規(guī)范練5(分值:43分)學(xué)生用書P2331.(13分)(2024·遼寧葫蘆島一模)為了培養(yǎng)具有創(chuàng)新潛質(zhì)的學(xué)生,某高校決定選拔優(yōu)秀的中學(xué)生參加人工智能冬令營(yíng).選拔考試分為“Python編程語(yǔ)言”和“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”兩個(gè)科目,考生兩個(gè)科目考試的順序自選,若第一科考試不合格,則淘汰;若第一科考試合格,則進(jìn)行第二科考試,無(wú)論第二科是否合格,考試都結(jié)束.“Python編程語(yǔ)言”考試合格得4分,否則得0分;“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”考試合格得6分,否則得0分.已知甲同學(xué)參加“Python編程語(yǔ)言”考試合格的概率為0.8,參加“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”考試合格的概率為0.7.(1)若甲同學(xué)先進(jìn)行“Python編程語(yǔ)言”考試,記X為甲同學(xué)的累計(jì)得分,求X的分布列;(2)為使累計(jì)得分的期望最大,甲同學(xué)應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題?并說(shuō)明理由.解(1)由題意X的所有可能取值為0,4,10,所以P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=4)=0.8×(1-0.7)=0.24,P(X=10)=0.8×0.7=0.56,所以X的分布列為X0410P0.20.240.56(2)甲同學(xué)選擇先回答“Python編程語(yǔ)言”考試這類問(wèn)題,理由如下:由(1)可知E(X)=0×0.2+4×0.24+10×0.56=6.56.甲同學(xué)先進(jìn)行“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”考試,記Y為甲同學(xué)的累計(jì)得分,則Y的所有可能取值為0,6,10,P(Y=0)=1-0.7=0.3,P(Y=6)=0.7×(1-0.8)=0.14,P(Y=10)=0.7×0.8=0.56,所以Y的分布列為Y0610P0.30.140.56E(Y)=0×0.3+6×0.14+10×0.56=6.44,所以E(X)>E(Y),所以甲同學(xué)選擇先回答“Python編程語(yǔ)言”考試這類問(wèn)題.2.(15分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn+2=2an.(1)求a2及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)在an與an+1之間插入n個(gè)數(shù),使得這(n+2)個(gè)數(shù)依次組成公差為d的等差數(shù)列,求數(shù)列1dn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由題意,當(dāng)n=1時(shí),S1+2=a1+2=2a1,解得a1=2.當(dāng)n=2時(shí),S2+2=2a2,即a1+a2+2=2a2,解得a2=4.當(dāng)n≥2時(shí),由Sn+2=2an,可得Sn-1+2=2an-1,兩式相減,得an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,綜上,數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,故an=2·2n-1=2n,n∈N*.(2)由(1)可得,an=2n,an+1=2n+1,在an與an+1之間插入n(n∈N*)個(gè)數(shù),使得這(n+2)個(gè)數(shù)依次組成公差為d的等差數(shù)列,則有an+1-an=(n+1)dn,∴dn=an+1-ann+1=2nn+1,∴1dn12Tn=2×(12)2+3×(12)3+…+n·(12)n+(n+1)·(12)n+1,兩式相減,可得12Tn=221+122+123+…+12n3.(15分)已知在多面體ABCDEF中,AD∥BC∥EF,且AD=CD=DE=4,BC=EF=2,∠BCD=∠FED=π3(1)證明:AD⊥BF;(2)若BF=26,求直線CD與平面ABF所成角的正弦值.(1)證明連接BD,DF.在△BCD中,DC=4,BC=2,∠BCD=π3則BD2=BC2+DC2-2BC·DC·cosπ3=12,可得∠DBC=π2,即BD⊥同時(shí)AD∥BC,可得BD⊥AD,同理可得DF⊥AD.因?yàn)锽D⊥AD,DF⊥AD,且BD?平面BDF,DF?平面BDF,BD∩DF=D,所以AD⊥平面BDF.又因?yàn)锽F?平面BDF,所以AD⊥BF.(2)解在△BDF中,易得BD=FD=23,且BF=26,所以BD⊥FD,同時(shí)BD⊥AD,DF⊥AD,以DA所在直線為x軸,以DB所在直線為y軸,以DF所在直線為z軸,如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.其中A(4,0,0),B(0,23,0),F(0,0,23),C(-2,23,0),AF=(-4,0,23),A