2025-2026學(xué)年浙江省杭州市拱墅區(qū)行知中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知圓的半徑為5cm，同一平面內(nèi)一點(diǎn)到圓心的距離是6cm，則這點(diǎn)在(

)A.圓外 B.圓上 C.圓內(nèi) D.不能確定2.下列事件中，屬于不可能事件的是(

)A.小明買彩票中獎(jiǎng)

B.任意拋擲一只紙杯，杯口朝下

C.任意三角形的兩邊，其差小于第三邊

D.在一個(gè)沒(méi)有紅球的盒子里摸球，摸到了紅球3.如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，∠A=50°，則∠BOC的度數(shù)為(

)A.100°

B.80°

C.50°

4.拋物線y=(x-1)2-2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A.(-1,-2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(1,2)5.將二次函數(shù)y=2x2的圖象向右平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到的函數(shù)圖象的表達(dá)式是(

)A.y=2(x+2)2+3 B.y=2(x+2)2-36.已知線段a=4，b=9，則a，b的比例中項(xiàng)線段等于(

)A.36 B.5 C.2 D.67.如圖，已知二次函數(shù)的圖象(-2≤x≤6-1)，關(guān)于該函數(shù)在所給自變量的取值范圍內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是(

)A.有最大值4，無(wú)最小值

B.有最大值4，有最小值3

C.有最大值4，有最小值-2

D.有最大值3，有最小值-2

8.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，E在BC的延長(zhǎng)線上，若∠A：∠B：∠D=4：3：3，則∠DCE的度數(shù)是(

)A.100°

B.105°

C.110°9.若二次函數(shù)y=ax2+2ax+1(a>0)的圖象經(jīng)過(guò)A(-2,y1)A.y1<y2<y3 B.10.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上位于直徑AB兩側(cè)，且∠OAC=20°，連結(jié)CD交AB于點(diǎn)E，若DE=OD，則∠ODE的度數(shù)為(

)A.100°3

B.110°3

C.二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.一個(gè)僅裝有球的不透明布袋里共有8個(gè)球，(只有顏色不同)，若從中任意摸出一個(gè)球是紅球的概率是14，則這個(gè)布袋里紅球的個(gè)數(shù)是

.12.拋物線y=-x2+2x+4與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為

個(gè)13.若扇形的圓心角為60°，半徑為2，則該扇形的面積是

(結(jié)果保留π).14.若xy=12，則x-yx+y15.如圖，點(diǎn)O為正八邊形ABCDEFGH的中心，連接DA、DB，則∠ADB=

度.

16.已知二次函數(shù)y=-x2+bx的圖象的對(duì)稱軸為x=2.若關(guān)于x的一元二次方程-x2+bx+t=0(b,t為實(shí)數(shù))，在1<x<4的范圍內(nèi)有解，則三、解答題：本題共8小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題6分)

如圖，一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤被分成4等份，每份內(nèi)標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，(如果指針恰好停在等分線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一區(qū)域?yàn)橹?.

(1)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)一次，求指針?biāo)竻^(qū)域的數(shù)字是偶數(shù)的概率P1；

(2)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)兩次，求指針兩次所據(jù)區(qū)域的數(shù)字之和是偶數(shù)的概率P2.(用樹(shù)狀圖或列表法18.(本小題6分)

某二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如表：x01234y-3010m(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式：______；

(2)m的值是______.19.(本小題8分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-1,1)，B(-3,1)，C(-1,4).

(1)畫(huà)出△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1BC1；

(2)點(diǎn)C1的坐標(biāo)為_(kāi)_____；

(3)在20.(本小題8分)

如圖，AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于點(diǎn)E.連接AC、OC、BC.

(1)證明：∠B=∠ACD；

(2)若AE=2，BE=8，求弦CD的長(zhǎng).21.(本小題8分)

雜技團(tuán)進(jìn)行雜技表演，演員從蹺蹺板右端A處彈跳到人梯頂端B處，其身體(看成一點(diǎn))運(yùn)動(dòng)的路線是拋物線y=-35x2+3x+1的一部分(如圖所示).

(1)求演員彈跳離地面的最大高度；

(2)已知人梯高BC=3.4m，在一次表演中，人梯到起跳點(diǎn)A的水平距離是4m.則這次表演是否成功(拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B為成功，否則不成功22.(本小題12分)

隨著2025年春節(jié)電影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手辦深受同學(xué)們的喜歡，一組手辦(一個(gè)哪吒手辦和一個(gè)敖丙手辦為一組)的成本為60元，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)一組手辦定價(jià)為100元時(shí)，每天能賣出80組，如降價(jià)1元銷售，其銷售量會(huì)增加4組.設(shè)每組手辦降價(jià)x元.

(1)用x的代數(shù)式表示：

①每一組手辦的利潤(rùn)是______.

②每天可銷售的手辦組數(shù)是______.

(2)當(dāng)每組手辦降價(jià)多少元時(shí)利潤(rùn)可以為3500元？

(3)當(dāng)降價(jià)多少元時(shí)，可以使每天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？23.(本小題12分)

在二次函數(shù)y=x2-2tx+3(t>0)中.

(1)若函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上，求t的值.

(2)若點(diǎn)(t,s)在拋物線上，令q=t+s，求證：q≤134.

(3)如果A(m-2,a)，B(4,b)，C(m,a)都在這個(gè)二次函數(shù)圖象上，且a<b<324.(本小題12分)

如圖1，點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，且AD平分∠BAC，交⊙O于點(diǎn)D.

(1)求證：△BCD是等腰三角形.

(2)如圖2，BC是⊙O的直徑，AD與BC相交于點(diǎn)P.

①若CP=14，DP=10，求⊙O的半徑.

②若DH⊥AC于點(diǎn)H，試探究線段CH，AB，DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

答案和解析1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】A

10.【答案】A

11.【答案】2

12.【答案】2

13.【答案】2314.【答案】-115.【答案】22.5

16.【答案】-4<t<0

17.【答案】(1)12

18.【答案】y=-x2+4x-319.【答案】(1)如圖所示，△A1BC1即為所求

(0,-1)

(3)BC=32+2(2)由圖形可知，點(diǎn)C1的坐標(biāo)為(0,-1)，

故答案為：(0,-1)；

(3)BC=32+22=1320.【答案】(1)證明：∵AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD，

∴AC=AD，

∴∠B=∠ACD.

(2)解：∵AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于點(diǎn)E，

∴∠BEC=90°，CE=DE，

∵AE=2，BE=8，

∴AB=AE+BE=10，

∴OC=OA=12AB=5，

∴OE=OA-AE=3，

∴CE=O21.【答案】解：(1)將二次函數(shù)y=-35x2+3x+1化成y=-35(x-52)2+194，

∵-35<0，

∴當(dāng)x=52時(shí)，y有最大值，最大值為19422.【答案】(1)①由題意，由每組手辦的利潤(rùn)為售價(jià)減去成本，且原售價(jià)100元，

∴降價(jià)x元后售價(jià)為(100-x)元．

又∵成本為60元，

∴利潤(rùn)為：[(100-x)-60]=(40-x)元．

②由題意，∵原銷量為80組，每降價(jià)1元銷量增加4組，

∴降價(jià)x元后銷量為(80+4x)組．

故答案為：(40-x)元；80+4x.

(2)由題意得：(40-x)(80+4x)=3500，

∴x2-20x+75=0.

∴x1=5，x2=15.

答：每組手辦降價(jià)5元或15元時(shí)利潤(rùn)可以為3500元．

(3)由題意得，每天的利潤(rùn)為(40-x)(80+4x)=-4x2+80x+3200

=-4(x23.【答案】(1)解：根據(jù)題意得：4ac-b24a=4×1×3-(-2t)24×1=0，

解得t=3或-3，

∵t>0，

∴t的值為3；

(2)證明：∵點(diǎn)(t,s)在拋物線y=x2-2tx+3(t>0)上，

∴s=t2-2t2+3=-t2+3，

∴q=t+s=-t2+t+3，

∴q=-t2+t+3=-(t-12)2+134，

∵-1<0，

∴q有最大值134，

∴q≤134.

(3)∵A(m-2,a)，C(m,a)都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，

∴二次函數(shù)y=x2-2tx+3的對(duì)稱軸直線x=t即為直線x=m-2+m2=m-1，

∴t=m-1，

∵t>0，

∴m-1>0，

解得m>1，

∵m-2<m，

∴A在對(duì)稱軸左側(cè)，C在對(duì)稱軸右側(cè)，

在y=x2-2tx+3中，令x=0得y=3，

∴拋物線y=x2-2tx+3與y軸交點(diǎn)為(0,3)，

∴(0,3)關(guān)于對(duì)稱軸直線x=m-1的對(duì)稱點(diǎn)為(2m-2,3)，

∵b<3，

∴4<2m-2，

解得m>3；

①當(dāng)A(m-2,a)24.【答案】(1)證明：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∴BD=CD，

即△BCD是等腰三角形；

(2)解：①如圖，連接OD，

設(shè)OD=r，則OC=r，OP=CP-OC=14-r.

由(1)知BD=CD，

又∵OB=OC，