第12章全等三角形12.1命題、定義、定理與證明命題：數(shù)學(xué)中的命題是能判斷真假的陳述句。一般形式為“如果...那么...”。定義：對(duì)某個(gè)概念進(jìn)行明確說明，用以區(qū)分其他概念。定理：經(jīng)過邏輯推理證明為真的命題。證明：通過一系列邏輯推理步驟確認(rèn)某一命題的真實(shí)性。12.2三角形全等的判定全等三角形的判定條件：兩個(gè)三角形全等表示它們可以完全重合。邊角邊（SAS）：兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。角邊角（ASA）：兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。邊邊邊（SSS）：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。斜邊直角邊（HL）：在直角三角形中，斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。12.3等腰三角形等腰三角形的性質(zhì)：兩腰相等。底角相等。頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合。等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩條邊相等，則這個(gè)三角形是等腰三角形。如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，則這個(gè)三角形是等腰三角形。12.4逆命題和逆定理互逆命題和互逆定理：原命題與其逆命題的關(guān)系應(yīng)明確。線段垂直平分線：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等。角平分線：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。一、命題部分易錯(cuò)點(diǎn)：1學(xué)生可能難以區(qū)分命題與非命題，例如，他們可能會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為描述性語言或疑問句是命題。2在理解真命題與假命題時(shí)，學(xué)生可能會(huì)混淆條件與結(jié)論，導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤。二、定義、定理與證明部分易錯(cuò)點(diǎn)：1學(xué)生可能對(duì)定理和定義的理解不夠深入，導(dǎo)致在證明過程中無法準(zhǔn)確應(yīng)用。2在證明過程中，學(xué)生可能會(huì)忽略某些已知條件或中間步驟，導(dǎo)致證明不完整或錯(cuò)誤。三、全等三角形的判定條件易錯(cuò)點(diǎn)：1學(xué)生可能會(huì)混淆不同的判定條件，例如將邊角邊與角邊角混淆。2在應(yīng)用判定條件時(shí)，學(xué)生可能會(huì)忽略某些細(xì)節(jié)，如對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角必須完全相等。四、邊角邊、角邊角、邊邊邊、斜邊直角邊判定易錯(cuò)點(diǎn)：1在使用邊角邊判定時(shí)，學(xué)生可能會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為只要兩邊及夾角相等，兩個(gè)三角形就一定全等，而忽略了這兩邊必須是對(duì)應(yīng)邊。2在使用角邊角判定時(shí)，學(xué)生可能會(huì)忽略角必須是兩邊的夾角這一條件。3邊邊邊判定相對(duì)簡單，但學(xué)生可能會(huì)在應(yīng)用時(shí)忽略所有三邊必須對(duì)應(yīng)相等。4斜邊直角邊判定專用于直角三角形，學(xué)生可能會(huì)在非直角三角形中錯(cuò)誤地應(yīng)用此判定。五、等腰三角形的性質(zhì)易錯(cuò)點(diǎn)：1學(xué)生可能會(huì)混淆等腰三角形的底角和頂角，導(dǎo)致在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)出錯(cuò)。2學(xué)生可能會(huì)忽略等腰三角形的對(duì)稱性，導(dǎo)致在解決問題時(shí)無法準(zhǔn)確利用這一性質(zhì)。六、等腰三角形的判定易錯(cuò)點(diǎn)：1在使用等腰三角形的判定定理時(shí)，學(xué)生可能會(huì)忽略條件中的“在同一個(gè)三角形中”這一前提。2學(xué)生可能會(huì)混淆等腰三角形的判定與性質(zhì)，導(dǎo)致在證明過程中無法準(zhǔn)確應(yīng)用。七、互逆命題和互逆定理易錯(cuò)點(diǎn)：1學(xué)生可能會(huì)難以理解互逆命題的概念，即原命題的條件與結(jié)論互換后形成的命題。2在判斷逆命題的真假時(shí)，學(xué)生可能會(huì)忽略對(duì)原命題的深入理解和分析。八、線段垂直平分線、角平分線易錯(cuò)點(diǎn)：1學(xué)生可能會(huì)混淆線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用場景。2在應(yīng)用這些性質(zhì)時(shí)，學(xué)生可能會(huì)忽略某些細(xì)節(jié)，如垂直平分線必須平分線段且垂直于該線段等。題型01真、假、逆命題1.下列命題是假命題的是（

）A．同位角相等，兩直線平行B．C．經(jīng)過同一平面內(nèi)三點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)一定能畫三條直線D．所有實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，反過來，數(shù)軸上的所有點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)2.下列命題是真命題的是（

）A．相等的角是對(duì)頂角B．如果是線段的中點(diǎn)，那么C．若，則D．如果，那么點(diǎn)是的中點(diǎn)3.把“對(duì)頂角相等”，改寫成“如果……那么……”的形式4.“如果，互為倒數(shù)，那么”的逆命題是命題（填“真”或“假”）．5.已知命題“等底等高的兩個(gè)三角形的面積相等”．(1)此命題是真命題還是假命題？若是真命題，請(qǐng)給予證明；若是假命題，請(qǐng)舉出一個(gè)反例．(2)寫出此命題的逆命題，并判斷此逆命題的真假．若是真命題，請(qǐng)給予證明；若是假命題，請(qǐng)舉出一個(gè)反例．題型02全等三角形的性質(zhì)1.如圖，，，，則度數(shù)為（

）

A． B． C． D．2.如圖，在中，于點(diǎn)D，E是上一點(diǎn)，若，，，則的周長為（

）A．24 B．23 C．22 D．263.如圖，，若，，則等于．4.如圖，其中點(diǎn)A，E，B，D在一條直線上，若，，則的長為．5.如圖，在中，于點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊上，連接交于點(diǎn)F，．(1)若，，求的面積；(2)試判斷與之間的位置關(guān)系，并說明理由．題型03全等三角形的判定——邊角邊1.如圖，在方格紙上的圖形中，以下說法正確的是（

）A． B．C． D．2.要測量A，B間的距離（無法直接測出），兩位同學(xué)提供了如下測量方案：方案Ⅰ①如圖1，選定點(diǎn)O；②連接，并延長到點(diǎn)C，使，連接，并延長到點(diǎn)D，使；③連接，測量的長度即可．方案Ⅱ①如圖2，選定點(diǎn)O；②連接，并分別延長到點(diǎn)F，E，使；③連接，測量的長度即可．對(duì)于方案Ⅰ，Ⅱ，下列說法正確的是（

）A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行3.如圖，在中，，M、N、K分別是，，上的點(diǎn)，且，．若，則的度數(shù)為．

4.如圖，表示兩根長度相同的木條，若O是的中點(diǎn)，經(jīng)測量，則容器的內(nèi)徑為．5.景德鎮(zhèn)龍珠閣自唐以來，幾度興毀，成為反映景德鎮(zhèn)千年歷史的代表性建筑，琳琳想利用五一假期測量其底部寬度，A，B兩點(diǎn)分別為底部的兩端．因?yàn)锳，B兩點(diǎn)間的實(shí)際距離天法直接測量，琳琳設(shè)計(jì)出了如下方案：在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)點(diǎn)A，B的點(diǎn)O，連接，并延長到點(diǎn)C，連接，并延長到點(diǎn)D，使，，連接DC，測得（假設(shè)A，B，O，C，D均在同一平面上），請(qǐng)根據(jù)琳琳的方案，求A，B間的實(shí)際距離．題型04全等三角形的判定——邊角邊1.如圖，在四邊形中，，，連接．若，則四邊形面積為（

）A．18 B．24 C．36 D．482.如圖，在中，平分交于點(diǎn)，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，延長至點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3.如圖，在中，，，D是上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)A作，且，連接交于點(diǎn)F，若，則的長度為．4.如圖，在中，是的角平分線，于點(diǎn)，連接，，，，則的面積是．5.如圖，在中，，分別是邊，邊上的高，與相交于點(diǎn)，且，連接．(1)試說明：；(2)試求的度數(shù)；(3)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，試求的值．題型05全等三角形的判定——角邊角與角角邊1.如圖，點(diǎn)C在的邊上，用尺規(guī)作圖：①以點(diǎn)O為圓心，以任意長為半徑畫弧，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E；②以點(diǎn)C為圓心，以的長為半徑畫弧，交于點(diǎn)F；③以點(diǎn)F為圓心，以的長為半徑畫弧，交前弧于點(diǎn)P；④作射線；

下列結(jié)論不一定正確的是（

）A． B． C． D．2.如圖，五邊形中，，，，M為邊的中點(diǎn)，，，則五邊形的面積為（

）．A．30 B．28 C．24 D．203.如圖，點(diǎn)C，E分別為的邊，上的點(diǎn)，，，則的度數(shù)為°．4.如圖，在中，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，連接，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接與線段交于點(diǎn)，當(dāng)中有兩個(gè)角相等時(shí)，．5.閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)全等四邊形根據(jù)全等圖形的定義可知：四條邊分別相等、四個(gè)角也分別相等的兩個(gè)四邊形全等．在“探索三角形全等的條件”時(shí)，我們把兩個(gè)三角形中“一組邊相等”或“一組角相等”稱為一個(gè)條件，智慧小組的同學(xué)類比“探索三角形全等的條件”的方法探索“四邊形全等的條件”，進(jìn)行了如下思考：如圖，在四邊形和四邊形中，連接對(duì)角線，這樣兩個(gè)四邊形全等的問題就轉(zhuǎn)化為“”與“”的問題．若先給定的條件，只要再增加兩個(gè)條件使“”即可推出兩個(gè)四邊形中“四條邊分別相等、四個(gè)角也分別相等”，從而說明兩個(gè)四邊形全等．按照智慧小組的思路，小明對(duì)圖中的四邊形和四邊形先給出如下條件：，，，小亮在此基礎(chǔ)上又給出“，”兩個(gè)條件，他們認(rèn)為滿足這五個(gè)條件能得到“四邊形四邊形”任務(wù)：(1)請(qǐng)根據(jù)小明和小亮給出的條件，請(qǐng)根據(jù)全等圖形的定義說明四邊形四邊形的理由．(2)在材料小明所給條件的基礎(chǔ)上，小穎又給出兩個(gè)條件“，”．滿足這五個(gè)條件（填“能”或“不能”）得到四邊形四邊形．題型06全等三角形的判定——斜邊直角邊1.如圖，，，添加下列條件，仍不能判斷的是（

）A． B． C． D．2.下列選項(xiàng)中，可以判定的是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，3.如圖，于點(diǎn)于點(diǎn)，且．若，則的大小為．4.如圖，在中，，，垂足為點(diǎn)，若，，則和的面積之比為．5.如圖，在中，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長線上，連接，且，．求證：．題型07等腰與等邊三角形的性質(zhì)與判定1.如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，則的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．42.如圖，在等邊中，和分別是和邊上的高，且相交于點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3.如圖，在四邊形中，，，，為上一動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過程中，與相交于點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的度數(shù)為．4.如圖，在中，，以為邊向外作等腰直角，連接，若，則．5.已知：為等邊三角形，點(diǎn)D、E分別為、邊上一點(diǎn)，、相交于點(diǎn)F，．(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，連接并延長，與相交于點(diǎn)G，點(diǎn)M為延長線上一點(diǎn)，，點(diǎn)N為延長線上一點(diǎn)，，，求證：；(3)在（2）的條件下（可使用備用圖），若的面積為2，，直接寫出點(diǎn)A到的距離與點(diǎn)N到的距離之和．題型08角平分線與線段垂直平分線結(jié)合1.如圖，在中，的角平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，，交的延長線于點(diǎn)F．若，，則的長為（

）

A．1 B．2 C．3 D．42.如圖，的角平分線與線段的垂直平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，，垂足交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，則的周長為（

）．A．32 B．34 C．22 D．163.在中，的角平分線與邊的垂直平分線相交于點(diǎn)F，連接，若，，則的度數(shù)是．4.如圖，在中，的角平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)，于點(diǎn)，，交的延長線于點(diǎn)．若，，則的長為．5.如圖，ABC的外角平分線AD與邊BC的垂直平分線交于點(diǎn)D，DF⊥CA，DG⊥AB，垂足分別為F、G．(1)求證：BG＝CF；(2)若AB＝18，AC＝6，求AF的長度．(3)直接寫出∠ADB、∠ADC、∠ADG之間的數(shù)量關(guān)系．題型09全等模型（一線三等角，手拉手，倍長中線等）1.如圖，C為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在同側(cè)分別作等邊和等邊，與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)Q，連接．以下結(jié)論不正確的是（

）

A． B． C． D．2.如圖，和均為等腰直角三角形，且，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，平分，連接．以下結(jié)論：①；②；③；④．正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3.如圖，邊長為6的等邊中，是上的中線且，點(diǎn)在上，連接，在右側(cè)作等邊，連接，則的周長最小值為．4.如圖，和都是等邊三角形，連接、交于點(diǎn)P，、與、分別交于M、N，則下列說法中：①；②；③當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，；④點(diǎn)C在的角平分線上．正確的有．5.我們知道，如果一個(gè)三角形的兩邊長分別為，，其中，那么第三邊長的范圍為．小明提出問題：第三邊上的中線長度與，有關(guān)系嗎？經(jīng)過思考、交流，找到解決思路：延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和需求的結(jié)果轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中．如圖1，延長至E，使得，連接，可得．(1)如圖1，在中，是邊上的中線，若，求的范圍．(2)如圖2，在中，是邊上的中線，平分，交于點(diǎn)D．若，說明；(3)如圖2，在（2）的條件下，若，直接用等式表示，之間滿足的等量關(guān)系．題型10全等與等腰三角形動(dòng)點(diǎn)求t1.如圖，，，，點(diǎn)P在線段上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），若存在某一時(shí)刻使與全等，則點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為（

）A． B． C．或 D．或2.如圖，在中，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線以每秒4個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)．兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)停止時(shí)，點(diǎn)也隨之停止。設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．當(dāng)時(shí)，的值為（

）A．3.2 B．10 C．3.2或6 D．3.2或103.如圖，于點(diǎn)，，，射線于點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以2個(gè)單位秒沿射線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，隨著點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且始終保持，若點(diǎn)經(jīng)過秒，與全等，則的值為秒．4.如圖，在中，，，，直線經(jīng)過點(diǎn)C且與邊相交，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度分別為和，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)并開始計(jì)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)計(jì)時(shí)結(jié)束．在某時(shí)刻分別過點(diǎn)P和點(diǎn)Q作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則當(dāng)時(shí)，與全等．5.如圖，已知是邊長為的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿、方向勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，解答下列問題．(1)_________；_________；（用含t的代數(shù)式表示）(2)如圖①，點(diǎn)P與點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的過程中，能否成為等邊三角形？若能，請(qǐng)求出t的值；若不