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五階線性微分方程的解法運用綜述目錄TOC\o"1-3"\h\u15858五階線性微分方程的解法運用綜述 110488（一）五階線性微分方程的探究 110470（二）對常數(shù)系五階線性通解的驗證實例 3前面我們了解了一些微分方程的概念，也學習了一些解決高階微分方程問題的法，對此我們將進一步用五次多項式微分方程的通解來進行研究，幫助我們更加直觀的了解所學到的微分方程。為此，我們將從線性微分方程的算子理論解法和其應用中更深入系統(tǒng)地了解微分方程的基礎(chǔ)和充要條件，從而得到了它在不同的條件下降階方法，并且還給出了一種求解相應方程的通解方法。五階線性微分方程的探究在前面的學習中，我們知道了一階微分方程和二階微分方程通解的由來，現(xiàn)在我們將用證明最高階為n階的常數(shù)系線性微分方程的通解的過程，從而間接的推導出五階微分方程通解的公式。定理1：設(shè)有n階常數(shù)系線性微分方程 其中為可積函數(shù)，為常數(shù)，若為對應齊次線性微分方程 . 的特征根，則方程(3.1)的通解為 ,其中為任意常數(shù)。證明：記則有進而得和 同理 其中，和并且 由上可知 ,以此類推有 ,從而 故微分方程(3.1)的通解為 ,其中為任意常數(shù)。綜上所述，當n=5時，得到五階微分方程的通解為對常數(shù)系五階線性通解的驗證實例例題6：求微分方程的通解。解：對應齊次線性微分方程的特征方程為解得，有(3.3)可得所求通解為其中為任意常數(shù)。例題7：求微分方程的通解。解：由于特征方程解得，所以所求通解為 其中為任意常數(shù)。推論1：在定理1中，若，則對應齊次線性微分方程(3.2)的通解為 . 當n=2時，通解 這個結(jié)論和教材中二階常系數(shù)齊次線性微分方程通解的結(jié)果完全一樣。推論2：在定理1中，若，則微分方程(3.1)的一個特解為 . 當n=2是，通解為 此結(jié)論比教材中二階常系數(shù)非齊次線性微分方程當 .時的兩種不同類型方程的特解形式更具有普遍性。由上面的推論1和推論2可以知道，方程(3.1)的通解結(jié)果(3.3)為對應方程(3.2)的通解(3.5)和方程(3.1)的特解(3.6)之和，這與線性微分方程解的結(jié)構(gòu)是完全一致的。所以由此可

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