第1章隨機事件及其概率

加

P：；t=從m個人中挑出n個人進行排列的可能數(shù)。

（/.??-〃）！

（1）排歹U

組合公式

=---從m個人中挑出n個人進行組合的可能數(shù)。

n!（m-n）!

加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n

某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n

種方法來完成，則這件事可由m+n種方法來完成。

（2）加法

乘法原理（兩個步驟分別不能完成這件事）：mXn

和乘法原

某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由m種方法完成，第二個步驟可由n

理

種方法來完成，則這件事可由mXn種方法來完成。

杲件事由兩個步驟來完成，第一-個步驟可由m種方法完成，第二個步驟可由n

種方法來完成，則這件事可由mXn種方法來完成。

重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）

（3）一些

對立事件（至少有一個）

常見排列

順序問題

如果一個試驗在相同條件下可以重復(fù)進行，而每次試驗的可能結(jié)果不止一個，

（4）隨機

但在進行一次試驗之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個結(jié)果，則稱這種試驗為隨機試

試驗和隨

驗。

機事件

試驗的可能結(jié)果稱為隨機事件。

在一個試驗下，不管事件有多少個，總可以從其中找出這樣一組事件，它具

有如下性質(zhì)：

①每進行一次試驗，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個事件；

②任何事件、都是由這一組中的部分事件組成的。

（5）基本這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件，用來表示。

事件、樣本基本事件的全體，稱為試驗的樣本空間，用表示。

空間和事一個事件就是由中的部分點（基本事件）組成的集合。通常用大寫字母

件A,B,C,…表示事件，它們是的子集。

為必然事件，0為不可能事件。

不可能事件＜0）的概率為零，而概率為零的事件不定是不可能事件；同理，

必然事件（。）的概率為1,而概率為1的事件也不一定是必然事件。

不可能事件（0）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，

必然事件（。）的概率為1,而概率為1的事件也不一定是必然事件。

①關(guān)系：

如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：

（6）事件

如果同時有，，則稱事件A與事件B等價，或稱A等于B:A=Bo

的關(guān)系與

A.B中至少有一個發(fā)生的事件：AB,或者A+B。

運算

屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B,也可

表示為A-AR或者，它表示A發(fā)生而R不發(fā)生的事件.

1

A.B同時發(fā)生:AB,或者AB°AB=0,則表示A與B不可能同時發(fā)生,稱

事件A與事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

-AJJ：為事件A的逆”件，或麻A的對立事件，記為.它表示A不發(fā)生的事件,互斥未必對立.

②運算：

結(jié)合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC

分配率：(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)

德摩根率：，

德摩根率：，

800___

QA=|JA__________

德摩根率：2/-IA\jB=AC\BtAC\B=A\JB

設(shè)為樣本空間，為事件，對每一個事件都有一個實數(shù)P(A),若滿

足下列三個條件：

1°OWP(A)W1,

2°P(Q)=1

(7)概率3°對于兩兩互不相容的事件，，…有

的公理化Z00\8

定義P[UA=XP(A)

常稱為可列(完全)可加性。

則稱P(A)為事件A的概率。

1°,

2。夕(幼)=尸(g)=-P(%)二]。

n

(8)古典設(shè)任一事件，它是由組成的，則有

〃〃六{(叼))u…⑷)〃)

概型U(@2U)}=p+P(g)+???+P3

_m_A所包含的基本事件數(shù)

一〃一基本事件總數(shù)

若隨機試驗的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時樣本

空間中的每一個基本事件可以使用一個有界區(qū)域來描述，則稱此隨機試驗為

(9)幾何幾何概型。對任一事件A,

概型

&4)=當(dāng)1。其中L為幾何度量(長度、面積、體積)。

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

(10)加法當(dāng)AB不相容P(AB)=0時，P(A+B)=P(A)+P(B)

公式當(dāng)AB獨立，P(AB)=P(A)P(B),P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

當(dāng)AB獨立，P(AB)=P(A)P(B),P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

P(A-B)=P(A)-P(AB)

當(dāng)BA時,P(A-B)=P(A)-P(B)

(11)減法

當(dāng)A=Q時，P()=1-P(B)

公式

當(dāng)A=Q時，P(^)=l-P(B)

(12)條件定義設(shè)A.B是兩個事件，且P(A)>0,則稱為事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)

1

概率生的條件概率，記為。

條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。

例如p(a/B)=1nP(萬/A)=I-P(B/A)

乘法公式：

(13)乘法更一般地,對事件Al,A2,…An,若P(A1A2…AnT)>0,則有

P(AiAi...4)=P(A)P(A211A-2)......P(An\A1A2...

公式AI)P(A3

An-1)0

①兩個事件的獨立性

設(shè)事件、滿足，則稱事件、是相互獨立的.

若事件、相互獨立，且，則有

P⑻㈤二還二還皿力⑷

P(4)P(A)

若事件、相互獨立，則可得到與、與、與也都相互獨立。

(14)獨立必然事件。和不可能事件0與任何事件都相互獨立。

性0與任何事件都互斥。

②多個事件的獨立性

設(shè)ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，

P(AB)=P(A)P(B)：P(BC)=P(B)P(C)：P(CA)=P(0P(A)

并且同時滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么A.B.C相互獨立。

對于n個事件類似。

設(shè)事件B,心,…,一滿足

1°兩兩互不相容，，

2°

則有，

P(A)=尸(B)P(A|B)+P(&)P(A|&)+…+P(B)P(A\B”)

n0

(15)全概全概率公式解決的是多個原因造成的結(jié)果問題，全概率公式的題型：將試驗

公式可看成分為兩步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；

全概率公式解決的是多個原因造成的結(jié)果問題，全概率公式的題型：將試驗

可看成分為兩步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；

全概率公式解決的是多個原因造成的結(jié)果問題,全概率公式的題型：將試驗

可看成分為兩步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；

設(shè)事件，，…，及滿足

1°,,…，兩兩互不相容，＞0,1,2,…，,

2°，，

則

.2.-n.

此公式即為貝葉斯公式。

(16)貝葉

,(,,…，),通常叫先驗概率。，(，1??，),通

斯公式

常稱為后驗概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果

朔因”的推斷。將試驗可看成分為兩步做，如果求在第二步某事件發(fā)生條件

下第一步某事件的概率，就用貝葉斯公式。

=2,…，〃)，通常叫先驗概率。P(5/A),(i=l,2,…，

〃)，通常稱為后驗概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了

1

“由果朔因”的推斷。將試驗可看成分為兩步做，如果求在第二步某事件發(fā)

生條件下第一步某事件的概率，就用貝葉斯公式。

?我們作了次試驗，且滿足

?每次試驗只有兩種可能結(jié)果，發(fā)生或不發(fā)生；

?次貳驗是甲u進疔的，即發(fā)生的概率體次均樣：

每次試驗是獨立的，即每次試驗發(fā)生與否與其他次試驗發(fā)生與否是互不

影響的。

（17）伯努這種試驗稱為伯努利概蟄，或稱為重伯努利試驗。

利概型用表示每次試驗發(fā)生的概率.則發(fā)生的概率為，用表示重伯努

利試驗中出現(xiàn)次的概率，

P”（k）=C"IA,k=0,1,2,…,〃

第二章隨機變量及其分布

1

(1)離散設(shè)離散型隨機變量的可能取值為Xk(k=l,2,…)且取各個值的概率，即事

型隨機變件(X二Xk)的概率為

P(X=xk)=pk,k=l,2,…，

量的分布

則稱上式為離散型隨機變量的概率分布或分布律。有時也用分布列的形式

律

給出：

X?X1,X2,…,…

P(X=Xx)p\,p2,…，［)k,…。

顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：

(1),,(2)。

8

Vpk=1

(1)-0,2=12…，(2)Io

(2)連續(xù)設(shè)是隨機變量的分布函數(shù)，若存在非負函數(shù)，對任意實數(shù)，有

型隨機變

則稱為連續(xù)型隨機變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密

量的分布

度。

密度

密度函數(shù)具有下面4個性質(zhì)：

1.O

2.o

3.

4、P(x=a)=O,a為常數(shù)，連續(xù)型隨機變量取個別值的概率為0

4.P(x=a)=0,a為常數(shù)，連續(xù)型隨機變量取個別值的概率為0

4、P(x=a)=O,a為常數(shù)，連續(xù)型隨機變量取個別值的概率為0

(3)離散

P(X=x)?P(x<X<x+dx)xf(x)dx

與連續(xù)型

隨機變量

積分元/'(X)公在連續(xù)型隨機變量理論中所起的作用與P(X=M)=/%在離散

的關(guān)系

型隨機變量理論中所起的作用相類似。

1

(4)分布設(shè)為隨機變量，是任意實數(shù)，則函數(shù)

函數(shù)

F(x)=P(X<x)

稱為隨機變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個累積函數(shù)。

可以得到X落入?yún)^(qū)間的概率。分布函數(shù)表示隨機變量落入?yún)^(qū)間(-

8,x］內(nèi)的概率。

分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：

1°0<F(x)<1,—oo<x<+oo；

2。是單調(diào)不減的函數(shù)，即時，有；

3°,;

4°,即是右連續(xù)的；

5°P(X=x)=F(x)-F(x-0)o

對于離散型隨機變量，；

對于連續(xù)型隨機變量，。

X

對于連續(xù)型隨機變量，r(x)-jf(x)dxo

-00

(5)八大0-1分布P(X=l)=p,P(X=O)=q

分布二項分布在重貝努里試驗中，設(shè)事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次

數(shù)是隨機變量，設(shè)為，則可能取值為。

,其中，

則稱隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布。記為。

當(dāng)時，，，這就是(0T)分布，所以(0T)分布是二項分

布的特例。

當(dāng)〃=1時，P(X=k)=,A=0.1,這就是(0-1)分布，

所以(0T)分布是二項分布的特例。

泊松分布設(shè)隨機變量X的分布律為

，，，

則稱隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者p()。

泊松分布為二項分布的極限分布(np=X,n-8)。

泊松分布為二項分布的極限分布(np二人，n-8)。

幾何分布,其中p20,q=l-p<>

隨機變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為(；(p)。

隨機變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。

1

均勻分布設(shè)隨機變量的值只落在［a,b］內(nèi)，其密度函數(shù)在［a,b］上為常

數(shù)，即

其他

則稱隨機變量在［a,b］上服從均勻分布，記為X~U(a,b)o

分布函數(shù)為

0?x<a,

x-a

Jb-a'a這xWb

F(x)=￡/(x)公=

1,x>b?

當(dāng)aWxl〈x2Wb時，X落在區(qū)間()內(nèi)的概率為

P(Xj<X<x2)=———。

b-a

指數(shù)分布

r及弋x>0

fM=］八

0,x<(),

其中，則稱隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。

X的分布函數(shù)為

「?弋x>0

15ox<0o

記住枳分公式：

+X

Jxne~xdx=nl

0

1

正態(tài)分布

設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為

，，

其中、為常數(shù)，則稱隨機變量服從參數(shù)為、的正態(tài)分布

或高斯(Gauss)分布，記為,

具有如下性粉：

1°/(玲的圖形是關(guān)丁丫=〃對稱的；

2。當(dāng)時，為最大值；

若，則的分布函數(shù)為

參數(shù)、時的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為，其密度函數(shù)

記為

分布函數(shù)為

]x上

①(%)=,—[e-dto

是不可求枳或敬.其話改他,己姐制成我可供查用.

O(-x)=1-①(x)且①(0)=—。

2

如果~，則~。

P(x,<X<x2)=①①。

(6)分位

下分位表：；

數(shù)

上分位表：。

上分位表：P(X>乂《)=a。

1

(7)函數(shù)離散型

已知X的分布列為

的分布函

數(shù)

的分布列(互不相等)如下：

若有某些相等，則應(yīng)將對應(yīng)的相加作為的概率。

若有某些g(力)相等，則應(yīng)將對應(yīng)的相加作為的概率。

連續(xù)型

先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y)=P(g(X)^y),

再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)o

(2)定理法：

當(dāng)Y=g(X)嚴(yán)格單調(diào)并且可導(dǎo)時：

，八一、JA1^(J)l1/?<(>?)ha<y<fl.

其中h%y)是g(x)的反函數(shù)

第三章二維隨機變量及其分布

（1）聯(lián)合離散型如果二維隨機向量~~（X,Y）的所有可能取值為至多可列

分布個有序?qū)Γ▁,y）,則稱為離散型隨機量。

設(shè)=（X,Y）的所有可能取值為，且事件｛=｝的概

率為pij,,稱

p｛（x,y）=（Xj，x）｝=p/,/=i,2,…）

口=（X.

\）的分布

彳飛或稱為X

和、的聯(lián)合

分,律。聯(lián)

合a布有

??????

時也“下71y.>

面的餐率

分布不

表示：\

??????

X1PnPl2Pu

??????

X2PJIP史P2J

**

??*??

???

X,p>i???

Pij

???

?

這里Pij具有下面兩個性質(zhì):

（1）"0（i,j=l,2,…）；

⑵XXPg=L

ij

1

連續(xù)型對于二維隨機向量，如果存在非負函數(shù)，使對任意一個

其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D,即

D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有

P{(X,y)eD}=jj/(x,.yWy,

D

則稱為連續(xù)型隨機向量；并稱f(x,y)為=(X,Y)的分布

密度或稱為X和Y的聯(lián)合分布密度。

(1)分布密度f(x,y)具有下面兩個性質(zhì)：

(2)f(x,y))O;

(2)j「/(x,y)dxdy=1.

(2)二維

^X=x,Y=y)=^X=xC]Y=y)

隨機變量

的本質(zhì)

(3)聯(lián)合設(shè)(X,Y)為二維隨機變量，對于任意實數(shù)x,y,二元函數(shù)

分布函數(shù)

F(x,y)=P{X<x,Y<y]

稱為二維隨機向量(X,Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函

數(shù)。

分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件的概率為函數(shù)值的一個

實值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：

(1)0<F(x,y)<l;

(2)F(x,y)分別對x和y是非減的，即

當(dāng)x2〉xl時,有F(x2,y)2F(xl,y);當(dāng)y2>yl時，有F(x,y2)2F(x,yl);

(3)F(x,y)分別對x和y是右連續(xù)的，即

F*,y)=+0,y),F(x,y)=F(x,y+0);

(4)F(-co,-co)=F(-co,y)=F(x,-co)=0,F(+co,+co)=1.

f

(5)對于為</，M<y2

P(xi<x^x2,yi<j<y2)=F(X2,y2)-F(xv%)一尸(再,y2)+F(xey))>0

(4)離散

P(X=x,y=y)紀(jì)尸(x<X<x+dx>y<Y<y+dy)工f(x,y)dxdy

型與連續(xù)

型的關(guān)系

(5)邊緣離散型X的邊緣分布為

分布Pi.=P(X=Xj)=ZP加=L2,…);

j

Y的邊緣分布為

p.j=p(Y=yj)=Xp"j=i2…)。

i

1

連續(xù)型X的邊緣分布密度為

八(制=匚〃乂)')小

Y的邊緣分布密度為

fY(y)=L/(尤yg.

(6)條件離散型在已知X=xi的條件下，Y取值的條件分布為

分布

p(y=XIX=匕)="

p,.

在已知Y=yj的條件下,X取值的條件分布為

p(x="y=x)="

連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為

/(x|y)=乎乎

fy(y)

在己知X=x的條件下，Y的條件分布密度為

f(y\x)=

fxM

(7)獨立一般型F(X,Y)=Fx(x)Fv(y)

性離散型

P；j=Pi.P.j

有零不獨立

連續(xù)型f(x,y)=fx(x)fr(y)

直接判斷，充要條件：

①可分離變量

②正概率密度區(qū)間為矩形

二維正態(tài)分

\12(1-02)[6}a,a[ffJ

布/(^y)=i-----」，22

2的6-p~

p=0

隨機變量的若XI,X2,-Xm,Xm+1,-Xn用互獨立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則：

函數(shù)h(XI,X2,…Xm)和g(Xm+1,-Xn)相互獨立。

特例：若X與Y獨立，則：h(X)和g(Y)獨立。

例如：若X與Y獨立,則：3X+1和5Y-2獨立。

例如：若X與Y獨立，則：3X+1和5Y-2獨立。

例如：若X與Y獨立，則：3X+1和5Y-2獨立。

1

（8）二維設(shè)隨機向量（X,Y）的分布密度函數(shù)為

均勻分布1

—（內(nèi)”。

、D

o,其他

其中SD為區(qū)域D的面積，則稱（X,Y）服從D上的均勻分布，記為（X,v）?

U（［））.

圖3.1

圖3.3

1

（9）二維設(shè)隨機向量（X,Y）的分布密度函數(shù)為

正態(tài)分布

1卜-“1Y2P（x_M（丫

/（x，y）=;--------彳e」，

2歡702J1-P~

其中是5個參數(shù)，則稱（X,Y）服從二維正態(tài)分布，

記為（X,Y）?N（

由邊緣密度的計算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍為正態(tài)分

布，

即x?N（必,of）,y?N-；）?

但是若X?N（,（X,Y）未必是二維正態(tài)分布。

但是若X?N（M，b；）,y~N（〃2.b；）,（X,Y）未必是二維正態(tài)分布。

（10）函數(shù)Z=X+Y根據(jù)定義計算：

分布對于連續(xù)型,fZ（z）=

兩個獨立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（四十〃2，。：+。；）。

n個相互獨立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。

>

ii

Z=max,min(若相互獨立，其分布函數(shù)分別為，則

X"??Xn)Z=max,min（XI,X2,…Xn）的分布函數(shù)為:

產(chǎn)max（%）=Q3?%（幻…F。（幻

%*）=1-[1-Gu）]*n-"（刈…口-七（創(chuàng)

第四章隨機變量的數(shù)字特征

(1)離散型I連續(xù)型

1

■維期望設(shè)X是離散型隨機變量，其設(shè)X是連續(xù)型隨機變量，其概

隨機期望就是平均值分布律為P()=pk,率密度為f(x),

變量k=l,2,…，n,+00

的數(shù)E(X)=\xf(x)dx

E(X)=￡xkPk

字特-X

征A=I(要求絕對收斂)

(要求絕對收斂)

函數(shù)的期望Y=g(X)Y=g(X)

-KO

E(y)=￡g(z)p*E(Y)=\g{x}f(x)dx

A=I-00

方差■KO

D(X)=j[x-E(X)]2/(^

D(X)=E[X-E(XO(X)=ZK-AX)『外

)]2,k-00

標(biāo)準(zhǔn)差

(T(X)=J/)(X)

(2)(1)E(C)=C

期望(2)E(CX)=CE(X)

的性(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y),

質(zhì)E(XY)=E(X)E(Y),充分條件：X和Y獨立;

充要條件：X和Y不相關(guān)。

充要條件：X和Y不相關(guān)。

(3)(1)D(C)=O；E(C)=C

方差(2)D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)

的性(3)D(aX+b)=al)(X)；E(aX+b)=aE(X)+b

質(zhì)(4)D(X)=E(X2)-E2(X)

D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分條件:X和Y獨立;

充要條件：X和Y不相關(guān)。

D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],無條件成

立。

而E(X+Y)=E(X)+E(Y),無條件成立。

期望方差

0-1分布

〃(1-P)

3(1,p)P

1

二項分布

叩叩。一p)

P)

(4)泊松分布

常見X2

PW

分布

的期幾何分布

1-P

望和

G(p)〃2

方差P

超兒何分布

nMnM1.絲Y3

H(n,M,N)NN1N入N-口

均勻分布

a+b3-4)2

U(a力)212

指數(shù)分布

11

e(A)I了

正態(tài)分布

4(T2

(5)期望-HO