習(xí)題三

1.將一-硬幣拋擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與

出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值.試寫出x和y的聯(lián)合分布律.

【解】x和丫的聯(lián)合分布律如表：

X0123

106111_3,1110

■—x-x——C\--x-=3/8

2228-2X22

31001111

—X—x—=—

82228

2.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只

數(shù)，以y表示取到紅球的只數(shù).求X和丫的聯(lián)合分布律.

【解】x和y的聯(lián)合分布津如表:

X0123

000

c；?3CC_2

C；一35C7-35

10

C；?C；?C：612=2

C；-35C；~35-35

2no黑,2紅,2白片0

C；.CSC'6c；?c；=3

C；?C；/C；」

c；35C；~35

35

3.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為

一、sinxsiny,()<x<—,()<y<-

F(x,y)=<八2"2

.0,其他.

求二維隨機(jī)變量(X,丫)在長方形域三:<)七以內(nèi)的概率.

463J

【解】如圖尸｛0<XW二四<丫工」公式(3.2)

463

-7T兀、兀兀、-y7C._-7C.

zF(-,-)-Fz(/0,-)+F(z/0v,-)

434636

.It.Tl.兀.兀.八.兀.八.兀

=sin—?sin—sin—?sin——sinO?sin—+sinO?sin—

434636

4

題3圖

說明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。

4.設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的分布密度

用心+4?x>0,y>0,

/(x,y)=〈

0,其他.

求：（1〉常數(shù)4

（2）隨機(jī)變量（X,X）的分布函數(shù)：

（3）P{0<X<h0<r<2}.

【解】⑴由to，）'）峭*T^e…）財(cái)二合1

得A=\2

（2）由定義，有

F(x，)')=「「/(〃/)d〃di，

JYJ-<X)

，J；12e-(3w+4v)dwdv_f(l-e-3x)(1-e-4')y>0,x>0,

()°0,其他

(3)P{0<X<l,0<y<2}

=?{o<x<i,o<y<2}

=J；02e'(3v+4ndrdy=(l-e-3)(l-e-8)?0.9499.

5.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

k(6-x-y),0<x<2,2<y<4,

0其他.

（1）確定常數(shù)k；

（2）求P{XV1,F<3}；

（3）求尸（Xvl.5}；

（4）求尸{X+Y*}.

【解】（1）由性質(zhì)有

2

匚匚/(X,y)dxdy=J：J；&(6-X-y)dydx=8&=1,

故R=-

8

(2)P{X<l,r<3)=ff'f(x,y)dydx

J-OCJ-<0

二1J；*(677)山山=]

⑶P[X<1.5)=jj于(x、)，)d.dy如圖a|j于(x,yXhdy

x<15

=『呵

(4)P{X+y<4)=jjf(x,)，)drdy如圖bIf(x,y)dxdy

v+r<4D2

=IM:"(6_x_)')dy二g.

(b)

題5圖

6.設(shè)X和y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（0,0.2）上服從均勻分布，丫的密度函數(shù)為

5e-5\)，>0,

fy3

0,其他.

求：（1）X與y的聯(lián)合分布密度；（2）P[Y<X].

題6圖

【解】（1）因X在（0,0.2）上服從均勻分布，所以X的密度函數(shù)為

0<x<0.2,

AW=,0.2

0,其他.

而

3

5e『y>0,

()

fYy='0,其他.

f(x,y)X^v.fx(x).fY(y)

—x5e-5vf25e-5\0<x<0.2,Sy>0,

=50.2=5“小

00,其彳也

⑵P(Y<X)=J|f(x,y)dvd)如圖jj25e"dxdy

f0.2rxvr0.2.

=￡dA-￡25e<vdy=￡(-5e-5A+5)C1A-

=e'*0.3679.

7.設(shè)二維隨機(jī)變量（x,r）的聯(lián)合分布函數(shù)為

一、］（l-e5）（l-e%）,x〉0,y〉0,

其他.

求（X,Y）的聯(lián)合分布密度.

r、d2F(x,y)8e—,x>(),>>(),

【rt解ez】l/U(,y)=—TT;—

0,其他.

8.設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為

4.8y(2-x),0<x<1,0<y<x,

f(A,y)，

0,其他.

求邊緣概率密度.

【解】fx(x)=J：/*,y)dy

[X4.8y(2-x)dy[2.4x2(2-x),0<x<1,

=<Jo=<

其他.

/(乂yidA-

J-x>

「4.8y(2-x)ck2.4y(3—4y+)/),0<y<1,

Jy=,

其他.

4

y.y.

題8圖題9圖

9.設(shè)二維隨機(jī)變量（X,X）的概率密度為

ey0<x<y,

f(My)=<

0,其他

求邊緣概率密度.

【解】/x（x）=J：'/（x，y）dy

二產(chǎn)er,x>0,

0,其他

4(y)=「"",)’)心

J—00

Jo。"界-r,y>0,

0,0,其他.

題10圖

10.設(shè)二維隨機(jī)變量（X,r）的概率密度為

22

exy,x<y<1,

/(X，y)=?

0,其他

(1)試確定常數(shù)c；

(2)求邊緣概率密度.

【解】（1）JJ,/(R,y)dAdy如圖JJ/(x,)，)drdy

"D

1

=j'drj,cr2ydy=Ac=]

21

得c=一

4

(2)fx(x)=/(x,y)dy

5

0,〔0,其他

f-HO

-=L/(M—一

=[jl+2=g：5

應(yīng)0<y<l,

0,[o,

其他

11.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

f("5|y|<x,0<x<1,

其他

求條件概率密度/hx(y1X),fxiy(xly).

y

才

題11圖

【解】/x*)=「7c%y)dy

fIdy=2x,0<x<1,

-q,其他

f'ldr=l+3\-1<y<0,

J-y

fld.r=l-y,0<y<1,

Jy

0,其他

所以

加⑴/)=鉗二值

1yl<x<1,

c

川幻[o,

其他.

6

,y<x<\y

冊⑺y）一北%=.1,

-——，-y<^<1,

i+y

0,其他

12.袋中有五個(gè)號(hào)碼1,2,3,4,5,從中任取三個(gè)，記這三個(gè)號(hào)碼中最小的號(hào)碼為X,最大

的號(hào)碼為Y.

（1）求X與丫的聯(lián)合概率分布：

（2）X與丫是否相互獨(dú)立？

【解】（1）X與丫的聯(lián)合分布律如下表

345

P[X=Xi]

16

J__J__2__2__3_=^_

cf-iocf~ioc[-To10

203

J__J_2_2

c[~iocf-ioio

300i

ii

cf-ioio

i36

P{Y=}

yiioToTo

(2)因p{x=i}?P{y=3}=gx-!-=-^-w-!-=p{x=i,y=3},

101010010

故X與y不獨(dú)立

13.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,X)的聯(lián)合分布律為

258

0.40.150.300.35

0.80.050.120.03

（1）求關(guān)于X和關(guān)于y的邊緣分布;

（2）x與y是否相互獨(dú)立？

【解】（1）x和丫的邊緣分布如下表

258PE

0.4().15().300.350.8

0.80.050.120.030.2

0.20.420.38

P{X3}

7

(2)因尸{X=2}?P{y=0.4}=02x0.8=0.16工0」5=5(X=2,y=0.4),

故x與y不獨(dú)立.

14.設(shè)x和y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，x在（0,1）上服從均勻分布，y的概率密度為

le

fy（'）=<2'y>o,

0,其他.

（1）求x和y的聯(lián)合概率密度；

（2）設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0,試求。有實(shí)根的概率.

1-2

1,0<^<1,fy(y)=^ey>K

【解】（1）因4（x）=,2

0,其他；

0,其他.

故f(x,)，)上丫獨(dú)立R(x)?力,()，)=<5e。<X<1,)>。.

0,其他.

題14圖

（2）方程/+2X〃+y=o有實(shí)根的條件是

A=(2X)2-4K>0

故X2>Y,

從而方程有實(shí)根的概率為:

P{X2>Y}=Jjf(x,y)dxdy

心吐-9

=1-72^10(1)-0(0)]

=0.1445.

15.設(shè)x和丫分別表示兩個(gè)不同電子器件的壽命（以小時(shí)計(jì)），并設(shè)x和丫相互獨(dú)立，且服

從同一分布，其概率密度為

100()

x>100(),

/?(X)=丁，

0,其他.

8

求Z=X/Y的概率密度.

Y

【解】如圖,Z的分布函數(shù)％（z）=P{ZKz}=P{g?z}

(1)當(dāng)z<0時(shí),Fz(z)=0

（2）當(dāng)Ovzvl時(shí)，（這時(shí)當(dāng)戶1000時(shí)，產(chǎn)W22）（如圖a）

z

B（z）=JJ果必dy二位d），=去心

戶一

d?W

yt

X

7

)

io'

o10,

(b)

題15圖

⑶當(dāng)它1時(shí)，（這時(shí)當(dāng)yfO3時(shí)，mGz）（如圖b）

、，丫人）人?

優(yōu)一

IO31()6、

y2zyj

1-^-,z>l,

2z

z

即0<z<i.

/z(z)=<￥

0,其他

2?'z"

故fz(*=<—,0<z<1,

2

0,其他.

16.設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）近似地服從M160,202）分布.隨機(jī)地選取4只,

求其中沒有一只壽命小于180的概率.

9

【解】設(shè)這四只壽命為XM=123,4),則Xi?N(160,202),

從而

P{min(X?X2,X3,X4)>l80}.之間獨(dú)立P{X(>180]*P{X2>180}

P{X3>180}.P{X4>180}

=[1-P{X,<180}].[1-P{X2<180}]41-P{X3<180}]41-P{X4<180}]

=ll-P{X,<180)]4=J中(％網(wǎng))

=[l-0)(l)]4=(().158)4=0.00063.

17.設(shè)x,y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布律分別為

P[X=k}=p(2),k=0,1,2....?

P{Y=r}=q(r),r=0,1,2......

證明隨機(jī)變量z=x+y的分布律為

i

P\Z=i\=Zp(k)q(i-k),/=0,b2,....

k=0

【證明】因x和y所有可能值都是非負(fù)整數(shù)，

所以

{Z=i]={X+Y=i]

=(x=o,y=z}U{x=i,r=z-i}U--U{x=/,y=o}

于是

82=，}=￡。{乂=攵,丫=/_燈*,)/相互獨(dú)立￡8*=攵}?P{丫=/_2}

*=0Jt=o

=￡p(k)q(i-k)

k=0

18.設(shè)x,y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從參數(shù)為“，〃的二項(xiàng)分布.證明z=x+y服從參

數(shù)為2〃，〃的二項(xiàng)分布.

【證明】方法一：x+y可能取值為0,I,2,…，2〃.

k

P{X+Y=k}=^P{X=i,Y=k-i]

r=0

10

=^P(X=i).P{Y=k-i}

i=Q

方法二：設(shè)……，”J均服從兩點(diǎn)分布(參數(shù)為〃)，則

X=NI+42+，Y=N1'+〃2‘+

X+y="|+"2+…'+〃2+..+〃/，

所以，x+y服從參數(shù)為(2〃⑼的二項(xiàng)分布.

19.設(shè)隨機(jī)變量(X,r)的分布律為

X012345

000.010.030.050.070.09

10.010.020.040.050.060.08

20.010.030.050.050.050.06

30.010.020.040.060.060.05

(1)求P{X=2Iy=2},P[Y=3IX=0}；

(2)求公max(X,Y)的分布律；

(3)求^^而口(X,Y)的分布律；

(4)求卬=X+Y的分布律.

P{X=2,Y=2}

【解】⑴P{X=2\Y=2}=

p{y=2}

P{X=2,y=2}0.051

次p(x=i,y=2}0,255

f=o

P{Y=3,X=0}

P{Y=3\X=O}=

P{X=O}

P{x=o,y=3}0.01_1

-Oxj3-3

邙{X=o,y=/}

六0

(2)P{V=z}=P{max(X,r)=z)=P{X=Z,y<z}+P(X<z,y=z}

i-\i

=ZP{X=i,y=Z}+EP{X=%y=i},i=0,l,2,3,4,5

*=OA=O

11

所以V的分布律為

V=max(X,r)012345

P00.040.160.280.240.28

(3)P{U=i}=P{min(X,Y)=i}

=P[X=i,Y>i]+P{X>bY=i]

35

=^P[X=i,Y=k]IP{X=k,Y=i]

k=i氏=i+1

于是

U=min(X,X)0123

P0.280.300.250.17

（4）類似上述過程，有

W=X+Y012345678

P00.020.06().130.190.240.190.120.05

20.雷達(dá)的圓形屏幕半徑為R,設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)（X,X）在屏幕上服從均勻分布.

(1)求P{y>oiy>x}；

(2)設(shè)加=0m*{乂，Y],求P{M>0}.

y

R

y~x

/0)RX

題20圖

【解】因（x,r）的聯(lián)合概率密度為

J,x2+y2<R\

nR~

n甘/小

P[Y>^Y>X}

(1)P[Y>^\Y>X}

P{Y>X}

jj/,(x,y)dcr

y>0

__________

jj/(x,y)do

y>x

「呵”工也

_J。J。nR-

JK/4JOTTR2

12

—3/83■

-T72-4，

⑵P{M>0}=P{max(X,y)>0}=l-P{max(X,Y)<0}

=l-P{X<0,r-0)=l-|jf(x,y)da=1--=—.

x<Q

ySO

21.設(shè)平面區(qū)域。由曲線產(chǎn)1/x及直線產(chǎn)0,—l,x=e2所圍成,二維隨機(jī)變量（X,Y）

在區(qū)域。上服從均勻分布，求（X,F）關(guān)于X的邊緣概率密度在m2處的值為多少？

e212

【解】區(qū)域。的面積為So=Jr—dx=lnx；=2.（X,H的聯(lián)合密度函數(shù)為

人

—,1<x<e2,0<y<—,

/3,)，)=2''x

0,其他

（X,y）關(guān)于x的邊緣密度函數(shù)為

dy=l<x<e2,

/xW=K4i

【()，其他.

所以/⑵=%

22.設(shè)隨機(jī)變量X和y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量（X,丫）聯(lián)合分布律及關(guān)于X和

y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值.試將其余數(shù)值填入表中的空白處.

yi”P{X=Xi}=pi

X\1/8

X21/8

1/61

P{Y=yj}=Pj

【解」因口丫=力}=與=￡片乂=4丫=刀},

/=1

故p{y=x}=p{x=%,y=y}+p{x=%，y=yJ，

從而P{X=*,y=yJ=，_』='.

116824

13

而X與y獨(dú)立，故p{X=七}?P{y=X}=p{x=七,丫=K},

從而尸{X=x}x,=p{x=E，y=x}==

又P{x=x}=p{x=%,y=)，j+P{x=x，y=y2}+P{x=.jy=)，3}，

即―=_+_+P{X=xy=yJ,

4248，3

從而P{X=x^Y=y3}=^.

同理尸{￥=%}="P{X=x2,Y=y2]=l

Lo

3111

又Zp{y=%}=i，故夕{丫=)寸=1一工一彳二不

j=\oZ?

同理P{X=%}=*

從而

P{X=x2.Y=y3]=P{Y=y3]-P{X=x^Y=y3]=^^-=k

J14I

故

%P{X=xi}=Pi

i]_12_

*

248124

I33

X

28844

j_1

P(y=y}=p

ji623

23.設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)X服從參數(shù)為2（2>0）的泊松分布，每位乘客在中途卜.車的概率

為〃（Ov/Kl）,且中途下車與否相互獨(dú)立，以丫表示在中途下車的人數(shù)，求：（1）在發(fā)

車時(shí)有〃個(gè)乘客的條件下，中途有〃?人卜.車的概率；（2）二維隨機(jī)變量（X,Y）的概

率分布.

【解】⑴尸{y=m|X=〃}=C；p'"（l—p）"T",0WmW",〃=0』,2"??.

(2)P{X=n,Y=m}=P{X=n}?P{Y=m\X=n}

=C';p'W-p)n-m.—r,n<m<",H=0,1,2,....

n\

14

(12)

24.設(shè)隨機(jī)變量X和y獨(dú)立，其中X的概率分布為X?，而y的概率密度為小，),

求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度g(〃).

【解】設(shè)尸(了)是丫的分布函數(shù)，則由全概率公式，知氏x+y的分布函數(shù)為

G(u)=P［X^Y<u}=03P{X-^Y<tu\X=l］+0.1P{X+Y<u\X=2}

=0.3P{r<i/-l|X=l)+0.7P{r<w-2|X=2)

由于x和丫獨(dú)立，可見

G(w)=0.3P(r<w-l(4-0.7P|r<w-2)

=0.3F(W-1)+0.7F(M-2).

由此，得U的概率密度為

g(u)=G'(〃)=0.3Fr(w-1)4-0.7F(w-2)

=().3/(〃7)+0.7/("2).

25.25.設(shè)隨機(jī)變量X與丫相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間［0,引上的均勻分布，求P{max|X1)

<1}.

解：因?yàn)殡S即變量服從［0,3］上的均勻分布，于是有

1

()<x<3,0<y<3,

fM=3/(y)=p

0，x<0,x>3;0,y<0,y>3.

因?yàn)閤,丫相互獨(dú)立，所以

I

/(x,y)=j9'

0,x<0,y<0,x>3,y>3.

推得P{max{X,/}<!)=-.

26.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,X)的概率分布為

-101

-1a00.2

00.1b0.2

100.1c

其中ahc為常數(shù)，且X的數(shù)學(xué)期望E(X)=-0.2,P{K<0|X<0}=0.5,記Z=X+Y.求:

(1)a,b,c的值；

(2)Z的概率分布：

(3)P{X=Z}.

15

解(1)由概率分布的性質(zhì)知，

?+/?+c+0.6=l即a+b+c=OA.

由E(X)=-0.2,可得

—ci+C=-0.1.

片X?0,y?0}_a+/2+0.1

p{r<o|x<o}==0.5,

再由P(X<0)-~a+b+0.5

得ci+b=0.3.

解以上關(guān)于mb,c的三個(gè)方程得

〃=0.2/=0.1,c=0.1.

⑵Z的可能取值為-2,-1,0,I,2,

P{Z=-2}=P{X=-1,/=-!}=0.2,

p{z=-i}=P{x=-i,r=()}+P{x=o,y=-i)=o.i,

p(z=()}=p(x=-i,y=i}+P{x=o,y=o)+p(x=i,y=-i)=o,3,

p{z=i}=p{x=i,r=o)+P{x=o,y=i(=o.3,

P[Z=2]=P{X=\iY=\}=0A,

即z的概率分布為

Z-2-1012

P0.20.10.30.30.1

⑶P{X=Z}=P{y=0}=0.1+/?+0.2=0.1+0.14-0.2=0.4.

習(xí)題四

1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

X-1012

P1/81/21/81/4

求E(X),E(X2),E(2X+3).

【解】⑴E(X)=(-1)X1+()X\1X』+2XL_L；

82842

(2)E(X2)=(-l)2xi+02xl+l2xl+22xl=-;

82844

(3)E(2X+3)=2E(X)+3=2XL3=4

2

2.已知100個(gè)產(chǎn)品中有1()個(gè)次品，求任意取出的5個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差.

【解】設(shè)任取出的5個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)為X,則X的分布律為

16

X012345

p

r5c1C4￡^k=0070c：?@=o

乎二0.583=0.340=0.007

4-°r5

GooGwCooGooJoo

故￡(X)=0.583x0+0.340x1+0.070x2+0.007x3+0x4+0x5

=0.501,

O(X)=2"-E(X)]2c

1=0

=(0-0.501)2X0.583+(1-0.501)2x0.340+…+(5-0.501)2x0

=0.432.

3.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

X-101

PPi〃2〃3

且已知七(X)=U.l上(片尸也9