17.1.2等腰（邊）三角形的判定基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練題型一格點(diǎn)中畫(huà)等腰三角形題型二根據(jù)等腰三角形判定找出圖中的等腰三角形題型三利用等角對(duì)等邊證明等腰三角形題型四利用等角對(duì)等邊證明邊相等題型五利用等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)題型六證明等邊三角形題型七尺規(guī)作等腰三角形能力提升題題型一與等腰（邊）三角形相關(guān)的多結(jié)論問(wèn)題題型二等腰三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用題型三等邊三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練題型一格點(diǎn)中畫(huà)等腰三角形1．如圖，在的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上，點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，且是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的定義，分三種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形即可得解，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖：，分三種情況：當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作圓，交正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)于點(diǎn)、；當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作圓，交正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)于點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，作的垂直平分線，交網(wǎng)格的格點(diǎn)于點(diǎn)、、、、；綜上所述，是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是，故選：C．2．如圖，點(diǎn)M、N是方格紙中的兩個(gè)格點(diǎn)（即正方形的頂點(diǎn)），在這個(gè)方格紙中，找出格點(diǎn)P使為等腰三角形，那么滿足條件的格點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本題主要考查等腰三角形的定義，畫(huà)出圖形即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，由圖得滿足條件的格點(diǎn)P有5個(gè)，故選：C．3．如圖，A，B，C，D，E五點(diǎn)都在小正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則下列各組點(diǎn)能構(gòu)成等腰三角形的是（）A．A，B，C B．B，C，D C．A，D，E D．A，C，E【答案】A【分析】本題考查等腰三角形的判定，根據(jù)等腰三角形的判定解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，，是等腰三角形．故選：A．4．如圖的正方形網(wǎng)格中，像點(diǎn)、點(diǎn)這樣網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．以為邊的等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都屬于格點(diǎn)，這樣的等腰三角形的個(gè)數(shù)（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的定義，分為底和腰兩種情況解答即可求解，掌握等腰三角形的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖所示，分以下情況討論：①當(dāng)為等腰底邊時(shí)，符合條件的點(diǎn)有個(gè)：；②當(dāng)為等腰其中的一條腰時(shí)，符合條件的點(diǎn)有個(gè)：；∴點(diǎn)的個(gè)數(shù)是個(gè)，故選：A．題型二根據(jù)等腰三角形判定找出圖中的等腰三角形5．如圖，在中，是角平分線，則圖中的等腰三角形共有（

）A．8個(gè) B．7個(gè) C．6個(gè) D．5個(gè)【答案】A【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和及外角性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的判定定理．根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和及外角性質(zhì)定理確定各個(gè)角的度數(shù)，根據(jù)有兩個(gè)相等內(nèi)角的三角形是等腰三角形進(jìn)行判斷即可．【詳解】解析:∵，∴∵是角平分線，∴，∴．∴．同理，．∴．∴．同理，．∴．∴等腰三角形有，共8個(gè)．故選：A．6．如圖，在中，，與的平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)O作交于E，交于F，那么圖中所有的等腰三角形個(gè)數(shù)是（

）．A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【答案】B【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，的關(guān)系，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的判定可得，，進(jìn)而完成解答．【詳解】解：∵與的平分線相交于點(diǎn)O，∴，．∵，∴，，∴，∴，即都為等腰三角形．又∵，，∴，且，∴都為等腰三角形．∵，與的平分線相交于點(diǎn)O，∴，∴，即是等腰三角形．故等腰三角形有：．故選：B．7．如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則圖中共有等腰三角形（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個(gè)角相等是本題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)定理以及平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴為等腰三角形，，∵∴，∴，為等腰三角形，∵平分，∴，∴，為等腰三角形，，∴，為等腰三角形，∵，，∴∴，為等腰三角形．綜上所述：共有5個(gè)等腰三角形．故選C．8．如圖所示，共有等腰三角形（

）A．2 B．3 C．5 D．4【答案】C【分析】本題主要考查等腰三角形的判定，根據(jù)有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵，∴是等腰三角形，，∴，∴，，∴、是等腰三角形，∵，，∴，，∴、是等腰三角形，故圖中共有5個(gè)等腰三角形，故選：C．9．如圖，在中，，，點(diǎn)在的垂直平分線上，平分，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是()A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，進(jìn)而可得，得出，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而得出，根據(jù)角平分線的定義得出，進(jìn)而可得，，得出，，得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：在中，，是等腰三角形；，，，點(diǎn)在的垂直平分線上，，是等腰三角形；，，平分，，，，是等腰三角形；，，，，是等腰三角形；，，是等腰三角形；，，是等腰三角形，綜上所述，等腰三角形有，，，，，共個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，，，是的角平分線，則圖中的等腰三角形共有(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由是的角平分線，可得，又可求，所以是等腰三角形；又，故，所以是等腰三角形；由，得，可求，故，所以是等腰三角形．【詳解】解：是的角平分線，，，是等腰三角形①．，，是等腰三角形②．，，，，是等腰三角形③．故圖中的等腰三角形有個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、角的平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個(gè)角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵．11．如圖，平分，點(diǎn)E在上，且；找出圖形中的等腰三角形，并加以證明．【答案】是等腰三角形，證明見(jiàn)解析【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)角平分線的定義得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，求出，根據(jù)等腰三角形的判定得出即可【詳解】解：是等腰三角形，證明：平分，，，，，，即是等腰三角形題型三利用等角對(duì)等邊證明等腰三角形12．三角形兩個(gè)角的度數(shù)如圖所示，則該三角形是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】C【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的判定，牢記“三角形內(nèi)角和是”是解題的關(guān)鍵．利用三角形內(nèi)角和定理，可求出第三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，結(jié)合，可得出該三角形是鈍角三角形，且是等腰三角形，再對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：第三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，，∴該三角形是鈍角三角形，且是等腰三角形．故選：C．13．下列條件中，不能判定為等腰三角形的是（

）A． B．C．， D．【答案】D【分析】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的判定條件，即至少有兩個(gè)角相等或兩邊相等，逐一分析各選項(xiàng)即可．【詳解】解：A．由，總份數(shù)為，故，．因，則，為等腰三角形，不符合題意；B．邊比例，說(shuō)明，故為等腰三角形，不符合題意；C．，，則．因，則，為等腰三角形，不符合題意；D．由，結(jié)合內(nèi)角和，得，即，．但無(wú)法確定與是否相等，例如，時(shí)，不為等腰三角形．符合題意．故選：D．14．下列條件中，不能判定是等腰三角形的是（

）A．，， B．C．， D．【答案】D【分析】本題考查了等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理應(yīng)用．由等腰三角形的定義與等角對(duì)等邊的判定定理，即可求得答案．【詳解】解：A、∵，，∴，∴是等腰三角形；故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵，∵，∴，∴是等腰三角形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、∵，，∴，∴，∴，∴是等腰三角形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、∵∴，∴不是等腰三角形，故選項(xiàng)D符合題意．故選：D．15．如圖，，點(diǎn)A是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿以的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿以的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，用t(s)表示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)t等于（）時(shí)，是等腰三角形？A．3 B．3或6 C．6 D．6或12【答案】B【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是進(jìn)行分類討論，分類時(shí)注意不能遺漏，也不能重復(fù)．根據(jù)是等腰三角形，分兩種情況進(jìn)行討論：①點(diǎn)P在上，②點(diǎn)P在上，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)列出方程求解即可．【詳解】解：①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在上，時(shí)，是等腰三角形，∵，，∴當(dāng)時(shí)，，解得；②如圖，當(dāng)P在上時(shí)，由，是等腰三角形，得是等邊三角形，則，∵，，∴當(dāng)時(shí)，，解得；綜上可得：當(dāng)或6秒時(shí)，是等腰三角形，故選B．16．如圖，在四邊形中，F(xiàn)是的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E，，點(diǎn)G在邊上，連接，平分．求證：是等腰三角形．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查的是等腰三角形的判定，先證明，結(jié)合，可得，從而可得結(jié)論．【詳解】證明：平分，，，，，是等腰三角形．17．如圖，等腰中，，過(guò)點(diǎn)A作，交的平分線于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E．(1)求證：是等腰三角形；(2)若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，求的度數(shù)．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)．（1）根據(jù)角平分線的定義可知，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)等角對(duì)等邊證明即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，證明，得到，進(jìn)而證明是等邊三角形，可知，根據(jù)平分及即可求出的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）解：∵，∴，又∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∵，∴（），∴．∵，，∴，即是等邊三角形，∴，∵平分，∴，∵，∴．18．如圖，已知，平分，交于點(diǎn)E．(1)求證：是等腰三角形；(2)若于點(diǎn)D，，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟記“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”及“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”是解題的關(guān)鍵．（1）由角平分線的定義得到，由可得，根據(jù)等量代換可得；（2）由垂直的定義得出，可得，由平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)角平分線的定義即可得解．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴．題型四利用等角對(duì)等邊證明邊相等19．如圖，在中，，點(diǎn)E在邊上，連接，過(guò)點(diǎn)C作，連接，，求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形，掌握相關(guān)知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．由，可得，由，可得，結(jié)合已知條件，可證，從而題目可解．【詳解】證明：，，，，在與中，，．．20．已知：如圖，、、、四點(diǎn)在同一條直線上，，，．求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】要證，可先證，得到、，再證（或利用等腰三角形性質(zhì)）得出．本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理（等）和等腰三角形“等角對(duì)等邊”是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：，，，，，∴。21．如圖，在中，，與的角平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作，分別交，于M，N，連接．(1)證明：是等腰三角形．(2)與相等嗎？對(duì)你的結(jié)論說(shuō)明理由．(3)證明：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】本題考查的是等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，即可得到答案．（2）根據(jù)得到，，則，得到，即可根據(jù)證明；（3）先證明，得到，再根據(jù)以及等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可得到．【詳解】（1）證明：∵，∴，又∵與的角平分線交于點(diǎn)O，∴，，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）解：，理由如下：∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，即；（3）證明：由（1）得，∵，，∴，∴．∵，∴．22．如圖，在中，是角平分線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)Q，根據(jù)證明，得到，再根據(jù)角平分線的定義以及證明從而得到進(jìn)而得到結(jié)論．【詳解】證明：延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)Q，如圖．，，，．在和中，,，，平分，，，．在和中，，．題型五利用等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)23．如圖，，，，則的周長(zhǎng)是（

）A．18 B．20 C．26 D．28【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的判定，線段和差的計(jì)算，確定是關(guān)鍵．根據(jù)，得，則，由此即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴的周長(zhǎng)是，故選：A．24．如圖，在中，分別平分，，且，，的周長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)可得，即得，同理得到，進(jìn)而由得到，即可求解，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，同理可得，∵的周長(zhǎng)為，∴，∴，即，故選：．25．如圖，在中，和的平分線交于點(diǎn)O，過(guò)O點(diǎn)作，交于E，交于F，若，則線段的長(zhǎng)為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】本題主要考查了等角對(duì)等邊，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可證明，則，同理可得，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵在中，和的平分線交于點(diǎn)O，∴，∵，∴，∴，∴，同理可得，∴，故選：A．26．如圖，在中，，，，過(guò)點(diǎn)A的直線，與的平分線分別交于點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．【答案】14【分析】本題綜合考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)推知，則，同理可得，所以線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為線段的和即可得到答案．【詳解】解：∵，平分，，∴，，∴，∴；同理，平分，，，∴，，∴，∴，∴．27．如圖，，是的中點(diǎn)，平分，，，求的長(zhǎng)．【答案】【分析】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等角對(duì)等邊，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)、交于，可證明，得，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義可得，得出，即可求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)、交于F，，，，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，平分，∴，∴，∴．題型六證明等邊三角形28．已知a，b，c為的三邊邊長(zhǎng)，且滿足方程組，則是（）A．等邊三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不等邊三角形【答案】A【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用、完全平方公式、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握因式分解是解題的關(guān)鍵．先變形，再進(jìn)行因式分解，然后運(yùn)用完全平方公式的變形，最后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，，∴，即，∵a、b、c為的三邊，∴，故，∴，即，∴，即是等邊三角形．故選：A．29．下列結(jié)論中：①有一個(gè)外角是的等腰三角形是等邊三角形；②有兩個(gè)外角相等的等腰三角形是等邊三角形；③有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形；④三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握等邊三角形的判定條件．根據(jù)等邊三角形的判定條件：三條邊相等的三角形是等邊三角形，有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形，有兩個(gè)角是60度的三角形是等邊三角形，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①∵等腰三角形有一個(gè)外角是，∴與這個(gè)外角相鄰的內(nèi)角是，∴這個(gè)等腰三角形是等邊三角形，正確；②等腰三角形有兩個(gè)外角相等，當(dāng)這兩個(gè)外角是兩個(gè)底角相鄰的外角時(shí)，等腰三角形不是等邊三角形，錯(cuò)誤；③有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形不一定是等邊三角形，如這條高是底邊的高也滿足這條高是底邊的中線，但是這個(gè)三角形不一定是等邊三角形，錯(cuò)誤；④三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形，正確．故選C．31．如圖，在四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，且平分，求證：是等邊三角形．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了等邊三角形的判定定理、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)，由角平分線的定義可得，再由平行線的性質(zhì)可得，最后由等邊三角形的判定定理即可得證，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】證明：平分，，∴．∵，∴．又∵，∴是等邊三角形．32．如圖，已知是等邊三角形，且．試問(wèn)：是等邊三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】是等邊三角形，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查等邊三角形的判定，熟練掌握等邊三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵，利用是等邊三角形并結(jié)合已知條件可得到，利用相同的方法可證，從而證得是等邊三角形．【詳解】解：是等邊三角形．理由如下：∵是等邊三角形，∴，∴．∵，∴．同理，∴是等邊三角形．33．如圖，在中，平分，，且，求證：是等邊三角形．【答案】見(jiàn)解析【分析】此題考查了等邊三角形的判定，根據(jù)角平分線定義得出，根據(jù)三角形外角性質(zhì)推出，則，結(jié)合，即可判定是等邊三角形．【詳解】證明：平分，，，，，，是等邊三角形．34．如圖，點(diǎn)P是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，D是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，，求證：是等邊三角形．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得，進(jìn)而依據(jù)“”判定和全等得，由此得，據(jù)此即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵是等邊三角形，∴，在和中，，∴，∴，∴，即，∴是等邊三角形．35．如圖所示，已知為等邊三角形，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，平分，求證：(1)；(2)是等邊三角形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)．解題關(guān)鍵是利用等邊三角形的性質(zhì)得到邊和角的關(guān)系，再通過(guò)全等三角形的判定定理證明三角形全等，進(jìn)而得出角相等或邊相等的結(jié)論，以證明相關(guān)角的關(guān)系和三角形的形狀．（1）利用等邊三角形的性質(zhì)和角平分線的定義得到，再結(jié)合邊相等，利用SAS判定即可得到；（2）根據(jù)得到，再利用等角減等角得到，即可判定為等邊三角形．【詳解】（1）證明：為等邊三角形，，平分，，在和中，，．（2）證明：，，即，，為等邊三角形．題型七尺規(guī)作等腰三角形36．觀察下列尺規(guī)作圖的痕跡，不能判斷是等腰三角形的是（

）．A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)基本的作圖方法，結(jié)合等腰三角形的判定，逐一進(jìn)行判斷，即可得到答案．【詳解】解：A、根據(jù)一個(gè)角等于已知角的作法可知，是等腰三角形，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、根據(jù)垂直平分線的作法可知，是等腰三角形，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、根據(jù)過(guò)直線外一點(diǎn)作平行線的作法可知，，，根據(jù)角平分線的作法可知，，，是等腰三角形，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不能判斷是等腰三角形，符合題意，選項(xiàng)正確，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—復(fù)雜作圖，等腰三角形的判定等知識(shí)，掌握基本作圖方法是解題關(guān)鍵．37．如圖，給出了尺規(guī)作等腰三角形的三種作法，認(rèn)真觀察作圖痕跡，下面的已知分別對(duì)應(yīng)作圖順序正確的是（

）①已知等腰三角形的底邊和底邊上的高；②已知等腰三角形的底邊和腰；③已知等腰三角形的底邊和一底角．A．①②③ B．②①③ C．③①② D．②③①【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：圖形①的作圖依據(jù)是“②已知等腰三角形的底邊和腰”；圖形②的作圖依據(jù)是“①已知等腰三角形的底邊和底邊上的高”；圖形③的作圖依據(jù)是“③已知等腰三角形的底邊和一底角”．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查尺規(guī)作圖等腰三角形，掌握等腰三角形的性質(zhì)，作圖的方法是解題的關(guān)鍵．38．請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡．(1)如圖①，已知，作點(diǎn)P，使，且點(diǎn)P在邊AB的高上．(2)如圖②，已知線段a，b，以b為腰，a為底畫(huà)等腰三角形，并作出它的一個(gè)底角的平分線．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線，等腰三角形底邊與高的畫(huà)法，角平分線的畫(huà)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作出圖形．（1）過(guò)點(diǎn)作的垂線，作線段的垂直平分線交垂線于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求；（2）作，分別以點(diǎn)，為圓心，b為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)，連接，，就是所求的三角形，再畫(huà)的角平分線即可.【詳解】（1）解：如圖①，點(diǎn)即為所求．（2）解：如圖②，和射線即為所求．39．如圖，在中，，．(1)利用尺規(guī)作等腰，使點(diǎn)D，A在直線的同側(cè)，且，．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)畫(huà)法）(2)設(shè)（1）中所作的的邊交于E點(diǎn)，求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．（1）先作，然后截??；（2）作交于F，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，利用等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算出，，則，從而得到，然后證明，從而得到結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)D為所作；（2）證明：作交于F，如圖，∵，∴，∵，，∴，，∴，在中，，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．．題型一與等腰（邊）三角形相關(guān)的多結(jié)論問(wèn)題40．如圖，在中，，點(diǎn)分別在的延長(zhǎng)線上，與的平分線相交于點(diǎn)．以下結(jié)論：①；②；③和都是等腰三角形．其中正確的結(jié)論有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【分析】三角形外角的定義以及性質(zhì)得出根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，進(jìn)而可得出，可判定①，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義可判斷②，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義結(jié)合等腰三角形的判定定義可判斷③．【詳解】解：∵，又∵，∴，∵是的角平分線，∴，∴，∴，故①正確，符合題意；∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴，即，故②正確．∵，∴，∴是等腰三角形，∵，∴，∵是的平分線，∴，∴，∴∴是等腰三角形，故③正確，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的定義以及性質(zhì)，等腰三角形的判定，角平分線的定義，以及平行線的判定以及性質(zhì)等知識(shí)，掌握這些判定以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．41．如圖，在中，和的平分線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于，交于，過(guò)點(diǎn)作于，下列五個(gè)結(jié)論：其中一定正確的結(jié)論有（

）個(gè)．①；②；③；④點(diǎn)到各邊的距離相等；⑤設(shè)，，則．（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形的內(nèi)角和定理：①根據(jù)角平分線定義及可得出，，由此可得出結(jié)論；②由于與不一定相等，則與不一定相等，進(jìn)而得到與不一定相等；③先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；④根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；⑤連接，根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：和的平分線相交于點(diǎn)G，，，，，，同理可得，，故①正確；∵與不一定相等，，∴與不一定相等，∴與不一定相等，故②錯(cuò)誤；和的平分線相交于點(diǎn)G，，，故③錯(cuò)誤；和的平分線相交于點(diǎn)G，點(diǎn)G到的距離相等，到的距離相等，點(diǎn)G到各邊的距離相等，故④正確；如圖所示，連接，點(diǎn)G到各邊的距離相等，，，，故⑤正確．故選：C．42．如圖，中，于D，平分，且于點(diǎn)E，與相交于點(diǎn)F，于H，交于G，有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④【答案】D【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定定理，全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，可得，從而得到，故①符合題意；再由，可得，從而得到，故②符合題意；然后根據(jù)，可得，從而證得，可得到，故③符合題意；再由平分，可得，可得到，故④符合題意．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，故①正確；∵，∴，∴，∴，故②正確；∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故③正確；∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，故④正確；故選：D．43．如圖，為等邊三角形，為等腰三角形，其中，，且，，在同一直線上．連接和．則以下結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（

）①；②為的平分線；③；④．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)．熟練掌握以上知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于可判斷結(jié)論①正確；過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，根據(jù)證明，則可得，根據(jù)角平分線的判定可得結(jié)論②正確；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得垂直平分，根據(jù)線段垂直平分線的判定可得結(jié)論③正確；由可得，可得結(jié)論④不正確．【詳解】解：∵為等邊三角形，，∵，，∵四邊形中，，．故結(jié)論①正確；如圖，過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作于點(diǎn)．則，，，，又，，，∴為的平分線．故結(jié)論②正確；，平分，∴垂直平分，∴．故結(jié)論③正確；，而，，．故結(jié)論④不正確；綜上，正確的結(jié)論有3個(gè)．故選：C．44．如圖，在和中，，，．連接，連接并延長(zhǎng)交，于點(diǎn)，，若平分，則下列結(jié)論：①；②；③；④中，正確的是（）A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④【答案】D【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義，由題意可得，即可判斷①；證明，即可判斷②；由等邊對(duì)等角結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得，由角平分線的定義可得，推導(dǎo)出，即可判斷③；求得，即可判斷④．【詳解】解：∵，∴，即，故①正確；在和中，，∴，∴，故②正確；∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，故③正確；∵，，∴，∴，∴，故④正確；綜上所述，正確的有①②③④，故選：D．題型二等腰三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用45．如圖，為的角平分線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．(1)求證：為等腰三角形；(2)求證：．【答案】(1)證明詳見(jiàn)解析(2)證明詳見(jiàn)解析【分析】（1）通過(guò)設(shè)，利用角平分線性質(zhì)、垂直的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，推導(dǎo)出與相等，進(jìn)而證明，得出為等腰三角形．（2）過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，利用平行線性質(zhì)、角平分線性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合垂直的性質(zhì)，推導(dǎo)出且，從而得證．【詳解】（1）證明：設(shè)，∴．∵，∴，∴，∴，∴，???????∴為等腰三角形；（2）證明：過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∴，．∵平分，，∴，，∴，，∴，∴．∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．46．在中，，，點(diǎn)D在射線上，連接，將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段（點(diǎn)E不在直線上），連接，過(guò)點(diǎn)E作，交直線于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段上，F(xiàn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，證明見(jiàn)解析【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形判定及平行線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由得到．由三角形的內(nèi)角和定理與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明，，從而得到，進(jìn)而有，再由得到，從而，因此根據(jù)等腰三角形的判定即可解答；（2）延長(zhǎng)到點(diǎn)H，使，由得到．由垂直平分線的性質(zhì)得到，進(jìn)而根據(jù)等腰三角形的“三線合一”得到，從而，即可證明，得到，．證明得到，從而．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，由旋轉(zhuǎn)可得，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．（2）解：，證明如下：延長(zhǎng)到點(diǎn)H，使，∵，∴，∵，∴，∵，是的垂直平分線，∴，∴，∴，∴，∴，即∵由旋轉(zhuǎn)有∴∴，．∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴．題型三等邊三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用47．如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)在上，連接，相交于點(diǎn)，．若，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先證明平分，再證明是等邊三角形，接著利用平行線的性質(zhì)，求得，，從而可證明，根據(jù)等腰三角形的判定，可得，再利用，求出．【詳解】解：連接交于點(diǎn)，

∵，，∴垂直平分，∴平分，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，．∴，∴，又，∴是等邊三角形，∴，∴．故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是利用角之間的關(guān)系找到邊之間的關(guān)系．48．如圖，，點(diǎn)P在的內(nèi)部，點(diǎn)C，D分別是點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交分別于點(diǎn)E，F(xiàn)；若的周長(zhǎng)為9，則線段（）A．8 B．18 C．12 D．9【答案】D【分析】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)．連接，．證明是等邊三角形，進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】解：連接，．點(diǎn)，分別是點(diǎn)關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)，，，，，，，是等邊三角形，，，．故選：D．49．如圖，已知和均為等邊三角形，且，的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．求證：．【答案】證明見(jiàn)解析．【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊，三角形外角性質(zhì)等知識(shí)，過(guò)作，則，由和均為等邊三角形，得，，證明，再由等邊三角形性質(zhì)可得，，則有，因?yàn)?，所以，可得，然后通過(guò)外角性質(zhì)得，由等角對(duì)等邊，從而可證，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過(guò)作，∴，∵和均為等邊三角形，∴，，∴，，∴，是等邊三角形，在和中，，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．50．如圖，在與中，，，，過(guò)點(diǎn)作，交于，交于，連結(jié)，交于．(1)判斷的形狀，并說(shuō)明理由．(2)求證：平分．(3)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)是等邊三角形，理由見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)4【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，垂直平分線的判定，等腰三角形的性質(zhì)．（1）由，可以先證明是等邊三角形，所以．再由得到，即可證明是等邊三角形；（2）由題意得是的垂直平分線，再由等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可求解；（3）先由等邊三角形的性質(zhì)和證明，從而求出的值，再由等邊三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：是等邊三角形，理由如下；，，是等邊三角形，，，，，，是等邊三角形；（2）證明：，，是的垂直平分線，即，，平分；（3）解：平分，，，，，，，是等邊三角形，，．51．綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：如圖1，在四邊形中，，，E是一點(diǎn)，連接，，，．問(wèn)題探究：(1)求證：是等腰直角三角形；(2)“智慧小組”的同學(xué)把題目進(jìn)行改編：如圖1，已知是等腰直角三角形，，，點(diǎn)B，E，C在同一直線上，，，試探究，與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)“創(chuàng)新小組”在圖1的基礎(chǔ)上變?yōu)閳D2，已知點(diǎn)B，E，C在直線上，，，若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析(3)12【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．（1）先運(yùn)用證明可得，再說(shuō)明即可證明結(jié)論；（2）證明可得，然后根據(jù)線段的和差即可解答；（3）先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)、角的和差以及已知條件可得，再證明可得，最后根據(jù)即可解答．【詳解】（1）解：∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，∴是等腰直角三角形．（2）解：，理由如下：∵，，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．（3）解：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴．52．【問(wèn)題情境】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖①，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到如下的解決方法：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．容易證得，再由“三角形的三邊關(guān)系”可求得的取值范圍．（1）由已知和作圖得到，依據(jù)是______．A．

B．

C．

D．（2）邊上的中線的取值范圍是______解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件，可考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形之中．【初步運(yùn)用】如圖②，是的中線，交于，交于，且．求證：．【拓展提升】如圖③，在中，平分，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，，則______．【答案】【問(wèn)題情境】（1）C；（2）；【初步運(yùn)用】見(jiàn)解析；【拓展提升】4【分析】本題考查