湘教版（2024）數(shù)學8年級上冊第3章

二次根式3.1.1二次根式的概念及性質(zhì)1.了解二次根式的定義；2.理解二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義的條件；（重點）3.掌握二次根式的兩條重要性質(zhì)．（重點、難點）#3.1.1二次根式的概念及性質(zhì)（八年級數(shù)學課件）##幻燈片1：封面-標題：3.1.1二次根式的概念及性質(zhì)-副標題：八年級上冊數(shù)學-授課教師：XXX-日期：XXXX年XX月XX日##幻燈片2：學習目標1.理解二次根式的定義，能準確判斷一個式子是否為二次根式；2.掌握二次根式有意義的條件，會求二次根式中字母的取值范圍；3.理解并運用二次根式的兩個核心性質(zhì)：$\sqrt{a}\geq0$（$a\geq0$）和$(\sqrt{a})^2=a$（$a\geq0$）；4.能結(jié)合性質(zhì)解決簡單的計算和化簡問題。##幻燈片3：情境導入（問題探究）###問題1：-一個正方形花壇的面積為$S$平方米，它的邊長是多少米？-答案：邊長為$\sqrt{S}$米（引導學生回憶正方形面積公式，自然引出根號）###問題2：-要制作一個容積為27立方厘米的正方體形狀的包裝盒，它的棱長是多少厘米？-答案：棱長為$\sqrt[3]{27}=3$厘米（對比立方根，突出“二次”根號）###問題3：-若一個直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，斜邊的長是多少？-答案：斜邊為$\sqrt{3^2+4^2}=5$（通過勾股定理再次強化根號的應(yīng)用）###思考：-上述問題中出現(xiàn)的$\sqrt{S}$、$\sqrt{3^2+4^2}$有什么共同特點？-它們與$\sqrt[3]{27}$有什么區(qū)別？（引出“二次根式”的概念）##幻燈片4：二次根式的定義###定義：-一般地，我們把形如$\sqrt{a}$（$a\geq0$）的式子叫做二次根式。-其中，“$\sqrt{}$”叫做二次根號，根號下的數(shù)$a$叫做被開方數(shù)。###關(guān)鍵詞解讀：1.形式要求：必須含有二次根號“$\sqrt{}$”（默認根指數(shù)為2，省略不寫）；2.被開方數(shù)要求：$a$必須是非負數(shù)（即$a\geq0$），因為在實數(shù)范圍內(nèi)，負數(shù)沒有平方根。###注意：-二次根式是一個非負數(shù)（后續(xù)性質(zhì)會詳細說明）；-當$a=0$時，$\sqrt{0}=0$，也是二次根式。##幻燈片5：即時練習1（判斷是否為二次根式）###下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是？為什么？1.$\sqrt{5}$2.$\sqrt{-3}$3.$\sqrt{x^2+1}$4.$\sqrt[3]{7}$5.$-\sqrt{6}$6.$\sqrt{2m}$（$m<0$）###答案解析：-是二次根式的有：1、3、5-1：$\sqrt{5}$，被開方數(shù)$5>0$，符合定義；-3：$\sqrt{x^2+1}$，因為$x^2\geq0$，所以$x^2+1\geq1>0$，被開方數(shù)恒為正；-5：$-\sqrt{6}$，雖然前面有負號，但整體是“$-\sqrt{6}$”，根號部分$\sqrt{6}$是二次根式，負號僅表示相反數(shù)；-不是二次根式的有：2、4、6-2：$\sqrt{-3}$，被開方數(shù)$-3<0$，無意義；-4：$\sqrt[3]{7}$，根指數(shù)為3，是立方根，不是二次根式；-6：$\sqrt{2m}$（$m<0$），被開方數(shù)$2m<0$，無意義。##幻燈片6：二次根式有意義的條件###核心結(jié)論：-對于二次根式$\sqrt{a}$，當且僅當被開方數(shù)$a\geq0$時，式子有意義；-若二次根式在分母中（如$\frac{1}{\sqrt{a}}$），則還需滿足$\sqrt{a}\neq0$，即$a>0$（分母不能為0）。###例題1：求下列二次根式中字母$x$的取值范圍1.$\sqrt{x-2}$-解：由被開方數(shù)非負得$x-2\geq0$，解得$x\geq2$；2.$\sqrt{3x+1}$-解：$3x+1\geq0$，解得$x\geq-\frac{1}{3}$；3.$\frac{1}{\sqrt{5-x}}$-解：既要滿足被開方數(shù)非負，又要滿足分母不為0：-$5-x>0$（因為$\sqrt{5-x}$在分母，不能為0），解得$x<5$；4.$\sqrt{x^2-4x+4}$-解：先化簡被開方數(shù)：$x^2-4x+4=(x-2)^2$，-因為$(x-2)^2\geq0$恒成立，所以$x$可取任意實數(shù)。###方法總結(jié)：-求字母取值范圍的步驟：1.列出關(guān)于字母的不等式（組）：被開方數(shù)$\geq0$，分母$\neq0$（若在分母）；2.解不等式（組）；3.寫出取值范圍（用集合或區(qū)間表示均可，初中階段用不等式表示）。##幻燈片7：即時練習2（求字母取值范圍）###求下列式子中字母$x$的取值范圍：1.$\sqrt{2x-3}$2.$\frac{\sqrt{x+1}}{x-2}$3.$\sqrt{-x^2}$4.$\sqrt{(x-1)^2+2}$###答案：1.$x\geq\frac{3}{2}$；2.$x\geq-1$且$x\neq2$；3.$x=0$（因為$-x^2\geq0$，即$x^2\leq0$，而$x^2\geq0$，所以$x=0$）；4.任意實數(shù)（因為$(x-1)^2+2\geq2>0$恒成立）。##幻燈片8：二次根式的性質(zhì)1###性質(zhì)1：-當$a\geq0$時，$\sqrt{a}\geq0$（雙重非負性）。-解讀：1.被開方數(shù)$a$是非負數(shù)（$a\geq0$）；2.二次根式$\sqrt{a}$的結(jié)果也是非負數(shù)（$\sqrt{a}\geq0$）。###常見的非負數(shù)形式：1.實數(shù)的平方：$a^2\geq0$；2.絕對值：$|a|\geq0$；3.二次根式：$\sqrt{a}\geq0$（$a\geq0$）。###重要結(jié)論：-若幾個非負數(shù)的和為0，則每個非負數(shù)都為0（即“非負性疊加”）。-例：若$\sqrt{x}+|y-3|+(z+2)^2=0$，則$\sqrt{x}=0$，$|y-3|=0$，$(z+2)^2=0$，解得$x=0$，$y=3$，$z=-2$。##幻燈片9：例題2（利用非負性求值）###例1：-已知$\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}+y=5$，求$x+y$的值。-解：1.首先求$x$的取值范圍：-由$\sqrt{x-1}$有意義得$x-1\geq0$，即$x\geq1$；-由$\sqrt{1-x}$有意義得$1-x\geq0$，即$x\leq1$；-所以$x=1$；2.代入原式：$\sqrt{0}+\sqrt{0}+y=5$，解得$y=5$；3.因此$x+y=1+5=6$。###例2：-若$\sqrt{a-2}+(b+3)^2=0$，求$(a+b)^{2024}$的值。-解：1.由非負性得$\sqrt{a-2}=0$，$(b+3)^2=0$；2.解得$a=2$，$b=-3$；3.所以$(a+b)^{2024}=(2-3)^{2024}=(-1)^{2024}=1$。##幻燈片10：即時練習3（利用非負性求值）1.已知$\sqrt{2x+4}+|y-1|=0$，求$x^y$的值；2.若$\sqrt{m-3}+\sqrt{n+2}=0$，求$m+n$的平方根。###答案：1.$x=-2$，$y=1$，$x^y=(-2)^1=-2$；2.$m=3$，$n=-2$，$m+n=1$，1的平方根為$\pm1$。##幻燈片11：二次根式的性質(zhì)2###性質(zhì)2：-當$a\geq0$時，$(\sqrt{a})^2=a$。-解讀：1.條件：$a\geq0$（保證$\sqrt{a}$有意義）；2.含義：一個非負數(shù)的算術(shù)平方根的平方，等于這個非負數(shù)本身。###例題3（利用性質(zhì)2計算）1.$(\sqrt{5})^2$2.$(\sqrt{\frac{2}{3}})^2$3.$(-\sqrt{7})^2$4.$(\sqrt{0})^2$###解答：1.$(\sqrt{5})^2=5$；2.$(\sqrt{\frac{2}{3}})^2=\frac{2}{3}$；3.$(-\sqrt{7})^2=(\sqrt{7})^2=7$（先平方，負號消失）；4.$(\sqrt{0})^2=0$。###逆向應(yīng)用：-若$a\geq0$，則$a=(\sqrt{a})^2$（可用于化簡或配方）。-例：$3=(\sqrt{3})^2$，$x=(\sqrt{x})^2$（$x\geq0$）。##幻燈片12：即時練習4（利用性質(zhì)2計算與化簡）1.計算：-$(\sqrt{12})^2$-$(\sqrt{0.3})^2$-$(-2\sqrt{3})^2$（提示：先算平方，$(-2)^2=4$，再乘$(\sqrt{3})^2$）2.化簡：-$(\sqrt{x+1})^2$（$x\geq-1$）-$(\sqrt{2a-5})^2$（$a\geq\frac{5}{2}$）###答案：1.12；0.3；12（$(-2\sqrt{3})^2=(-2)^2\times(\sqrt{3})^2=4\times3=12$）；2.$x+1$；$2a-5$。##幻燈片13：性質(zhì)對比與易錯點提醒###性質(zhì)對比（$a$的取值范圍關(guān)鍵）：|式子|成立條件|結(jié)果||------|----------|------||$(\sqrt{a})^2$|$a\geq0$|$a$||$\sqrt{a^2}$|任意實數(shù)|$|a|$（后續(xù)會學，此處先對比）|###易錯點：1.忽略被開方數(shù)非負：如認為$(\sqrt{-3})^2=-3$（錯誤，$\sqrt{-3}$無意義）；2.混淆性質(zhì)適用條件：如$(\sqrt{x-2})^2=x-2$，必須滿足$x\geq2$，否則不成立；3.負號平方處理錯誤：如$(-\sqrt{5})^2=-5$（錯誤，應(yīng)為$5$）。##幻燈片14：課堂小結(jié)###1.二次根式的定義：-形如$\sqrt{a}$（$a\geq0$）的式子，核心是“二次根號+非負被開方數(shù)”；###2.有意義的條件：-被開方數(shù)$a\geq0$，分母含二次根式時需額外滿足分母$\neq0$；###3.核心性質(zhì)：-性質(zhì)1（雙重非負性）：$\sqrt{a}\geq0$（$a\geq0$），非負數(shù)和為0則各非負數(shù)為0；-性質(zhì)2：$(\sqrt{a})^2=a$（$a\geq0$），用于計算和化簡；###4.關(guān)鍵方法：-求字母取值范圍：列不等式（組）求解；-利用非負性求值：轉(zhuǎn)化為各部分為0的方程。##幻燈片15：課后作業(yè)###基礎(chǔ)題（必做）：1.下列式子中，哪些是二次根式？（寫序號）-①$\sqrt{10}$②$\sqrt{-18}$③$\sqrt{x^2+2}$④$\sqrt[3]{-27}$⑤$\sqrt{2x}$（$x\geq0$）2.求下列式子中$x$的取值范圍：-（1）$\sqrt{3x-6}$（2）$\frac{\sqrt{x+4}}{x-1}$（3）$\sqrt{-(x-5)^2}$3.計算：-（1）$(\sqrt{8})^2$（2）$(\sqrt{\frac{3}{4}})^2$（3）$(-3\sqrt{2})^2$4.已知$\sqrt{x-3}+|y+2|=0$，求$xy$的值。###提升題（選做）：1.若$\sqrt{a+1}+\sqrt{b-2}=0$，求$(a+b)^{2025}$的值；2.當$x$為何值時，$\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}$有意義？并求此時式子的最大值（提示：利用非負性分析）。##幻燈片16：結(jié)束頁-感謝聆聽！-疑問解答與交流問題1

什么叫作平方根?

一般地，如果一個數(shù)的平方等于

a，那么這個數(shù)是

a的一個平方根.問題2

什么叫作算術(shù)平方根?

如果x2=a（x≥0），那么x稱為a的算術(shù)平方根.用表示.問題3

什么數(shù)有算術(shù)平方根?我們知道，負數(shù)沒有平方根.因此，在實數(shù)范圍內(nèi),非負實數(shù)才有算數(shù)平方根.(1)2，3，5的算術(shù)平方根分別是怎樣表示的?思考二次根式的概念及有意義的條件1

(2)用運載火箭發(fā)射航天飛船時，火箭必須達到一定的速度(稱為第一宇宙速度)，才能克服地球的引力，將飛船送入環(huán)地球運行的軌道，第一宇宙速度

v

與地球半徑

R

之間存在如下關(guān)系：v2=gR，其中

g

為重力加速度.若已知地球的半徑

R，則第一宇宙速度

v

是多少？(用帶有根號的式子表示).

(3)比較(1)(2)的結(jié)果，它們在表達形式上有什么共同特征？

因此，只有當被開方數(shù)是非負實數(shù)時，二次根式才在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.

知識要點

二次根式的實質(zhì)是表示一個非負數(shù)（或式）的算術(shù)平方根.對于任意一個二次根式

，我們知道：（1）a為被開方數(shù)或式，為保證其有意義，可知

a≥0；（2）表示一個數(shù)或式的算術(shù)平方根，可知≥0.

二次根式的被開方數(shù)(或式)非負二次根式的值非負二次根式的雙重非負性歸納總結(jié)例1當

x是怎樣的實數(shù)時,在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?解：由

x-

1≥0，得x≥1.當

x≥1

時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.【變式題】當

x是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？解：由題意得

x-

1＞0，所以

x＞1.

典例精析解：因為被開方數(shù)需大于或等于零，

所以

3

+

x≥0，所以

x≥-3.

因為分母不能等于零，

所以

x

-

1≠0，所以

x≠1.

所以

x≥-3且

x≠1.

要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，即需滿足被開方式≥0，列不等式求解即可.若式子為分式，應(yīng)同時考慮分母不為零.歸納(2)多個二次根式相加：如有意義的條件：(1)單個二次根式：如有意義的條件：A≥0；(3)二次根式作為分式的分母：如有意義的條件：

A＞0；(4)二次根式與分式的和：如有意義的條件：

A≥0且B≠0.歸納總結(jié)1.下列各式：.

其中一定是二次根式的有（）A.3個B.4個C.5個D.6個B2.(1)若式子

在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則

x

的取值范圍是_______；(2)若式子

在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則

x

的取值范圍是___________.x≥1

x≥0且

x≠2

練一練3.已知

a，b

為等腰三角形的兩條邊長，且

a，b

滿足，求此三角形的周長．解：由題意得所以

a

=

3.所以

b

=

4.當

a

為腰長時，三角形的周長為

3

+

3

+

4

=

10；當

b

為腰長時，三角形的周長為

4

+

4

+

3

=

11．

若，則根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，可得

a=0.歸納

＝a(a≥0).即一個非負數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身.注意：不要忽略

a≥0這一限制條件.這是使二次根式有意義的前提條件.

（a≥0）的性質(zhì)2例2

計算：解：(2)可以用到冪的哪條基本性質(zhì)呢？積的乘方：(ab)2=a2b2典例精析4.計算：解：練一練的性質(zhì)2做一做

21.221.2

a(a≥0)，

綜上可得：即任意一個實數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對值.例3計算：解：，而3.14＜π，要注意

a的正負性.注意例4計算：

5.計算：

解:辨一辨：請同學們快速分辨下列各題的對錯．（）（）（）（）××√√練一練議一議：如何區(qū)別

與

？從運算順序看從取值范圍看從運算結(jié)果看先開方，后平方先平方，后開方a≥0a取任何實數(shù)a|a|意義表示一個非負數(shù)

a的算術(shù)平方根的平方表示一個實數(shù)

a的平方的算術(shù)平方根例5

實數(shù)

a、b

在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，請你化簡：解：由數(shù)軸可知

a＜0，b＞0，a

-

b＜0，所以原式=

|

a

|

-

|

b

|+|

a-

b

|=

-

a

-

b

-