《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》綜合復習資料

一、填空題

1.已知工廠生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率分別為1%和2%,現(xiàn)從由的產(chǎn)品分

別占60%和40%的一批產(chǎn)品中隨機抽取一件，若取到的是次品，那么

該產(chǎn)品是工廠的概率為3/7o

2、設隨機變量的概率分布為，以表示對的三次獨立重復觀察

中事件出現(xiàn)的次數(shù)，則=9/64o

3.設與獨立同分布，且，則（=117。

4、由長期統(tǒng)計資料得知，某一地區(qū)在4月份下雨（記作事件）的概

率為4/15,刮風（記作事件）的概率為7/15,刮風又下雨（記作事件

）的概率為1/10。貝h

P（A|B）=3/14;

P（A\JB）=19/30o

5.一批產(chǎn)品共有8個正品2個次品，從中任取兩次，每次取一個（不

放回）。則：

（1）第一次取到正品，第二次取到次品的概率為8/45;

（2）恰有一次取到次品的概率為16/45o

6.設隨機變量、（泊松分布），且相互獨立，則：=5;

19o

7、設、為事件，，則0.7o

8、設與相互獨立，都服從［。，2］上的均勻分布，則1/2o

9、設隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布，且已知，則

4=1o

1。、設由來自總體的容量為100的樣本測得樣本均值，則的置

信度近似等于0.95的置信區(qū)間為(4.804,5.196)。

11、一個袋子中有5只黑球3只白球，從袋中任取兩只球，若以

表示：“取到的兩只球均為白球“；表示：“取到的兩只球同色”。則

P(A)=3/28;P(B)=_13/28。

12.設的概率分布為，則

P{X<3]=\-e-\X的分布函數(shù)/(x)=\1~eXf%>Oo

0,x<0

13.設隨機變量，則

常數(shù)A=l;EX=0o

二、選擇題

1.設事件滿足，且，，則有

(3)P(AB)=P(A)P(B)

2.對于隨機變量、，若，則()

3.設，，且相互獨立，則()

4.設為來自總體的一個樣本，為樣本均值，已知，記，

，則服從自由度為的分布統(tǒng)計量是

5.設和是任意概率不為零的互斥事件，則結論正確的是()

6、設的概率密度，則

A=(8)1/3

7、設總體為未知參數(shù)，為X的一個樣本，為兩個統(tǒng)計量，的

置信度為的置信區(qū)間，則應有D)

8、設，，，則=()22

9、設和均服從正態(tài)分布，記，，則對任何實數(shù)都有

1。、某人射擊中靶的概率為3/5,如果射擊直到中靶為止，則射擊次

數(shù)為3的概率()

11.設與獨立同分布，記,，則必然()不相關

12、記為待檢驗假設，則所謂犯第一類錯誤指的是()為真

時，拒絕

13.設隨機變量的密度函數(shù)為

Cx3,0<x<1

/W=-

0,其它

則常數(shù)0(B)_4

14.設每次試驗成功的概率為1/3,則在3次重復試驗中

恰有1次成功的概率為4/9o

15.設和相互獨立，且均服從，則()

16、設，，，則=()49.6

三、解答題

1.在某城市中發(fā)行三種報紙、，經(jīng)調(diào)查，訂閱報的有50%,訂閱

報的有30%,訂閱報的有20%,同時訂閱與報的有10%,同時訂

閱與報的有8%,同時訂閱與報的有5%,同時訂閱、報的有

3%,試求下列事件的概率：

(1)只訂閱A與B報；

(2)恰好訂閱兩種報紙。

2.甲、乙兩人各自同時向敵機射擊，已知甲擊中敵機的概率為0.8,

乙擊中敵機的概率為0.5,求下列事件的概率:

(1)敵機被擊中；

(2)甲擊中乙擊不中；

(3)乙擊中甲擊不中。

3.在電源電壓不超過200,200-240和超過240伏的三種情況下，某

種電子元件損壞的概率分別為。.1,0.001和。.2,假定電源電壓，試求：

(1)該電子元件被損壞的概率。；

(2)電子元件被損壞時，電源電壓在200-240伏內(nèi)的概率。(提

示：)

4、設為由拋物線和所圍成區(qū)域，在區(qū)域上服從均勻分布,

試求(D的聯(lián)合概率密度與邊緣概率密度；

(2)判定隨機變量x與y是否相互獨立。

5.有朋友遠方來訪，他乘火車、輪船、汽車、飛機的概率分別為3/10、

1/5.1/10、2/5,而乘火車、輪船、汽車、飛機遲到的概率分別為

1/4.1/3.1/12.l/8o求：

(1)此人來遲的概率；

(2)若已知來遲了，此人乘火車來的概率。

6.已知某種型號的雷管在一定刺激下發(fā)火率為4/5,今獨立重復

地作刺激試驗，直到發(fā)火為止，則消耗的雷管數(shù)的概率分布。

7、二維隨機變量(,)的概率分布表如下：

X-101

-11/81/81/8

01/801/8

11/81/81/8

求：⑴、、、；(2)的相關系數(shù)；

8、一袋中裝有3個球，分別標有號碼1、2、3,從這袋中任取一球，不

放回袋中，再任取一球。用、分別表示第一次、第二次取得的球上的

號碼，試求：

(1)隨機向量(X,丫)的概率分布；

(2)(X,y)關于x和關于y的邊緣概率分布。

(3)和是否相互獨立？為什么？

9、設X的概率分布為

012

P1/31/61/2

求：(1)的分布函數(shù)；

133

(2)P{X<]}、P{\<X<-}>P{1<X<1}o

1。、設有一箱同類產(chǎn)品是由三家工廠生產(chǎn)的，其中1/2是第一家工廠

生產(chǎn)的，其余兩家各生產(chǎn)1/4,又知第一、二、三家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別

有2%、4%、5%的次品，現(xiàn)從箱中任取一件產(chǎn)品，求：(1)取到的是次

品的概率；(2)若已知取到的是次品，它是第一家工廠生產(chǎn)的概率。

11、設二維隨機變量(，)的概率分布為

0<x<y

其它

求：(1)隨機變量X的密度函數(shù)；

(2)概率P{X+Y1}。

12.設的分布密度為，求：數(shù)學期望和方差。

13、某工廠三個車間生產(chǎn)同一規(guī)格的產(chǎn)品，其產(chǎn)量依次占全廠總產(chǎn)量

的25%、35%、40%,如果各車間生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率依次為5%、4%、

2%o現(xiàn)從待出廠的產(chǎn)品中隨機地取一件，求：

(1)取到的是次品的概率；

(2)若已知取到的是次品，它是第一車間生產(chǎn)的概率。

14.設相互獨立隨機變量的概率分布分別為

/、l<x<3/、y>0

o,其它10，聲°

求：和。

15.設隨機變量的概率分布為

_______斗一1012

0.30.20.40.1

求：⑴；

(2)y=2X-l的概率分布；

16.設隨機變量的分布函數(shù)為

F(J)=a+—Arctanx(-8<x<+8)

71

求：(D系數(shù)；

(2)落在區(qū)間(一1,1)中的概率；

(3)隨機變量的概率密度。(提示：為反正切函數(shù))

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》綜合復習資料參考答案

三、計算題

1.在某城市中發(fā)行三種報紙、，經(jīng)調(diào)查，訂閱報的有50%,訂閱

報的有30%,訂閱報的有20%,同時訂閱與報的有10%,同

時訂閱與報的有8%,同時訂閱與報的有5%,同時訂閱、

報的有3%,試求下列事件的概率：

(1)只訂閱4與8報；(2)恰好訂閱兩種報紙。

解：⑴

=0.1-0.03=0.07

(2)P(ABC\JABC\JABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC))

=0.07+0.024-0.05=0.14

2.甲、乙兩人各自同時向敵機射擊，已知甲擊中敵機的概率為0.8,乙

擊中敵機的概率為0.5,求下列事件的概率：

(1)敵機被擊中；(2)甲擊中乙擊不中；(3)乙擊中甲擊不中。

解：設事件表示：“甲擊中敵機”；事件表示：“乙擊中敵機”；事

件表示：“敵機被擊中，則

(1)P(C)=P(AU^)=1-P(A\JB)=1-P(AB)

=l-0.1=0.9

(2)P(AB)=P(A)P(B)=0.8x(l-0.5)=0.4

(3)P(AB)=P(A)P(B)=(1-0.8)x0.5=0.1

3.在電源電壓不超過200,200—240和超過240伏的三種情況下，某種

電子元件損壞的概率分別為0.1,0.001和0.2,假定電源電壓(提示：),

試求：(1)該電子元件被損壞的概率

(2)電子元件被損壞時，電源電壓在2。。一24。伏內(nèi)的概率。

解：設：“電源電壓不超過200伏”；:“電源電壓在200—24。

伏”；

：“電源電壓超過240伏”；:“電子元件被垠壞”，

由于，所以

200_220

P(A)=P{X?200)=F(200)=0()

25

=①(-0.8)=I-①(0.8)=1-0.788=0.212

P(4)=P(200<X<240)=。(噬型)-以"暖竺)

=0(0.8)-中(-0.8)=20(0.8)-1=0576

P(4)=P{X>240}=1-o(240~220)

=1-0(0.8)=1-0.788=0.212

由題設P(3|A)=0.1,P⑷&)=0.001,。(為4)=0.2,所以由全概率公式

3

a=P(Z?)=^(AjP(B\A,.)=0.0642

1=1

由條件概率公式

P=P[A|B)=尸(&)尸(8|4)=Qoo9

-P(8)

4.設為由拋物線和所圍成區(qū)域，在區(qū)域上服從均勻分布,

試求(1)的聯(lián)合概率密度與邊緣概率密度；

(2)判定隨機變量X與丫是否相互獨立。

解：如圖所示，的面積為

22

A=￡(x-x)dx=:<____y=x

因此均勻分布定義得x、y的聯(lián)合概%1―"x

[6,(x,y)wG

率密度為/*/)=

j0,其他

而

fxM=J：/(x,y)dy=c6dy=6(x-/),0<x<1

fY(y)=J：/。，y)公=￡&(=6(77一y)，o<y<i

所以關于X和關于y的邊緣分布密度分別為

6(x-x2),0<x<1

fxM=<

0,其他

6(V7-))，0<y<1

fy(y)=<

o,其他

由于，故隨機變量與不相互獨立。

5.有朋友遠方來訪，他乘火車、輪船、汽車、飛機的概率分別為3/10、

1/5.1/10、2/5,而乘火車、輪船、汽車、飛機遲到的概率分別為

1/4.1/3.1/12.1/80求:

(1)此人來遲的概率；(2)若已知來遲了，此人乘火車來的概率。

解：設事件表示：“此人來遲了”；事件分別表示：“此人乘火車、

輪船、汽車、6機來”(,4)o(((((2分

則，且，兩兩互不相容

(1)P(A)=tp(4)P(A|4)

*=i

311111211

=——x--F—X—4-----x------F—X—=—

104531012585

31

⑵p3所小儂!&_104=3

1/5~8

￡P(4)P(4|Aj)

6.已知某種型號的雷管在一定刺激下發(fā)火率為4/5,今獨立重復地作

刺激試驗，直到發(fā)火為止，則消耗的雷管數(shù)是一離散型隨機變量，求

的概率分布。

解：的可能取值為1,2,o記表示“第次試驗雷管發(fā)火”

則表示“第次試驗雷管不發(fā)火”從而得

4

pI=P(X=l)=P(AI)=-

--]4

=P{x=2}=p(4)=P(A)p(4)=-x-

JJ

〃3=P{X=3]=尸(A4斗3)=尸(A)尸(42)尸(43)=(―)2x-

Pk=P[X=k]=P(4不…4TAQ=x|

依次類推，得消耗的雷管數(shù)的概率分布為

P{X=A}=：x—(卜=1,2,3,…)

7、二維隨機變量（，）的概率分布表如下:

X一101

-11/81/81/8

01/801/8

11/81/81/8

求：（1）、、、*(2)的相關系數(shù)?

解：易得和的分布列分別為

【一1o1y—101

/13/81/43/8P3/81/4

3/8

(1)

(2)Cov(X,y)=E(xr)-EXEY=O

PY=-,!——=0

X4DX4DY

8、一袋中裝有3個球，分別標有號碼1.2.3,從這袋中任取一球，不

放回袋中，再任取一球。用、分別表示第一次、第二次取得的球上的

號碼，試求：（1）隨機向量的概率分布；（2）關于和關于的邊緣

概率分布；（3）和是否相互獨立？為什么?

解：(D的取值為

,由概率乘法公式可得

pn=P\x=1,y=2}=gxg=:

〃i3=P{X=l，^=3}=1xl=l

同理可得P2I=“23="31=〃32=1/6

此外事件，，都是不可能事件，所以，于是（，）的概率分

布表為

X123

101/61/6

21/601/6

31/61/60

(2)(x,n關于x的邊緣概率分布

X123

P,.1/31/31/3

（X,丫）關于丫的邊緣概率分布

Y123

Pj1/31/31/3

（3）和不相互獨立，由于。

9、設X的概率分布為

牙012

P1/31/61/2

求：（1）的分布函數(shù);

I33

(2)P{X<]}、P{1<X<1}>P{1<X<-}o

解：(1)

P{X<-}=F(-)=-;

223

331

P{\<X<-}=P[X<-]-P{X<\]=-;

j26

3331

P(l<X<1)=P{l<X<|}+P{X=1}=-o

10、設有一箱同類產(chǎn)品是由三家工廠生產(chǎn)的，其中1/2是第一家工廠

生產(chǎn)的，其余兩家各生產(chǎn)1/4,又知第一、二、三家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別

有2%、4%、5%的次品，現(xiàn)從箱中任取一件產(chǎn)品，求：

(1)取到的是次品的概率；

(2)若已知取到的是次品，它是第一家工廠生產(chǎn)的概率。

解：設事件表示：“取到的產(chǎn)品是次品”；事件表示：“取到的產(chǎn)

品是第家工廠生產(chǎn)的"()o

(1)則，且，兩兩互不相容，

(2)由全概率公式得

P(A)二

!=1

—_1x__2_+1__x_4__+1__x5___=1_3___

-210041004100~400

(2)由貝葉斯公式得

YP(AJ)P(A\Aj)

J=I

12

_2100_4

"JI"13

400

11.設二維隨機變量(，)的概率分布為

々0<x<y

/UJ)=0,其它

求：(1)隨機變量x的密度函數(shù)；(2)概率。

解：⑴時，=0;

時，=

故隨機變量X的密度函數(shù)八⑴=卜：’°<：

0,x?0

(2)P[X+Y<\]=JJf(x,y)dxdy=/dx^c~ydy

x+r<i

_2

=e~l+l-2e^

12.設的分布密度為，求：數(shù)學期望和方差。

解：=

EX2=(產(chǎn)?/(大世=￡x2xdx+j\2(2-x)dx=—

于是

DX=EX2-(EX)2

13.某工廠三個車間生產(chǎn)同一規(guī)格的產(chǎn)品，其產(chǎn)量依次占全廠總產(chǎn)量的

25%、35%>40%,如果各車間生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率依次為5%、4%、2%。

現(xiàn)從待出廠的產(chǎn)品中隨機地取一件，求：

(1)取到的是次品的概率；

(2)若已知取到的是次品，它是第一車間生產(chǎn)的概率。

解：設事件表示：“取到的產(chǎn)品是次品”；事件表示：“取到的產(chǎn)品

是第車間生產(chǎn)的“()o

則，且，兩兩互斥，由全概率公式得

p(A)=tp(a)?p(Ai4)

f=l

25535440269

-100100100100100100~2000

尸(..)=普的⑷

XP(Ay)P(AIAy)

J=I

255

JOO100=25

69-69

2000

14.設相互獨立隨機變量的概率分布分別為

/、