第13章勾股定理13.1勾股定理及其逆定理1.直角三角形三邊的關系勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。設直角三角形的兩條直角邊分別為a和b，斜邊為c，則勾股定理可以表示為a2+b2=c2。2.直角三角形的判定根據勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形。3.反證法反證法是一種證明論題的方法，先提出和論題中的結論相反的假定，然后從這個假定中得出和已知條件相矛盾的結果來，這樣就否定了原來的假定而肯定了該論題。13.2勾股定理的應用勾股定理在數學、物理學、工程學等領域有著廣泛的應用。例如，在建筑設計中，勾股定理可以幫助工程師計算出斜面的長度；在物理學中，它可以用來計算拋體運動的軌跡；在日常生活中，我們可以用它來估算物體的距離或高度。此外，勾股定理在數學競賽和考試中也是一個重要的考點。具體應用場景包括：1.城市規(guī)劃：用于計算城市道路的布局，確保建筑高度和街道寬度之間的合理關系。2.航空航天：用于飛行路徑的計算，優(yōu)化飛行效率。3.體育領域：如籃球投籃角度、田徑比賽中的起跳角度和距離的計算等。4.日常生活：如裝修房屋時計算天花板到地面的距離，或測量家具的尺寸是否合適等。5.工程測量：在土木工程、建筑工程等領域，勾股定理可用于測量和計算建筑物的高度、深度、寬度等關鍵尺寸，確保工程精度。6.圖形設計：在二維和三維圖形設計中，設計師可以利用勾股定理來計算圖形的比例、角度和邊長，確保設計的一致性和準確性。7.編程和算法：在計算機科學中，勾股定理可用于開發(fā)圖形渲染算法、物理模擬算法等，提高程序的效率和準確性。8.電子工程：在電路設計和信號處理中，勾股定理可用于計算信號的幅度、相位和頻率等關鍵參數。9.統(tǒng)計分析：在數據分析中，勾股定理可用于計算數據的距離、相似度和聚類等，為數據分析和挖掘提供有力支持。10.教育領域：勾股定理是中學數學教育中的重要內容，通過學習勾股定理，學生可以培養(yǎng)邏輯思維能力、空間想象能力和問題解決能力。一、忽略勾股定理的使用條件勾股定理僅適用于直角三角形，對于非直角三角形，不能直接應用勾股定理。例如，已知三角形的三邊長度，若未明確三角形為直角三角形，則不能直接使用勾股定理求解。二、不能正確區(qū)分直角邊與斜邊在直角三角形中，斜邊是直角三角形中最長的邊，與直角相對。在解題時，若題目未明確哪條邊為斜邊，需要分情況討論。例如，已知直角三角形的兩邊長度，需要判斷這兩邊哪條為直角邊，哪條可能為斜邊，從而正確應用勾股定理。三、考慮不全面，造成漏解在解決勾股定理相關問題時，需要考慮所有可能的情況，避免漏解。例如，在求解直角三角形的第三邊長度時，若已知兩邊長度，需要分別考慮這兩邊為直角邊和其中一邊為斜邊的情況，從而得到所有可能的解。四、思維定式導致的錯誤在解決勾股定理相關問題時，要避免思維定式的影響。例如，已知直角三角形的兩邊長度，不要直接認為這兩邊就是勾股數中的兩個數，從而得出錯誤的第三邊長度。需要根據勾股定理的公式，正確計算第三邊的長度。題型01勾股數問題1.下列各組數中，是勾股數的是（）A．1，， B．1，2，3 C．5，12，13 D．10，15，202.在下列各組數中，是勾股數的是（

）A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．4，5，63.滿足的三個正整數，，稱為一組勾股數，如3，4，5，就是一組勾股數．請你再寫出一組勾股數．4.下列三組數中：①0.6，0.8，1；②5，12，13；③4，5，6．其中是勾股數的是．（填序號）5.滿足的三個正整數組成的數組叫做勾股數組．《周髀算經》中記載的“勾三股四弦五（古人將直角三角形中較短邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦）”就是一組最簡單的勾股數組，在《九章算術》中給出了更多的勾股數組：，等．上述勾股數組的規(guī)律，可以用下面表格呈現：勾股數組…股與弦的和：92549…股…弦…通過觀察分析，回答下列問題：(1)根據上述勾股數組的特點，寫出勾股數組（11，______，______）；（______，______，145）(2)猜想：若表示比1大的奇數，則上述勾股數組可以表示為（，______，______）；(3)請證明（2）中的猜想．題型02直角三角形的條件1.下列每組數據中的三個數值分別是三角形的三邊長，則能構成直角三角形的有（

）4，3，2；，，2；3，4，5；0.5，1.2，1.3．A．1組 B．2組 C．3組 D．4組2.在中，三邊長分別為下列選項中，能保證三角形是直角三角形的是（

）A． B．C． D．3.在中，，，，有下列條件：①；②；③；④；⑤．其中可以判定為直角三角形的有個．4.已知，，是一個三角形的三條邊，且滿足，請判斷這個三角形的形狀是．5.如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1．(1)填空：，，；(2)判斷以，，三條線段為邊能否構成直角三角形？請說明理由．題型03勾股定理與無理數1.如圖，點在數軸上表示的數為，過點作數軸的垂線段，且，以原點為圓心，為半徑作弧，交數軸于點，則點表示的數是（

）

A． B． C． D．2.如圖，正方形邊長為1，分別在軸和軸上，以為圓心，正方形對角線長為半徑畫弧，與軸負半軸交于點，則點橫坐標為（

）A． B． C． D．3.如圖，，根據圖中所標識的數據可知數軸上點所表示的數是．4.如圖，數軸的原點為，點在數軸上表示的數是2，，且，以點為圓心，長為半徑畫弧，交數軸于點，則點表示的數是．5.【課本再現】（1）如圖1，把兩個邊長為1的小正方形分別沿對角線剪開，將所得的4個直角三角形拼在一起，得到一個大正方形．①拼的新的大正方形的面積為______．小正方形的對角線長為______；②如圖2，把圖1中其中一個小正方形放置到數軸上，以1為圓心，對角線長為半徑畫弧，與數軸交于點，，則點，表示的數分別為______，______．【知識遷移】（2）小張同學把長為5，寬為1的長方形按圖3所示的方式進行裁剪，并拼成一個大正方形．①大正方形的邊長為______；②請在下圖的數軸中畫出表示的點（保留作圖痕跡）．題型04網格中的直角三角形1.如圖，在網格中，點，，都是網格線的交點，則的度數是（

）A． B． C． D．2.如圖，在邊長為1的小正方形網格中，點，，均在網格的格點上，下列結論不正確的是（

）A． B． C． D．3.如圖，點A，B，C，D均在正方形網格格點上，則．4.在如圖所示的網格中，每個小正方形的邊長為1，，，三點均在正方形格點上．（1）的大小為；（2）若，則的長為．5.圖①、圖②、圖③均是的網格，其中每個小方格都是邊長相等的正方形，其頂點稱為格點．只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中按下列要求作，使的頂點均在格點上．(1)在圖①中，是面積最大的等腰三角形；(2)在圖②中，是面積最大的直角三角形；(3)在圖③中，是面積最大的等腰直角三角形．題型05反證法1.用反證法證明命題“三角形中必有一個內角小于或等于”時，首先應該假設（

）A．三角形中每個內角都大于 B．三角形中至少有一個內角大于C．三角形中每個內角都大于或等于 D．三角形中每一個內角都小于或等于2.用反證法證明命題“在中，如果，那么”時，應假設（

）A． B． C． D．3.用反證法證明某一命題的結論“是直角”時，應假設．4.用反證法證明“在四邊形中，至少有一個內角不小于”時，應假設．5.用反證法證明“”，求證：必為負數．證明：假設不是負數，那么是__________或是__________．①如果是零，那么，這與題設矛盾，所以不可能是零；②如果是__________，那么，這與__________矛盾，所以不可能是__________．綜合①和②，知不可能是__________，也不可能是__________，所以必為負數．題型06趙爽弦圖1.“趙爽弦圖”巧妙利用面積關系證明了勾股定理．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形的兩條直角邊長分別為．若小正方形面積為5，，則大正方形面積為（

）A．8 B．13 C．15 D．15．52.如圖①是第14屆數學教育大會會標，中心圖案來源于我國古代數學家趙爽的“弦圖”．如圖②所示的“弦圖”是由4個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的邊長為25，的長為7，則小正方形的邊長為（

）A．15 B．16 C．17 D．183.如圖，是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊()，下列四個說法：①；②;③；④．其中說法正確的結論有．(填序號)4.有一個大正方形，是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的．如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，那么直角三角形的兩條直角邊長分別是．5.出入相補（又稱以盈補虛）原理是我國三國時期數學家劉徽創(chuàng)建．“另出入相補，各從其類，因就其余不移動也．”用現代語言來說，就是指這樣的事實：一個平面圖形從一處轉換至他處，面積不變；又若把圖形分割成若干塊，那么各部分面積的和等于原來圖形的面積．【教學實例】計算如圖1的圖形面積，把圖1看作一個大正方形，它的面積是，如果把圖1看作是由2個長方形和2個小正方形組成的，它的面積為．（1）由此得到等式；【探索研究】（2）數學小組研究發(fā)現：四個可以重合的直角三角形，直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，這四個直角三角形可以拼成如圖2的大正方形，且中間的為邊長為c的正方形．運用“出入相補”原理，得到一個關于直角三角形三邊a、b、c的等式，整理后發(fā)現，．請說明此等式成立；【推廣應用】數學小組研究發(fā)現，所有的直角三角形中，兩直角邊a、b斜邊c都存著的等量關系，利用此發(fā)現，解決下面問題：（3）如圖3，是直角三角形，，大于，將繞點A順時針旋轉得（點B的對應點為D，點C的對應點為E），連接，若，，，，的面積為50，求的面積．題型07勾股定理的證明1.“趙爽弦圖”是我國古代三國時期的數學家趙爽創(chuàng)制的，他通過對幾何圖形的巧妙割補，使得圖形的面積保持不變，簡潔明了地證明了勾股定理，其中體現的數學思想主要是（

）A．轉化思想 B．分類討論思想 C．數形結合思想 D．類比思想2.在學習勾股定理時，甲同學用兩個相同的直角三角形和一個等腰三角形構成如圖甲所示的直角梯形；乙同學用四個相同的直角三角形構成如圖乙所示的大正方形，中間是一個小正方形，甲、乙兩位同學給出的構圖方案，可以證明勾股定理的是（

）A．甲 B．乙C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以3.將邊長分別為的兩個直角三角形和一個兩條直角邊都是的直角三角形拼成如圖所示的直角梯形．試用兩種方法計算這個圖形的面積，并寫出一個關于的恒等式：．4.我國清代數學家李銳借助三個正方形用出入相補證明了勾股定理，如圖，設直角三角形的邊長分別是，，斜邊的長為，作三個邊長分別為，，的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使，，三點在一條直線上．若，四邊形與面積之和為37，則正方形的面積為．5.勾股定理在數學和許多其他領域中都有廣泛的應用，勾股定理是一個非常重要的數學定理，它在幾何學、三角學、物理學、工程學等多個領域都有重要的應用．關于勾股定理的證明方法到現在為止有500多種，勾股定理常見的一些證明方法是：幾何證明、代數證明、向量證明、復數證明、面積證明等．當兩個全等的直角三角形按圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法”來證明．(1)以下是利用圖1證明勾股定理的過程，請將證明過程補充完整：將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中，求證：證明：連結，過點作邊上的高于點，則．，又______________________，______________________．(2)請參照上述證明方法，利用圖2完成下面的證明．將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中，求證：．題型08勾股定理的應用1.把5長的梯子斜靠在墻上，若梯子底端離墻4，則梯子頂端到地面的距離（

）A．2 B．3 C．4 D．52.一艘輪船位于燈塔的南偏東方向，距離燈塔海里的處，它沿北偏東方向航行海里到達處，此時與燈塔的距離為（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里3.如圖，是一個長方體硬紙盒，現在A處有一只螞蟻，想沿著長方體的外表面到達B處吃食物，則螞蟻爬行的最短距離是．4.《九章算術》第九卷《勾股》主要講述了以測量問題為中心的直角三角形三邊互求，其中記載了一道有趣的“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．問折者高幾何？”譯文：“一根竹子，原高1丈，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部4尺遠．則折斷后的竹子的高度為多少尺？（備注：1丈尺）”如圖，設折斷后的竹子的高度為x尺，則．

5.【問題情境】（1）如圖1，一架竹梯斜靠在墻角處，竹梯，梯子底端離墻角的距離．如果梯子的頂端A下滑到點C，求梯子的底端B在水平方向上滑動的距離；【探究遷移】（2）如圖2，調整梯子頂端A離地面的高度，當底端B在水平方向上滑動的距離與頂端A下滑的距離相等時，求梯子滑動前、后與地面的夾角與之間的數量關系；【拓展應用】（3）如圖3，在中，，點E在邊上，點F在邊的延長線上，連接交于點O，分別以點A，F為圓心，以，的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，連接，，．①求證：四邊形是矩形；②若，，，求的度數．題型09勾股定理的最值1.如圖，中，，，，利用尺規(guī)在、上分別截取，，使；分別以D，E為圓心、以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點F；作射線交于點G．點P為上一動點，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．無法確定2.如圖，在腰長為6的等腰中，，，點D是內一點，連接，且，E是的中點，連接，，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．6 D．3.如圖，等腰中，，，點D是底邊BC的中點，以A、C為圓心，大于的長度為半徑分別畫圓弧相交于兩點E，F，若直線上有一個動點P，則線段的最小值為．4.如圖，在中，，，，為上一動點（不與點，點重合），將繞點順時針旋轉60°得到，連接，以為直角頂點，為直角邊，在上方構造等腰直角三角形，為的中點，連接，，則的最小值是．5.【綜合與探究】【問題背景】在中，、、三邊的長分別為，，，求這個三角形的面積．小明同學在解答這道題時，根據，，，畫出格點（即三個頂點都在小正方形的頂點處，且網格圖的每個小正方形的邊形為1），如圖1所示．這種求面積的方法叫做構圖法．【問題解決】（1）借用網格計算出如圖1所示的的面積為____________．【思維拓展】（2）猜想：與的大小關系，并運用構圖法證明你的結論，請在圖2的正方形網格（每個小正方形的邊長為1）畫出相應的．【探索創(chuàng)新】（3）如果在平面上有任意