如圖,在△ABC中,AB=3,∠BAC=100°,∠B=40°,點(diǎn)D在BC的延長線上,且∠D=20°,則CD的長是.

3.如圖,上午8時(shí),一船從A處出發(fā)以20海里/時(shí)的速度向正北方向航行,上午11時(shí),到達(dá)B處,從A,B望燈塔C分別測得∠NAC=44°,∠NBC=88°,求從B處到燈塔C的距離.4.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥BA于點(diǎn)D,AE平分∠BAC交CD于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)E,你能證明△CEF是等腰三角形嗎?5.如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC邊上的一點(diǎn),∠B=30°,∠DAB=45°.(1)求∠DAC的度數(shù);(2)求證:DC=AB.6.如圖,已知O是△ABC的∠ABC,∠ACB的平分線的交點(diǎn),OD∥AB交BC于點(diǎn)D,OE∥AC交BC于點(diǎn)E.若BC=10cm,求△ODE的周長.7.如圖,在△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于點(diǎn)E,AD⊥BC于點(diǎn)D,∠BAD=45°,AD與BE交于點(diǎn)F,連接CF.求證:BF=2AE.8.如圖,在△ABC中,AB=AC,在AB上取一點(diǎn)E,在AC延長線上取一點(diǎn)F,使BE=CF,EF交BC于點(diǎn)G.求證:EG=FG.二、創(chuàng)新應(yīng)用★9.如圖,在△ABC中,D,E分別是AC,AB上的點(diǎn),BD,CE交于點(diǎn)O,給出下列四個(gè)條件:①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD;④OB=OC.(1)上述四個(gè)條件中,哪兩個(gè)條件可以判斷△ABC是等腰三角形?(用序號(hào)寫出所有情形)(2)選擇(1)中的一種情形,證明△ABC是等腰三角形.

知能演練·提升一、能力提升1.A2.33.解∵∠C=∠CBN-∠A=88°-44°=44°,∴∠C=∠A.∴BC=BA=20×(11-8)=60(海里).故從B處到燈塔C的距離是60海里.4.解能.證明:∵CD⊥BA,∴∠AFD+∠DAF=90°.∵∠ACB=90°,∴∠CEF+∠EAC=90°.∵AE平分∠BAC,∴∠DAF=∠EAC.∴∠CEF=∠AFD=∠CFE.∴CF=CE.∴△CEF是等腰三角形.5.(1)解∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°.∵∠C+∠BAC+∠B=180°,∴∠BAC=180°-30°-30°=120°.∵∠DAB=45°,∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°.(2)證明∵∠DAB=45°,∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°,∴∠ADC=∠DAC,∴DC=AC.∴DC=AB.6.解∵BO平分∠ABC,∴∠ABO=∠DBO.又OD∥AB,∴∠ABO=∠DOB,∴∠DBO=∠DOB,∴OD=BD.同理OE=CE.∵BC=10cm,∴△ODE的周長為OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC=10(cm).7.證明∵AD⊥BC,∠BAD=45°,∴△ABD是等腰直角三角形,∴AD=BD.∵BE⊥AC,AD⊥BC,∴∠CAD+∠ACD=90°.∠CBE+∠ACD=90°,∴∠CAD=∠CBE.在△ADC和△BDF中,∠∴△ADC≌△BDF(ASA),∴BF=AC.∵AB=BC,BE⊥AC,∴AC=2AE,∴BF=2AE.8.證明如圖,過E作EM∥AC,交BC于點(diǎn)M.∵EM∥AC,∴∠E