2025年碩士研究生《數(shù)學(xué)二》試題及答案[單選題]1.設(shè)函數(shù)z＝z（x，y）由確定，則()。A．B．C．D．正確答案：A參考解析：，分別對x，y求偏導(dǎo)，可得：[單選題]2.已知函數(shù)，，則()。A．x＝0是f（x）的極值點，也是g（x）的極值點B．x＝0是f（x）的極值點，（0，0）是曲線y＝g（x）的拐點C．x＝0是f（x）的極值點，（0，0）是曲線y＝f（x）的拐點D．（0，0）是曲線y＝f（x）的拐點，也是曲線y＝g（x）的拐點正確答案：B參考解析：，。f′（0）＝0，f″（0）＝1＞0，則x＝0是f（x）的極值點。又，。g′（0）＝0，g″（0）＝0，g″（x）在x＝0的左右鄰域變號，則（0，0）是曲線y＝g（x）的拐點。[單選題]3.如果對微分方程的任一解y（x），反常積分均收斂，那么a的取值范圍是()。A．（－2，－1]B．（－∞，－1]C．（－2，0）D．（－∞，0）正確答案：C參考解析：當(dāng)a＝－2時，y″＋4y′＝0，通解：，C1≠0時，不收斂。故BD兩項排除。當(dāng)時，，通解：，收斂。故選擇C項。[單選題]4.設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在x＝0的某去心鄰域內(nèi)有定義且恒不為零。若當(dāng)x→0時，f（x）是g（x）的高階無窮小，則當(dāng)x→0時，()。A．B．C．D．正確答案：C參考解析：由題意可知，x→0時，f（x）是g（x）的高階無窮小。則有及，。又f（x），g（x）在x＝0的某去心鄰域內(nèi)有定義且恒不為零。故對于A項，等式兩端同除g（x）得：。取極限得。即0＋1＝0，顯然A項不成立。對于B項，等式兩端同除f2（x）得：。兩端取極限得，即∞＝0，顯然不成立。對于C項，等式兩端同除g（x）得：。取極限得。顯然有0＝0，故C項正確。對于D項，等式兩端同除g2（x）得：。取極限得，顯然不成立。[單選題]5.設(shè)函數(shù)f（x，y）連續(xù)，則()。A．B．C．D．正確答案：A參考解析：由題意可知，此二重積分的積分區(qū)域為：。記，。且，則，交換積分次序得：[單選題]6.設(shè)單位質(zhì)點P，Q分別位于點（0，0）和（0，1）處，P從點（0，0）出發(fā)沿x軸正向移動，記G為引力常量，則當(dāng)質(zhì)點P移動到點（l，0）時，克服質(zhì)點Q的引力所做的功為()。A．B．C．D．正確答案：B參考解析：由題意可知，其對應(yīng)如題6解圖所示。題6解圖單位質(zhì)點P與單位質(zhì)點Q之間的引力為，其中r為兩質(zhì)點間的距離。且由圖可知。又引力F在x方向上的力投影為。故克服引力做功為：。[單選題]7.設(shè)函數(shù)f（x）連續(xù)，給出下列四個條件：①存在；②存在；③存在；④存在。其中能得到“f（x）在x＝0處可導(dǎo)”的條件的個數(shù)是()。A．1B．2C．3D．4正確答案：D參考解析：先看③，記，由x→0＋時，a≥0，x→0－時，a≤0，有a＝0，且。故由，有，即f′（0）＝0。再看①，記，故。若f（0）＝0，則同③；若f（0）＞0，則x→0時，f（x）＞0，則。對于②，記，則。若f（0）＝0，則；若f（0）＞0，亦有。對于④，記，則。當(dāng)f（0）＝0時，同③；當(dāng)f（0）＞0時，f（x）＞0（x→0），有f′（0）＝a；當(dāng)f（0）＜0時，f（x）＜0（x→0），有f′（0）＝－a。故均正確。[單選題]8.設(shè)矩陣有一個正特征值和兩個負(fù)特征值，則()。A．a(chǎn)＞4，b＞0B．a(chǎn)＜4，b＞0C．a(chǎn)＞4，b＜0D．a(chǎn)＜4，b＜0正確答案：D參考解析：令為實對稱矩陣，對應(yīng)二次型為。則用配方法將其化為標(biāo)準(zhǔn)型，。已知A有一正兩負(fù)特征值，則。[單選題]9.下列矩陣中，可以經(jīng)過若干初等行變換得到矩陣的是()。A．B．C．D．正確答案：B參考解析：A項，。B項，。C項，。D項，。[單選題]10.設(shè)3階矩陣A，B滿足r（AB）＝r（BA）＋1，則()。A．方程組（A＋B）x＝0只有零解B．方程組Ax＝0與方程組Bx＝0均只有零解C．方程組Ax＝0與方程組Bx＝0沒有公共非零解D．方程組ABAx＝0與方程組BABx＝0有公共非零解正確答案：D參考解析：方法一：因為r（AB）＝r（BA）＋1≤3，r（BA）≤2，若r（BA）＝2?|BA|＝0，則r（AB）＝3?|AB|≠0，矛盾，故r（BA）≤1，。則有非零解，D項正確。方法二：采用排除法。取，，則，。，，排除BC兩項。，，排除A項，故選擇D項。[問答題]1.計算。正確答案：[問答題]2.設(shè)函數(shù)f（x）在x＝0處連續(xù)，且，證明f（x）在x＝0處可導(dǎo)，并求f′（0）。正確答案：已知。因此，有：可以得出，。進(jìn)一步可以得出，以及，，可得，故。[問答題]3.設(shè)函數(shù)f（x，y）可微且滿足df（x，y）＝－2xe－ydx＋e－y（x2－y－1）dy，f（0，0）＝2，求f（x，y），并求f（x，y）的極值。正確答案：，則則。又f（0，0）＝2，可得C＝0，則。則駐點（0，－1）。又。在點（0，－1）處A＝－2e，B＝0，C＝－e，則AC－B2＞0，A＜0。從而f（x，y）在（0，－1）處有極大值，且極大值為f（0，－1）＝e。[問答題]4.已知平面有界區(qū)域，計算。正確答案：由題意可知，積分區(qū)域。對應(yīng)圖形如題20解圖所示。題20解圖顯然積分區(qū)域關(guān)于y＝x對稱。記，。故。令x＝rcosθ，y＝rsinθ，則在積分區(qū)域D1上有則故。[問答題]5.設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)。證明：導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（a，b）內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加的充分必要條件是：對（a，b）內(nèi)任意的x1，x2，x3，當(dāng)x1＜x2＜x3時，。正確答案：充分性。如題21解圖。題21解圖任取x1＜t1＜x2＜t2＜x3∈（a，b），由k1＜k2，即。令，根據(jù)極限保號性有。由k3＜k4，即。令，根據(jù)極限保號性有。由題設(shè)可知f′（x3）＞f′（x1）。由x1，x3的任意性，可得f′（x）在（a，b）內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞增，充分性得證。再證必要性。即已知f′（x）單調(diào)遞增，在[x1，x2]，[x2，x3]上分別使用拉格朗日中值定理，可知存在ξ1∈（x1，x2），ξ2∈（x2，x3），使，。又由f′（x）單調(diào)遞增，且ξ1＜ξ2知，f′（ξ1）＜f′（ξ2），即，必要性得證。綜上所述，充要條件得證。[問答題]6.已知矩陣與合同。（1）求a的值及k的取值范圍；（2）若存在正交矩陣Q使得，求k及Q。正確答案：（1）A與B合同，可知二者有相同的正負(fù)慣性指數(shù)。顯然，B的特征值為k，6，0，故A有特征值0。故|A|＝0。計算得|A|＝－3（a－4），即有a＝4。此時|λE－A|＝λ（λ－3）（λ－6），可知A的特征值為3，6，0，即p＝2。故k＞0。（2）由，可知。故A與B相似，特征值相同，故k＝3。對A：λ＝3時，解，得；當(dāng)λ＝6時，解，得；當(dāng)λ＝0時，解，得。再單位化得：。[填空題]1.設(shè)，則a＝______。正確答案：2參考解析：。[填空題]2.曲線的漸近線方程為______。正確答案：y＝x－1參考解析：可得無水平漸近線、鉛直漸近線，故求斜漸近線即可。故y＝x－1。[填空題]3.______。正確答案：參考解析：[填空題]4.已知函數(shù)y＝y(tǒng)（x）由確定，則______。正確答案：e參考解析：由②兩邊關(guān)于t求導(dǎo)，則。當(dāng)t＝0時，y＝1且。則。[填空題]5.微分方程（2y－3x）dx＋（2x－5y）dy＝0滿足條件y（1）＝1的解為______。正確答案：參考解析：即。又因為y（1）＝1，則，可得c＝－2，即則所求解為：[填空題]6.設(shè)矩陣，若α1，α2，α3線性無關(guān)，且α1＋α2＝α3＋α4，則方程組Ax＝α1＋4α4的通解為x＝______。正確答案：，k為任意常數(shù)參考解析：由于α1＋