8．3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積——(教學(xué)方式：深化學(xué)習(xí)課—梯度進(jìn)階式教學(xué))[課時目標(biāo)]1．知道棱柱、棱錐、棱臺、球的表面積與體積的計(jì)算公式，并能利用計(jì)算公式解決實(shí)際問題．2．掌握幾何體的側(cè)面展開圖，理解側(cè)面展開圖與幾何體的表面積之間的關(guān)系．1．棱柱、棱錐、棱臺的表面積多面體的表面積就是圍成多面體________的面積的和．棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是圍成它們的各個面的面積的和．|微|點(diǎn)|助|解|棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積與表面積(1)將棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面展開分別是若干個平行四邊形、若干個三角形、若干個梯形組成的平面圖形，側(cè)面展開圖的面積就是棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積．(2)棱柱、棱錐、棱臺的表面積等于它們的側(cè)面積與各自的底面積的和．2．棱柱、棱錐、棱臺的體積幾何體體積說明棱柱V棱柱＝ShS為棱柱的________，h為棱柱的______棱錐V棱錐＝eq\f(1,3)ShS為棱錐的________，h為棱錐的______棱臺V棱臺＝eq\f(1,3)h(S′＋eq\r(S′S)＋S)S′，S分別為棱臺的____________，h為棱臺的____|微|點(diǎn)|助|解|對于棱柱、棱錐、棱臺的體積公式的幾點(diǎn)認(rèn)識(1)等底、等高的兩個棱柱的體積相同．(2)等底、等高的棱柱的體積是棱錐的體積的3倍．(3)棱柱、棱錐、棱臺的體積公式之間的關(guān)系．V棱柱＝Sheq\o(→,\s\up7(S′＝S))V棱臺＝eq\f(1,3)h(S′＋eq\r(S′S)＋S)eq\o(→,\s\up7(S′＝0))V棱錐＝eq\f(1,3)Sh.(4)求棱臺的體積可轉(zhuǎn)化為求棱錐的體積．根據(jù)棱臺的定義進(jìn)行“補(bǔ)形”，還原為棱錐，采用“大棱錐”減去“小棱錐”的方法求棱臺的體積．eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練)1．正方體的表面積為96，則正方體的體積為()A．48eq\r(6) B．64C．16 D．962．已知一個三棱錐的每一個面都是邊長為1的正三角形，則此三棱錐的表面積為()A．4 B.eq\f(\r(3),4)C．2eq\r(3) D.eq\r(3)3．棱臺的上、下底面面積分別是2,4，高為3，則棱臺的體積等于________．題型(一)棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積[例1](1)已知直四棱柱的高為2，其底面四邊形ABCD水平放置時的斜二測直觀圖為矩形A′B′C′D′，如圖所示．若A′O′＝O′B′＝B′C′＝1，則該直四棱柱的表面積為()A．20＋4eq\r(2) B．8＋2(eq\r(2)＋eq\r(3))C．20＋8eq\r(2) D．8＋4(eq\r(2)＋eq\r(3))(2)如圖，在正四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3A1B1＝3，AA1＝eq\r(5)，則正四棱臺ABCD－A1B1C1D1的表面積為()A．28 B．26C．24 D．16聽課記錄：|思|維|建|模|1．求表面積的基本解題步驟(1)確定幾何體．分析題中所給幾何體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，確定幾何體模型．(2)計(jì)算表面積．根據(jù)幾何體模型的表面積計(jì)算公式，求出相關(guān)的表面積．(3)得出結(jié)論．將計(jì)算的表面積與題設(shè)要求對應(yīng)即得問題答案．2．求正棱臺表面積的注意點(diǎn)求解正棱臺的表面積時注意棱臺的底面邊長、高、斜高、側(cè)棱，并注意兩個直角梯形的應(yīng)用：(1)高、側(cè)棱、上、下底面多邊形的中心與頂點(diǎn)連線所成的直角梯形．(2)高、斜高、上、下底面邊心距所成的直角梯形．[針對訓(xùn)練]1．已知正方體的8個頂點(diǎn)中，有4個為側(cè)面是等邊三角形的三棱錐的頂點(diǎn)，則這個三棱錐與正方體的表面積之比為()A．1∶eq\r(2) B．1∶eq\r(3)C．2∶eq\r(2) D．3∶eq\r(6)2．用油漆涂一個正四棱錐形鐵皮做的冷水塔塔頂(鐵皮的正反面都要涂漆)，其高是1m，底面的邊長是1.5m，已知每平方米需用油漆150g，共需用油漆______kg.(精確到0.1kg)題型(二)棱柱、棱錐、棱臺的體積[例2](1)(多選)已知一個正三棱柱的側(cè)面展開圖是一個長為9cm，寬為6cm的矩形，則此正三棱柱的體積可以為()A.eq\f(9\r(3),4)cm3 B.eq\f(27\r(3),2)cm3C．6eq\r(3)cm3 D．9eq\r(3)cm3(2)如圖，四棱臺ABCD－A1B1C1D1的側(cè)棱長均相等，四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1都是正方形，A1B1＝2，AB＝4，AA1＝3eq\r(2)，則該四棱臺的體積為__________．聽課記錄：|思|維|建|模|求幾何體體積的常用方法公式法直接代入公式求解等積法例如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可補(bǔ)體法將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，如棱錐補(bǔ)成棱柱，三棱柱補(bǔ)成四棱柱等分割法將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積[針對訓(xùn)練]3．一個正四棱錐的側(cè)面是正三角形，斜高為eq\r(3)，那么這個四棱錐的體積為()A.eq\f(4,3) B.eq\f(4\r(2),3)C.eq\f(8,3) D.eq\f(8\r(2),3)4.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，過A1，C1，B三點(diǎn)的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD－A1C1D1，且這個幾何體的體積為10，則AA1＝________.題型(三)簡單組合體的表面積和體積[例3]某工廠需要制作一個如圖所示的模型，該模型為長方體ABCD－A′B′C′D′挖去一個四棱錐O－EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體ABCD－A′B′C′D′的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝8，AA′＝6，那么該模型的表面積為____________．聽課記錄：|思|維|建|模|求組合體的表面積和體積，首先應(yīng)弄清它的組成，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個面應(yīng)該怎樣求，然后再根據(jù)公式求出各面的面積，最后再相加或相減．求體積時也要先弄清組成，求出各簡單幾何體的體積，然后再相加或相減．[針對訓(xùn)練]5.貫耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如圖所示的青花折枝花卉紋六方貫耳瓶是清乾隆時期的文物，現(xiàn)收藏于首都博物館，若忽略瓶嘴與貫耳，把該瓶瓶體看作3個幾何體的組合體，上面的幾何體Ⅰ是直棱柱，中間的幾何體Ⅱ是棱臺，下面的幾何體Ⅲ也是棱臺，幾何體Ⅲ的下底面與幾何體Ⅰ的底面是全等的六邊形，幾何體Ⅲ的上底面面積是下底面面積的9倍，若幾何體Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的高之比為3∶3∶5，則幾何體Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的體積之比為()A．3∶9∶25 B．9∶21∶35C．3∶39∶65 D．9∶39∶65eq\a\vs4\al(課下請完成課時跟蹤檢測二十五)8．3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積課前預(yù)知教材1．各個面2.底面積高底面積高上、下底面面積高[基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練]1．選B設(shè)正方體的棱長為a，則6a2＝96，∴a＝4.∴其體積V＝a3＝43＝64.故選B.2．選D三棱錐的每個面(正三角形)的面積都為eq\f(\r(3),4)，所以此三棱錐的表面積為4×eq\f(\r(3),4)＝eq\r(3).故選D.3．解析：V臺體＝eq\f(1,3)(2＋4＋eq\r(2×4))×3＝eq\f(1,3)×3×(6＋2eq\r(2))＝6＋2eq\r(2).答案：6＋2eq\r(2)課堂題點(diǎn)研究[題型(一)][例1]解析：(1)由直觀圖可得底面四邊形ABCD的平面圖形如圖所示，由A′O′＝O′B′＝B′C′＝1，得AO＝OB＝1，C′O′＝eq\r(O′B′2＋B′C′2)＝eq\r(2)，所以O(shè)C＝2eq\r(2)，則S四邊形ABCD＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)，BC＝eq\r(OC2＋OB2)＝3，所以直棱柱的底面周長C四邊形ABCD＝2×(2＋3)＝10.又直棱柱的高h(yuǎn)＝2，所以棱柱的側(cè)面積S側(cè)面積＝C四邊形ABCD·h＝20，所以棱柱的表面積S表面積＝S側(cè)面積＋2S四邊形ABCD＝20＋8eq\r(2).(2)在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面ABB1A1中，過點(diǎn)A1作A1E⊥AB，垂足為E，則A1E＝eq\r(AA\o\al(2,1)－AE2)＝eq\r(\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－1,2)))2)＝2，所以側(cè)面ABB1A1的面積Seq\a\vs4\al(側(cè)面ABB1A1)＝eq\f(1,2)(AB＋A1B1)·A1E＝eq\f(1,2)×(3＋1)×2＝4，所以正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的表面積S＝4×4＋12＋32＝26.答案：(1)C(2)B[針對訓(xùn)練]1.選B如圖，棱錐B′-ACD′為適合條件的棱錐，四個面為全等的等邊三角形，設(shè)正方體的棱長為1，則B′C＝eq\r(2)，S△B′AC＝eq\f(\r(3),2)，三棱錐的表面積S錐＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3).又正方體的表面積S正＝6.因此S錐∶S正＝1∶eq\r(3).2．解析：如圖，正四棱錐S-ABCD表示冷水塔塔頂，O表示底面中心，SO是高，SE是斜高，則SO＝1m，底面的邊長是1.5m，在Rt△SOE中，由勾股定理得，SE＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1.5,2)))2＋12)＝1.25(m)，所以S正四棱錐側(cè)面＝eq\f(1,2)×1.5×1.25×4＝3.75(m2)．因?yàn)殍F皮的正反面都要涂漆，所以共需用油漆3.75×2×150＝1125(g)，由精確到0.1kg，實(shí)際問題向上取整，可得共需用油漆1.2kg.答案：1.2[題型(二)][例2]解析：(1)因?yàn)檎庵膫?cè)面展開圖是一個長為9cm，寬為6cm的矩形，所以正三棱柱的底面邊長可為3cm，高為6cm，則此正三棱柱的體積為V＝eq\f(1,2)×3×3×sin60°×6＝eq\f(27\r(3),2)cm3；正三棱柱的底面邊長也可為2cm，高為9cm，則此正三棱柱的體積為V＝eq\f(1,2)×2×2×sin60°×9＝9eq\r(3)cm3.(2)在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，Q，R分別是上、下底面對角線的交點(diǎn)，即上、下底面的中心，則RQ為四棱臺的高，過點(diǎn)D1作D1P∥RQ與BD交于點(diǎn)P，則RQ＝PD1，四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1都是正方形，且A1B1＝2，AB＝4，AA1＝3eq\r(2)，所以BD＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)，B1D1＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，所以PD＝eq\f(BD,2)－eq\f(B1D1,2)＝2eq\r(2)－eq\r(2)＝eq\r(2)，DD1＝AA1＝3eq\r(2)，所以PD1＝eq\r(3\r(2)2－\r(2)2)＝4，即四棱臺的高h(yuǎn)＝4.又下底面面積S＝2×2＝4，上底面面積S′＝4×4＝16，所以該四棱臺的體積為V＝eq\f(1,3)(S＋eq\r(SS′)＋S′)h＝eq\f(1,3)×(4＋eq\r(4×16)＋16)×4＝eq\f(112,3).答案：(1)BD(2)eq\f(112,3)[針對訓(xùn)練]3．選B由題意設(shè)正四棱錐的棱長為a，則其斜高為eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq\f(\r(3)a,2)＝eq\r(3)，因此a＝2，所以正四棱錐的高為eq\r(3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq\r(2).所以這個四棱錐的體積為eq\f(1,3)×eq\r(2)×22＝eq\f(4\r(2),3).故選B.4．解析：由題意知VABCD-A1C1D1＝VABCD-A1B1C1D1－VB-A1B1C1＝2×2·AA1－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2·AA1＝eq\f(10,3)AA1＝10，∴AA1＝3.答案：3[題型(三)][例3]解析：由題意可得OE＝OF＝OG＝OH＝eq\r(32＋42)＝5，HG＝FG＝EF＝EH＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)，所以S△OHG＝S△OFG＝S△OEF＝S△OEH＝eq\f(1,2)×4eq\r(2)×eq\r(52－2\r(2)2)＝2eq\r(34)，故該模