第一章習題答案

1-1畫出下列各信號的波形：

-t-t

(1)f.(t)=(2-e)U(t);(2)f2(t)=ecoslOntX[U(t-l)-U(t-2)]。

解：(1)的波形如圖LI(a)所示。

(2)因cos%的周期丁=主=0.2一故力⑺的波形如圖題1.1(b)所示.

10〃

圖題1.1

1-5判斷下列各信號是否為周期信號，若是周期信號，求其周期T。

2

(1)工⑺=2cos(2f-f)(2)/2(r)=[sin(r--^)]

46

(3)力(f)=3cos2mU(/)

解：周期信號必須滿足兩個條件：定義域，有周期性，兩個條件缺少任何一個,

則就不是周期信號了.

(1)是，T-二；

3

(2)/(/)=3xg[l-cos(27-9],故為周期信號，周期丁=^-=7is；

(3)因，＜()時有/⑺=0故為非周期信號。

1-6化簡下列各式：

(1)f15(2i-\)dr;(2)&[cos6十馬。⑺；(3)f—[cosr^(r)]sin/Jr

J-8di4-dt

解：⑴原式=

(2)原式二4[cos工?必)]=變3()

dt42

(3)原式=C/(f)sinm=|-sin'(f)L=o=-cos|,=o=-l

J-oo

1-7求下列積分：(1)；(2)

⑶￡e2,o

解：⑴原式二

(2)原式=e~j3njC+3)dt=e-j3BJx0=0

Jo

⑶原式=「jT)力=e-2/x1=e-“

1-8試求圖題1-8中各信號一階導(dǎo)數(shù)的波形，并寫出其函數(shù)表達式，其中。

圖題1-8

解：(a),的波形如圖題1.8(d)所示。

(b),的波形如圖題1.8(e)所示。

(c)//“)=-s嗚仙”)-〃(/一5)]+河)，/3()的波形如圖題1.8(f)所示。

圖題1.8

1-9已知信號的波形如圖題1-9所示，試畫出丫(1;)=￡6+1)1](-1:)的波形。

解：的波形如圖題1.9(b)所示。

圖題1.9

1-10已知信號f(t)的波形如圖題1-L0所示，試畫出信號與信號的波形。

2—.

1-'"：

a

..........——I-:------?

012t

ft?：(1)的波形與的波開所示。

(2)/(6-2/)的波形與J八膽感股次形7T加劃圖題1.10(d),(e)所

dt

示。且—[/(6-2r)]=8(t-2)+8(t-2.5)-28(t-3)

dt

也(2-。

1：

01\

(a)(b)d..

f小6⑸

A/(6-2r)

工—■'I

■?

??

■?

■?

1-L：

■?

~122.53^

(d)

圖題1.10

1-11已知f(t)是已錄制的聲音磁帶，則下列敘述中錯誤的是(C)。

A.f(-t)是表示將磁帶倒轉(zhuǎn)播放產(chǎn)生的信號

.B.f(2t)表示磁帶以二倍的速度加快播放

.C.f(2l)表示磁帶放音速度降低一半播放

.D.2f⑴表示將磁帶音量放大一倍播放

1-12試判斷下列各方程所描述的系統(tǒng)是否為線性的、時不變的、因果的系統(tǒng)。

式中f(t)為激勵,y(t)為響應(yīng)。

⑴刈=4■/⑺(2)y(t)=f(t)U(t)

at

⑶y⑴=sin[f(l)]U(t)(4)y(t)=f(l-t)

(5)y(t)=f(2t)(6)y(t)=[f(t)]2

(7)y")⑻y(t)=^f(T)dT

解：(1)線性，時不變，因果系統(tǒng)。

(2)線性，時變，因果系統(tǒng)。因為當激勵為時，其響應(yīng)；當激勵為時，其

響應(yīng)為，但是，所以系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。

(3)非線性，時變，因果系統(tǒng)。

(4)線性，時變，非因果系統(tǒng)。因為當時有，即系統(tǒng)當前時刻的響應(yīng)決定于

未來時刻的激勵，故為非因果系統(tǒng)。

(5)線性，時變，非因果系統(tǒng)。

(6)非線性，時不變，因果系統(tǒng)。因為當激勵為時，響應(yīng)為；當激勵為時,

響應(yīng)為，但，故咳系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。

(7)線性，時不變，因果系統(tǒng)。

(8)線性，時變，非因果系統(tǒng)。

1-13已知系統(tǒng)的激勵f(t)與響應(yīng)y(t)的關(guān)系為)，")=/1/⑺，血■，則該系統(tǒng)

J-CO

為(A)。

A線性時不變系統(tǒng)B線性時變系統(tǒng)

C非線性時不變系統(tǒng)D非線性時變系統(tǒng)

1-14圖題—14(a)所示系統(tǒng)為線性時不變系統(tǒng)，已知當激勵fl(t)=U(t)時，其

響應(yīng)為yl(t)=U(t)-2U(t-l)+U(t-2)o

若激勵為f2(t)=U(t)-U(t-2),求圖題1T4⑹所示系統(tǒng)的響應(yīng)y2(t)°

工(r)---->s->>,!(/)f(r)-----?S---?S---->>2(0

(a)(b)

圖1-14

解：

2[u(t-3)-2w(/-4)+u(t-5)]-[u(t-4)-2w(/-5)+u(t-6)=

〃Q)—4z/(Z-1)+-2)-5u(t-4)+4M(/-5)-u(t-6)

為。)的波形如圖題1.14(c)所示.

f】①---->S]------>Yl(t)fj(t)-------HSI>「S|------>丫2。)

yz(t)

1-15圖題1-15(a)所示為線性時不變系統(tǒng)，已知hl(t)=66)-66-1),

h2(t)=6(t-2)-8(t-3)o

(1)求響應(yīng)h(t)；

(2)求當f(t)=U(t)時的響應(yīng)y(t)(見圖題—15(b))0

Z)---?咐/(0---*>

圖1-15

(1)h(t)=/?,⑺-11s=5(-^(t-l)-S(t-2)+3(t-3)

2。

(2)因，故根據(jù)現(xiàn)行系統(tǒng)的積分性有

y(r)=J/?(r)Jr=j[^(r)-6y(r-l)-^(r-2)+<y(r-3)J^r

="⑺-?(/-1)-u(t-2)+u(t-3)

1-16己知系統(tǒng)激勵f(t)的波形如圖題176(a)所示，所產(chǎn)生的響應(yīng)y(t)的波形

如圖題「16(b)所示。試求激勵fl(t)(波形如圖題b16(c)所示)所產(chǎn)生的響應(yīng)

yl(t)的波形。

(b)

圖1-16

解：用表示即

故￡(/)在同一系統(tǒng)中所產(chǎn)生的響應(yīng)為

y,(r)=y(r+l)-y(r-l)

故)，a+l),)，("l),y(/)的波形分別如圖題1.16(d),(e),(f)所示。

里)八

1■

1>

012-1012

(b)

R+1小

-1)h23：

9)

yi(t)

-2-1o2

圖1-16

第二章習題答案

2-1.圖題2-1所示電路，求響應(yīng)u2(t)對激勵f(t)的轉(zhuǎn)移算子H(p)及微分方程。

解：其對應(yīng)的算子電路模型如圖題2.1(b)所示，故對節(jié)點①，②可列出算子形式的KCL方程

為:

(\1

—%⑺-一％")=/(，)

(3p)p

1f11),、八

——%(1z)+—+-+/?〃，⑺=0

P1〃1廠

即

[，+5")_的⑺=川⑺

_〃]⑺+(〃2+p+l)w2(r)=0

聯(lián)解得

故得轉(zhuǎn)移算子為

U2⑴對f(t)的微分方程為

(P?十4〃十4}c(7)=3/(r)

即

方式…》(…〃*=3/⑺

2-12圖題2-12所示電路，以uC(t)為響應(yīng)，求電路的單位沖激響應(yīng)h(l)和單位

階躍響應(yīng)g(t)O

L

「丫丫、

卯

++

c>IF：也

圖2-12

解電路的微分方程為

-^-7we4-3-we+2u(.=2/(/)

drdt

寫成算子形式為

(〃一3〃I2)%(，)=2/(r)

（1）當時，有。故得單位沖擊

響應(yīng)為

22

,Z(/)=77^W)=刈，）=

(p+Up+2)

2-2

R)=k")=

l2t

2e--2e-=2("'—小’山⑺v

⑵當f(t)=U(t)V時,有uc(t)=g(t)。故得

g(f)=fh(T)dr=[2(eT-e2t)U(T)CIT

J-ooJ-oo

2』：（二一"2加一（_26、,2+］）+〃⑺v

2-14求下列卷積積分

(1)t[U(t)-U(t-2)]*6(1-t);(2)[(l-3t)

原式/[u。)—U("2)]*M—D=

解⑴

(r-l)[^(r-l)-i/(r-3)]

(2)原式二8⑺*e-3,U(t)-36⑺*e-3,U(t)=

e-3,U(t)\-3卜⑺[-加)卜e-3lU(t)=

-3e-3'u。)+SQ)+3e-3lU(t)=b(f)

2-15已知信號fl⑴和f2(t)的波形如圖題2-15(a),(b)所示。求y⑴=fl⑴*f2⑴，并畫出y(t)的波

形。

解：解(a)

工(/)=1+U("1)人⑺=""+1)

故x(r)=工⑺*力。)=

[1+〃(-1)]*6一(*7/“+1)=

J%-(r+,>(7(r+IMr+J：U(f一T—l)e?+DU(r+\)dr=

J：4％+]■”-%丁

1,/<o,

1+(1-/)4?)=?

2-/，r>()

y1(t)的波形如圖。275(c)所示

(b)￡Q)=sinfUQ)/(f)=UQ-l)

故

力⑺=/i⑺*&⑺=sintU(t)*U"l)=

fsinTU(T)U(t-T-\)dr=

Jy

sinrdr(/(r-l)=[l-cos(r-l)]t/(r-l)

y?(t)的波形如圖。2-15(d)所示。

01

圖2-15

2-19.已知系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)=e-tU(t),激勵f(t)=U(t)。

(1).求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)。

(2).如圖題2T2(a),(b)所示系統(tǒng),求響應(yīng)yl⑴和y2(t)。

(3).說明圖題2-12(a).(b)哪個是因果系統(tǒng)，哪個是非因果系統(tǒng)。

解(1)=

⑵,⑺=/?)*[%⑺-似川二

U(t)*h(-t)=UQ)*e'U(-t)=Ie''<。

1,r>0

y2a)=/⑺*[%⑺+似川=

U(/)*?—[//(Z)+/?(-/)]4--[/?(/)-//(-/)]?=

u⑴*h(i)=Q—eT)UQ)

(3)因f(t)=U(t)為因果激勵，但yl(t)為非因果信號,y2(t)為因果信號,故

圖題2.12(a)為非因果系統(tǒng)，圖題2.12(b)為因果系統(tǒng)。

2-21.己知系統(tǒng)的微分方程為〃⑺+3()+2)，(/)=/0)。

(1).求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)；

(2).若激勵,求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y⑴。

解(1)其算子形式的微分方程為

儲+3p+2)y(f)=/(f)

世)

故得

當時，則有。故上式變?yōu)?/p>

11-1

//(/)=-----^)=(-7+--)^(0=

(〃+1)(〃+2)p+1〃+2

1

3。)---------W=(e-/-e-2/)t/(r)

THP+2

(2)零狀態(tài)響應(yīng)為

y(t)=/?(/)*f(t)=(?T-*)U(f)*e-'U(t)=

(-e-lt+e~2t+te-,)U(t)

第三章習題答案

3.2求圖題3.2(a)所示周期鋸齒波/⑺的傅里葉級數(shù)。

解：將求導(dǎo)得，的波形分別如圖3.2(b),(c)所示。

圖題3.2

于是得尸'⑺的傅立葉系數(shù)為

、2（力7。）.后r（V力=孤—口由=

卜（/）+3dt-ftb⑺力=

//-Q1一萬

02jnQ=20Q

故得了⑺的傅立葉系數(shù)為

?20。

：二4（.師）二斤二一2二-2=-1

（力XI）:（j//Q）2jnCLTj〃27rjnTV（〃w0）

4。=玄/“)力=副厚=1

于是得了⑺傅立葉級數(shù)為

11

2-2-

乙n="<x>乙乙/i="co

〃工0

7i

3.3求圖題3.3(a)所示信號/⑺的傅里葉級數(shù)。

人于⑴

/―/;

-T-T/2~0772~T

圖題3.3(a)

解：口，□的波形如圖3.3(b),(c)所示。于是得□的傅立葉系數(shù)為:

(b)

圖題3.3

Tn=y7p

A2(jn^)=^\f\t)e-jnQjdt」-RV⑺-樂二)-6"。e-^dt

115-彳112Z

=3Y(-1)”-^^(T)

72丁2、，7、/

故得了⑺的傅立葉系數(shù)為

〃w0

(>Q)2

又

.2pr,221

故得了⑺的傅立葉級數(shù)為

A1x?

乙乙〃=Y

H*0

3.12求圖題3.12所示信號/(0的F(?。

A

~T0

-4

圖題3.6

解:

(0TiO>jM

FEV(jc.o)、=AArSCa(t——)\el2-AArSCa(——)e~2-=A4KrSa"(——I：)e

222

2

sin()C0Tsm(—)

乙..\c),COT、

2yAr-^-s,n(T)=2yArT=jcoAr-Sa~(—)

COT

TT

故

\F(jco)\=Ar2coSa2(^-)

3.13求圖題3T3所示信號/⑺的頻譜函數(shù)尸。⑺。

解：方法一用時域積分性質(zhì)求解。因有

故

/W（9）=s釁）

又因有

/⑺=L/=LC,（加丁

故得

G/xSa（色）

F（j①）=（）⑼3（⑼+―——二誠（⑼+-----—

j①j①

方法二用卷積性質(zhì)求解。因有

/O）=G《）*U。）

故得

S畔）

1

F{ja））=Sa（二）x而（⑼+=涵（69）+-

j①_j①

3.14求圖題3-14所示信號/⑺的口/⑺。

八/⑴

__________1___________

-3L-2-10h1,231

圖題3.8

解：方法一因

/(r)=G2(r+2)+G2(r-2),

又有

G，⑴

取

Ci)T

——=0)

2

故得

T=2

故

G2(Z)<=>2Sa{co)

G2(f+2)o2S4(。)/。

G?”-2)。2s4(。)"反

故得

F(j3)=2Sa(co)e，2"+2Sa(co)e~i2o>=4cos2刃?

方法二因有

f⑴=G2(t)*+2)+G⑺*5。-2)

故

F(j⑼=2Sa(0)e'+2Sa(co)e-j2M=4cos2G?Sa(⑼

3.15設(shè)。試證：

(1)戶(0)=:fU)dl；(2)/(0)=/J：F(j3?3

解：(1)因有

F(%)=「C"”力

取,則得

F(0)=[j⑺力

(2)因有

取,則得

1r8

/(0)=—fF(jco)dco

24J-

3.16已知，求下列信號的傅里葉變換。

⑴V⑵)(2)

(3)(/-2)/(-2/)⑷耳

dt

⑸/(1-0(6)(1-/)/(l-z)

⑺/(2r-5)(8)tU(t)

解:(1)因有

又有

\"「1廠/"、11L/?①、

_j〃(2/)o-----F(j—)=—F(j—)

dco2222

故

2乙

(2)(r-2)/(0=tf(t)-2/(0?jF'(ja))-2F(ja))

⑶"2)…2…fWog/尸(-博co)-2X1F(-J|)

2

故

(r-2)/(-2/)oj；F(-jy)-F(-jy)

(4)因有

一用.一⑴、o十dF(j①)

則有

7t號°幺j①F(jg

故

/誓=—[戶(JM+F"⑼]

(5)/(l-0=/[-(r-l)]

因有

/(Dob(%)L

故有

/(l-r)=/[-(r-l)]oF(—j3)ei"

(6)=

oF(-j①WF(一聞e，］=-jFX-jco)e-im

5]1co-j-a

(7)/(2/-5)=/2(/--)<=>-F(y-)e2

⑻=忿（3）+」=碎（⑼1

da>j（oar

3.17求圖題3.11（a）所示信號/（力的⑺。

八/⑴

E

圖題3.11(a)

,的波形如圖題3.11（b）,（c）所示。

A/W

（EQ）1木（取

(b)

圖題3.11

故啟

/(/)=-Q2/(/)+EQS(f)-S(，一()

故有

(ja))2F(j(o)=-Q2F(jty)+EQ1+e

故得

EC-j工3

2

"（加）=示』叱）

3.18求圖題3T8所示信號/⑺的2/⑼。

f(t)

01

圖題3.12(a)

將/⑺分解為，⑺與人⑺的疊加。即

/(，)=/⑺+6⑺

如圖題3.12(b),(c)所示；的波形如圖題3.12(d)所示，故得

I(I)-j—(t)

F(jM=K(/。)+F(j(D)=3而(⑷+—Sa(—)e2

2jco2

A加)工⑴

o0

(a)(b)

八

Af2(t)A")

0.5-y-------

0

(d)

圖題3.12

3.19求下列各時間函數(shù)的傅里葉變換。

⑴?、?⑶〃

解：（1）方法一由于為奇函數(shù)，故

1sin。/.

--------dt=4

Jot

故

69>0

j兀69<0

又得

1~\[-j\69>0

--V

7tt\j\(O<0

即

I7-="jsgn(ry)

7Tt

方法二利用傅立葉變換的對稱性求解。因已知有，故有

77jsgn(O<->—

2CD

故

cl.,、1

2%”sgn(Ty)o；

故得

1?/

—<=>-jsgn(<y)、

7Tt

因

-4=(-),

7lt~7lt

故

1他69>0..

卜="。[一，sgn@)]=<ysgn(<y)=?@<。=網(wǎng)

_他

（3）因有

——。b(⑼

24

根據(jù)頻域微分性質(zhì)有

故得

tno2礦川")(")

3.20已知圖題3-20(a)所示信號的頻譜函數(shù)，和均為的實函數(shù)。試求

的頻譜函數(shù)。，其波形如圖題3.14(b)所示。

解：X(Z)=/o。+1)COSitFor+/0(r-1)COSG7oz

今

f(t)<=>F(j①)=a(①)-jb(①)

故

f(-f)o尸(一JG)=〃(一。)-jh(-eo)=4(3)+jb(co)

/.(/)=用(%)=6。)+F(-jM=2a(O)

JO>J(a

f()(t+l)+f()(t-1)<=>2a((o)e+2a(o))e~=4。(⑼cos<y

故得

X(j(o)=-{4a(G)cos&*2乃[5(0+牡))+-g)]}

2%

3.21己知尸(./⑺的模頻譜與相頻譜分別為

|.(網(wǎng)=2[U3+3)-U@-3)]

/、3

(P(CD)=——(0+71

求尸(/?)的原函數(shù)/⑺即/Q)=0時的)值。

解:

r

產(chǎn)(於)=|/(加料初⑼=2［。3+3)-。(3-3)〉'清e-"=-2G6(tyk

因有

G「⑺<->雙

故

「r.6c(6八

Ge(⑼c丁5a—-Sa(3t)

2乃I2J7i

故

-2G6(⑼6—最〃(3/)

71

故

——3

2一6為3一」

-2G6(^)e

兀2J

故得

3.22求下列各頻譜函數(shù)所對應(yīng)的時間函數(shù)了⑺。

(1)〃⑵二

(0~

(3)2)(4)2cos0

5

(5)泮U(-M(6)6^>(69)+

(加一2)(於+3)

解(1)。2=—"?)2X1O—3⑺

故

（2）因有

2

、1I11jco

F(7<y)=^=->e>=-ie>

故根據(jù)時域積分性得

1t11

N)=--csgn(r)Jr=--rsgn(r)=--

2J-0°22

（3）因有

1<=>2而3)

則有

—<=>5(0)

2TT

故有

—ei2t。3(。一2)

2萬

得

/⑺=—一

2萬

（4）因有

COS”O(jiān)乃[演卬-1)+5(卬+1)]

則有

—cosl/03(69-1)+3(0+1)

7T

故

2^-x—cos6><=>d>(r-1)+^(/+1)

7t

即

2cos6y<=>/(/)=-1)4-<y(r+1)

(5)的圖形如圖題3.16所示,

故得

/(0=—「F{jco)eiMdco=—「"Re加do=——!——,-oo</<

2笈人824(〃+力)

(6)由于

51-]

F(jco)=6而(co)+-----------------------=6/(⑼+------+------

(加-2)(加+3)j①一2%+3

故

f(t)=3-e2lU(-t)-e-2,U(t)

3.23的圖形如圖題3-23(a),(b)所示，求反變換o

解：方法一用基本定義式求解。因已知有

F(j^=\F(ja^eJ^=4，，咽，一。0v0V為

故有

i(,xi<0{,

/(r)=—r\e^ed(o=—Pe-^da)=Sa[c^(/-1())]

2兀J-㈣7i

f⑴的波形如圖題3-23(c)所示。

方法二利用傅立口I變換的對稱性求解。囚己知有

F（ja））=AG%（aW

又因有

。⑺。3畔)

取7=2%,有

G2%（，）=2gs〃（一—）=2gs〃（29⑷

（0）o2gSa（g。

G2為3）o號Sc”4。

AG?（◎）=——Sa（（vQt）

71

A〃）

AG物⑼io^S*（-。）］

故得

A〃）

/（，）=DS〃[g（f）]

3.24用傅立葉變換法求圖題3-24(a)所示周期信號/⑺的傅立葉級數(shù)。

從中截取一個周期信號，如圖題3-24(b)所示。這樣，就可理解為是的周期延

拓。于是得為

22T.T

圖形如圖題3.18(d)所示，故有

.T

(四)/(%)=＞永\

一J（oe-

于是得

日「、2(一吟.亭一3

卜"J

故周期信號/⑺的傅立葉系數(shù)為

4-9居(加)

22(一力嗎[jnQT-初2乃

=--------7e~一[+—--e---Q=——

T212）_L

=FM(-1)〃-1+勿乃

n~7r~

H0

，廣萬~nTT

\=-[f(t)dt=-^-tdt=-82〃1

}1"—tdt=一

p丁Jo八7Jo丁TJoT2

故得了⑺的傅立葉級數(shù)為

%)=今+；￡2

八啟〃

(2/7)

八A

Ar

0T/2

(b)

(d)

圖題3.18

3.25已知信號/⑺的薄立葉變換為

1,2<|(w|<4

產(chǎn)(%)=6(0)+?

0,其它

求"⑺]2的傅立葉變換y（/。）。

解:

/（,七）的圖形如圖題（a）所示。

木下（加）

八（1）

>69

-4-3-2-101234

(a)

又設(shè)《C/方）的圖形如圖題（b）所示。

八耳（./⑼

1

2~~~^2~101234

(b)

則有

y(.詞=Hr(”=F(j①)*F(?=

1

=-

^以⑼+Fl(J69)]*6(e)+F](/⑼]

1

-

=^6㈤+2G(法)+片(於)*G(四)]

而人]()仍)*的圖形如圖題(C)所示

故得y（js）的圖形如圖題（d）所示。

3.26應(yīng)用信號的能量公式

w=「尸"勸=

求下列各積分。

(1)f\t)=^_Sa\at)dt

(2)f(t)=[ja4(at)dt

⑶f(t)=[,1,.dt

j(a+t)

解：（1）因有

網(wǎng)

Sa(at)<=>F(jco)=.

0,網(wǎng)<a

故得

\Sa\at)dt=^[(―)da)=-

j-82乃jaa

(2)利用傅立葉變換的對稱性可得

7i|6y|?.

五)，囪<2〃

Sa(at)=F(j<w)=<

0/同<2a

故

7t4a2〃

Sa")八？L($("拿如+廣0