機(jī)器人理論與技術(shù)基礎(chǔ)CONTENTSIntroductionandConceptualProblems緒論SystemModelofRobot機(jī)器人系統(tǒng)分析基礎(chǔ)RobotKinematics運(yùn)動(dòng)學(xué)RobotDynamics動(dòng)力學(xué)Thecourseisdividedintoeightmodulescoveringthefollowingareas:RobotControl機(jī)器人控制RobotMotionPlanning機(jī)器人運(yùn)動(dòng)規(guī)劃?rùn)C(jī)器人編程語(yǔ)言ProgrammingLanguageofRobot典型機(jī)器人系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)DesignandImplementationofRobotSystem工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)串聯(lián)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)輪式機(jī)器人足式機(jī)器人飛行機(jī)器人水下機(jī)器人

運(yùn)動(dòng)學(xué)00閉環(huán)機(jī)構(gòu)開環(huán)機(jī)構(gòu)manipulator三自由度串聯(lián)機(jī)械人運(yùn)動(dòng)學(xué)DH表示法SCARA機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)器人腕部結(jié)構(gòu)多軸串聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方法分類6R串聯(lián)機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)D-H表示法（SDH、MDH）旋量法四元數(shù)法對(duì)偶四元數(shù)法多軸串聯(lián)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)滿足Pieper準(zhǔn)則的解析解求法-DH表示法求解解析法與幾何法的混合求法機(jī)器人雅可比矩陣逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的數(shù)值求解雅可比逆矩陣迭代法(JacobianInverseMethod)雅可比轉(zhuǎn)置矩陣迭代法(JacobianTransposeMethod)雅可比偽逆矩陣迭代法(JacobianPseudoInverseMethod)速度與靜力學(xué)奇異性分析工作空間分析并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)003.1串聯(lián)機(jī)器臂運(yùn)動(dòng)學(xué)01串聯(lián)機(jī)器人可以用一個(gè)開環(huán)關(guān)節(jié)鏈進(jìn)行建模:由數(shù)個(gè)驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)或移動(dòng)關(guān)節(jié)串聯(lián)而成；一端固定在基座上，另一端是自由的，安裝工具（末端執(zhí)行器），用以操縱物體，或完成各種任務(wù)；關(guān)節(jié)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致桿件的運(yùn)動(dòng)，使末端執(zhí)行器定位于所需要的方位上。平面2自由度->空間3自由度機(jī)器人->通用6軸機(jī)器人->n自由度機(jī)器人串聯(lián)機(jī)械臂坐標(biāo)系及末端執(zhí)行器位姿描述KinematicsofSerialManipulators串聯(lián)機(jī)器臂運(yùn)動(dòng)學(xué)KinematicsofSerialManipulators串聯(lián)機(jī)器臂運(yùn)動(dòng)學(xué)ForwardKinematics:平面二維坐標(biāo)下的兩連桿機(jī)構(gòu)正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程KinematicsofSerialManipulators串聯(lián)機(jī)器臂運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解一般表達(dá)式：幾何法逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程KinematicsofSerialManipulators串聯(lián)機(jī)器臂運(yùn)動(dòng)學(xué)幾何法平面兩連桿機(jī)構(gòu)存在兩個(gè)逆解逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解不是唯一的！KinematicsofSerialManipulators串聯(lián)機(jī)器臂運(yùn)動(dòng)學(xué)(1)笛卡爾（臺(tái)架，直角）坐標(biāo)型(PPP)(2)圓柱坐標(biāo)型(RPP)(3)球坐標(biāo)型（PRR）(4)平面關(guān)節(jié)型(RRP)(5)鏈?zhǔn)?擬人或全旋轉(zhuǎn))坐標(biāo)型，或稱串聯(lián)關(guān)節(jié)型（RRR）按機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)系分類，以三關(guān)節(jié)機(jī)械臂為主，常見的機(jī)械臂有如下幾種形式（P代表平動(dòng)關(guān)節(jié)，R代表旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)）：KinematicsofSerialManipulators串聯(lián)機(jī)器臂運(yùn)動(dòng)學(xué)笛卡爾（臺(tái)架，直角）坐標(biāo)型(PPP)KinematicsofSerialManipulators串聯(lián)機(jī)器臂運(yùn)動(dòng)學(xué)圓柱坐標(biāo)（RPP）

ForwardInverse

KinematicsofSerialManipulators串聯(lián)機(jī)器臂運(yùn)動(dòng)學(xué)球坐標(biāo)（PRR）ForwardInverse

KinematicsofSerialManipulators串聯(lián)機(jī)器臂運(yùn)動(dòng)學(xué)平面關(guān)節(jié)型(RRP)ForwardInverse四關(guān)節(jié)平面坐標(biāo)機(jī)械臂:SCARA(SelectiveComplianceAssemblyRobotArm)KinematicsofSerialManipulators串聯(lián)機(jī)器臂運(yùn)動(dòng)學(xué)鏈?zhǔn)阶鴺?biāo)(RRR)ForwardInverse引入DH表示法Denavit和Hartenberg在1955年提出一種通用的方法，這種方法在機(jī)器人的每個(gè)連桿上都固定一個(gè)坐標(biāo)系，然后用4×4的齊次變換矩陣來描述相鄰兩連桿的空間關(guān)系。通過依次變換可最終推導(dǎo)出末端執(zhí)行器相對(duì)于基坐標(biāo)系的位姿，從而建立機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。SDH表示法(StandardDHNotation)MDH表示法(ModifiedDHNotation)D-H表示法02D-HNotationinRoboticsD-H表示法

D-HNotationinRoboticsD-H表示法

確定軸的參考坐標(biāo)系Z軸；找到最短公垂線，確定x軸；如果兩個(gè)關(guān)節(jié)的z軸平行，選與前一關(guān)節(jié)的公垂線共線的一條公垂線；如果兩個(gè)相鄰關(guān)節(jié)的z軸是相交的，那么它們之間就沒有公垂線（或者說公垂線距離為零）。這時(shí)可將垂直于兩條軸線構(gòu)成的平面的直線定義為x軸。

問：四個(gè)參數(shù)中，哪幾個(gè)是常量，哪幾個(gè)是變量？D-HNotationinRoboticsD-H表示法

D-HNotationinRoboticsD-H表示法

D-HNotationinRoboticsD-H表示法#da1

2

3

4

5

6

D-H參數(shù)表

在機(jī)器人的基座與手之間的總變換則為：D-HNotationinRoboticsD-H表示法StandardD-HModifiedD-H

設(shè)想一下，如果一個(gè)連桿有兩個(gè)輸出，該采用哪種表示法？D-HNotationinRoboticsD-H表示法不同StandardD-HModifiedD-H連桿坐標(biāo)系（原點(diǎn)）建立以連桿輸出端（后一個(gè)關(guān)節(jié)）為固連坐標(biāo)系以連桿輸入端（前一個(gè)關(guān)節(jié)）為固連坐標(biāo)系X軸方向相連關(guān)節(jié)之間的變換順序θ，d，a，αα，a,θ，d

對(duì)于三關(guān)節(jié)以上的機(jī)械臂，其連桿運(yùn)動(dòng)涉及三維空間的多個(gè)象限，幾何關(guān)系較為復(fù)雜，采用幾何法難以建模與求解。為了描述SCARA型機(jī)器人各連桿之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，在此采用Denavit和Hertenberg提出的齊次變換矩陣的方法，即D-H法進(jìn)行建模。SCARA機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)03KinematicsofSCARARobotsSCARA機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

思考一下，這樣做的好處是什么？KinematicsofSCARARobotsSCARA機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)構(gòu)件1000102001030010400010ComponentLinkMDHParametersofSCARAKinematicsofSCARARobotsSCARA機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程KinematicsofSCARARobotsSCARA機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解(代數(shù)法)

左右矩陣中的第一行第四個(gè)元素(1.4)，第二行第四個(gè)元素(2.4)分別相等。即:

聯(lián)立上面兩式可得：

KinematicsofSCARARobotsSCARA機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解(代數(shù)法)

KinematicsofSCARARobotsSCARA機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解(代數(shù)法)

再令左右矩陣中的第三行第四個(gè)元素(3.4)相等，可得:

再令左右矩陣中的第一行第一個(gè)元素、第二行第一個(gè)元素(1.1，2.1)分別相等，即：

在三自由度鏈?zhǔn)阶鴺?biāo)機(jī)器人的基礎(chǔ)上，工業(yè)機(jī)器人為了實(shí)現(xiàn)更靈活的操作，鏈?zhǔn)阶鴺?biāo)機(jī)器人出現(xiàn)了多自由度的機(jī)器人手腕（增加自由度）。后來，在三個(gè)大關(guān)節(jié)基礎(chǔ)上，在機(jī)械臂末端設(shè)計(jì)三個(gè)小關(guān)節(jié)來模仿手腕的自由度，由此發(fā)展出通用的6自由度串聯(lián)機(jī)械臂。機(jī)器人腕部結(jié)構(gòu)04單自由度手腕一種回轉(zhuǎn)(roll)關(guān)節(jié),它使手臂縱軸線和手腕關(guān)節(jié)軸線構(gòu)成共軸線形式，這種R關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度大,可達(dá)360°以上R關(guān)節(jié)一種彎曲(bend)關(guān)節(jié),也稱B關(guān)節(jié),關(guān)節(jié)軸線與前、后兩個(gè)連接件的軸線相垂直。對(duì)應(yīng)俯仰(pitch)角操作。B關(guān)節(jié)另一種B關(guān)節(jié)，對(duì)應(yīng)偏轉(zhuǎn)(yaw)角操作。B關(guān)節(jié)移動(dòng)(translate)關(guān)節(jié),也稱T關(guān)節(jié)。T關(guān)節(jié)roboticwrist機(jī)器人腕部結(jié)構(gòu)BR手腕BB手腕RR手腕由一個(gè)R關(guān)節(jié)和一個(gè)B關(guān)節(jié)組成。由兩個(gè)B關(guān)節(jié)組成的BB手腕。由兩個(gè)RR關(guān)節(jié)組成RR手腕。roboticwrist機(jī)器人腕部結(jié)構(gòu)兩個(gè)R關(guān)節(jié)共軸線,所以退化了一個(gè)自由度,實(shí)際只構(gòu)成單自由度手腕BBR手腕RRR手腕BBB手腕roboticwrist機(jī)器人腕部結(jié)構(gòu)BRR手腕通用型六軸工業(yè)機(jī)械臂RV減速機(jī)諧波減速機(jī)四大工業(yè)機(jī)器人廠家命名習(xí)慣機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)包括正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解和逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解。運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的難點(diǎn)一般在于如何快速求取運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解。機(jī)械臂的正運(yùn)動(dòng)學(xué)有多種建模方法，包括幾何建模方法、D-H表示法模型（包含SDH和MDH模型）、旋量法、四元數(shù)法、羅德里格斯參數(shù)法、對(duì)偶四元數(shù)法等。機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解方法可分為封閉解法和數(shù)值解法兩大類。多軸串聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分類05正解機(jī)械臂的正運(yùn)動(dòng)學(xué)有多種建模方法，包括幾何建模方法、D-H表示法模型（包含SDH和MDH模型）、旋量法、四元素法、羅德里格斯參數(shù)法、對(duì)偶四元數(shù)法等。對(duì)于一個(gè)6R機(jī)器人，僅當(dāng)其幾何結(jié)構(gòu)滿足如下Pieper準(zhǔn)則時(shí)，才可以求得其封閉解。對(duì)于三自由度以上的空間機(jī)構(gòu)來說，由于其連桿運(yùn)動(dòng)涉及三維空間的多個(gè)象限，幾何關(guān)系太復(fù)雜，單純采用幾何法來進(jìn)行機(jī)器人的建模是不可能完成的。機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的解析解通常被稱為封閉解法(ClosedFormSolution)，包含幾何法和代數(shù)法，其特點(diǎn)是計(jì)算速度快，并且可以找到所有可能的逆解。逆解前面介紹了通過三角幾何法進(jìn)行平面二維坐標(biāo)下兩連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)求解，以及采用幾何法建模，利用齊次坐標(biāo)變換進(jìn)行的三關(guān)節(jié)機(jī)器人的正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解。機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解方法可分為封閉解法和數(shù)值解法兩大類。Kenematicsof6RSerialRobots多軸串聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)Kenematicsof6RSerialRobots多軸串聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)三個(gè)相鄰關(guān)節(jié)軸線相交于一點(diǎn)；三個(gè)相鄰關(guān)節(jié)軸線互相平行數(shù)值解法主要包括消元法、延拓法和迭代計(jì)算法封閉解數(shù)值解根據(jù)DonaldLeePieper的研究，串聯(lián)機(jī)械臂在結(jié)構(gòu)上滿足如下兩個(gè)充分條件中的一個(gè)，就可以求得封閉解,Pieper準(zhǔn)則如下：工業(yè)機(jī)器人的定位精度包含兩個(gè)指標(biāo)：重復(fù)定位精度以及絕對(duì)定位精度思考一下，這兩個(gè)定位精度和正逆解的精度有什么關(guān)系？Kenematicsof6RSerialRobots6R串聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)Examples:通用型協(xié)作機(jī)械臂AUBO-i5機(jī)器人本節(jié)以圖3.18所示的6R機(jī)器人為例，介紹MDH表示法、旋量法、四元素法以及對(duì)偶四元數(shù)法等正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解算法。6R串聯(lián)機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)06D-HNotationD-H表示法(MDH)第1步，根據(jù)左圖的結(jié)構(gòu)，畫連桿和關(guān)節(jié)簡(jiǎn)化圖D-HNotationD-H表示法(MDH)第2步，畫第一個(gè)坐標(biāo)系D-HNotationD-H表示法(MDH)第3步，畫出所有坐標(biāo)系注意為了簡(jiǎn)化DH參數(shù)，這里的MDH建模并未嚴(yán)格意義上將坐標(biāo)原點(diǎn)建立在連桿的輸入起點(diǎn)上，例如這里{1}{2}{3}坐標(biāo)系，X軸重合，Z軸平行，思考：這么做的好處是什么？D-HNotationD-H表示法(MDH)第4步，計(jì)算MDH參數(shù)和SDH的區(qū)別?連桿坐標(biāo)系{i}offset0-----1π/200.0985θ1:-175o至175o020-0.4080θ2:-175o至175o90o30-0.3760θ3:-175o至175o04π/200.1215θ4:-175o至175o90o5-π/200.1025θ5:-175o至175o06000.094θ6:-175o至175o0表3.4AUBO-i5MDH參數(shù)表D-HNotationD-H表示法(MDH)

和SDH的區(qū)別?

參考代碼https:///mhuasong/Basics-of-Robotics-Theory-and-Technology/tree/main/ch3TwistMethod旋量法

如何求這個(gè)矩陣指數(shù)？TwistMethod旋量法

TwistMethod旋量法

TwistMethod旋量法

與D-H表示法建模不同，旋量法建模，無須定義連桿坐標(biāo)系，也不要求機(jī)器人必須滿足Pieper準(zhǔn)則。TwistMethod旋量法實(shí)例講解AUBO-i5螺旋軸表示法,右手法則表示正轉(zhuǎn)，W1為S1螺旋軸與S5螺旋軸之間的距離，L1=0.408m，L2=0.376m，W1=0.1215m，W2=0.094m，H1=0.0985m,H2=0.1025m

初始位姿矩陣

姿態(tài)矩陣

TwistMethod旋量法實(shí)例講解AUBO-i5螺旋軸表示法,右手法則表示正轉(zhuǎn)，W1為S1螺旋軸與S5螺旋軸之間的距離，L1=0.408m，L2=0.376m，W1=0.1215m，W2=0.094m，H1=0.0985m,H2=0.1025mi1（0，0，1）（0，0，0）2（0，-1，0）（H1，0，0）3（0，-1，0）（H1，0，L1）4（0，-1，0）（H1，0，L1+L2）5（0，0，-1）（W1，-（L1+L2），0）6（0，-1，0）（H1-H2，0，L1+L2）TwistMethod旋量法實(shí)例講解

旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)平移關(guān)節(jié)TwistMethod旋量法實(shí)例講解旋量法采用軸-角(axis-angle)表示法來表征剛體的螺旋運(yùn)動(dòng)(screwmotion)，其將角速度與線速度的組合定義成了一個(gè)新的物理量：運(yùn)動(dòng)旋量(twist)，采用指數(shù)積(PoE)公式進(jìn)行表達(dá)，其物理含義可以將其理解為每個(gè)關(guān)節(jié)產(chǎn)生的螺旋運(yùn)動(dòng)施加給了后面的連桿，最終導(dǎo)致了機(jī)器人整體的運(yùn)動(dòng)變換。課后練習(xí):請(qǐng)參照我的開源實(shí)驗(yàn)教程編寫遨博機(jī)器人的旋量法運(yùn)動(dòng)學(xué)程序:https:///mhuasong/AUBO-Robot-on-ROS/mhuasong/Basics-of-Robotics-Theory-and-Technology/tree/main/ch3Quaternionmethod四元數(shù)法

三維空間中的點(diǎn)P用虛四元數(shù)來表示：

Quaternionmethod四元數(shù)法推廣，對(duì)于n個(gè)旋轉(zhuǎn)軸的機(jī)械臂來說，假設(shè)末端TCP在全局坐標(biāo)系的初始位置為p(x,y,z)，則該初始位置對(duì)應(yīng)下面的虛四元數(shù):

旋轉(zhuǎn)變換：位置變換：通過一系列旋轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)之后，TCP在全局坐標(biāo)系中的最新位置對(duì)應(yīng)的總變換可以如下公式進(jìn)行計(jì)算：

Quaternionmethod四元數(shù)法機(jī)械臂終端執(zhí)行器TCP的位姿可以表示為：

姿態(tài)：位置：

Quaternionmethod四元數(shù)法Aubo-i5求正解四元數(shù)法實(shí)例

我們?cè)谛糠ǖ挠?jì)算步驟中已知：

其中：L1=0.408m，L2=0.376m，W1=0.1215m，W2=0.094m，H1=0.0985m,H2=0.1025m。Quaternionmethod四元數(shù)法Aubo-i5求正解四元數(shù)法實(shí)例

從圖3-19已知TCP初始位置為：(-0.784,-0.2155,-0.004),所以：

求得旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)后的位置為：

本實(shí)例是將機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)成直立狀態(tài)，我們可以簡(jiǎn)單經(jīng)過目測(cè)，即可判斷到該結(jié)果是正確的。

/mhuasong/Basics-of-Robotics-Theory-and-Technology/tree/main/ch3Dual-Quaternionsmethod對(duì)偶四元數(shù)法Dual-Quaternionsmethod對(duì)偶四元數(shù)法

通常剛體的變換最少需要6個(gè)參數(shù)，所以我們需要兩個(gè)四元數(shù)才能完全定義剛體的變換單位對(duì)偶四元數(shù)有8個(gè)參數(shù)，足夠用來定義剛體的變換操作。但這個(gè)時(shí)候的旋轉(zhuǎn)操作，我們針對(duì)的不是點(diǎn)，而是線的概念Dual-Quaternionsmethod對(duì)偶四元數(shù)法三維歐氏空間中表示直線：<1>兩個(gè)點(diǎn)成線；<2>兩個(gè)不同平面的相交

Dual-Quaternionsmethod對(duì)偶四元數(shù)法n軸串聯(lián)式機(jī)器人:同旋量法一樣建立各軸的旋轉(zhuǎn)軸向量及瞬時(shí)方向向量。

各軸對(duì)應(yīng)的變換操作采用對(duì)偶四元數(shù)進(jìn)行表達(dá)：

Dual-Quaternionsmethod對(duì)偶四元數(shù)法對(duì)于串聯(lián)機(jī)械臂來說，其總變換使用對(duì)偶四元數(shù)的表達(dá)如下：

或者

將上式寫成如下形式：

機(jī)械臂末端執(zhí)行器的姿態(tài)和位置計(jì)算公式如下：

位置為根據(jù)式（3-53）計(jì)算出來的對(duì)偶四元數(shù)乘積的對(duì)偶部的向量部分：（3-53）

Dual-Quaternionsmethod對(duì)偶四元數(shù)法實(shí)例：Aubo-i5對(duì)偶四元數(shù)正解

結(jié)合旋轉(zhuǎn)軸以及MDH表示法建立對(duì)偶四元數(shù)法坐標(biāo)系圖普呂克坐標(biāo)系下各連桿所對(duì)應(yīng)的對(duì)偶四元數(shù)Dual-Quaternionsmethod對(duì)偶四元數(shù)法

相比前面描述的算法，使用對(duì)偶四元數(shù)求解的方法綜合了MDH表示法與四元數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)，算法更緊湊、計(jì)算效率更高。位置姿態(tài)/mhuasong/Basics-of-Robotics-Theory-and-Technology/tree/main/ch3獲取AUBO-I5關(guān)節(jié)連桿參數(shù)URDF描述文件建立AUBOROS工作空間RVIZ仿真相關(guān)教程及開源代碼參見：/mhuasong/AUBO-Robot-on-ROSExamplesforAubo-i5Aubo-i5實(shí)例/mhuasong/Basics-of-Robotics-Theory-and-Technology/tree/main/ch3ExamplesforAubo-i5Aubo-i5實(shí)例MDHScrewAxis

正運(yùn)動(dòng)學(xué)：標(biāo)準(zhǔn)DH法（SDH）、改進(jìn)DH法（MDH）、旋量法（Screwtheory）以及四元數(shù)（Quaternion）等方法對(duì)偶四元數(shù)(DualQuaternion)法已補(bǔ)充：相關(guān)教程及開源代碼參見：/mhuasong/AUBO-Robot-on-ROS/mhuasong/Basics-of-Robotics-Theory-and-Technology/tree/main/ch3已知機(jī)器人各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)變量（旋轉(zhuǎn)或平移），我們可以利用機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型求出機(jī)器人末端乃至各關(guān)節(jié)相對(duì)基坐標(biāo)系的位姿，但在機(jī)器人的有些應(yīng)用中，需要根據(jù)機(jī)器人作業(yè)軌跡的要求和相關(guān)約束，計(jì)算對(duì)應(yīng)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)變量，控制機(jī)器人完成作業(yè)軌跡，這個(gè)求解的方法被稱為運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解。本節(jié)以AUBO-i5機(jī)器人為例，實(shí)例介紹解析解求法、解析法與幾何法的混合求法，介紹了空間雅可比(SpaceJacobian)、物體雅可比（BodyJacobian)以及其矢量積求法、微分變換求法、指數(shù)積求法；在此基礎(chǔ)上實(shí)例介紹逆解數(shù)值求解(雅可比逆矩陣迭代法、雅可比轉(zhuǎn)置矩陣迭代法、雅可比偽逆矩陣迭代法)。多軸串聯(lián)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)07InverseKinematicsof6RSerialRobots6R串聯(lián)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)

等式右邊位姿矩陣已知，求等式左邊的關(guān)節(jié)變量InverseKinematicsof6RSerialRobots6R串聯(lián)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)

等式右邊位姿矩陣已知，求等式左邊的關(guān)節(jié)變量

非線性的超越方程組??=6，則未知變量有6個(gè)，12個(gè)方程中，和姿態(tài)關(guān)聯(lián)的9個(gè)方程中只有3個(gè)是獨(dú)立的，和位置關(guān)聯(lián)的3個(gè)方程獨(dú)立，由6個(gè)獨(dú)立方程求解6個(gè)未知數(shù)。InverseKinematicsof6RSerialRobots6R串聯(lián)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)滿足Pieper準(zhǔn)則的解析解求法(實(shí)例講解)MDH參數(shù)表前面已分析該機(jī)器人肩部、肘部與第一個(gè)腕關(guān)節(jié)，也就是第2、3、4這三個(gè)相鄰關(guān)節(jié)互相平行,滿足Pieper準(zhǔn)則，具有可解出封閉解（指解析法、幾何法能解出的精確解）的充分條件InverseKinematicsof6RSerialRobots6R串聯(lián)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)滿足Pieper準(zhǔn)則的解析解求法(實(shí)例講解)

第1步

InverseKinematicsof6RSerialRobots6R串聯(lián)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)滿足Pieper準(zhǔn)則的解析解求法(實(shí)例講解)第1步繼續(xù)求取一些中間矩陣：

InverseKinematicsof6RSerialRobots6R串聯(lián)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)滿足Pieper準(zhǔn)則的解析解求法(實(shí)例講解)第2步

聯(lián)立式(3-61)兩邊矩陣元素(2,4)(即二行四列元素，下同)

這個(gè)方程如何求解？InverseKinematicsof6RSerialRobots6R串聯(lián)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)滿足Pieper準(zhǔn)則的解析解求法(實(shí)例講解)第2步

三角代換公式

兩角和差公式

InverseKinematicsof6RSerialRobots6R串聯(lián)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)滿足Pieper準(zhǔn)則的解析解求法(實(shí)例講解)第3步

InverseKinematicsof6RSerialRobots6R串聯(lián)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)滿足Pieper準(zhǔn)則的解析解求法(實(shí)例講解)第4步

InverseKinematicsof6RSerialRobots6R串聯(lián)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)滿足Pieper準(zhǔn)則的解析解求法(實(shí)例講解)第5步

由第一行第四列兩邊相等

由第三行第四列兩邊相等

InverseKinematicsof6RSerialRobots6R串聯(lián)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)滿足Pieper準(zhǔn)則的解析解求法(實(shí)例講解)第5步

根據(jù)(3-61)第一行第三列和第三行第三列可得

InverseKinematicsof6RSerialRobots6R串聯(lián)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)滿足Pieper準(zhǔn)則的解析解求法(實(shí)例講解)總結(jié)表3-66R串聯(lián)機(jī)械臂的封閉解最大數(shù)量解的最大數(shù)量解這種非線性超越方程，其技巧就在于如何通過矩陣逆變換以及中間矩陣進(jìn)行觀察對(duì)比，這種方法一般被稱為Paul反變換法。InverseKinematicsof6RSerialRobots6R串聯(lián)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解析法與幾何法的混合求法(實(shí)例講解)SDH和MDH區(qū)別在哪？InverseKinematicsof6RSerialRobots6R串聯(lián)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解析法與幾何法的混合求法(實(shí)例講解)第1步幾何作圖，找到第5軸手腕（wrist）相對(duì)基坐標(biāo)的位置InverseKinematicsof6RSerialRobots6R串聯(lián)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解析法與幾何法的混合求法(實(shí)例講解)第1步從{0}到{5}沿z_0方向分析它們的幾何關(guān)系第一步咱們就確定了機(jī)器人的大方向：第一個(gè)關(guān)節(jié)角！咱用左手寫字，還是右手寫字呀InverseKinematicsof6RSerialRobots6R串聯(lián)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解析法與幾何法的混合求法(實(shí)例講解)第2步{0}->{6}坐標(biāo)系之間的幾何關(guān)系手腕準(zhǔn)備“上托”還是“下抓”？InverseKinematicsof6RSerialRobots6R串聯(lián)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解析法與幾何法的混合求法(實(shí)例講解)第3步

InverseKinematicsof6RSerialRobots6R串聯(lián)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解析法與幾何法的混合求法(實(shí)例講解)第4步{2，3，4}軸坐標(biāo)關(guān)系InverseKinematicsof6RSerialRobots6R串聯(lián)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解析法與幾何法的混合求法(實(shí)例講解)第5步{2，3，4}軸坐標(biāo)關(guān)系sinφ3=sin(180-θ3)=sinθ3Θ3=φ3InverseKinematicsof6RSerialRobots6R串聯(lián)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解析法與幾何法的混合求法(實(shí)例講解)第6步

直接取第一列最多可以求出8組解C++源代碼見：/mhuasong/AUBO-Robot-on-ROS//mhuasong/Basics-of-Robotics-Theory-and-Technology/tree/main/ch3JacobianMatrixofRobots機(jī)器人雅可比矩陣機(jī)器人雅可比矩陣(JacobianMatrixofRobots)CarlGustavJacobJacobi1804~1851

正運(yùn)動(dòng)學(xué)

在時(shí)間軸上對(duì)其求一階偏導(dǎo)

該矩陣可表示末端執(zhí)行器速度針對(duì)各關(guān)節(jié)速度的線性逼近。機(jī)器人雅可比矩陣(JacobianMatrixofRobots)舉例：2R平面串聯(lián)機(jī)械臂

關(guān)于時(shí)間微分

JacobianMatrixofRobots機(jī)器人雅可比矩陣機(jī)器人雅可比矩陣(JacobianMatrixofRobots)

推廣

JacobianMatrixofRobots機(jī)器人雅可比矩陣機(jī)器人雅可比矩陣(JacobianMatrixofRobots)

機(jī)器人末端執(zhí)行器的線速度和角速度分別是各關(guān)節(jié)速度的加權(quán)求和，這種加權(quán)組合是非線性、時(shí)變的

JacobianMatrixofRobots機(jī)器人雅可比矩陣機(jī)器人雅可比矩陣(JacobianMatrixofRobots)

JacobianMatrixofRobots機(jī)器人雅可比矩陣雅可比矩陣的矢量積求法由Whitney于1972年提出，采用機(jī)器人末端的線速度v和角速度ω，定義了旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)和移動(dòng)關(guān)節(jié)的雅可比矩陣對(duì)應(yīng)列的求法。矢量積求法采用微分運(yùn)動(dòng)的概念，分析坐標(biāo)系微分運(yùn)動(dòng)關(guān)系，推導(dǎo)雅可比矩陣的微分變換求解。微分變換求法

指數(shù)積求法

機(jī)器人雅可比矩陣矢量積求法JacobianMatrixofRobots機(jī)器人雅可比矩陣

(i=1…n)(i=1…n)機(jī)器人雅可比矩陣微分變換求法JacobianMatrixofRobots機(jī)器人雅可比矩陣

微移動(dòng)的齊次矩陣

微轉(zhuǎn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)變換矩陣

復(fù)合變換矩陣

機(jī)器人雅可比矩陣微分變換求法JacobianMatrixofRobots機(jī)器人雅可比矩陣

機(jī)器人雅可比矩陣指數(shù)積求法JacobianMatrixofRobots機(jī)器人雅可比矩陣

通過伴隨映射寫成向量的形式

NumericalSolutionsforInverseKinematics逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的數(shù)值求解雅可比逆矩陣迭代法(JacobianInverseMethod)

NumericalSolutionsforInverseKinematics逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的數(shù)值求解雅可比轉(zhuǎn)置矩陣迭代法(JacobianTransposeMethod)

NumericalSolutionsforInverseKinematics逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的數(shù)值求解雅可比偽逆矩陣迭代法(JacobianPseudoInverseMethod)

牛頓-拉夫森法求解非線性方程

NumericalSolutionsforInverseKinematics逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的數(shù)值求解雅可比偽逆矩陣迭代法(JacobianPseudoInverseMethod)

基于指數(shù)積求取的雅可比偽逆矩陣牛頓-拉夫森算法步驟

逆運(yùn)動(dòng)學(xué)：幾何法、解析法(代數(shù)法)、數(shù)值法，智能控制算法（包括遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等智能方法）解析法：已知機(jī)器人末端位姿的情況下，可以求出其封閉逆解，可以解出最多8組解解析法+球面幾何法[1]：最多8組解：牛頓迭代法(jacobian矩陣迭代)：ExamplesforAubo-i5Aubo-i5實(shí)例請(qǐng)根據(jù)講義及實(shí)驗(yàn)代碼分析各算法優(yōu)缺點(diǎn)/mhuasong/Basics-of-Robotics-Theory-and-Technology/tree/main/ch3通過雅可比矩陣，給定各個(gè)關(guān)節(jié)的速度（角速度、線速度），可以求得末端速度；反過來，基于末端速度，我們也可以得到各關(guān)節(jié)的速度。同理，假設(shè)機(jī)器人處于靜平衡狀態(tài)，各關(guān)節(jié)力矩和末端力矩之間的關(guān)系也可通過雅可比矩陣進(jìn)行計(jì)算。速度與靜力學(xué)08VelocityKinematicsandStatics速度與靜力學(xué)

F為作用在末端上的力矩，以平衡各關(guān)節(jié)力矩。相反，如果給定各關(guān)節(jié)力矩，末端力矩可以用逆矩陣來求得：

VelocityKinematicsStatics練習(xí)：給定Aubo-i5的各關(guān)節(jié)速度，求TCP速度；給定Aubo-i5的末端負(fù)載，求各關(guān)節(jié)力矩。

奇異性分析09SingularityAnalysis奇異性分析當(dāng)下列情況發(fā)生時(shí)會(huì)導(dǎo)致奇異位形：兩個(gè)平移關(guān)節(jié)軸平行；兩個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)同軸。雅可比矩陣不再滿秩的位形相當(dāng)于機(jī)器人具有奇異性，通常有兩種類型：工作空間邊界奇異性。當(dāng)機(jī)械臂全部伸展或自身完全折回時(shí)，便會(huì)出現(xiàn)工作空間邊界奇異性。工作空間內(nèi)部奇異性。這種情況下通常是由于兩個(gè)或多個(gè)旋轉(zhuǎn)軸重合，或兩個(gè)或多個(gè)平移軸平行導(dǎo)致。

在機(jī)器人學(xué)中，通過檢查雅可比矩陣辨別和避開奇異性構(gòu)型非常重要，主要原因有：在此奇異位形下，某些方向的運(yùn)動(dòng)可能無法到達(dá)；

在此奇異位形處，有界的末端執(zhí)行器速度對(duì)應(yīng)的某些關(guān)節(jié)速度是無限的；在此奇異位形處，有界的關(guān)節(jié)力和力矩可能對(duì)應(yīng)末端執(zhí)行器無限的力和力矩；在此奇異位形處，逆運(yùn)動(dòng)學(xué)有無窮多解。例如帶有球形手腕的6R機(jī)械臂，當(dāng)手腕中心位于基座旋轉(zhuǎn)軸上時(shí)，將會(huì)有無窮多個(gè)奇異位形。SingularityAnalysis奇異性分析以6R串聯(lián)機(jī)械臂為例

最后三個(gè)關(guān)節(jié)為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)

手臂奇異位形集合手腕奇異位形集合

練習(xí)：分析Aubo-i5的奇異位形討論一下另一種常見情況：相連三軸平行？隨著機(jī)器人的發(fā)展，工業(yè)機(jī)器人也逐步出現(xiàn)了通用性、適應(yīng)性的發(fā)展趨勢(shì)，目前主要體現(xiàn)在6R型的通用機(jī)械臂上，這樣的串聯(lián)機(jī)械臂，既可以用于碼垛，也可以用于焊接、噴涂等作業(yè)。這就要求設(shè)計(jì)出來的機(jī)器人，除了負(fù)載、速度、重復(fù)定位精度與精度等方面滿足要求之外，其工作空間要能涵蓋各種作業(yè)要求的區(qū)域，需要對(duì)工作空間的形狀以及工作空間的奇異性等問題進(jìn)行分析、優(yōu)化，并且避免操作臂自身在工作空間中發(fā)生干涉。機(jī)械臂工作空間獲取方法有幾何圖解法、解析法、數(shù)值法等。工作空間10Workspace工作空間機(jī)器人的工作空間有三種類型：可達(dá)工作空間(reachableworkspace)，即機(jī)器人末端可達(dá)位置點(diǎn)的集合；靈巧工作空間(dexterousworkspace)，即在滿足給定位姿（除坐標(biāo)可達(dá)外，姿態(tài)必須滿足工藝要求）范圍時(shí)機(jī)器人末端可達(dá)點(diǎn)的集合；全工作空間(globalworkspace)，即給定所有位姿時(shí)機(jī)器人末端