第六章平面圖形的初步認(rèn)識知識點(diǎn)1：直線、射線、線段一、直線表示方法1.直線的基本事實(shí)： 確定一條直線．2.直線的特性：三個(gè)“無”：①無 ；②無 ；③兩個(gè)方向無限 。3.直線的表示方法：表示方法圖示幾何符號表示方法1：用直線上的表示兩個(gè)點(diǎn)的字母表示直線AB(或直線BA)方法2：用一個(gè)表示直線4.基本事實(shí)運(yùn)用：至少用釘子才能固定住一根木條．5.點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：（1）點(diǎn)在直線上，如圖所示，點(diǎn)A在直線m上，也可以說：直線m經(jīng)過點(diǎn)A．（2）點(diǎn)在直線外，如圖，點(diǎn)B在直線m外，也可以說：直線m不經(jīng)過點(diǎn)B．二、射線的概念和表示方法1.概念：直線上一點(diǎn)和它一側(cè)的部分叫射線，這個(gè)點(diǎn)叫射線的端點(diǎn)．如圖所示，直線l上點(diǎn)A和它一旁的部分是一條射線，點(diǎn)A是端點(diǎn)．2.特性：“一有二不”（1）只有一個(gè)端點(diǎn)；（2）不可以度量，不可以比較長短．3.射線的表示方法：表示方法圖示幾何符號表示方法1：用兩個(gè)大寫英文字母表示，其中一個(gè)是射線的端點(diǎn)，另一個(gè)是射線上除端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，端點(diǎn)寫在前面射線AB方法2：用一個(gè)小寫英文字母表示射線三、線段的概念和表示方法1.線段概念：直線上兩點(diǎn)和的部分叫做線段．2.表示方法：表示方法圖示幾何符號表示方法1：用表示它兩個(gè)端點(diǎn)的兩個(gè)大寫英文字母來表示線段AB或線段BA方法2：用一個(gè)小寫英文字母來表示線段a3.基本性質(zhì)：兩點(diǎn)的所有連線中，最短．簡記為：．如圖所示，在A，B兩點(diǎn)所連的線中，線段AB的長度是最短的．4.“作一條線段等于已知線段”的兩種方法：法一：用圓規(guī)作一條線段等于已知線段法二：用刻度尺作一條線段等于已知線段．例如：可以先量出線段a的長度，再畫一條等于這個(gè)長度的線段．名師點(diǎn)撥（1）線段是直的，它有兩個(gè)端點(diǎn)，它的長度是有限的，可以度量，可比較長短．（2）連接兩點(diǎn)間的線段的長度，叫做這兩點(diǎn)的距離．5.線段的比較：（1）：用刻度尺量出兩條線段的長度，再比較長短．（2）：利用直尺和圓規(guī)把線段放在同一條直線上，使其中一個(gè)端點(diǎn)重合，另一個(gè)端點(diǎn)位于重合端點(diǎn)同側(cè)，根據(jù)另一端點(diǎn)與重合端點(diǎn)的遠(yuǎn)近來比較長短．6.線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)．如圖所示，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則，或．幾何語言：四、直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系1.直線、射線、線段之間的聯(lián)系（1）射線和線段都是直線上的一部分，即整體與部分的關(guān)系．在直線上任取一點(diǎn)，則可將直線分成兩條射線；在直線上取兩點(diǎn)，則可將直線分為一條線段和四條射線．（2）將射線反向延伸就可得到直線；將線段一方延伸就得到射線；將線段向兩方延伸就得到直線．2．三者的區(qū)別與聯(lián)系具體如下表直線射線線段區(qū)別圖形表示方法直線AB或直線BA或直線l射線AB或射線l線段AB或線段BA或線段l特性兩點(diǎn)確定一條直線兩點(diǎn)之間，線段最短端點(diǎn)個(gè)數(shù)012延伸向兩個(gè)方向無限延伸向一個(gè)方向無限延伸不能延伸度量不能度量不能度量可以度量聯(lián)系知識點(diǎn)2：角一、角的概念1.角的定義1：有的 組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的 ，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線OA、OB． 靜態(tài)定義 動(dòng)態(tài)定義2.角的定義2：一條射線繞著它的 旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分是 ．如圖所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時(shí)，所形成的角叫做周角． 二、角的表示方法1.角的表示法：角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：角的表示方法圖示記法適用條件①三個(gè)大寫字母任何情況都適用②一個(gè)大寫字母該角的頂點(diǎn)處只有一個(gè)角③數(shù)字任何情況都適用，但需要提前在圖中標(biāo)注④希臘字母任何情況都適用，但需要提前在圖中標(biāo)注名師指點(diǎn)用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時(shí)，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫希臘字母．2.角的畫法：（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角．（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個(gè)角等于已知角．三、角的度量1.角的度量單位是 ，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．2.角的單位換算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．名師指點(diǎn)四、角的大小比較角的大小比較方法：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1： ．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?： ．把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝；由圖(3)可得∠AOB＞．五、角的分類角按照大小可分為六、角的和差計(jì)算如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．七、角平分線角平分線的概念：文字語言：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成 的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．圖形語言：幾何語言：如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．八、余角和補(bǔ)角1、余角：（1）定義：一般地，如果兩個(gè)角的和等于 (直角)，就說這兩個(gè)角互為 ，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的 ．（2）性質(zhì)： ．2、補(bǔ)角：（1）定義：如果兩個(gè)角的和等于 ，就說這兩個(gè)角互為 ，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．（2）性質(zhì)： ．九、對頂角與鄰補(bǔ)角1.對頂角：（1）定義：由兩條直線相交構(gòu)成的 中，有 沒有 (相對)的兩個(gè)角，互為對頂角．（2）性質(zhì)： ．上圖中：，2．鄰補(bǔ)角：如果兩個(gè)角有一條 ，并且它們的另一邊互為 ，那么具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為鄰補(bǔ)角．例如下圖中知識點(diǎn)3：垂線1.垂直定義:兩條直線相交所成的 中，有一個(gè)角是 時(shí)，就說這兩條直線 ，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫 ．2.垂直表示方法：(1)記法：直線與垂直，記作：；直線和垂直于點(diǎn)，記作：于點(diǎn).(2)垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質(zhì)，即有：．3．垂線的畫法：作圖工具：三角板、圓規(guī)、量角器、方格紙過一點(diǎn)畫已知直線的垂線，可通過直角三角板來畫，具體方法是使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合，沿直線左右移動(dòng)三角板，使另一條直角邊經(jīng)過已知點(diǎn)，沿此直角邊畫直線，則所畫直線就為已知直線的垂線(如圖所示)．名師指點(diǎn)(1)如果過一點(diǎn)畫已知射線或線段的垂線時(shí)，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長線上，也可能在線段的延長線上．(2)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，這點(diǎn)與垂足間的線段為垂線段．4．垂線的性質(zhì)：（1）基本事實(shí)：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有 與已知直線垂直．（2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中， 最短．簡單說成： ．名師指點(diǎn)（1）性質(zhì)（1）成立的前提是在“同一平面內(nèi)”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”說明了垂線的存在性和唯一性．（2）性質(zhì)（2）是“連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．”實(shí)際上，連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的線段有無數(shù)條，但只有一條最短，即垂線段最短．在實(shí)際問題中經(jīng)常應(yīng)用其“最短性”解決問題．5．點(diǎn)到直線的距離：定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的 ，叫做點(diǎn)到直線的距離．例如：下圖中點(diǎn)到直線的距離為線段的長度。知識點(diǎn)4：平行線一、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角位置特征及形狀特征角的名稱圖示位置特征記憶方法同位角在兩條被截直線同側(cè)，并且在截線同側(cè)F內(nèi)錯(cuò)角在兩條被截直線之間，并且在截線異側(cè)Z同旁內(nèi)角在兩條被截直線之間，并且在截線同側(cè)U二、平行線的概念與表示平行線的定義：在同一平面內(nèi)， 的兩條直線叫做平行線．2、平行線的表示方法：三、平行線的判定方法1、平行線的判定方法：方法1：文字語言： 相等，兩直線 ．圖形語言： 幾何語言：方法2：文字語言： 相等，兩直線 ．圖形語言： 幾何語言：方法3：文字語言： 互補(bǔ)，兩直線平行．圖形語言： 幾何語言：方法4：文字語言：平行于 的兩直線互相平行．圖形語言： 幾何語言：方法5：文字語言： 同一直線的兩直線互相平行．圖形語言： 幾何語言：2、基本事實(shí)：過直線 有且 直線與這條直線平行。3、平行線間的距離（1）定義：同時(shí)垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線的線段的長度，叫做這兩條平行線的距離．（2）性質(zhì)：兩平行線間的距離處處相等，夾在兩平行線間的 相等．四、平行線的性質(zhì)性質(zhì)1：文字語言：兩直線平行， 相等．圖形語言： 幾何語言：性質(zhì)2：文字語言：兩直線平行， 相等．圖形語言： 幾何語言：性質(zhì)3：文字語言：兩直線平行， ．圖形語言： 幾何語言：知識點(diǎn)5：多邊形一、多邊形的概念1．多邊形的概念：在平面內(nèi)，不在同一直線上的一些線段 所組成的圖形叫做多邊形．2．相關(guān)元素：邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn)．內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角。外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。對角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線．3.多邊形的分類:根據(jù)多邊形邊的數(shù)量，多邊形可以分為三角形、四邊形、五邊形……等；4.多邊形的表示方法:先寫出多邊形的名稱，然后按頂點(diǎn)逆時(shí)針或順時(shí)針的順序?qū)懗霰硎舅母黜旤c(diǎn)的字母。如上圖，它們的命名分別為：.二、多邊形的外角與相鄰內(nèi)角的關(guān)系1．多邊形的外角：多邊形的邊與它的 組成的角叫做多邊形的外角。2.多邊形的外角與相鄰內(nèi)角的關(guān)系：互補(bǔ)關(guān)系，即和為180度。三、正多邊形1．正多邊形的概念： 相等， 也相等的多邊形叫作 。2.常見的正多邊形實(shí)例： 正三角形 正四邊形 五邊形正六邊形易錯(cuò)點(diǎn)1“平行線的性質(zhì)”和“平行線的判定”錯(cuò)誤：平行線的性質(zhì)與判定易混淆．注意：平行線的性質(zhì)和判定內(nèi)容相似，極易混淆，它們的條件和結(jié)論是互換的，不少同學(xué)不知什么時(shí)候用“兩直線平行，同位角相等”，不知道什么時(shí)候用“同位角相等，兩直線平行”，其他類似。其實(shí)很好判斷，看你需要啥，如果你需要得到平行，也就是事先我不知道這兩條直線是不是平行，我需要判定它兩平行，我想得到它們平行，那就用判定，此時(shí)“平行”作為結(jié)論在“后面”，其它情況類似。例題1如圖，點(diǎn)分別在的邊上，點(diǎn)在線段上，且，．(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若平分，求．例題2 如圖，在四邊形中，平分，交于點(diǎn)E，，F(xiàn)是延長線上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)G，若．(1)試說明：；(2)嗎？請說明理由；(3)若，試說明與的位置關(guān)系．易錯(cuò)點(diǎn)2線段中點(diǎn)與線段的和差計(jì)算錯(cuò)誤：當(dāng)線段很多時(shí)，求某線段的長度，不知是用線段的和表示，還是用線段的差表示．注意：線段的和差與線段的中點(diǎn)看似很簡單，但很多同學(xué)在求一些線段的長度時(shí)，不知使用線段的和表示，還是用線段的差表示，此時(shí)怎么辦呢？關(guān)鍵是我們要抓住我們的所求線段，一切表示方法都要朝著目標(biāo)靠近，向已知條件轉(zhuǎn)化。例題3如圖，線段上依次有，，三點(diǎn)，，是的中點(diǎn)，．(1)求證：；(2)求線段的長．例題4 如圖，點(diǎn)B、C在線段上，且．(1)如圖（Ⅰ）若點(diǎn)M為的中點(diǎn)，且．則，．(2)如圖（Ⅱ）若點(diǎn)M、N分別為的中點(diǎn)，且，求（用m、n表示）．易錯(cuò)點(diǎn)3互余與互補(bǔ)錯(cuò)誤：認(rèn)為“只要幾個(gè)角的和等于90度，這幾個(gè)角就是互余，互補(bǔ)與互余類似”．注意：首先要明白的是互余和互補(bǔ)都是兩個(gè)角之間的關(guān)系，不能出現(xiàn)3個(gè)及以上的角；對互余和互補(bǔ)的概念要理解透徹，抓住關(guān)鍵詞，不能稀里糊涂的例題5如圖，點(diǎn)O在直線上，在直線上方，且．(1)若在的內(nèi)部，與互余，求的度數(shù)；(2)若平分，且與互補(bǔ)，求的度數(shù)．例題6．【實(shí)踐活動(dòng)】如圖1，將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合擺放．（1）判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；（2）探索與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【拓展探究】（3）如圖2，若，且，探索與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．易錯(cuò)點(diǎn)4角平分線與角的和差計(jì)算錯(cuò)誤：當(dāng)圖形中出現(xiàn)很多角時(shí)，不知將所求角表示成角的和還是差．注意：角的計(jì)算與線段的長度很類似，抓住目標(biāo)，剛開始表示所求角時(shí)，表示成什么都無所謂，一步一步的將不要的角度換成已知條件中所給的角，或者向已知條件靠近，最終都會表示成已知條件中所給的角度。例題7如圖，點(diǎn)在直線上，．(1)若平分，，則________．(2)若為銳角，，請說明平分．例題8．如圖①，是內(nèi)部的一條射線，、分別平分，．(1)若，，求；(2)與的大小有什么關(guān)系，寫出你的結(jié)論并說明理由；(3)如圖②，如果是外部的一條射線，、分別平分，．那么（2）中與的大小關(guān)系還成立嗎？請說明理由．易錯(cuò)點(diǎn)5利用平行線的性質(zhì)和判定探究多個(gè)角之間的關(guān)系錯(cuò)誤：不會探究多個(gè)角之間的關(guān)系．注意：期中期末考試中常見一種壓軸題——利用平行線的性質(zhì)和判定探究多個(gè)角之間的關(guān)系。這種題目之所以難，是因?yàn)楹芏嗤瑢W(xué)不懂得處理這種問題的策略，簡單說就一個(gè)詞“換角”，遇到不想要的角，就找其他角替換，朝著已知和需要的角去換，一般替換三到五次基本上都能解決。例題9如圖，直線，連接，直線及線段把平面分成①、②、③、④四個(gè)部分，規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)落在某個(gè)部分時(shí)，連接，構(gòu)成，三個(gè)角．（提示：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線所組成的角是角）(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)落在第①部分時(shí)，之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)落在第②部分時(shí)，第一問的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請求出之間又滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)落在第③部分時(shí)，之間又滿足怎樣的關(guān)系，直接寫出最后的結(jié)論．例題10．如圖，直線，點(diǎn)A，點(diǎn)D在直線b上，射線交直線a于點(diǎn)，于點(diǎn)C，交射線于點(diǎn)，，，為射線上一動(dòng)點(diǎn)，P從A點(diǎn)開始沿射線方向運(yùn)動(dòng)，速度為，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，M為直線a上一定點(diǎn)，連接，．(1)若使的值最小，求t的值；(2)若點(diǎn)P在左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究與的關(guān)系，并說明理由；(3)若點(diǎn)P在右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，寫出與的關(guān)系，并說明理由．1．（1）如圖1，點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，與長度之比為3:5，D為線段中點(diǎn)．①若，求的長．②點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，若，求的長（用含m的代數(shù)式表示）．（2）如圖2，點(diǎn)M為線段中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段中點(diǎn)，若，，請用含a，b的代數(shù)式直接表示出的長．2．如圖，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，，分別是，的中點(diǎn)，(1)圖中共有_______條線段(2)求線段的長度(3)若點(diǎn)分別從兩點(diǎn)出發(fā)，分別以每秒和的速度都向點(diǎn)B的方向運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過多長時(shí)間P，Q兩點(diǎn)相遇？3．已知銳角，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，，分別平分和．(1)如圖，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，求證：；(2)如圖，點(diǎn)為外一點(diǎn)，其他條件不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請說明理由；若成立，請證明；(3)當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)其他位置時(shí)，與之間還存在其他的數(shù)量關(guān)系嗎？請畫圖并直接寫出結(jié)論．4．已知點(diǎn)在直線上，是直角，平分．

(1)如圖1，若，求的度數(shù)______；(2)將圖1中的繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，其它條件不變，試探究和度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由．(3)將圖1中的繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，其它條件不變，若，則的度數(shù)為______（用含有的式子表示），不必說明理由．5．如圖，為直線上一點(diǎn)，，是的角平分線，是直角(1)圖中與互余的角是______；(2)是否平分，并說明理由．6．如圖，為直線上一點(diǎn)，在的上方依次引射線，，，且．(1)當(dāng)時(shí)，是的平分線嗎？試說明理由．(2)若，．①求的度數(shù)．②現(xiàn)射線繞著點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到，再原速返回到時(shí)停止，同時(shí)繞著以相同的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與重合，再原速返回到與重合時(shí)停止，在此運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)為固定值時(shí)，求時(shí)間的范圍．7．如圖，已知，點(diǎn)E在直線