第三章

圓錐曲線的方程3.3.1

拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)掌握了兩種圓錐曲線形式：橢圓和雙曲線.除此之外，下列在圖中呈現(xiàn)出來(lái)的也是圓錐曲線之一：球在空中運(yùn)動(dòng)的軌跡是拋物線規(guī)律，那么拋物線它有怎樣的幾何特征呢?觀察拋物線的畫(huà)法，給出拋物線的定義.(一)拋物線的定義在平面內(nèi)，與一個(gè)定點(diǎn)

F

和一條定直線

l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線.lFMH焦點(diǎn)準(zhǔn)線其中，定點(diǎn)

F

叫做拋物線的焦點(diǎn)，

定直線

l

叫做拋物線的準(zhǔn)線.|MF|＝d(一)拋物線的定義d(二)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程比較橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過(guò)程，你認(rèn)為如何建立坐標(biāo)系，使所求拋物線的方程形式簡(jiǎn)單？(二)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程②設(shè)拋物線上的任意一點(diǎn)

M(x，y)，點(diǎn)

M到準(zhǔn)線

l的距離為

d，①設(shè)|KF|＝p(p＞0)，則焦點(diǎn)F(，0)，準(zhǔn)線l：x

＝

③由定義可知，|MF|＝d，所以④將上式兩邊平方并化簡(jiǎn)，得則有(二)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

方程

y2

＝2px(p＞0)叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.它表示焦點(diǎn)在

x軸的正半軸上的拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)是準(zhǔn)線方程是yxOKFl：在建立橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，我們得到了不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有哪些不同的形式？(二)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)拋物線的開(kāi)口方向不同，可向右，向上，向左，向下yxo拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程圖形一標(biāo)準(zhǔn)方程圖形三標(biāo)準(zhǔn)方程

焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程圖形二標(biāo)準(zhǔn)方程圖形四標(biāo)準(zhǔn)方程

焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2＝2px(p＞0)lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2＝-2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝-2py(p＞0)拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)比lOFyxy2＝2pxlOFyxy2＝-2pxlFOyxx2＝2pylFOyxx2＝-2py①等號(hào)左邊都是系數(shù)為1的平方項(xiàng)，右邊都是一次項(xiàng).②若

x為一次項(xiàng)，則焦點(diǎn)在

x軸上；若

y為一次項(xiàng)，則焦點(diǎn)在

y軸上。

③一次項(xiàng)為

x且系數(shù)為正，開(kāi)口方向向右；系數(shù)為負(fù)，開(kāi)口方向向左.

一次項(xiàng)為

y且系數(shù)為正，開(kāi)口方向向上；系數(shù)為負(fù)，開(kāi)口方向向下.例1已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝6x，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。且2p＝6，所以

p＝3準(zhǔn)線方程是解

析例題講解因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在

x

軸正半軸上，于是它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是練1.求拋物線

y2

＋8x＝0的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

＝－8x，所以

p＝4，拋物線的焦點(diǎn)在

x軸負(fù)半軸上，所以它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(-2，0)，準(zhǔn)線方程是x＝2.知識(shí)運(yùn)用解析√例題講解解析課本P133練習(xí)2.求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.(1)

(2)

(3)

(4)課后作業(yè)(1)因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程是

所以拋物線開(kāi)口向右，且所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

準(zhǔn)線方程為(2)因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程是

所以拋物線開(kāi)口向上，且所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

準(zhǔn)線方程為解析

(3)將方程

化為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以拋物線開(kāi)口向左，且

，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

準(zhǔn)線方程為解

析課本P133練習(xí)2.求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.(1)

(2)

(3)

(4)課后作業(yè)所以拋物線開(kāi)口向下，且

，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

準(zhǔn)線方程為(4)將方程

化為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，為解

析課后作業(yè)課本P133練習(xí)2.

求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.(1)

(2)

(3)

(4)例3已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是

F(0,-2)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在

y

軸負(fù)半軸上，且

＝2?p＝4，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2＝-8y.解

析例題講解課本P133練習(xí)1.

根據(jù)下列條件寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)是

(2)準(zhǔn)線方程是

(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2.(1)因?yàn)榻裹c(diǎn)是

所以焦點(diǎn)在

x軸正半軸上，且所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是課后作業(yè)解

析課本P133練習(xí)1.根據(jù)下列條件寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)是

(2)準(zhǔn)線方程是

(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2.課后作業(yè)解

析(2)準(zhǔn)線方程是所以拋物線的開(kāi)口向右，且所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是課本P133練習(xí)1.根據(jù)下列條件寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)是

(2)準(zhǔn)線方程是

(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2.課后作業(yè)解

析(3)因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于p，所以所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

或

或

或例4求過(guò)點(diǎn)

A(-3，2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.．AOyx當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在

y軸的正半軸上時(shí)，把

A(-3，2)代入

x2＝2py，得

p＝

當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在

x軸的負(fù)半軸上時(shí)，把

A(-3，2)代入

y2＝-2px，得

p＝

∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝

y或

y2

＝

x。例題講解解析練2

已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-4，-2)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.故所求標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝-8y綜上所述，滿足題意的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝-x或x2＝-8y.若拋物線的焦點(diǎn)在

y軸上，有(-4)2=-2p×(-2)，解得p＝4，若拋物線焦點(diǎn)在

x軸上，故所求標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2＝-x；知識(shí)運(yùn)用解析將點(diǎn)(-4，-2)代入

y2＝-2px，將點(diǎn)(-4，-2)代入

x2＝-2py,有(-2)2＝-2p×(-4)，解得p＝,練3

已知拋物線過(guò)點(diǎn)(4，-8)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.由題意，可設(shè)所求拋物線方程為y2＝2px或

x2＝-2py.將點(diǎn)(4，-8)的坐標(biāo)代入

y2＝2px，得p＝8.將點(diǎn)(4，-8)的坐標(biāo)代入

x2＝-2py，得p＝1.故所求拋物線方程為

y2＝16x或

x2＝-2y.知識(shí)運(yùn)用解析解析√例題講解√解析知識(shí)運(yùn)用例6焦點(diǎn)在

x軸上的拋物線上一點(diǎn)

A(-3，m)到焦點(diǎn)的距離為

5，

則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________.y2＝-8x例題講解根據(jù)拋物線的定義知，點(diǎn)

A到焦點(diǎn)的距離為5，∴，∴p＝4

∵點(diǎn)

M在

y

軸的左邊，拋物線焦點(diǎn)在

x軸上，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2＝-8x解析

x2＝16y或

x2＝8y知識(shí)運(yùn)用

故標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝16y或

x2＝8y點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為縱坐標(biāo)解得p＝4或p＝8，解析根據(jù)定義，整理得

p2－12p＋32＝0我們把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線.1.拋物線的定義:圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程lOFPyxlFPOyxlOFPyxlFPOyx課后練習(xí)1．如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在

l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．

水位下降1米后，水面寬________米．

解析2.已知拋物線的焦點(diǎn)在直線

x－2y－4＝0上，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.①令直線

x－2y－4＝0中的

x＝0，得y＝-2∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-2).拋物線開(kāi)口向下，∴拋物線的方程為x2＝－8y.②令直線

x－2y－4＝0中的

y＝0，得x＝4，

∴拋物線的方程為y2＝16x.綜上，拋物線的方程為

x2＝－8y或

y2＝16x.

∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4，0).拋物線開(kāi)口向右，解析3.已知點(diǎn)

M到點(diǎn)

F(4，0)的距離比它到直線

l：x+6=0的距離小2，

求點(diǎn)

M的軌跡方程.∵點(diǎn)

M到點(diǎn)

F(4,0)的距離比它到直線l：x＋6=0的距離小2，∴點(diǎn)

M到點(diǎn)

F(4,0)的距離與它到直線

l：x＋4=0的距離相等.即點(diǎn)

M的軌跡是以F(4,0)為焦點(diǎn),直線l：x+4=0為準(zhǔn)線的拋物線，解析

4.已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線

y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)

P到直線

l1和直線

l2的距離之和的最小值是

.

2解析5.設(shè)

P是拋物線

y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若點(diǎn)

P到直線

x＝－1的距離為

d，A(－1，1)，求|PA|＋d的最小值。

解析把點(diǎn)B(3，2)代入

y2＝4x中，4＜