基本公式要掌握

首先必須會(huì)計(jì)算古典型概率，這個(gè)用高中數(shù)學(xué)得知識(shí)就可解決,如果在

解古典概率方面有些薄弱，就應(yīng)該系統(tǒng)地把高中教學(xué)中得概率知識(shí)復(fù)習(xí)一遍了，而

且要將每類型得概率求解問題都做會(huì)了，雖然不一定會(huì)考到，但也要預(yù)防

萬一，而且為后面得復(fù)習(xí)做準(zhǔn)備。

第一章內(nèi)容:隨機(jī)事件和概率，也就就是后面內(nèi)容得基礎(chǔ)，基本得概念、關(guān)系一

定要分辨清楚u條件概率、全概率公式和貝葉斯公式就就是重點(diǎn)，計(jì)算概率得除

了上面提到得古典型概率，還有伯努利概型和幾何概型也就就是要重點(diǎn)掌握得。

第二章就就是隨機(jī)變量及其分布，隨機(jī)變量及其分布函數(shù)得概念、性質(zhì)要理

解，常見得離散型隨機(jī)變量及其概率分布：0」分布、二項(xiàng)分布B(n,p)、幾何分布、

超幾何分布、泊松分布連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度得概念:均勻分布

U(a,b)、正態(tài)分布NQQ2)、指數(shù)分布等，以上她們得性質(zhì)特點(diǎn)要記清楚并能熟練

應(yīng)用,考題中常會(huì)有涉及。

第三章多維隨機(jī)變量及其分布，主要就就是二維得。大綱中規(guī)定得考試內(nèi)容

有:二維離散型隨機(jī)變量得概率分布、邊緣分布和條件分布，二維連續(xù)型隨機(jī)變量

得概率密度、邊緣概率密度和條件密度，隨機(jī)變量得獨(dú)立性和不相關(guān)性，常用二維

隨機(jī)變量得分布，兩個(gè)及兩個(gè)以上隨機(jī)變量簡(jiǎn)單函數(shù)得分布。

第四章隨機(jī)變量得數(shù)字特征，這部分內(nèi)容掌握起來不難，主要就就是記憶一些

相關(guān)公式,以及常見分右得數(shù)字特征。大數(shù)定律和中心極限定理這部分也就就是

在理解得基礎(chǔ)上以記憶為主，再配合做相關(guān)得練習(xí)題就可輕松搞定。

數(shù)理統(tǒng)計(jì)這部分得考查難度也不大，首先基本概念都了解清楚。浮分布、【

分布和F分布得概念及性質(zhì)要熟悉,考題中常會(huì)有涉及。參數(shù)估計(jì)得矩估計(jì)法和

最大似然估計(jì)法，險(xiǎn)證估計(jì)量得無偏性、有效性就就是要重點(diǎn)掌握得。單個(gè)及兩

個(gè)正態(tài)總體得均值和方差得區(qū)間估計(jì)就就是考點(diǎn)。

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》

第一章隨機(jī)事件及其概率

§1、1隨機(jī)事件

一、給出事件描述，要求用運(yùn)算關(guān)系符表示事件:

二、給出事件運(yùn)算關(guān)系符，要求判斷其正確性：

§1、2概率

A所含樣本點(diǎn)數(shù)

古典概型公式:P(A)二

C所含樣本點(diǎn)數(shù)

實(shí)用中經(jīng)常采用‘排列組合”得方法計(jì)算

補(bǔ)例1：將n個(gè)球隨機(jī)地放至4n個(gè)盒中去，問每個(gè)盒子恰有1個(gè)球得概率就就是

多少?解:設(shè)A:“每個(gè)盒子恰有1個(gè)球”。求:P(A)二？

。所含樣本點(diǎn)數(shù):〃?〃?????〃=〃

人所含樣本點(diǎn)數(shù)：〃?5—1)?5—2)?...?1=〃!

加

??.P(A)=—

nn

補(bǔ)例2:將3封信隨機(jī)地放入4個(gè)信箱中，問信箱中信得封數(shù)得最大數(shù)分別為

1、2、3得概率各就就是多少?

解:設(shè)Ai:“信箱中信得最大封數(shù)為i"o(i=1,2,3)求:P(Aj尸?

Q所含樣本點(diǎn)數(shù)：4?4?4=4,=64

A1所含樣本點(diǎn)數(shù)：4?3?2=24

243

p(A,)=—=-

1648

A2所含樣本點(diǎn)數(shù)：C；,4?3=36

9

6416

A3所含樣本點(diǎn)數(shù):C；?4=4

41

尸(4)=6=記

注:由概率定義得出得幾個(gè)性質(zhì):

1、O<P(A)<1

2、P(Q)=1,P((p)=0

§1、3概率得加法法則

定理:設(shè)A、B就就是互不相容事件(AB=?),則：

P(AUB)=P(A)+P(B)

推論1:設(shè)A]、兒、…、A?；ゲ幌嗳?，則

P(A1+A2+、、、+An)=P(A])+P(A。+-?+P(An)

推論2:設(shè)A]、A2、…、An構(gòu)成完備事件組，則

P(A[+A2+、、、+An)=1

推論3:P(A尸1-P(A).

推論4:若Bz>A,則P(B-A)=P(B)-P(A)

推論5(廣義加法公式)：

對(duì)任意兩個(gè)事件A與B,有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

補(bǔ)充——對(duì)偶律：

A。4。…。A=AcA2c…cAn

AcA2c…=A5??DA〃

§1、4條件概率與乘法法則

條件概率公式:

P(A/B產(chǎn)今翳(P(B)WO)

P(AB)

P(B/A)=T(A)KO)

P(A)

.\P(AB)=P(A/B)P(B)=P(B/A)P(A)

有時(shí)須與P(A+B)=P(A)+P(B)—P(AB)中得P(AB)聯(lián)系解題。

全概率與逆概率公式:

全概率公式：

P(B)=^P(A)P(B/A)

i=l

逆概率公式：

P(A,/B)=P(AIB)(-12n)

P(B)V=1,乙,?.?,〃1

(注意全概率公式和逆概率公式得題型:將試驗(yàn)可看成分為兩步做，如果要求

第二步某事件得概率，就用全概率公式;如果求在第二步某事件發(fā)生條件下第一步

某事件得概率，就用逆概率公式。)

§1、5獨(dú)立試臉概型

事件得獨(dú)立性:

A與3相互獨(dú)立=P(AB)=P(A)P(B)貝努里公式⑴重貝努里

菌險(xiǎn)新季機(jī)算公期.課本P24

另兩個(gè)解題中常用得結(jié)論

1、定理:有四對(duì)事件:A與B、A與B、A與B、A與5,如果其中有一對(duì)

相互獨(dú)立，則其余三對(duì)也相互獨(dú)立。

2、公式:P（AD…cM〃）=l一尸（A]4）

第二章隨機(jī)變量及其分布

一、關(guān)于離散型隨機(jī)變量得分布問題

1、求分布列乂1）確定各種事件，記為寫成一行；

⑵計(jì)算各種事件概率，記為Pk寫成第二行。得到得表即為所求得分布列。注

意:應(yīng)符合性質(zhì)—

1、PAN°（非負(fù)性）2、ZPA=1（可加性和規(guī)范性）

k

補(bǔ)例1:將一顆骰子連擲2次，以表示兩次所得結(jié)果之和,試寫出得概率

分布。解:Q所含樣本點(diǎn)數(shù):6X6=36

所求分布列為:

423456789101112

1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36

Pk

解：。所含樣本點(diǎn)數(shù)=1（）

所求分布列為：2、

345

Pk1/103/106/10

分布函數(shù)

F(x)=P[^<x}=ZPA

x/x

二、關(guān)于連續(xù)型隨機(jī)變量得分布問題：

Vx€R,如果隨機(jī)變量得分布函數(shù)F(x)可寫成F(x)=[/。(幻心，則

為連續(xù)型。/(X)稱概率密度函數(shù)。

解題中應(yīng)該知道得幾個(gè)關(guān)系式：

P+8

^(x)>0J(x)dx=l

rb

P[a<^<b}=P{a<^<b}=F(Z?)-F(a)=[Mx)dx

Ja

第三章隨機(jī)變量數(shù)字特征

一、求離散型隨機(jī)變量得數(shù)學(xué)期望E=?

數(shù)學(xué)期望(均值)

E&=￡xkPk

k

二、設(shè)為隨機(jī)變量，f(X)就就是普通實(shí)函數(shù)，則7]=f()也就就是隨機(jī)變量，

求Er)=?

X1X2…Xk

??

PkPlP2?pk

>1=f()y1y2???Vk

以上計(jì)算只要求這種離散型得。

補(bǔ)例1:設(shè)得概率分布為:

5

-10i2

2

1i33

Pk

5ToTo10io

求日)"=J-1,〃=4?得概率分布;⑵Erj.

解:因?yàn)?/p>

5

-i0i2

2

1i33

Pk

5ioio10io

2

n=--2-101

2

25

n=1014T

所以，所求分布列為:

3

n=--2-101

2

J_1133

Pk

510101010

和:

25

i0i4

n=T

1i33

pk

5ioToToio

當(dāng)口=-1時(shí),Er)=E(-1)

111333

------

52

10101010

=1/4

X-1

當(dāng)『時(shí),=1X-+0X—+1X—+4X—+—

5101010410

=27/8

三、求或T］得方差D=?DT）=?

實(shí)用公式D心E鏟一E24

其中行『二（Z"廳

k

七2二2一血

k

補(bǔ)例2:

-202

pk0、40、30、3

求:E和D解:E&=2X0、4+0X()、3+2X0、3二一0、2

￡^2=(2)2x0、4+(Pxo、3+22x0、3=2、8

DJ=E&2-E%=2、8—(-0、2芹2、76

第四章幾種重要得分布(6個(gè))

常用分布得均值與方茅（解題必備速查表）

參數(shù)

名稱概率分布或密度期望方差

范圍

0-1分布

P&=k]=C\pkq「knP0<P<1

二項(xiàng)分布nP

(k=0,1,2,...,n)qq=1-p

1人〃)2

。幻2a

正態(tài)(—]--e,任意

(J2

分布(—GO,+8).5〃為常數(shù)o>0

泊松

X入入>0

分布

指數(shù)11

AO

分布IJ

均勻

分布

解題中經(jīng)常需要運(yùn)用得E和D得性質(zhì)（同志們解題必備速查表）

E得性質(zhì)D得性質(zhì)

E(c)=cD(c)=0

若J、〃獨(dú)立，則

石(J±")=EJ±Er/

D（4±〃）=D&+S

若一〃獨(dú)立,則

—

E（勿）=

￡（怎）=。?優(yōu)0(喈)=c?D&

第八章參數(shù)估計(jì)

§8.1估計(jì)量得優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn)（以下可作填空或選擇）

A

⑴若總體參數(shù)e得估計(jì)量為0，如果對(duì)任給得6>o,有

人

lim尸{。一。<￡}=1,則稱。就就是e得一致估計(jì)；

八

⑵如果滿足￡（，）=。,則稱a就就是e得無偏估計(jì)；⑶如果仇和%均

人人人A

就就是e得無偏估計(jì)，若0（4）v。（。2）,則稱4就就是比%有效得估計(jì)量。

§8、3區(qū)間估計(jì):

幾個(gè)術(shù)語一

1、設(shè)總體分布含有一位置參數(shù)，若由樣本算得得一個(gè)統(tǒng)計(jì)量….X,；）及

人

4（再,…X“）,對(duì)于給定得a（0<a<1）滿足:

則稱隨機(jī)區(qū)間（。，A）就就是0得100（1"）%得置信區(qū)間,。和。稱為6

得1（）（）（1"）%得置信下、上限,百分?jǐn)?shù)100。Y）％稱為置信度（置信水平）。

一、求總體期望（均值）E得置信區(qū)間

1、總體方差。2已知得類型

①據(jù)a，得①0。）=1段,反查表（課本P260表）得臨界值4;

1n__

②X二二Z'i③求d=UJ爺④置信區(qū)間（X-d,X+d）

〃/=i7n

補(bǔ)簡(jiǎn)例:設(shè)總體X?N（//,0.09）隨機(jī)取4個(gè)樣本其觀測(cè)值為12、6,13、

4,12、8,13、2,求總體均值R得95%得置信區(qū)間。

解:①.「l-a=0、95,a=0>05

.?.(D(UJ=W=()、975,反查表得:U,、96

②又［lx=；(12.6+13.4+12.8+13.2)=13

4/=1

r.。i―0.3

③,「o=0、3,n=429

.,.d=Ua0、

④所以，總體均值R得a=0、05得置信區(qū)間為：

（X-d,x+d）=（l3-0、29,13+0、29）即（12、71,13、29）

2、總體方差b-未知得類型（這種類型十分重要!務(wù)必掌握!!）

①據(jù)。和自由度n-l（n為樣本容量），查表（課本P262表）得%5-1）;

②確定旌_L二個(gè)乙七和/=一1〃-尸

③求④置信區(qū)間（X-d,x+d）

yin

注:無特別聲明，一般可保留小數(shù)點(diǎn)后兩位，下同。

7

二、求總體方差得置信區(qū)間

①據(jù)a和自由度n—1（n為樣本數(shù)），查表得臨界值:

4（〃T）和心（〃-1）

]〃

X2

②確定X二~2^ii和S

〃i=l

(H-l)52(n-l)52

③上限/,

下限卷〃T)

1----

2

④置信區(qū)間（下限，上限）

典型例題:

補(bǔ)例1:課本P166之16已知某種木材橫紋抗壓力得實(shí)驗(yàn)值服從正態(tài)分布,

對(duì)10個(gè)試件作橫紋抗壓力試驗(yàn)得數(shù)據(jù)如下（單位:kg/cm2）:

482493457471510

446435418394469

試對(duì)該木材橫紋抗壓力得方差進(jìn)行區(qū)間估計(jì)（x=0.04）o

解:①...30、04,又n=l0,自由度n—1=9

「?查表得,％；（〃-1）=/。2（9）二19、7

2

心⑼=2、53

2

_1101

②X二—2^二一（482+493+...+469）=457、5

10/=）10

110_1

52=-Z（X—Xj）2二一［（457.5—482）2+（457.5—493/+…+（457.5—469尸］

9/=19

二1240、28

9s29x1240.28

③上限Zjg（〃_1）=Zo.98（9）=―2^53-=4412、06

~2

（"1）19s29x1240,28

下限］；（〃一l）二Y；02（9）=-197~=566、63

2

④所以，所求該批木材橫紋抗壓力得方差得置信區(qū)間為（566、63,4412、06）

第九章假設(shè)檢驗(yàn)

必須熟練掌握一個(gè)正態(tài)總體假設(shè)檢驗(yàn)得執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)

一般思路：

1、提出待檢假設(shè)Ho

2、選擇統(tǒng)計(jì)量

3、據(jù)檢驗(yàn)水平確定臨界值

4、計(jì)算統(tǒng)計(jì)量得值

5、作出判斷

檢驗(yàn)類型⑵:未知方差檢驗(yàn)總體期望（均值加

①根據(jù)題設(shè)條件，提出Ho：〃o（〃o已知）；

②選擇統(tǒng)計(jì)量|7|二；力，?

③據(jù)a和自由度n—l（n為樣本容量），查表（課本P262表）得J（〃-D;④由樣本

值算出又=?和s=?從而得到外|=X-

s/4n

⑤作出判斷

若以＜%5-1）,則接受以

若閶則拒絕”

典型例題:

對(duì)一批新得某種液體得存貯罐進(jìn)行耐裂試驗(yàn)，抽查5個(gè),得到爆破壓力得數(shù)據(jù)

（公斤/寸2）^:545,545,530,550,545。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)爆破壓認(rèn)為就就是服從正態(tài)分

布得,而過去該種液體存貯罐得平均爆破壓力為549公斤/寸2，問這種新博得

爆破壓與過去有無顯著差異?（a=0、05）

解:Ho：〃=549

選擇統(tǒng)計(jì)量/|=卜-D

05/-1=4,「.查表得:，0,05(4)=2、776

_1

又X=-(545+...+545)=543

S2=-[(545-545)2+...+(543-545f]=57、5

4

X-N