2025年碩士研究生《數(shù)學(xué)三》試題及答案[單選題]1.當(dāng)x→0＋時，下列無窮小量中，與x等價的是()。A．B．C．D．正確答案：C參考解析：A項，。B項，。C項，。D項，。[單選題]2.已知函數(shù)，，則()。A．x＝0是f（x）的極值點，也是g（x）的極值點B．x＝0是f（x）的極值點，（0，0）是曲線y＝g（x）的拐點C．x＝0是f（x）的極值點，（0，0）是曲線y＝f（x）的拐點D．（0，0）是曲線y＝f（x）的拐點，也是曲線y＝g（x）的拐點正確答案：B參考解析：，。f′（0）＝0，f″（0）＝1＞0，則x＝0是f（x）的極值點。又，。g′（0）＝0，g″（0）＝0，g″（x）在x＝0的左右鄰域變號，則（0，0）是曲線y＝g（x）的拐點。[單選題]3.已知k為常數(shù)，則級數(shù)()。A．絕對收斂B．條件收斂C．發(fā)散D．?dāng)可⑿耘ck的取值有關(guān)正確答案：B參考解析：當(dāng)k＝0時，條件收斂。當(dāng)k≠0時，原級數(shù)中為條件收斂，絕對收斂。故原級數(shù)條件收斂。[單選題]4.設(shè)函數(shù)f（x）連續(xù)，則()。A．B．C．D．正確答案：D參考解析：[單選題]5.已知A是m×n矩陣，β是m維非零列向量。若A有k階非零子式，則()。A．當(dāng)k＝m時，Ax＝β有解B．當(dāng)k＝m時，Ax＝β無解C．當(dāng)k＜m時，Ax＝β有解D．當(dāng)k＜m時，Ax＝β無解正確答案：A參考解析：r（A）≥k，若k＝m，則r（A）＝m，r（A，β）＝m，故r（A）＝r（A，β）＝m，則Ax＝β有解。[單選題]6.設(shè)A為3階矩陣，則“A3－A2可對角化”是“A可對角化”的()。A．充分但不必要條件B．必要但不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件正確答案：B參考解析：令f（A）＝A3－A2，若A可對角化，則A中有n個線性無關(guān)的特征向量，故f（A）有n個線性無關(guān)的特征向量，故f（A）可對角化。若f（A）可對角化，取，f（A）可對角化，A不可對角化。綜上為必要不充分條件。[單選題]7.設(shè)矩陣，，若f（x，y）＝|xA＋yB|是正定二次型，則a的取值范圍是()。A．（0，）B．（，）C．（，4）D．（0，4）正確答案：B參考解析：可得。[單選題]8.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N（－1，1），Y服從正態(tài)分布N（1，2），若X與X＋2Y不相關(guān)，則X與X－Y的相關(guān)系數(shù)為()。A．1/3B．1/2C．2/3D．3/4正確答案：D參考解析：DX＝1，所以可得：[單選題]9.設(shè)X1，X2，…，X20是來自總體B（1，0.1）的簡單隨機樣本。令，利用泊松分布近似表示二項分布的方法可得P{T≤1}≈()。A．B．C．D．正確答案：C參考解析：由題意可知T～B（20，0.1），np＝20×0.1＝2。[單選題]10.設(shè)總體X的分布函數(shù)為F（x），X1，X2，…，Xn為來自總體X的簡單隨機樣本，樣本的經(jīng)驗分布函數(shù)為Fn（x）。對于給定的x（0＜F（x）＜1），D（Fn（x））＝()。A．F（x）（1－F（x））B．（F（x））2C．D．正確答案：C參考解析：根據(jù)經(jīng)驗分布函數(shù)的意義可知，F(xiàn)n（x）為樣本中事件Xi≤x發(fā)生的概率?，F(xiàn)定義隨機變量，Ii（x）～B（1，F(xiàn)（x））[問答題]1.計算。正確答案：[問答題]2.設(shè)函數(shù)f（x）在x＝0處連續(xù)，且，證明f（x）在x＝0處可導(dǎo)，并求f′（0）。正確答案：已知。因此，有：可以得出，。進一步可以得出，以及，，可得，故。[問答題]3.已知平面有界區(qū)域D＝{（x，y）|y2≤x，x2≤y}，計算二重積分。正確答案：。由輪換對稱性，。則原積分＝1/210＋0＋1/3＝71/210。[問答題]4.設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)。證明：導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（a，b）內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加的充分必要條件是：對（a，b）內(nèi)任意的x1，x2，x3，當(dāng)x1＜x2＜x3時，。正確答案：充分性。如題20解圖。題20解圖任取x1＜t1＜x2＜t2＜x3∈（a，b），由k1＜k2，即。令，根據(jù)極限保號性有。由k3＜k4，即。令，根據(jù)極限保號性有。由題設(shè)可知f′（x3）＞f′（x1）。由x1，x3的任意性，可得f′（x）在（a，b）內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞增，充分性得證。再證必要性。即已知f′（x）單調(diào)遞增，在[x1，x2]，[x2，x3]上分別使用拉格朗日中值定理，可知存在ξ1∈（x1，x2），ξ2∈（x2，x3），使，。又由f′（x）單調(diào)遞增，且ξ1＜ξ2知，f′（ξ1）＜f′（ξ2），即，必要性得證。綜上所述，充要條件得證。[問答題]5.設(shè)矩陣的秩為2。（1）求a的值；（2）求A的列向量組的一個極大線性無關(guān)組α，β，并求矩陣H，使得A＝GH，其中G＝（α，β）。正確答案：（1）因r（A）＝2。故a＝1。（2）由（1）可知，，令A(yù)＝（α1，α2，α3，α4，α5），則α1，α2為A的列向量組的一個極大線性無關(guān)組，α＝α1，β＝α2且α3＝2α1－α2，α4＝α1＋α2，α5＝α1＋2α2。由A＝GH，解得。[問答題]6.投保人的損失事件發(fā)生時，保險公司的賠付額Y與投保人的損失額X的關(guān)系為設(shè)損失事件發(fā)生時，投保人的損失額X的概率密度為（1）求P{Y＞0}及EY；（2）這種損失事件在一年內(nèi)發(fā)生的次數(shù)記為N，保險公司在一年內(nèi)就這種損失事件產(chǎn)生的理賠次數(shù)記為M。假設(shè)N服從參數(shù)為8的泊松分布，在N＝n（n≥1）的條件下，M服從二項分布B（n，p），其中p＝P{Y＞0}。求M的概率分布。正確答案：（1）（2），，則[填空題]1.設(shè)g（x）是函數(shù)的反函數(shù)，則曲線y＝g（x）的漸近線方程為______。正確答案：y＝±3參考解析：令，則，，故曲線y＝g（x）的漸近線方程為y＝±3。[填空題]2.設(shè)，則a＝______。正確答案：2參考解析：。[填空題]3.微分方程xy′－y＋x2ex＝0滿足條件y（1）＝－e的解為y＝______。正確答案：－xex參考解析：由xy′－y＋x2ex＝0，可得y′－y/x＝－xex。故代入y（1）＝－e，可得C＝0。因此解為y＝－xex。[填空題]4.已知函數(shù)z＝z（x，y）由確定，則______。正確答案：參考解析：[填空題]5.已知，，則方程f（x）＝g（x）的不同的根的個數(shù)為______。正確答案：2參考解析：，g（x）＝x（－8x－2）＝0可得兩個根x1＝1/4，x2＝0。[填空題]6.設(shè)A，B，C為三個隨機事件，且A與B相互獨立，B與C相互獨立，A與C互不相容。已知P（A）＝P（