期末重難點(diǎn)真題特訓(xùn)之易錯(cuò)必刷題型（126題37個(gè)考點(diǎn)）【精選最新考試題型專訓(xùn)】易錯(cuò)必刷題一、求二次根式中的參數(shù)1．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）在下列各式是二次根式的是（

）A． B． C． D．2．（23-24九年級(jí)上·湖北荊門·期中）已知n是正整數(shù)，是整數(shù)，則n的最小值為．3．（23-24九年級(jí)·全國(guó)·假期作業(yè)）（1）已知是整數(shù)，求自然數(shù)所有可能的值；（2）已知是整數(shù)，求正整數(shù)的最小值．易錯(cuò)必刷題二、同類二次根式1．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）若與是同類二次根式，則、的值為（）A．， B．，C．，或， D．，2．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）（1）將化為最簡(jiǎn)二次根式是；（2）寫出的一個(gè)同類二次根式3．（23-24九年級(jí)上·山東東營(yíng)·開學(xué)考試）把二次根式與分別化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同．(1)如果a是正整數(shù)，那么符合條件的a的值有哪些？(2)如果a是整數(shù)，那么符合條件的a的值有多少個(gè)？最大值為多少？有沒有最小值？易錯(cuò)必刷題三、二次根式的混合運(yùn)算1．（23-24九年級(jí)上·重慶江津·階段練習(xí)）估計(jì)的值在（

）A．5到6之間 B．6到7之間 C．7到8之間 D．8到9之間2．（23-24九年級(jí)上·安徽安慶·期末）已知，分別是的整數(shù)部分和小數(shù)部分，則式子的值是.3．（24-25九年級(jí)上·河北邯鄲·階段練習(xí)）小明同學(xué)進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算的過程如圖所示．……第一步……第二步……第三步……第四步(1)第一步的化簡(jiǎn)中所依據(jù)的數(shù)學(xué)公式是___________；(2)小明的計(jì)算過程，從第___________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，請(qǐng)你寫出該算式的正確運(yùn)算過程和結(jié)果．易錯(cuò)必刷題四、分母有理化1．（23-24九年級(jí)上·湖北荊州·期中）閱讀例題：，用上述類似的方法解答問題：若a是的小數(shù)部分，則的值為（

）A． B． C． D．2．（23-24九年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）觀察下列等式：第1個(gè)等式：第2個(gè)等式：第3個(gè)等式：第4個(gè)等式：……按上述規(guī)律，計(jì)算3．（24-25九年級(jí)上·陜西寶雞·階段練習(xí)）先閱讀，再解答：由可以看出，兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，有時(shí)可以化去分母中的根號(hào)，例如：，請(qǐng)完成下列問題：(1)的有理化因式是______．(2)請(qǐng)利用上面的知識(shí)化去式子分母中的根號(hào)：．易錯(cuò)必刷題五、二次根式化簡(jiǎn)求值1．（23-24九年級(jí)上·云南昭通·期末）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．2．（23-24九年級(jí)上·山東濱州·階段練習(xí)）已知，，求下列各式的值：，．3．（24-25九年級(jí)上·四川遂寧·期中）已知，．(1)求的值；(2)求的值．易錯(cuò)必刷題六、二次根式的應(yīng)用1．（2024·云南昆明·三模）我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，即三角形的三邊長(zhǎng)分別為，記，那么面積．若某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，其面積介于整數(shù)和之間，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2024·河北秦皇島·一模）如圖，從一個(gè)大正方形中裁去面積為27和48的兩個(gè)小正方形，則：（1）面積為27的正方形的邊長(zhǎng)是的倍；（2）剩下陰影部分的面積是．3．（24-25九年級(jí)上·四川宜賓·期中）如圖是學(xué)校的一塊正方形綠地，其邊長(zhǎng)為m，現(xiàn)要在正方形綠地內(nèi)修建四個(gè)大小、形狀相同的矩形花壇，每個(gè)花壇的長(zhǎng)為m，寬為m，并將花壇以外的地方全部修建成通道，且通道上要鋪上造價(jià)為每平方米8元的地磚．若要鋪完整個(gè)通道，則購(gòu)買地磚大約需要多少元？（參考數(shù)據(jù)：）易錯(cuò)必刷題七、一元二次方程的解一一直接開平方法和因式分解法1．（2024九年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）一元二次方程的根為（）A． B．，C． D．，2．（23-24九年級(jí)上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·階段練習(xí)）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種運(yùn)算“”，其規(guī)則為，根據(jù)這個(gè)規(guī)則，方程的解為．3．（24-25九年級(jí)上·廣東河源·期中）下面是小剛在作業(yè)本中做的一道題，老師說(shuō)小剛的方法有問題，可是小剛不明白，你能幫幫他嗎？解一元二次方程：．解：原方程變形為…………①兩邊同時(shí)除以，得…………②移項(xiàng)，合并得…………③系數(shù)化為1，得…………④上述解法中，該解法第一步采用的是______法解方程；第二步的依據(jù)是______，你認(rèn)為第______步有問題，問題在于______，請(qǐng)你將該方法正確的過程寫出來(lái)．易錯(cuò)必刷題八、一元二次方程的解一一配方法1．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）把一元二次方程，配成的形式，則p、q的值是（）A．， B．， C．， D．，2．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）完成下面的解題過程：用配方法解方程：．解：移項(xiàng)，得．二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得．配方，得，．開平方，得，x1＝，x2＝．3．（24-25九年級(jí)上·廣西河池·期中）閱讀材料：選取二次三項(xiàng)式中的前兩項(xiàng)，配成完全平方式的過程叫配方．例如：選取二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方：；請(qǐng)根據(jù)閱讀材料解決下列問題：(1)【直接應(yīng)用】，將代數(shù)式配方：______；(2)【類比應(yīng)用】已知，求的值；(3)【知識(shí)拓展】求當(dāng)，為何值時(shí)，代數(shù)式取得最小值，最小值為多少？易錯(cuò)必刷題九、一元二次方程的解一一公式法1．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知代數(shù)式與的值互為相反數(shù)，則x的值為（

）A．或4 B．或4C．或4 D．或2．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）一元二次方程的根是，．3．（24-25九年級(jí)上·貴州畢節(jié)·期中）按要求解下列方程：(1)（因式分解法）；(2)（公式法）．易錯(cuò)必刷題十、一元二次方程的解一一換元法1．（23-24九年級(jí)上·安徽滁州·階段練習(xí)）我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊長(zhǎng)求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即若三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記，則其面積，這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式．若三角形的面積，，則a的值為（

）A．2或3 B．3或 C．5或4 D．4或2．（23-24九年級(jí)上·山東威?！て谀┙夥匠虝r(shí)，我們可以將看成一個(gè)整體．設(shè)，則原方程可化為，解得，．即，，所以原方程的解為，．請(qǐng)類比這種方法解方程：，則．3．（23-24九年級(jí)上·河南信陽(yáng)·階段練習(xí)）閱讀材料：已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設(shè)所求方程的根為，則，所以，把代入已知方程，得，化簡(jiǎn)得，所以，所求方程為，這種利用方程根的代換求新方程的方法叫做“換根法”．利用閱讀材料提供的換根法求新方程：(1)已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為__________．(2)已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別比已知方程的根大1，則所求方程為__________．易錯(cuò)必刷題十一、一元二次方程根的判別式1．（23-24九年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）一元二次方程方程的根的情況為（

）A．沒有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．有一個(gè)實(shí)數(shù)根2．（23-24九年級(jí)上·山西太原·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為．3．（24-25九年級(jí)上·寧夏銀川·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程：有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．(1)求k的值．(2)并求出方程的根．易錯(cuò)必刷題十二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系1．（23-24九年級(jí)上·山東日照·階段練習(xí)）已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值（

）A．4045 B．4044 C．2024 D．12．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）甲、乙兩同學(xué)解方程，甲看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，解得根為4和；乙看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，解得根為2和3，則原方程為．3．（23-24九年級(jí)上·四川瀘州·期中）閱讀材料：【材料1】若一元二次方程的兩根為，則．【材料2】已知實(shí)數(shù)m、n滿足，且，求的值．解：由題知m、n是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)材料1得：，∴．根據(jù)上述材料解決下面問題：(1)關(guān)于x的方程的兩個(gè)根是和1，則的值為．(2)已知實(shí)數(shù)m、n滿足，且，求的值．(3)若關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于4，求實(shí)數(shù)k的值．易錯(cuò)必刷題十三、一元二次方程的應(yīng)用（營(yíng)銷、增長(zhǎng)、工程）問題1．（24-25九年級(jí)上·河南漯河·期中）“十四五”時(shí)期，國(guó)家政策提出要堅(jiān)持“以文塑旅、以旅彰文”，打造獨(dú)具魅力的中華文化旅游體驗(yàn)，文旅融合發(fā)展進(jìn)入高水平階段．著名旅游景區(qū)“只有河南·戲劇幻城”以黃河文明為創(chuàng)作根基，對(duì)于樹立河南文化自信，加速中原崛起具有重要意義.該景區(qū)一奶茶店銷售一款奶茶，每杯成本價(jià)為6元，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，在旅游旺季，若每杯定價(jià)25元，則平均每天可銷售杯，若每杯價(jià)格降低1元，則平均每天可多銷售杯．年春節(jié)假期，店家決定進(jìn)行降價(jià)促銷活動(dòng)，則當(dāng)每杯售價(jià)定為多少元時(shí)，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可使此款奶茶實(shí)現(xiàn)平均每天元的利潤(rùn)？2．（24-25九年級(jí)上·江西南昌·期中）據(jù)統(tǒng)計(jì)，某紅色博物館開館的第一個(gè)月進(jìn)館75000人次，由于紅色文化深入人心，進(jìn)館人次逐月增加，第三個(gè)月進(jìn)館108000人次．若進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率相同．(1)求進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率；(2)因條件限制，該紅色博物館月接納能力不能超過120000人次，在進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率不變的條件下，該紅色博物館能否接納第四個(gè)月的進(jìn)館人次？并說(shuō)明理由．3．（2024·重慶開州·一模）某工程隊(duì)采用A，B兩種設(shè)備同時(shí)對(duì)長(zhǎng)度為3600米的公路進(jìn)行施工改造．原計(jì)劃A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面比B型設(shè)備的2倍多30米，則30小時(shí)恰好完成改造任務(wù)．(1)求A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面長(zhǎng)度；(2)通過勘察，此工程的實(shí)際施工里程比最初的3600米多了750米．在實(shí)際施工中，B型設(shè)備在鋪路效率不變的情況下，時(shí)間比原計(jì)劃增加了小時(shí)，同時(shí)，A型設(shè)備的鋪路速度比原計(jì)劃每小時(shí)下降了3m米，而使用時(shí)間增加了m小時(shí)，求m的值．易錯(cuò)必刷題十四、一元二次方程的應(yīng)用（幾何、行程、圖形）問題1．（23-24九年級(jí)上·山東泰安·期中）如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)、同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．幾秒后，四邊形的面積等于？請(qǐng)寫出過程．2．（24-25九年級(jí)上·廣東東莞·期中）綜合與實(shí)踐如圖1，有一張長(zhǎng)，寬的長(zhǎng)方形硬紙片，截去四個(gè)大小相同小正方形之后，折成如圖2所示的長(zhǎng)方體形的無(wú)蓋紙盒，設(shè)截取的小正方形邊長(zhǎng)為．(1)用含有x的代數(shù)式分別表示無(wú)蓋紙盒底面的長(zhǎng)（________），寬（________）；(2)若紙盒的底面積為，求小正方形邊長(zhǎng)為x的值；(3)求出（2）中長(zhǎng)方體紙盒的容積．3．（2024·浙江臺(tái)州·一模）小明在平整的草地上練習(xí)帶球跑，他將球沿直線踢出后隨即跟著球的方向跑去，追上球后，又將球踢出……球在草地上滾動(dòng)時(shí)，速度變化情況相同，小明速度達(dá)到6m/s后保持勻速運(yùn)動(dòng)．下圖記錄了小明的速度以及球的速度隨時(shí)間的變化而變化的情況，小明在4s時(shí)第一次追上球．（提示：當(dāng)速度均勻變化時(shí)，平均速度，距離）(1)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；(2)求圖中a的值；(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬間增加6m/s，球運(yùn)動(dòng)方向不變，當(dāng)小明帶球跑完200m，寫出小明踢球次數(shù)共有____次，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．易錯(cuò)必刷題十五、成比例線段1．（2024·湖南永州·一模）已知線段成比例，且，，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2．（23-24九年級(jí)上·廣東佛山·期末）如圖，在中，，以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段于點(diǎn)D；以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段于點(diǎn)E，若E為中點(diǎn)，則．3．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）閱讀下面的一段文字：設(shè)，則有，當(dāng)時(shí)，．從上面的推導(dǎo)過程可得，若，當(dāng)時(shí)，．把它稱為等比性質(zhì)．利用等比性質(zhì)完成下題：(1)在和中，，且厘米，求的周長(zhǎng)．(2)若且，求的值．易錯(cuò)必刷題十六、黃金分割1．（2024·寧夏吳忠·一模）如圖，在正五邊形中，連接它們的對(duì)角線，其中點(diǎn)C是對(duì)角線與對(duì)角線的交點(diǎn)，已知點(diǎn)為的黃金分割點(diǎn)，，則的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．2．（23-24九年級(jí)上·河南許昌·期末）如圖，已知線段，經(jīng)過點(diǎn)作，使，連接AD，在AD上截??；在AB上截取，則．3．（23-24九年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期中）黃金分割是一種被廣泛應(yīng)用于藝術(shù)和生活中的比例關(guān)系，具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，黃金分割比也被稱作是最美比例關(guān)系．某藝術(shù)品公司生產(chǎn)了一款長(zhǎng)方形的畫框，測(cè)量發(fā)現(xiàn)該矩形畫框的長(zhǎng)為厘米，其寬與長(zhǎng)的比值等于黃金分割比．(1)求該矩形畫框的寬；(2)生產(chǎn)畫框所用的材料單價(jià)為元，則生產(chǎn)一個(gè)該畫框所需要的材料成本為多少錢？（結(jié)果保留根號(hào)）易錯(cuò)必刷題十七、平行線分線段成比例1．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，連接，點(diǎn)在邊上，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則下列式子一定正確的是（）A． B．C． D．2．（23-24九年級(jí)上·上?！るA段練習(xí)）在中，點(diǎn)分別在上，，則．3．（24-25九年級(jí)上·四川遂寧·期中）請(qǐng)閱讀下面的材料，并回答所提出的問題．三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例．(1)已知：如圖1，在中，是角平分線，求證：．證明：過C作，交的延長(zhǎng)線于E．（完成以下證明過程）(2)用三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理解答問題：①已知：如圖2，在中，是角平分線，，，．求的長(zhǎng)．②如圖3，在中，，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，是的平分線，，則的長(zhǎng)為____________．易錯(cuò)必刷題十八、相似圖形1．（23-24九年級(jí)上·山東濱州·階段練習(xí)）已知五邊形五邊形，，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．五邊形的周長(zhǎng)是五邊形周長(zhǎng)的倍D．2．（23-24九年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）在師一學(xué)校第23屆運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上，由500名初一學(xué)生組成的大型團(tuán)體操《傳承?復(fù)興》讓全校師生眼前一亮，該方隊(duì)面向主席臺(tái)集合時(shí)共25列20排（整個(gè)方隊(duì)看成矩形，且集合時(shí)人與人之間的距離忽略不計(jì)），其中每個(gè)小矩形（例如矩形）代表一名學(xué)生，且軍列的寬度都等于（即），每排的寬度都等于（即）當(dāng)方隊(duì)成體操隊(duì)形散開時(shí)，假設(shè)列與列之間的距離都為（即），排與排之間的距離都（），若矩形與矩形相似時(shí)，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為（不考慮x的取值范圍）．3．（23-24九年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)E，的平分線交于點(diǎn)F．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，且，求的長(zhǎng)．易錯(cuò)必刷題十九、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合1．（23-24九年級(jí)上·遼寧鞍山·期中）如圖，平分，D為中點(diǎn)，，求證：．2．（24-25九年級(jí)上·山東菏澤·期中）如圖，在矩形中，是對(duì)角線，于點(diǎn)，交AD于點(diǎn)，，，求DE的長(zhǎng)．3．（24-25九年級(jí)上·廣東深圳·期中）如圖，中，為邊上一點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．易錯(cuò)必刷題二十、在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形1．（23-24九年級(jí)上·河北張家口·階段練習(xí)）如圖，在由小正方形組成的方格紙中，和的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，要使，則點(diǎn)所在的格點(diǎn)為（

）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)2．（23-24九年級(jí)上·上海寶山·階段練習(xí)）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、E、F都在小正方形的頂點(diǎn)上，試在該網(wǎng)格中找點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)DE、DF，使得△DEF與△ACB相似（在圖中畫出符合題意的點(diǎn)D）3．（2024·河南洛陽(yáng)·一模）圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，在圖①、圖②、圖③給定的網(wǎng)格中按要求畫圖．（保留作圖痕跡，要求：借助網(wǎng)格，只用無(wú)刻度的直尺，不要求寫出畫法）(1)在圖①中，在線段上畫出點(diǎn)M，使(2)在圖②中，在線段上畫出點(diǎn)N，使(3)在圖③中，在線段上畫出點(diǎn)Q，使易錯(cuò)必刷題二十一、相似三角形——?jiǎng)狱c(diǎn)問題1．（23-24九年級(jí)上·安徽宿州·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，點(diǎn)D，A在直線BC同側(cè)，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，點(diǎn)E是線段BC延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)．若△DCE和△ABC相似，則線段CE的長(zhǎng)為（

）A． B． C．或3 D．或42．（23-24九年級(jí)上·江西撫州·期中）如圖，在中，厘米，厘米，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著邊向點(diǎn)以的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著邊向點(diǎn)以的速度運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也相應(yīng)停止運(yùn)動(dòng)，那么，當(dāng)以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．3．（23-24九年級(jí)上·湖南衡陽(yáng)·期末）如圖1，在中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿線段以每秒的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿線段以每秒的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)填空：______；(2)t為何值時(shí)，與相似；易錯(cuò)必刷題二十二、相似三角形實(shí)際應(yīng)用1．（23-24九年級(jí)上·遼寧大連·期末）2023年11月23日，第十批在韓中國(guó)人民志愿軍烈士遺骸歸國(guó)．英烈們前仆后繼的犧牲奉獻(xiàn)，換來(lái)了我們國(guó)家的富強(qiáng)和人民的幸福，在抗美援朝期間“跳眼法”是炮兵常用的一種簡(jiǎn)易測(cè)距方法（圖1）．如圖2，點(diǎn)A為左眼，點(diǎn)B為右眼，點(diǎn)O為右千大指，點(diǎn)C為敵人的位置，點(diǎn)D為敵人正左側(cè)方的某一個(gè)參照物（，目測(cè)的長(zhǎng)度后，然后利用相似三角形的知識(shí)來(lái)計(jì)算C處敵人距離我方的大致距離．已知大多數(shù)人的眼距長(zhǎng)約為厘米左右，手臂長(zhǎng)約為厘米左右，若的估測(cè)長(zhǎng)度為40米，那么的大致距離為多少米．

2．（23-24九年級(jí)上·上海崇明·期中）學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量操場(chǎng)旗桿的高度，做了如下的探索：他們根據(jù)物理中“光的反射定理”，利用一面鏡子和一把皮尺，設(shè)計(jì)了如圖所示的測(cè)量方案：把一面很小的鏡子放在距離旗桿底部（B）米的點(diǎn)E處，然后沿著直線后退到點(diǎn)D處，此時(shí)恰好在鏡子里看到旗桿頂部A，即．再用皮尺測(cè)得為米，觀察者目高為米．根據(jù)上述測(cè)量方案及數(shù)據(jù)，求旗桿的高度．3．（23-24九年級(jí)上·貴州貴陽(yáng)·期末）在學(xué)習(xí)了光的反射定律后，數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐小組想利用光的反射定律（反射角等于入射角）測(cè)量池塘對(duì)岸一棵樹的高度，測(cè)量步驟如下：①如圖，在地面上的點(diǎn)E處放置一塊平面鏡（鏡子大小忽略不計(jì)），小陽(yáng)站在的延長(zhǎng)線上，當(dāng)小陽(yáng)從平面鏡中剛好看到樹的頂點(diǎn)A時(shí)，測(cè)得小陽(yáng)到平面鏡的距離m，小陽(yáng)的眼睛點(diǎn)C到地面的距離m；②將平面鏡從點(diǎn)E沿的延長(zhǎng)線移動(dòng)6m放置到點(diǎn)H處，小陽(yáng)從點(diǎn)D處移動(dòng)到點(diǎn)G，此時(shí)小陽(yáng)的眼睛點(diǎn)F又剛好在平面鏡中看到樹的頂點(diǎn)A，這時(shí)測(cè)得小陽(yáng)到平面鏡的距離m．請(qǐng)根據(jù)以上測(cè)量過程及數(shù)據(jù)求出樹的高度．易錯(cuò)必刷題二十三、三角形中位線的實(shí)際應(yīng)用1．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，為了測(cè)量校園內(nèi)被花壇隔開的A，B兩點(diǎn)的距離，同學(xué)們?cè)谕膺x擇一點(diǎn)C，測(cè)得兩邊中點(diǎn)的距離為，則A，B兩點(diǎn)的距離是（

）．A．12 B．14 C．16 D．242．（23-24九年級(jí)上·山西晉中·期末）如圖，，兩地被古城墻阻隔，為測(cè)量，兩地間的距離，先在城墻外地上取一個(gè)可以直接到達(dá)，兩地的點(diǎn)，連接CA，CB，分別取CA，CB的中點(diǎn)，，連接DE．若DE的長(zhǎng)為27m，則，兩地間的距離為．3．（23-24九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，順次連接E、F、G、H得四邊形EFGH．(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形．(2)當(dāng)四邊形ABCD分別是菱形、矩形、正方形時(shí)，相應(yīng)的平行四邊形EFGH一定是“菱形、矩形、正方形”中的哪一種？請(qǐng)將你的結(jié)論填入下表：四邊形ABCD菱形矩形正方形平行四邊形EFGH易錯(cuò)必刷題二十四、在坐標(biāo)系中求兩個(gè)位似圖形的相似比、周長(zhǎng)比或面積比1．（23-24九年級(jí)上·上海徐匯·期末）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，與是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，已知A-2,0，，則與的周長(zhǎng)之比是（）A． B． C． D．2．（23-24九年級(jí)上·上海青浦·階段練習(xí)）如圖，四邊形與四邊形關(guān)于點(diǎn)成位似圖形．若四邊形與四邊形的位似比為，則四邊形與四邊形的周長(zhǎng)比為．3．（23-24九年級(jí)上·湖南郴州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)分別為．(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，位似比為，將作位似變換后得到，請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫出．(2)設(shè)與，面積分別為和，試求的值．易錯(cuò)必刷題二十五、用坐標(biāo)確定位置1．（23-24九年級(jí)上·河南信陽(yáng)·期末）周末，洋洋參加了褐馬雞放歸活動(dòng)．如圖是宣傳牌上利用網(wǎng)格畫出的褐馬雞的示意圖．若建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，表示嘴部點(diǎn)的坐標(biāo)為，表示尾部點(diǎn)的坐標(biāo)為，則表示足部點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．（2024·貴州六盤水·一模）如圖，小黔與小紅在玩“五子棋”；小黔是黑子，他把第四子下在棋盤坐標(biāo)的上，則小紅下的白色第三子的棋盤坐標(biāo)是．3．（23-24九年級(jí)上·貴州黔東南·期中）如圖所示，一個(gè)小正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)表示．A同學(xué)上學(xué)時(shí)從家中出發(fā)，先向東走，再向北走就到達(dá)學(xué)校．(1)以學(xué)校為坐標(biāo)原點(diǎn)，向東為x軸正方向，向北為y軸正方向，在圖中建立平面直角坐標(biāo)系；(2)B同學(xué)家的坐標(biāo)是；(3)在你所建的平面直角坐標(biāo)系中，如果C同學(xué)家的坐標(biāo)為，請(qǐng)你在圖中描出表示C同學(xué)家的點(diǎn)．易錯(cuò)必刷題二十六、求點(diǎn)沿x軸、y軸平移后的坐標(biāo)1．（23-24九年級(jí)上·四川南充·期中）如圖所示的象棋棋盤上，若“帥”位于點(diǎn)上，“相”位于上，則“炮”位于點(diǎn)（

）A． B． C． D．2．（23-24九年級(jí)上·河南安陽(yáng)·期中）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平行2個(gè)單位長(zhǎng)度后的坐標(biāo)為．3．（23-24九年級(jí)上·重慶九龍坡·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，．

(1)若把向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：（______，______），的坐標(biāo)：（______，______），的坐標(biāo)：（______，______）；(2)在圖中畫出平移后的；(3)請(qǐng)求出的面積．易錯(cuò)必刷題二十七、坐標(biāo)與圖形變化——軸對(duì)稱1．（23-24九年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，蝴蝶剪紙是一幅軸對(duì)稱圖形，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，如果圖中點(diǎn)E的坐標(biāo)為，其關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)F的坐標(biāo)為，則的值為（

）A． B． C． D．2．（23-24九年級(jí)上·山東臨沂·期中）如圖，已知關(guān)于過點(diǎn)且與x軸平行的直線對(duì)稱，C到的距離為2，長(zhǎng)為6，則點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．3．（24-25九年級(jí)上·福建三明·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，．(1)畫出關(guān)于y軸對(duì)稱的，其中點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，；(2)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)：（________，________），（________，________）．易錯(cuò)必刷題二十八、直角三角形的性質(zhì)1．（23-24九年級(jí)上·貴州銅仁·期中）如圖，在中，，則（

）A．1 B．2 C． D．2．（2024九年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在中，，是的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為．3．（23-24九年級(jí)上·江西南昌·單元測(cè)試）如圖，在中，，過點(diǎn)C的直線，D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作，交直線于E，垂足為F，連接．(1)CE與AD的數(shù)量關(guān)系是；(2)當(dāng)D在AB的中點(diǎn)，四邊形是什么特殊的四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若D為AB中點(diǎn)，則當(dāng)?shù)拇笮M足什么條件時(shí)，四邊形是正方形？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．易錯(cuò)必刷題二十九、求角的正切、正弦、余弦值1．（24-25九年級(jí)上·浙江溫州·期中）如圖，中，，于點(diǎn)，若，則的值是（

）A． B． C． D．2．（23-24九年級(jí)上·浙江溫州·開學(xué)考試）如圖，矩形中，，．以點(diǎn)A為圓心，將邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交于點(diǎn)E，得到扇形，扇形正好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓半徑是．

3．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在中，a、b、c分別為的對(duì)邊，且．試求最小角的三角函數(shù)值．易錯(cuò)必刷題三十、三角函數(shù)的定義求邊長(zhǎng)1．（24-25九年級(jí)上·浙江杭州·期中）2024年5月29日16時(shí)12分，“長(zhǎng)春凈月一號(hào)”衛(wèi)星搭乘谷神星一號(hào)火箭在黃海海域成功發(fā)射．當(dāng)火箭上升到點(diǎn)A時(shí)，位于海平面R處的雷達(dá)測(cè)得點(diǎn)R到點(diǎn)A的距離為a千米，仰角為，則此時(shí)雷達(dá)測(cè)得點(diǎn)R到發(fā)射點(diǎn)L的距離為（

）A．千米 B．千米 C．千米 D．千米2．（24-25九年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）在中，，，，則．3．（2024·浙江湖州·一模）如圖，點(diǎn)在第一象限，軸，垂足為點(diǎn)，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，．(1)求的值；(2)連接，求的面積．易錯(cuò)必刷題三十一、特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算1．（24-25九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）的值是（

）A． B． C． D．2．（24-25九年級(jí)上·浙江嘉興·期中）計(jì)算：=．3．（23-24九年級(jí)上·浙江紹興·期末）求下列各式的值：(1)；(2)．易錯(cuò)必刷題三十二、根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍1．（23-24九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）已知是銳角，且，那么銳角的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（23-24九年級(jí)上·安徽宣城·期末）已知，則銳角的取值范圍是．3．（2024·浙江寧波·一模）如圖是某公園的一臺(tái)滑梯，滑梯著地點(diǎn)B與梯架之間的距離．（1）現(xiàn)在某一時(shí)刻測(cè)得身高1.8m的小明爸爸在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)為0.9m，滑梯最高處A在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)為1m，求滑梯的高；（2）若規(guī)定滑梯的傾斜角（）不超過30°屬于安全范圍，請(qǐng)通過計(jì)算說(shuō)明這架滑梯的傾斜角是否符合安全要求？易錯(cuò)必刷題三十三、三角函數(shù)綜合1．（23-24九年級(jí)上·上海徐匯·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，已知AB=20，；求：（1）求線段AE的長(zhǎng)；（2）求cos∠DAE的值．2．（2024·上海金山·二模）如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點(diǎn)，，垂足為F.（1）求證：；（2）如果，求的余切值.3．（23-24九年級(jí)上·上海長(zhǎng)寧·期末）如圖,某種路燈燈柱垂直于地面,與燈桿相連.已知直線與直線的夾角是.在地面點(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的仰角是,點(diǎn)仰角是,點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為米．求：（1）點(diǎn)到地面的距離；（2）的長(zhǎng)度．（精確到米）（參考數(shù)據(jù):）易錯(cuò)必刷題三十四、解直角三角形1．（24-25九年級(jí)上·上海楊浦·期中）如圖，在中，，，，求的長(zhǎng)．2．（24-25九年級(jí)上·上海崇明·期中）如圖，在中，，，．(1)求的長(zhǎng)；(2)求的值．3．（23-24九年級(jí)上·上海青浦·期中）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線，過點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．(1)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫定義域）；(3)當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．易錯(cuò)必刷題三十五、解直角三角形的應(yīng)用1．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）在綜合實(shí)踐課中，小明同學(xué)利用無(wú)人機(jī)測(cè)量小山的高度．如圖，是小明同學(xué)，無(wú)人機(jī)飛到小山的右上方時(shí)，測(cè)得山頂?shù)母┙菫槊祝瑴y(cè)得小明同學(xué)頭頂?shù)母┙菫槊祝阎∶鞯纳砀邽?.8米，求小山的高度．（已知分別與水平線垂直且在同一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）2．（23-24九年級(jí)上·上?！るA段練習(xí)）如圖，l為一條東西方向的筆直公路，一輛小汽車在這段限速為80千米/小時(shí)公路上由西向東勻速行駛，依次經(jīng)過點(diǎn)．是一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，米，，，測(cè)得該車從點(diǎn)點(diǎn)行駛到點(diǎn)所用時(shí)間為1秒．

(1)求兩點(diǎn)間的距離；(2)試說(shuō)明該車是否超過限速．3．（2024九年級(jí)上·上?！ｎ}練習(xí)）為進(jìn)一步加強(qiáng)疫情防控工作，避免在測(cè)溫過程中出現(xiàn)人員聚集現(xiàn)象，某學(xué)校決定安裝紅外線體溫檢測(cè)儀，該設(shè)備通過探測(cè)人體紅外輻射能量對(duì)進(jìn)入測(cè)溫區(qū)域的人員進(jìn)行快速測(cè)溫，無(wú)需人員停留和接觸，設(shè)備說(shuō)明書中的部分內(nèi)容如下所示．設(shè)備名稱紅外線體溫檢測(cè)儀測(cè)溫區(qū)域示意圖設(shè)備需安裝在垂直于水平面的墻面上．①水平面；②豎直墻面；③設(shè)備安裝位置；④的長(zhǎng)是設(shè)備安裝高度；⑤的長(zhǎng)是測(cè)溫區(qū)域的寬度．技術(shù)參數(shù)設(shè)備測(cè)溫過程中釋放的紅外線是直線傳播，它與水平面的夾角稱為探測(cè)角．探測(cè)最小角：探測(cè)最大角：(1)如果該設(shè)備的安裝高度為時(shí)，請(qǐng)求出圖中線段的長(zhǎng)度；（結(jié)果精確到）(2)如果學(xué)校要求測(cè)溫區(qū)域的寬度為時(shí)，請(qǐng)求出該設(shè)備的安裝高度．（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，

易錯(cuò)必刷題三十六、在重復(fù)試驗(yàn)中觀察不確定現(xiàn)象1．（2024·貴州貴陽(yáng)·二模）將一個(gè)轉(zhuǎn)盤分為均等的份，涂上如圖所示的三種顏色，轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)轉(zhuǎn)盤時(shí)，轉(zhuǎn)出可能性最小的顏色是（

）A．紅 B．綠 C．黃 D．不確定2．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）事件發(fā)生的可能性越，它的概率越接近；反之，事件發(fā)生的可能性越，它的概率越接近．事件不可能事件隨機(jī)事件必然事件概率013．（23-24九年級(jí)上·江蘇泰州·期末）“年中狂歡購(gòu)，回饋不停歇，驚喜連連，等你來(lái)拿！”6月18日上午，某商家在萬(wàn)達(dá)廣場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)銷售活動(dòng)，抽獎(jiǎng)活動(dòng)設(shè)置如下的翻獎(jiǎng)牌，翻獎(jiǎng)牌的正面、背面如下，若只能在9個(gè)數(shù)字中選擇一個(gè)數(shù)字翻牌，請(qǐng)解決下面的問題：(1)得到以下獎(jiǎng)品的可能性最小的是______；A．平板

B．手機(jī)

C．球拍

D．水壺(2)請(qǐng)你設(shè)計(jì)下面翻獎(jiǎng)牌反面剩余的獎(jiǎng)品，獎(jiǎng)品包含“手機(jī)”、“球拍”、“水壺”，使得抽到“水壺”的可能性抽到“球拍”的可能性抽到“手機(jī)”的可能性．易錯(cuò)必刷題三十七、隨機(jī)事件的概率1．（24-25九年級(jí)上·陜西西安·開學(xué)考試）用圖中兩個(gè)可自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤做“配紫色”游戲（其中一個(gè)轉(zhuǎn)出紅色，另一個(gè)轉(zhuǎn)出藍(lán)色即可配成紫色），其中A轉(zhuǎn)盤被分成相等的兩個(gè)扇形，B轉(zhuǎn)盤被分成相等的三個(gè)扇形．如果同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，那么轉(zhuǎn)盤停止時(shí)指針?biāo)傅念伾膳涑勺仙母怕适牵?/p>

）A． B． C． D．2．（2024·福建龍巖·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知開關(guān)已損壞無(wú)法閉合，現(xiàn)隨機(jī)閉合3個(gè)開關(guān)中的兩個(gè)開關(guān)，能使小燈泡L發(fā)光的概率是．3．（24-25九年級(jí)上·四川成都·期中）某校開展了學(xué)習(xí)黨史的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．初三年級(jí)學(xué)生的比賽成績(jī)根據(jù)結(jié)果分為，，，四個(gè)等級(jí)．其等級(jí)對(duì)應(yīng)的分值分別為100分分、90分8分、80分分、70分及以下．現(xiàn)將初三學(xué)生的最后等級(jí)成績(jī)分析整理繪制得到了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖中的信息解決下面的問題．(1)由圖可知該校初三共名學(xué)生，比賽成績(jī)等級(jí)為級(jí)的學(xué)生人數(shù)是人；(2)由圖可知的值為；(3)初三年級(jí)本次比賽獲得滿分的4人中有2個(gè)男生和2個(gè)女生，現(xiàn)從這4個(gè)學(xué)生中隨機(jī)選2人參加學(xué)校決賽，若每個(gè)學(xué)生被抽取的可能性相等，請(qǐng)用畫樹狀圖或者列表法求抽取的人中至少