第22章一元二次方程知識(shí)點(diǎn)一：一元二次方程的概念?一元二次方程的概念：只含有1個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。題型考點(diǎn)：①根據(jù)定義判斷方程是否為一元二次方程。②根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)不為0。未知數(shù)的最高次數(shù)為2求未知字母的值。注意：一定先將一元二次方程化為一般形式在判斷是否為一元二次方程。知識(shí)點(diǎn)二：一元二次方程的一般形式?一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是。其中是二次項(xiàng)，是二次項(xiàng)系數(shù)。是一次項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)。是常數(shù)項(xiàng)。題型考點(diǎn)：①把一元二次方程的其他形式化為一般形式并根據(jù)一般形式判斷項(xiàng)與項(xiàng)的系數(shù)。知識(shí)點(diǎn)三：一元二次方程的解?一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊的成立的未知數(shù)的值是一元二次方程的解。題型考點(diǎn)：將一元二次方程的解帶入方程中使方程左右兩邊成立得到新的方程求字母或式子的值。知識(shí)點(diǎn)四：直接開(kāi)方法解一元二次方程?直接開(kāi)方法求的一元二次方程：由平方根的定義可知：①時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，分別是或。他們互為相反數(shù)。②當(dāng)時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即。③當(dāng)時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。?直接開(kāi)方法解的一元二次方程：同樣由平方根的定義可知：①當(dāng)時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。方程開(kāi)方降次得到一元一次方程或。所以它的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是或。②當(dāng)時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。方程開(kāi)方降次得到一元一次方程，所以一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為。③當(dāng)時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。題型考點(diǎn)：①利用直接開(kāi)方法解方程。②根據(jù)根的情況求字母的值或取值范圍。知識(shí)點(diǎn)五：配方法1、配方法解一元二次方程?配方法的定義：將一元二次方程化成的形式在利用直接開(kāi)方法解一元二次方程的方法。?配方法解一元二次方程的具體步驟：①將方程化成一般式。②將二次項(xiàng)系數(shù)化為1。方程的左右兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)或乘以二次項(xiàng)系數(shù)的倒數(shù)。且將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊。③方程的左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方。④把方程的左邊寫(xiě)成完全平方式，右邊是一個(gè)常數(shù)。⑤根據(jù)直接開(kāi)方法解方程。題型考點(diǎn)：①判斷完全平方式及根據(jù)完全平方式求值。②利用配方法解一元二次方程。2、配方法求二次三項(xiàng)式的最值?配方法求二次三項(xiàng)式的最值：利用配方法將二次三項(xiàng)式化成的形式判斷二次三項(xiàng)式的最值為。若，則為二次三項(xiàng)式的最小值；若，則為二次三項(xiàng)式的最大值。?具體步驟：①提公因式，即提二次項(xiàng)系數(shù)。②配方，在一次項(xiàng)系數(shù)后面加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，為了式子的值不發(fā)生變化，在減去一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。③將式子寫(xiě)成的形式。注意拿到括號(hào)外的常數(shù)項(xiàng)一定要先乘以再拿出來(lái)。題型考點(diǎn)：①利用配方法求二次三項(xiàng)式的最值。②比較式子的大小關(guān)系。知識(shí)點(diǎn)六：根的判別式?根的判別式：用配方法解一元二次方程，可將方程化成。由配方法解方程可知，根據(jù)與0的大小關(guān)系可以確定方程的根的情況。確定與0的大小關(guān)系只需要確定與0的大小關(guān)系。我們把叫做一元二次方程的根的判別式。用符號(hào)來(lái)表示。①若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。②若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。③若方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。題型考點(diǎn)：①計(jì)算根的判別式的值判斷方程的根的情況。②根據(jù)方程的根的情況求值知識(shí)點(diǎn)七：利用公式法解一元二次方程——求根公式?求根公式：由可知，。。我們把它叫做一元二次方程的求根公式。①時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。即；。②時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。即。③時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。?公式法解一元二次方程的步驟：①將一元二次方程化成一般形式，并確定的值。②計(jì)算的值，確定一元二次方程的根的情況。③根據(jù)根的情況把的值帶入相應(yīng)的求根公式求解。題型考點(diǎn)：①根據(jù)求根公式確定的值。②利用公式法解一元二次方程。知識(shí)點(diǎn)八：根與系數(shù)的關(guān)系?根與系數(shù)的關(guān)系：由公式法可知，若一元二次方程的時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，分別是與。①求。②求。?根與系數(shù)的關(guān)系的推廣應(yīng)用：①；②；③；④；⑤。題型考點(diǎn)：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求式子的值。知識(shí)點(diǎn)九：因式分解法解一元二次方程1、因式分解的方法?因式分解的方法：①提公因式法：；②公式法：平方差公式：；完全平方公式：；③十字相乘法：分解，若且，則。題型考點(diǎn)：①對(duì)因式分解進(jìn)行熟練應(yīng)用。2、利用因式分解法解一元二次方程?因式分解法解一元二次方程的基本步驟：①將一元二次方程的右邊全部移到左邊，使其右邊為0。②對(duì)方程的左邊進(jìn)行因式分解，使其成為兩個(gè)整式的積的形式。③別分令兩個(gè)整式為0，得到兩個(gè)一元一次方程。④解這兩個(gè)一元一次方程，一元一次方程的解合起來(lái)就是一元二次方程的解。題型考點(diǎn)：①根據(jù)求根公式確定的值。②利用公式法解一元二次方程。知識(shí)點(diǎn)十：整體法或換元法解一元二次方程?整體法或換元法：在解一元二次方程時(shí)，有時(shí)候會(huì)把含有未知數(shù)的一個(gè)式子看作一個(gè)整體，然后用一個(gè)簡(jiǎn)單的字母表示，起達(dá)到方程簡(jiǎn)化的目的，在解其方程的方法叫做整體法或換元法。題型考點(diǎn)：利用整體法或換元法解一元二次方程。知識(shí)點(diǎn)十一：一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用?列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟：①審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．②設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．③列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．④解：準(zhǔn)確求出方程的解．⑤驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問(wèn)題．⑥答：寫(xiě)出答案。1、循環(huán)比賽問(wèn)題?比賽問(wèn)題：計(jì)算公式：?jiǎn)窝h(huán)（兩兩之間比賽（握手）一次）：。雙循環(huán)（兩兩之間比賽（握手）兩次）：。題型考點(diǎn)：①根據(jù)解題步驟把實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程。②根據(jù)解題步驟列方程解決實(shí)際問(wèn)題。2、平均增長(zhǎng)率（下降率）問(wèn)題?平均增長(zhǎng)率（下降率）問(wèn)題：計(jì)算公式：平均增長(zhǎng)類型：。平均下降類型：。題型考點(diǎn)：①根據(jù)解題步驟把實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程。②根據(jù)解題步驟列方程解決實(shí)際問(wèn)題。3、經(jīng)濟(jì)銷(xiāo)售問(wèn)題?經(jīng)濟(jì)銷(xiāo)售問(wèn)題：計(jì)算公式：總利潤(rùn)＝單利潤(rùn)×數(shù)量現(xiàn)單利＝原單利＋漲價(jià)部分（原單利－降價(jià)部分）現(xiàn)數(shù)量＝原數(shù)量－（原數(shù)量＋）特別說(shuō)明：題目中出現(xiàn)的價(jià)格每上漲（下降）a數(shù)量會(huì)變化b，其中a為漲價(jià)（降價(jià)）基礎(chǔ)，b為變化基數(shù)。題型考點(diǎn)：①根據(jù)解題步驟把實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程。②根據(jù)解題步驟列方程解決實(shí)際問(wèn)題。4、圖形面積問(wèn)題?圖形面積問(wèn)題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長(zhǎng)．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程。題型考點(diǎn)：①根據(jù)解題步驟把實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程。②根據(jù)解題步驟列方程解決實(shí)際問(wèn)題。易錯(cuò)點(diǎn)一：忽視使用判別式的前提條件在使用判別式判斷根的情況時(shí)，必須確保方程是一元二次方程（）。當(dāng)題目未明確說(shuō)明方程類型時(shí)，學(xué)生容易忽略二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況。例題1已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍。常見(jiàn)錯(cuò)誤：直接使用判別式??正確解法：首先確保二次項(xiàng)系數(shù)不為零：；再使用判別式：?；綜上：且例題2關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍。常見(jiàn)錯(cuò)誤：僅考慮???正確解法：當(dāng)(即)時(shí)，是一元二次方程，?；當(dāng)(即)時(shí)，方程變?yōu)椋袑?shí)數(shù)根；綜上：易錯(cuò)點(diǎn)二：因式分解中誤用等式性質(zhì)在用因式分解法解一元二次方程時(shí)，學(xué)生常在等式兩邊同時(shí)除以含未知數(shù)的代數(shù)式，導(dǎo)致丟根。正確做法應(yīng)為移項(xiàng)使等式右邊為0，再分解因式。例題1解方程：常見(jiàn)錯(cuò)誤：兩邊同時(shí)除以：正確解法：移項(xiàng)：；因式分解：；解得：例題2解方程：常見(jiàn)錯(cuò)誤：兩邊除以：?正確解法：移項(xiàng)：；因式分解：?；解得：易錯(cuò)點(diǎn)三：忽略二次項(xiàng)系數(shù)a≠0的條件在解決含有參數(shù)的一元二次方程問(wèn)題時(shí)，學(xué)生常忽略一元二次方程的前提條件（二次項(xiàng)系數(shù)），導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。例題1若方程是關(guān)于x的一元二次方程，求k的取值范圍。常見(jiàn)錯(cuò)誤：僅考慮判別式或其他條件，忽略二次項(xiàng)系數(shù)要求正確解法：由一元二次方程定義：?例題2已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的值。常見(jiàn)錯(cuò)誤：直接使用判別式???正確解法：首先滿足二次項(xiàng)系數(shù)不為零：?；再使用判別式：??；綜上：且易錯(cuò)點(diǎn)四：應(yīng)用題中忽視隱含條件在列一元二次方程解應(yīng)用題時(shí)，學(xué)生常忽視解的實(shí)際意義（如正數(shù)解、整數(shù)解、符合題意的范圍等），導(dǎo)致求得錯(cuò)誤答案。例題1某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，圍墻總長(zhǎng)60米。當(dāng)養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各為多少米時(shí)，面積最大？最大面積是多少？常見(jiàn)錯(cuò)誤：設(shè)寬為x米，則長(zhǎng)為米，面積；求頂點(diǎn)坐標(biāo)：=，；但未考慮實(shí)際問(wèn)題中長(zhǎng)和寬的關(guān)系正確解法：設(shè)寬為x米，則長(zhǎng)為米，但需滿足長(zhǎng)＞寬：?；當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)=寬=15米，是正方形，符合要求；最大面積為225平方米例題2某商品每件進(jìn)價(jià)40元，售價(jià)60元時(shí)每天可售出100件。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價(jià)每降低1元，每天可多售出10件。若要每天盈利3000元，每件應(yīng)降價(jià)多少元？常見(jiàn)錯(cuò)誤：設(shè)降價(jià)x元，則每件利潤(rùn)元，銷(xiāo)量件；方程：；解得：；未檢驗(yàn)實(shí)際意義正確解法：在解和后，需考慮：降價(jià)后售價(jià)不能低于進(jìn)價(jià)：?；銷(xiāo)量應(yīng)為正整數(shù)：?；兩個(gè)解都滿足要求，因此每件降價(jià)10元或20元均可盈利3000元易錯(cuò)點(diǎn)五：韋達(dá)定理應(yīng)用中的符號(hào)錯(cuò)誤在使用韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）時(shí)，學(xué)生?；煜街械姆?hào)，特別是忘記根的和公式中的負(fù)號(hào)。例題1已知方程的兩根為和，求和的值。常見(jiàn)錯(cuò)誤：誤認(rèn)為正確解法：由韋達(dá)定理：；例題2已知方程的兩根為和，求的值。常見(jiàn)錯(cuò)誤：直接計(jì)算：，但錯(cuò)誤計(jì)算正確解法：；；易錯(cuò)點(diǎn)六：忽略負(fù)根或增根的情況在解一元二次方程時(shí)，學(xué)生常忽略負(fù)根或增根，特別是當(dāng)題目有實(shí)際意義限制（如長(zhǎng)度、數(shù)量等必須為正數(shù)）時(shí)。例題1解方程：常見(jiàn)錯(cuò)誤：直接開(kāi)方得：?，忽略了負(fù)根：?正確解法：；或；∴例題2一個(gè)直角三角形的兩條直角邊相差3，斜邊長(zhǎng)15，求兩條直角邊的長(zhǎng)度。常見(jiàn)錯(cuò)誤：設(shè)較短的直角邊為x，則另一邊為；解得，但未驗(yàn)證兩邊之和大于第三邊正確解法：求得另一邊為12；驗(yàn)證：成立；所以兩直角邊為9和12

總結(jié)反思通過(guò)對(duì)以上易錯(cuò)點(diǎn)的分析，可以發(fā)現(xiàn)一元二次方程的常見(jiàn)錯(cuò)誤主要集中在概念理解和實(shí)際應(yīng)用上。為避免這些錯(cuò)誤：（1）始終牢記二次項(xiàng)系數(shù)不為零的前提；（2）使用因式分解法時(shí)先移項(xiàng)使等式右邊為零；（3）應(yīng)用判別式前確認(rèn)方程類型；（4）解應(yīng)用題時(shí)務(wù)必檢驗(yàn)解的合理性。（5）建議建立錯(cuò)題本，定期復(fù)習(xí)這些典型易錯(cuò)題。重難點(diǎn)1：根的判別式涉及知識(shí)點(diǎn)：◎一元二次方程標(biāo)準(zhǔn)形式：◎根的判別式：◎根的性質(zhì)：時(shí)有兩個(gè)不等實(shí)根；時(shí)有兩個(gè)相等實(shí)根；時(shí)無(wú)實(shí)根◎判別式與二次函數(shù)圖像的關(guān)系解題技巧：◎先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式再計(jì)算判別式◎利用判別式判斷根的情況，特別是含參方程◎注意隱含條件：二次項(xiàng)系數(shù)◎結(jié)合二次函數(shù)圖像理解判別式的幾何意義例題精選例題1：一元二次方程x2+3x﹣1＝0的根的情況是（）A．無(wú)實(shí)數(shù)根 B．有一個(gè)實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【解答】解：∵Δ＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：D．例題2：若一元二次方程mx2+2x+1＝0有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是（）A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0【解答】解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有實(shí)數(shù)解，∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，解得：m≤1且m≠0，故選：D．例題3：已知關(guān)于的一元二次方程，其中、、分別為三邊的長(zhǎng)．（1）如果是方程的根，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；（2）如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)方程解的定義把代入方程得到，整理得，即，于是根據(jù)等腰三角形的判定即可得到是等腰三角形；（2）根據(jù)判別式的意義得到△，整理得，然后根據(jù)勾股定理的逆定理得到是直角三角形．【解答】解：（1）是等腰三角形．理由如下：是方程的根，，，，，是等腰三角形；（2）是直角三角形．理由如下：方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，△，，，是直角三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與△有如下關(guān)系：當(dāng)△時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．也考查了勾股定理的逆定理．重難點(diǎn)2：韋達(dá)定理應(yīng)用涉及知識(shí)點(diǎn)：◎韋達(dá)定理：若方程的兩根為，則,◎?qū)ΨQ式：,等◎以兩數(shù)為根的方程：◎根與系數(shù)關(guān)系的綜合應(yīng)用解題技巧：◎遇到對(duì)稱式問(wèn)題，優(yōu)先考慮韋達(dá)定理◎求根的關(guān)系表達(dá)式時(shí)，先求出和◎注意隱含條件：方程必須有實(shí)根（）◎構(gòu)造新方程時(shí)，利用根的和與積例題精選例題1：方程x2﹣2x﹣1＝0的根為，則的值為（）A． B．1 C．﹣3 D．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，則原式＝﹣1﹣2＝﹣3．故選：C．例題2：若關(guān)于的方程的兩根之和為，兩根之積為，則關(guān)于的方程的兩根之積是A． B． C． D．【分析】根據(jù)關(guān)于的方程的兩根之和為，兩根之積為，可以得到關(guān)于的方程的根符合，，然后整理化簡(jiǎn)，即可解答本題．【解答】解：設(shè)關(guān)于的方程的兩根分別為，，關(guān)于的方程的兩根之和為，兩根之積為，，，，，化簡(jiǎn)，得：，，整理可得，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查根與系數(shù)關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．例題3：已知關(guān)于的一元二次方程．（1）若方程有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；（2）若方程的兩實(shí)數(shù)根分別為，，且滿足．求的值．【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出，，結(jié)合，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出實(shí)數(shù)的值，即可求出，，代入即可得答案．【解答】解：（1）關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，△，解得：，實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2），是關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根，，．，，，，或，當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)?，無(wú)解舍去，當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)?，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)△時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根”；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合，找出關(guān)于的一元一次方程．重難點(diǎn)3：實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題涉及知識(shí)點(diǎn)：◎幾何問(wèn)題：面積、長(zhǎng)度、運(yùn)動(dòng)軌跡等◎經(jīng)濟(jì)問(wèn)題：利潤(rùn)最大化、成本最小化等◎增長(zhǎng)率問(wèn)題：連續(xù)增長(zhǎng)、平均增長(zhǎng)率等◎數(shù)字問(wèn)題：材料型定義解題技巧：◎仔細(xì)審題，提取關(guān)鍵信息◎建立正確的數(shù)學(xué)模型（方程）◎注意實(shí)際問(wèn)題的限制條件（如長(zhǎng)度>0）◎解方程后要檢驗(yàn)結(jié)果的實(shí)際意義◎?qū)τ谧钪祮?wèn)題，可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解例題精選例題1：在一幅長(zhǎng)，寬的風(fēng)景畫(huà)四周外圍鑲上一條寬度相同的金色紙邊，制成一幅掛圖．如果要求風(fēng)景畫(huà)的面積是整個(gè)掛圖面積的，那么金邊的寬應(yīng)是多少？（只需列方程）【分析】設(shè)金邊的寬度為，則整個(gè)掛畫(huà)的長(zhǎng)為，寬為．就可以表示出整個(gè)掛畫(huà)的面積，由風(fēng)景畫(huà)的面積是整個(gè)掛圖面積的建立方程即可．【解答】解：設(shè)金邊的寬度為，則整個(gè)掛畫(huà)的長(zhǎng)為，寬為．由題意，得．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的面積公式的運(yùn)用，列一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，一元二次方程的解法的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)風(fēng)景畫(huà)的面積是整個(gè)掛圖面積的來(lái)建立方程是關(guān)鍵．例題2：某網(wǎng)店銷(xiāo)售臺(tái)燈，成本為每盞30元．銷(xiāo)售大數(shù)據(jù)分析表明：當(dāng)每盞臺(tái)燈售價(jià)為40元時(shí)，平均每月售出600盞，若售價(jià)每下降1元，其月銷(xiāo)售量就增加200盞．為迎接“雙十一”，該網(wǎng)店決定降價(jià)促銷(xiāo)，在庫(kù)存為1210盞臺(tái)燈的情況下，若預(yù)計(jì)月獲利恰好為8400元，求每盞臺(tái)燈的售價(jià)．【分析】根據(jù)售價(jià)每下降1元，其月銷(xiāo)售量就增加200盞即可得到銷(xiāo)售數(shù)量，然后根據(jù)單個(gè)利潤(rùn)乘以銷(xiāo)售量等于總利潤(rùn)列一元二次方程即可求解．【解答】解：根據(jù)題意，得，解得（舍，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；答：每個(gè)臺(tái)燈的售價(jià)為37元．方法二：設(shè)每個(gè)臺(tái)燈降價(jià)元．根據(jù)題意，得，解得，（舍．當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；答：每個(gè)臺(tái)燈的售價(jià)為37元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用一元二次方程解決銷(xiāo)售問(wèn)題應(yīng)用題，解決本題的關(guān)鍵是掌握成本、售價(jià)、單個(gè)利潤(rùn)、銷(xiāo)售量、總利潤(rùn)等之間的關(guān)系．例題3：閱讀材料，回答下列問(wèn)題：反序數(shù)：有這樣一對(duì)數(shù)，一個(gè)數(shù)的數(shù)字排列完全顛倒過(guò)來(lái)變成另一個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)單的說(shuō)，就是順序相反的兩個(gè)數(shù)，我們把這樣的一對(duì)數(shù)稱為“反序數(shù)”，比如：12的反序數(shù)是21，456的反序數(shù)是654．用方程知識(shí)解決問(wèn)題：若一個(gè)兩位數(shù)，其十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大3，這個(gè)兩位數(shù)與其反序數(shù)之積為1300，求這個(gè)兩位數(shù)．【解答】解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為（x+3），根據(jù)題意得：[10（x+3）+x]（10x+x+3）＝1300，整理得：x2+3x﹣10＝0，解得：x1＝﹣5（不符合題意，舍去），x2＝2，∴10（x+3）+x＝10×（2+3）+2＝52．答：這個(gè)兩位數(shù)為52．例題4：據(jù)統(tǒng)計(jì)，目前某市基站的數(shù)量約1.5萬(wàn)座，計(jì)劃到2024年底，全市基站數(shù)是目前的4倍，到2026年底，全市基站數(shù)最終將達(dá)到17.34萬(wàn)座．則2024年底到2026年底，全市基站數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率為A． B． C． D．【分析】設(shè)2024年底到2026年底，全市基站數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率為，利用到2026年底全市基站數(shù)量到2024年底全市基站數(shù)量年平均增長(zhǎng)率），列出一元二次方程，解之取其正值即可．【解答】解：（萬(wàn)座），即2024年底，全市基站數(shù)量是6萬(wàn)座，設(shè)2024年底到2026年底，全市基站數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率為，依題意得：，解得：，（不合題意，舍去）．即2024年底到2026年底，全市基站數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．重難點(diǎn)4：含參方程問(wèn)題涉及知識(shí)點(diǎn)：◎參數(shù)對(duì)方程根的影響◎分類討論思想◎參數(shù)與根的關(guān)系◎二次項(xiàng)系數(shù)含參的情況解題技巧：◎明確參數(shù)位置（二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)）◎當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含參時(shí)，必須考慮的情況◎結(jié)合判別式和韋達(dá)定理建立關(guān)于參數(shù)的方程或不等式◎根據(jù)根的不同要求（實(shí)數(shù)根、有理根、正根等）進(jìn)行分類討論例題精選例題1：兩個(gè)關(guān)于的一元二次方程與，其中是常數(shù)，且，如果是方程的一個(gè)根，那么下列各數(shù)中，一定是方程的根的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的解及定義，由題意可得，進(jìn)而由方程得，，又由是方程的一個(gè)根，可得，即得，即可得是方租的一個(gè)根，據(jù)此即可求解，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．解：∵，，，∴，∵，，∴，，∴，，∵是方程的一個(gè)根，∴是方程的一個(gè)根，∴，∴，∴是方程的一個(gè)根，即是方程的一個(gè)根，故選：．例題2：已知關(guān)于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）如果方程的一個(gè)根為x＝3，求k的值及方程的另一根．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：由于x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0是一元二次方程，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣1）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4，無(wú)論k取何實(shí)數(shù)，總有（k﹣2）2≥0，（k﹣2）2+4＞0，所以方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）解：把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0，有32﹣3（k+2）+2k﹣1＝0，整理，得2﹣k＝0．解得k＝2，此時(shí)方程可化為x2﹣4x+3＝0．解此方程，得x1＝1，x2＝3．所以方程的另一根為x＝1．例題3：若關(guān)于的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為0．求的值．【分析】一元二次方程的一般形式是，，是常數(shù)且，、、分別是二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)．【解答】解：由題意，得：，且，解得．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的一般形式：，，是常數(shù)且特別要注意的條件．這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中叫二次項(xiàng)，叫一次項(xiàng)，是常數(shù)項(xiàng)．其中，，分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．重難點(diǎn)5：根與系數(shù)關(guān)系綜合應(yīng)用涉及知識(shí)點(diǎn)：◎韋達(dá)定理的拓展應(yīng)用◎?qū)ΨQ多項(xiàng)式與根的關(guān)系◎根的性質(zhì)與參數(shù)的關(guān)系◎方程根的分布問(wèn)題解題技巧：◎利用韋達(dá)定理將根的關(guān)系轉(zhuǎn)化為參數(shù)關(guān)系◎熟悉常見(jiàn)對(duì)稱多項(xiàng)式表達(dá)式◎結(jié)合二次函數(shù)圖像分析根的分布◎利用根與系數(shù)關(guān)系求最值例題精選例題1：已知關(guān)于的一元二次方程．（1）若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若方程兩實(shí)數(shù)根為，，且滿足，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）；（2）【分析】此題考查了一元二次方程的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根的判別式與根的關(guān)系以及根與系數(shù)的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．（1）一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則根的判別式，建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，又求出，然后代入求解即可．解：（1）解：一元二次方程有實(shí)數(shù)根，，，即；（2）解：為該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，又，∴∴∴，將代入得，∴．例題2：已知：的兩邊、的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊的長(zhǎng)為5．k為何值時(shí)，是等腰三角形？并求的周長(zhǎng)．【答案】k＝3或4，周長(zhǎng)是14或16【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分情況討論并結(jié)合一元二次方程的根的情況進(jìn)行求解．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況討論：①，②，③，再由根與系數(shù)的關(guān)系得出k的值．解：分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，，，解得不存在；②當(dāng)時(shí)，即，，解得或，③當(dāng)時(shí)，同理求得或；則的周長(zhǎng)為：或．綜上所述，當(dāng)或4時(shí)，是等腰三角形．其相應(yīng)的的周長(zhǎng)是14或16．重難點(diǎn)6：配方法的應(yīng)用涉及知識(shí)點(diǎn)：◎完全平方公式◎二次代數(shù)式的最值問(wèn)題◎配方法的綜合應(yīng)用解題技巧：◎利用完全平方公式進(jìn)行配方◎通過(guò)配方求最值◎利用配方法解決實(shí)際問(wèn)題例題精選例題1：設(shè)實(shí)數(shù)、、滿足，則代數(shù)式的最大值是A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根據(jù)已知條件可得，配方法得到原式，依此可得的最大值．【解答】解：．故的最大值是8．故選：．【點(diǎn)評(píng)】考查了配方法的應(yīng)用，關(guān)鍵是配方法得到原式．例題2：閱讀下列材料：，我們把形如“”或“”的多項(xiàng)式叫做完全平方式，因?yàn)槭且粋€(gè)數(shù)的平方，具有非負(fù)性，我們常利用這一性質(zhì)解決問(wèn)題，這種解決問(wèn)題的思路方法叫做配方法．例如．可知當(dāng)，即時(shí)，有最小值，最小值是2，根據(jù)閱讀材料，用配方法解決下列問(wèn)題：（1）有最小值3．（2）當(dāng)，為何值時(shí)，多項(xiàng)式有最小值，并求出這個(gè)最小值．（3）已知，，為的三邊，且滿足，試判斷此三角形的形狀．【分析】（1）將化為，即可求解；（2）將化為，即可求解；（3）可得，即可求解．【解答】解：（1），，即時(shí)，有最小值，最小值是3；故答案為：3．（2）由題意得，，當(dāng)，時(shí)，多項(xiàng)式有最小值5；（3）由題意得，，，，，，，，是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方式非負(fù)性的應(yīng)用，理解非負(fù)性，會(huì)用非負(fù)性解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．例題3：多項(xiàng)式x2+2y2﹣2xy﹣8y+10的最小值為．【解答】解：x2+2y2﹣2xy﹣8y+10＝x2+y2﹣2xy+y2﹣8y+16﹣6＝（x﹣y）2+（y﹣4）2﹣6．∵（x﹣y）2+（y﹣4）2≥0，∴（x﹣y）2+（y﹣4）2﹣6≥﹣6．∴多項(xiàng)式x2+2y2﹣2xy﹣8y+10的最小值為﹣6．故答案為：﹣6．重難點(diǎn)7：絕對(duì)值與一元二次方程涉及知識(shí)點(diǎn)：◎絕對(duì)值方程的基本解法◎分類討論思想的應(yīng)用◎含絕對(duì)值的二次方程◎絕對(duì)值方程的幾何意義解題技巧：◎根據(jù)絕對(duì)值內(nèi)的表達(dá)式符號(hào)進(jìn)行分類討論◎利用絕對(duì)值的幾何意義求解◎注意解的范圍和驗(yàn)證◎結(jié)合函數(shù)圖像分析解的情況例題精選例題1：閱讀下面的材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．材料：解含絕對(duì)值的方程：x2﹣5|x|﹣6＝0．解：分兩種情況：（1）當(dāng)x≥0時(shí)，原方程可化為：x2﹣5x﹣6＝0，解得x1＝6，x2＝﹣1（舍去）．（2）當(dāng)x＜0時(shí)，原方程可化為：x2+5x﹣6＝0，解得x1＝﹣6，x2＝1（舍去）．綜上所述：原方程的解是x1＝6，x2＝﹣6．任務(wù)：請(qǐng)參照上述方法解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．【解答】解：分兩種情況：（1）當(dāng)x≥0時(shí)，原方程可化為：x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1（舍去）．（2）當(dāng)x＜0時(shí)，原方程可化為：x2+x﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1（舍去）．綜上所述：原方程的解是x1＝2，x2＝﹣2．例題2：分類討論在數(shù)學(xué)中既是一個(gè)重要的策略思想又是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)方法．例如對(duì)于像x2+|x|﹣6＝0這樣含有絕對(duì)值符號(hào)的方程，可采用如下的分類討論方法：解：當(dāng)x≥0時(shí)，原方程可化為x2+x﹣6＝0．解得：x1＝﹣3，x2＝2．∵x≥0，∴x＝2．當(dāng)x＜0時(shí)，原方程可化為x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣2．∵x＜0，∴x＝﹣2．