概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總結(jié)

第一章隨機(jī)事件與概率

第一節(jié)隨機(jī)事件及其運(yùn)算

1、隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象

2、樣本空間：隨機(jī)現(xiàn)象的一切可能基本結(jié)果組成的集合，記為C={3},其中3

表示基本結(jié)果，又稱為樣本點(diǎn)。

3、隨機(jī)事件：隨機(jī)現(xiàn)象的某些樣本點(diǎn)組成的集合常用大寫字母A、B、C等

表示，。友示必然事件，。表示不可能事件。

4、隨機(jī)變量：用來(lái)表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量，常用大寫字母X、Y、Z等表

示。

5、時(shí)間的表示有多種：

(1)用集合表示，這是最基本形式

(2)用準(zhǔn)確的語(yǔ)言表示

(3)用等號(hào)或不等號(hào)把隨機(jī)變量于某些實(shí)屬聯(lián)結(jié)起來(lái)表示

6、事件的關(guān)系

(1)包含關(guān)系：如果屬「A的樣本點(diǎn)必屬「事件B,即事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事

件B發(fā)生，則稱A被包含于B,記為AUB;

(2)相等關(guān)系：若AUB且BDA,則稱事件A與事件B相等，記為A=B。

(3)互不相容：如果AABF,即A與B不能同時(shí)發(fā)生，則稱A與B互不相

容

7、事件運(yùn)算

(1)事件A與B的并：事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生，記為AUB。

(2)事件A與B的交：事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，記為ACIB或AB。

(3)事件A對(duì)B的差：事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生，記為A—B。用交并補(bǔ)可

以表示為A-B=ABo

(4)對(duì)立事件：事件A的對(duì)立事件(逆事件)，即“A不發(fā)生”，記為配

對(duì)立事件的性質(zhì)：AC\B=(P,AUB=Q.

8、事件運(yùn)算性質(zhì)：設(shè)A,B,C為事件，則有

(1)交換律：AUB=BUA,AB=BA

(2)結(jié)合律：AU(BUC)=(AUB)UC=AUBUCA(BC)=(AB)C=ABC

(3)分配律：AU(BCIC)=(AUB)A(AUC)A(BUC)=(AAB)U(AnC)=

ABUAC

(4)棣莫弗公式(對(duì)偶法則)：A~1TB=AQBA~Ci~B=AUB

9、事件域：含有必然事件C,并關(guān)于對(duì)立運(yùn)算和可列并運(yùn)算都封閉的事件類自

稱為事件域，乂稱為。代數(shù)。具體說(shuō)，事件域匕滿足：

(1)Q%

(2)若則對(duì)立事件1￡&；

(3)若An￡。n=l,2,…，則可列并An三自。

10、兩個(gè)常用的事件域：

(1)離散樣本空間。(有限集或可列集)內(nèi)的一切子集組成的事件域：

(2)連續(xù)樣本空間。(如R、R2等)內(nèi)的一切博雷爾集(如區(qū)間或矩形)逐步擴(kuò)展而成

的事件域。

第二節(jié)概率的定義及其確定方法

1、概率的公理化定義：定義在事件域匕上的一個(gè)實(shí)值函數(shù)P(A)滿足：

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（1）非負(fù)性公理：若AE&則P（A）X）；

（2）正則性公理：P（Q）=1

（3）可列可加性公理：若A,,A2,…，A3互不相容，則有

，8、00

玖

p\Ui=\i）=/=2!4）

9

即P（A]UA2U-UA?U-）=P（A]）+P（A2）+…+P（AH）+…，則稱P（A）為

時(shí)間A的概率，稱三元素（Q,&P）為概率空間

2、確定概率的頻率方法：（是在大量重更試驗(yàn)中，用頻率的穩(wěn)定值去獲得頻率的一種方法）

它的基本思想是：

（1）與考察事件A有關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象可大量重復(fù)進(jìn)行；

（2）在n次重復(fù)試驗(yàn)中，記n（A）為事件A出現(xiàn)的次數(shù)，稱

fn（A尸—，為事件A出現(xiàn)的頻率；

（3）頻率的穩(wěn)定值就是概率：

（4）當(dāng)重復(fù)次數(shù)n較大時(shí)，可用頻率作為概率的估計(jì)值。

3、確定概率的古典方法：

它的基本思想是：

（1）所涉及的隨機(jī)現(xiàn)象只有有限個(gè)樣本點(diǎn)，譬如為n個(gè)；

（2）每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等（等可能性）；

（3）若事件A含有k個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A的概率為

D/A、A所包含的基本事件數(shù)k

基本小杵總數(shù)n

4、確定概率的幾何方法：

它的基本思想是：

（1）如果一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間Q充滿某個(gè)區(qū)域，其度量（長(zhǎng)度、面積、體積等）

大小可用Sn表示；

（2）任意一點(diǎn)落在度量相同的子區(qū)域內(nèi)是等可能的；

（3）若事件A為。中某個(gè)子區(qū)域，且其度量為SA,則事件A的概率為

P（A）=》

%

5、確定概率的主觀方法：一個(gè)事件A的概率P（A）使人們根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)該事件發(fā)生的可

能性大小所做出的個(gè)人信念。

6、概率是定義在事件域的集合函數(shù)，且滿足三條公理。前三種確定概率的方法自動(dòng)滿

足三條公理，而主觀方法確定概率要加驗(yàn)證，若不滿足三條公理就不能稱為概率。

第三節(jié)概率的性質(zhì)：

1、P（①）=（）

2、有限可加性：若有限個(gè)事件A,,A2,…，A3互不相容，則有

00、00

pU4=乎（4）

\/=1）Z=l

3、對(duì)立事件的概率：無(wú)?任一事件A,有「而=1一P⑷

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4、減法公式(特定場(chǎng)合)：若AOB,則P(A-B)=P(A)-P(B)

5、單調(diào)性：若A2?B,則P(A)P(B)

6、減法公式(一般場(chǎng)合)：對(duì)任意兩個(gè)事件A、B,有P(A—B)=P(A)—P(AB)

7、加法公式：對(duì)任意兩個(gè)事件A、B,有P(A+B尸P(A)+P(B)?P(AB)。

對(duì)任意n個(gè)事件Al,A2,…，An,有

J

8、P(乜AJ=￡=[P(AJ-￡閆<j%P(AAj)+2閆勺<人&尸例+-+(-irP(AlA2-Atl)

半可加性：對(duì)任意兩個(gè)事件A、B,有P(AUB)<P(A)+P(B).

9.事件序列的極限：

(1)對(duì)匕中任一送調(diào)不減的事件序列尸/UGU…UU…，稱為可列并“五“

i=l

HmFn=UFn

為極限｛Fn｝的極限事件，記為n=i。

(2)對(duì)g中任一單調(diào)不增的事件序列均2n…刀扁n…，稱為可列交

intersectE,,為極限｛En｝的極限事件，記為limEn=intersectEn。

n=lH-KJOn=l

若“!fim00P(EJ=尸w〃->0加0則稱概率P是上連續(xù)的

10、概率的連續(xù)性：若P為事件域自上的概率，則P既是上連續(xù)的，又是下連續(xù)的

若P是自上滿足P(Q)=1的非負(fù)集合函數(shù)，則P是可列可加性的充要條件是p具有有限可

加性和下連續(xù)性。

第四節(jié)條件概率

1、條件概率：設(shè)A、B是兩個(gè)事件，若P(A)>0,則稱P(A|B)巖巖為事件B發(fā)生條件下，

r(D)

事件A發(fā)生的條件概率。

條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合「條件概率。

2、乘法公式：

⑴若P(B)>O,P(AB)=P(B)P(A|B)

⑵若P(AlA2...An-l)>0,則有

P(A\A2An)=P(A\)P(Ai|A\)P(As\A\Ai)P(A?\A\Ai4-。。

3、全概率公式：設(shè)事件B“Bz,…，Bn互天相容，且‘%=。，如果

i=l

尸⑻…,〃)，則對(duì)任一事件人有。劃=器/尸出即，i=l,2，…，n。

P(A)=P(B)P(川8)+P(?2)尸(川歷)+…+P(Bn)P(AIBn)o

4、貝葉斯共公式：設(shè)事件外慶…，&互不相容，且;為=0,如果P(A)>0,

。(8)>0。=1,2,???,〃),則

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(2)右連續(xù)性：F(x)是x的右連續(xù)函數(shù)，即對(duì)任意的xO,有l(wèi)irnF(x)=F<x0),

LX/

即F(x()+O)=F(xO)：

(3)有界性:對(duì)任意的x,WO<F(x)<l,且F(-8)=打力=0,F(+oo)=UmF(x)=［

x-*-00+8

可以證明：具有上述三條性質(zhì)的函數(shù)F(x)一定是某一個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。

如果將X看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)F(x)的值就表示X落在區(qū)間(~

8,町內(nèi)的概率

3、離散型隨機(jī)變量的概率分布列：若離散型隨機(jī)變量X的可能取值為xn(n=l,2,…狽IJ

稱X取xi的概率為Pi=P(xi=)P(X=xi),i=l,2,…，則稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概

率分布列，簡(jiǎn)稱分布列。有時(shí)也用列表的形式給出：

X?X1,X2,…,…

P(X=Xk)pi,22,…,PM?…

O

分布列具有兩條基本性質(zhì)：

(1)非負(fù)性;p(xj)>\),i=1,2,…，(2)正則性:￡慧〃(Xj)=1o

離散隨機(jī)變量X的分布函數(shù)/㈤=E,%p&〃，它是有限級(jí)或可列有限級(jí)階梯函數(shù)。

離散隨機(jī)變量X取值于區(qū)間(a,b］上的概率為P(a〈XG尸F(xiàn)(a)-F(b).常數(shù)c可看作僅取一個(gè)

值的隨機(jī)變量X,即P(X=0=1,它的分布常稱為單點(diǎn)分布或退化分布。

4、連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)：記連續(xù)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是F(x),若存在非負(fù)可枳

函數(shù)p(x),對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有/G)=/二p力，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變

量。p(x)稱為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱密度函數(shù)。

密度函數(shù)p(x)具有下面2個(gè)基本性質(zhì)：

(1)非負(fù)性:p(x)>0;

(2)正則性：［;p(x)dx=10

5、離散分布：分布在離散場(chǎng)合可以是分布列或分布函數(shù)：連續(xù)分布：分布在連續(xù)場(chǎng)合可以

是密度函數(shù)或分布函數(shù)。存在既非離散又非連續(xù)的分布。

6、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x),則可用F(x)表示下列概率：

(1)P(X<a)=F(a)；

(2)P(X<a)=F(a-O)；

(3)P(X>a)=l-P(X<a)=l-F(a)；

(4)P(X=a)=P(X<a)-P(X<a)=F(a)-F(a-O);

(5)P(X>a)=l-P(X<a)=l-F(a-O);

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(6)P(|X|<a)=P(-a<X<a)=P(X<a)-P(X<-a)=F(a-O)-F(-a).

第二節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

1、數(shù)學(xué)期望：設(shè)隨機(jī)變量X的分布列p(xi)或用密度函數(shù)p(x)表示，若

Zklp8)<4-oo,當(dāng)X為離散隨機(jī)變量

fxp&)公<+8,當(dāng)X為連續(xù)隨機(jī)變量'

“("iP(Xt)，當(dāng)X為離散隨機(jī)變量

則稱E(X)=:為X的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望

(X)dx,當(dāng)X為連續(xù)隨機(jī)變量

或均值.，且稱X的數(shù)學(xué)期望存在。否則數(shù)學(xué)期望不存在。

數(shù)學(xué)期望是有分布決定的，它是分布的位置特征。如果兩個(gè)隨機(jī)變量同分布，則

其數(shù)學(xué)期望(存在的話)是相等的。期望相當(dāng)于重心。

2、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：假設(shè)數(shù)學(xué)期望存在,

(1)X的某一函數(shù)g(X)的數(shù)學(xué)期望為E/g(X)]=\^ig(Xi)P(Xi)，在離散場(chǎng)合

(x)p(x)dx,在熱散場(chǎng)合

(2)若C為常數(shù)，則E(C)=C

(3)對(duì)任意常數(shù)C,芍E(CX尸CE(X)

(4)對(duì)任意的兩個(gè)函數(shù)gl(x)和g2(x),E[gl(x)±g2(x)]=E[gl(x)]±E[g2

(x)]

<5)E(X+Y)-E(X)十E(Y),鳳￡占Cg-工,G小如

(6)E(XY尸E(X)E(Y),充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。

第三節(jié)隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差

1、方差：隨機(jī)變量X對(duì)其期望E(X)的偏差平方的數(shù)學(xué)期望(設(shè)其存在)Var(X)

=E[X-E(X)]2稱為X的方差，方差的正平方根。(X)=oX=(X)稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差。

方差是由分布決定的.它是分布的散布象征，方差越大，分布就越散；方差越小，分

布就越集中。標(biāo)準(zhǔn)差與方差的功能相似，只是量綱不同。

2、方差的性質(zhì)：假設(shè)方差存在，

(1)Var(X)=E(X2)-[E(X)]2

(2)若c是常數(shù)，則Var(c)=0

(3)Var(aX+b)=a2Var(X)

(4)若隨機(jī)變量X的方差存在，則Var(X)=0的充要條件是X幾乎處處為某個(gè)常

數(shù)a,即P(X=a)=1

(5)若X,Y相互獨(dú)立，則D(X±Y)=D(X)+D(Y)

3、切比雪夫不等式:設(shè)X的數(shù)學(xué)期望和方差都存在，則對(duì)任意常數(shù)￡>0,有R|X-E㈤后

￡)與之戶,或P(\X-E(X)\<￡)>/--切比雪夫不等式給出隨機(jī)變量取值的大偏

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差(指事件{|X-E(X)|%})發(fā)生的概率的上限，該上限于分布的方差成正比。

4、隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化：對(duì)任意隨機(jī)變量X,如果X的數(shù)學(xué)期望和方差存在，則稱

二廣承"為X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量，此時(shí)有E(X*)=D,Var(X*)=U

Var(X)

第四節(jié)常用離散分布

1、二項(xiàng)分布：

設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為，P(X=k)=Pn(k)=C/q'i，其中q=]_p.O〈p<i,k=

。/,2,…，%則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為小〃的二項(xiàng)分布.記為佃力0

(1)背景：〃重貝努里試驗(yàn)中成功的次數(shù)X服從參數(shù)為〃，〃的二項(xiàng)分布。記為

X~B(n,p),其中p為一次伯努利試驗(yàn)中成功發(fā)生的概率。

(2)n=l時(shí)的二項(xiàng)分布B(1,p)稱為二點(diǎn)分布，或0-1分布，(0-1)分布是二項(xiàng)分布

的特例。當(dāng)X?B(1,p)時(shí)，X可表示一次伯努利試驗(yàn)中成功的次數(shù)，它只能取

0或1。

(3)二項(xiàng)分布B(1,p)的數(shù)學(xué)期望和方差分別是：E(X)=np,Var(X)=np(l-p)<.

(4)若X?則Y=n-X?B(n,l?p),其中Y=n-X是n重伯努利試驗(yàn)中失敗的次

數(shù).

2、泊松分布：

(1)設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為我"勿=/一乙k=0,l,2,…，則稱隨機(jī)變量X

服從參數(shù)為2的泊松分布，記為X?PQ),其中參數(shù)7>0。

(2)背景：?jiǎn)挝粫r(shí)間(或單位面枳、單位產(chǎn)品等)上某稀有事件(這里的稀有事件

是指不經(jīng)常發(fā)生的事件)發(fā)生的次數(shù)服從泊松分布P"),其中).為該稀有事件發(fā)

牛的強(qiáng)度。

(3)泊松分布PQ)的數(shù)學(xué)期望和方差分別是：E(X)=z,Var(X)=A.

(4)二項(xiàng)分布的泊松近似(泊松定理)：在n重泊努利試驗(yàn)中，記事件A在一次試

驗(yàn)中發(fā)生的概率為pn(與試驗(yàn)次數(shù)n有關(guān))，如果當(dāng)n-時(shí)，有npn->/l,則

/加C)P!女二.”入

n―?+oc\K/A"

3、超幾何分布

分布，記為X?h(n,N,M),其中r=min{M,n},且MSN,n<Non,N,M均

為正整數(shù)。

(2)背景：設(shè)有N個(gè)產(chǎn)品，其中有M個(gè)不合格品。若從中不放回的隨機(jī)抽取n個(gè)，

則其中含有的不合格品的個(gè)數(shù)X服從超兒何分布h(n,N,M)。

(3)超幾何分布h(n,N,M)的數(shù)學(xué)期望和方差分別是:E(X)=〃*Var(X)

JV

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_nM(N-M)(Nf)

2

N(N-1)0

(4)超幾何分布的二項(xiàng)近似：當(dāng)nvvN時(shí)，超幾何分布h(n,N,M)可用二項(xiàng)分布

b(n,M/N)近似，即(1_p)"k其中p=M/No

(〃)

(5)實(shí)際應(yīng)用中，再不返回抽樣時(shí)，常用超幾何分布描述抽搐樣哦泥中不合格品數(shù)

的分布；在返回抽樣時(shí)，常用二項(xiàng)分布b(n,p)描述抽出樣品中不合格聘書

的分布；當(dāng)批量N較大，而抽出樣品數(shù)n較小時(shí)，不返回抽樣可近似看成返回

抽樣。

4、幾何分布：

(1)若X的概率分布列為P(X=k)=(1-p)k-lp,k=l,2,…，則稱為X服從幾何

分布，記為X?Ge(p),其中Ovpvl.

(2)背景：在伯努利試驗(yàn)序列中，成功事件A首次出現(xiàn)時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)X服從幾何分

布Ge(p),其中p為每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率。

(3)幾何分布Ge(p)的數(shù)學(xué)期望和方差分別是;E(X)q,Var(X)m。

(4)幾何分布的無(wú)記憶性：若X?Ge(p),則對(duì)任意正整數(shù)m與n有

P(X>m+n|X>ni)=P(X>n)o

5、負(fù)二項(xiàng)分布：

(1)若X的概率分布列為戶彼=以=。［；)“(l-p)k~\k=r,r+1,…。則稱X

服從優(yōu)二項(xiàng)分布或巴斯卡分布，記為X?Nb(r,p),其中I?為正整數(shù)，0<p<lo

(2)背景：在伯努利試驗(yàn)序列中，成功事件A第r次出現(xiàn)時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)X服從負(fù)二

項(xiàng)分布Nb(r，p),其中p為每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率。

(3)r=l時(shí)的負(fù)二項(xiàng)分布為幾何分布，即Nb(r,p)=Ge(p)。

(4)負(fù)二項(xiàng)分布Nb(r,p)的數(shù)學(xué)期望和方差分別是:E(X)=r/p,Var(X)=r(l-p)/p2。

(5)負(fù)二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量可以表示成r個(gè)獨(dú)立同分布的幾何分布隨機(jī)變量之和，

即若X?Nb(r,p),則X=Xl+X2+“?+Xr,其中XI,X2,Xr是相互獨(dú)立、

服從幾何分布Ge(p)的隨機(jī)變量。

6、常用離散分布表

分布歹1」pk期望方差

0-1分布B(l,p)pk=pk(1-p)1-k,k=0,lPp(l-p)

pk=P(X=k)=Pn(k)=

二項(xiàng)分布B(n,p)np(l-p)

U〃［，ik=o,i,…，n叩

泊松分布pk=ZYY=0=reTk=0,l,…XA

pk=P(X=k)=(1-p)k-lp.I/-P

幾何分布G(p)

k=l,2,…，pP2

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/A/\fN-M\

="產(chǎn)

超幾何分布pk=PCnMnM/M\(N-柏

H(n,M,N)1]

k=0,1,…，ror=min{M,n}

負(fù)二項(xiàng)分布pk=/Y￥=Q=

k-rr/pr(l-p)/p2

Nb(r,p)(1-p)k=r,r+1,…。

第五節(jié)常用連續(xù)分布

1、止態(tài)分布

(1)若X的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為

,_G-fl)

P(x)=WF,-oo<x<+x>；F(x)-7^1e20C〃,-8<XV+<Q；則稱X服從

正態(tài)分布，記作X?N(|4,o2),其中參數(shù)-8V|jv+8,a>0o

(2)背景：一個(gè)變量若是由大量微小的、獨(dú)立的隨機(jī)因素的疊加結(jié)果，則此變量一定是正

態(tài)變量(服從正態(tài)分布的變量)。測(cè)量誤差就是量具偏差、測(cè)量環(huán)境的影響、測(cè)

量技術(shù)的的影響等因素隨機(jī)因素疊加而成的，所以測(cè)量誤差常認(rèn)為服從正態(tài)分布。

(3)關(guān)于參數(shù)中

?R是正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望，即E(X)=中稱p為正態(tài)分布的位置參數(shù)。

?四是正態(tài)分布的對(duì)稱中心，在V的左側(cè)和p(x)下的面積為0.5；在pi的右側(cè)和p

(x)下的面積為0.5：所以H也是正態(tài)分布的中位數(shù)

?若X?N(M,o2),則X在離卜越近取值的可能性越大，離f越遠(yuǎn)取值的可能性

越小

關(guān)于參數(shù)。：

?Q2是正態(tài)分布的方差，即Var(X)=o2；

?O是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差，Q越小，正太分布越集中；。越大，正態(tài)分布越分散；

O又稱為正態(tài)分布的尺度參數(shù)

?若X?N(ro2),則其密度函數(shù)p(x)在時(shí)。處有兩個(gè)拐點(diǎn)

(4)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：稱R=0,<y=l時(shí)的正態(tài)分布N(0,1)；

記U為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，(p(u)和①(u)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)。(p(u)和

①(u)滿足：

?(p(-u)=(p(u)

?①(-11)=1-①(u)。對(duì)u>0,①(u)的值有表可查

(5)標(biāo)準(zhǔn)化變換：若X?N(p,。2),PPJU=(X-gK?N(0,1),其中U=(X-g)Zo

稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化變換

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概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總結(jié)

(6)若X?N(4o2),則對(duì)任意實(shí)數(shù)a與b,有P(X<b)=3(?)，P(a<X)=1-

⑦⑵,p(a<X<b)=◎(多4(多。

(7)正態(tài)分布的3。原則：設(shè)X?N(卜1,。2),則P(|X-p|<ko)=G(k)—<D(-

0.6826,k=/

0.9545,k=2

!0.9973,k=3

2、均勻分布

—a<x<b(_°,X<a,

(1)若X的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為/?的=b。'F(x)瀘,agx<b,

°淇他，Cl,X>b.

則稱X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布，記作X?U(a,b)。

(2)背景：向區(qū)間(a,b)隨機(jī)投點(diǎn)，落點(diǎn)坐標(biāo)X一定服從均勻分布U(a,b)。

“隨即投點(diǎn)”指：點(diǎn)落在任意相等長(zhǎng)度的小區(qū)間上的可能性是相等的.

(3)均勻分布U:a,b)的數(shù)學(xué)期望和方差分別是E(X)==,Var(X)上詈。

(4)稱區(qū)間(0,1)上的均勻分布U(0,1)為標(biāo)準(zhǔn)均勻分布，它是導(dǎo)出其他分布隨

機(jī)數(shù)的橋梁

3、指數(shù)分布

(1)若X的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為p(x)=卜r'猿°'F(x)=/一：一"三°

I0.x<0,0,x<0,

則稱為X服從指數(shù)分布，記作X?Exp(1),其中參數(shù)1>0。

(2)背景：若一個(gè)元器件(或一臺(tái)設(shè)備、或一個(gè)系統(tǒng))遇到外來(lái)沖擊時(shí)即告矢效,

則首次沖擊來(lái)到的時(shí)間X(壽命)服從指數(shù)分布。

(3)指數(shù)分布Exp(X)的數(shù)學(xué)期望和方差分別是E(X)4var(X)=4o

(4)指數(shù)分布的無(wú)記憶性：若X?Exp(Q,則對(duì)任意s>0,t>0,有P(X>s+t[X>s)

=P(X>t)o

4、伽瑪分布

(1)伽瑪函數(shù)：稱，(a)Jfie-xdx為伽瑪函數(shù)，其中參數(shù)*0。伽瑪函數(shù)具有如

下性質(zhì)：

1r(1)=1；

2r(i/2)=v^：

3r(?+l)=aT(a)；

4「(n+l)=nT(n)=n!(n為自然數(shù))。

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概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總結(jié)

(2)伽瑪分布：若X的密度函數(shù)為p㈤=[而L"即稱X服從伽瑪分布，

IOrx<0,

記作X?Ga(a,X),其中a>0為形狀參數(shù)，40為尺度參數(shù)。

(3)背景：若一個(gè)元器件(或一臺(tái)設(shè)備、或一個(gè)系統(tǒng))能抵擋一些外來(lái)沖擊，但遇

到第k次沖擊時(shí)即告失效，則第k次沖擊來(lái)到的時(shí)間X(壽命)服從形狀參數(shù)

為k的伽瑪分布Ga(k,1)。

(4)伽瑪分布Ga(a,X)的數(shù)學(xué)期望和方差分別為E(X)=j,Var(X)哼。

(5)伽瑪分布的兩個(gè)特例：

12=1時(shí)的伽瑪分布就是指數(shù)分布,即Ga(1,入)=Exp(X)o

2稱a=n/2,入=1/2時(shí)的伽瑪分布為自由度為n的%2(卡方)分布，記為%2(n),

其密度函數(shù)為p④={2牙9，12(n)分布的期望和方差分別是

(0,x<0.

E(X)=n,Var(X)=2n。

(6)若形狀參數(shù)為整數(shù)k,則伽瑪變量可以表示成k個(gè)獨(dú)立同分布的指數(shù)變量之和，

即若X-Ga[k,X),則X=XI1X21…iXk是相互獨(dú)立且都服從指數(shù)分布Exp

(人)，的隨機(jī)變量。

5、貝塔分布

(1)貝塔函數(shù):稱B(a,b)=/廿T〃—切6/公為貝塔函數(shù)，其中參數(shù)a>0,b>0。貝塔函

數(shù)具有如下性質(zhì)：①B(a,b)=B(b,a)；②B(a,b)與塔。

I(a+b)

聲?—4_X)b10VxV]

(2)貝塔分布；若X的密度函數(shù)為〃㈤一"㈤"田，則稱X服從

0,其他,

貝塔分布，記作X?Be(a,b),其中a>0,b>0都是形狀參數(shù)。

(3)背景：很多比率.，如產(chǎn)品的不合格率、機(jī)器的維修率、射擊的命中率等都是在區(qū)間

(0,1)上取值的隨機(jī)變量，貝塔分布Be(a,b)可供描述這些隨機(jī)變量之用。

(4)貝塔分布Be(a,b)的數(shù)學(xué)期望和方差分別是演R=￡,Var(X)=(a+h)^+h+l)

⑸a=b=l時(shí)的貝塔分布就是區(qū)間(0,1)上的均勻分布，即Be(1,1)=U(0,1)。

6、常見連續(xù)分布表

密度函數(shù)p(X)期望方差

正態(tài)分布N(")P6)二京02/'?(T

oo<x<+oo

1

-----,a<x<b,a+b(b-a產(chǎn)

均勻分布U(a,b)p(x)=\b-a

2

、0,其他,12

/、Ue-^,x>0,1_1

指數(shù)分布Exp6)〃㈤=1?！?/p>

2P

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概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總結(jié)

，產(chǎn)

產(chǎn)*>0.aa

伽瑪分布Ga(?,X)(=(1

Px)='ra)7.F

0.x<0,

p(x)

(1_Xn_.

度

X2(n)分布——2,x>0,n2n

=<2^r(~)

、0.x<0,

P(x)

(Ha+b)...E(X)ab

貝塔分布Be(a,b)aVar(X)=---------；--------------

--r(a)r(b)(a+bp(a+b+1)

a+b

.o.其他,

底產(chǎn)U'2丁},X>°X>°

對(duì)數(shù)正態(tài)分布LN(R,Q2)zW-J)

1X

--r--j,-oo<xv+oo

柯西分布Cau(g,X)不存在不存在

P(x)=F，(x)"=I-

expx>0

韋布爾分布Wei(m,ip{~(；)7