第5章統(tǒng)計(jì)量及其分布

重點(diǎn)：總體，樣本，樣本均值，樣本方差，樣本矩，統(tǒng)計(jì)量，常用的抽樣分

布，分位數(shù).

難點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)量，常用的抽樣分布.

5.1總體、樣本及統(tǒng)計(jì)量

1.在一本書上隨機(jī)地檢查了10頁(yè)，發(fā)現(xiàn)各頁(yè)上的錯(cuò)誤數(shù)為:

456031424

則其樣本均值和樣本方差為().

B,又=3”后

A.X=3,S*2=—

10

_,34

C.X=1,S2=—D.X=3,S2=—

99

答案：D.

2.設(shè)乂,占，，X”為來自正態(tài)總體NJ,/)的樣本，文為樣本均值，則

Cov(X,,X2)=().

A.-1；B.0；C.1；D.n.

答案：B.

解：由于乂，、2,…，X”相互獨(dú)立，因此有Cov(X，X2)=0.

3.設(shè)總體X?指數(shù)分布E(2),X|,X?,…,X”為其簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則毛?.

答案：指數(shù)分布七(2).

4.設(shè)總體X~U口向,X「X2，X”為來自X的一個(gè)樣本，則成=,DX=

,ES2=.

解：由X?勿知，歐二"女，DX=3二"匚.

212

所以，網(wǎng)又)=E(X)=等；。(可=岑=*匚

E(S2)=￡)(X)=S；；)-.

5.設(shè)X1,X?,…,X”為來自正態(tài)總體N(〃Q2)的樣本，其中〃和人都是未知參數(shù).

⑴求樣本的樣本空間和聯(lián)合分布密度.

(2)問下列隨機(jī)變量中哪些不是統(tǒng)計(jì)量？

T2=Xn-EX,,7；=2X2+X3,

7；=max(X[,X2,…，X“),

<y

解：⑴樣本的樣本空間：Q=i=l,2,…

樣本的聯(lián)合分布密度：/（X「?,%）=:!/（￡）

i-l

A1號(hào)呼1-門斗

=II]——c2。----------e曰

普J(rèn)27rb（2不尸"

Q）T2=X“-EX〃T5=^—,"=，|引不是統(tǒng)計(jì)量.

6.設(shè)X.X2,…,X”是來自泊松分布P（2）的樣本，又S分別為樣本均值和樣本方

差，求:￡(區(qū)),。(滅)和E(S2).

解:由X?PQ)知E(X)=D(X)=2,

E(X)=E(X)=A

—12

r>(x)=-D(x)=—

nn

E(S2)=￡)(X)=A

7.設(shè)總體X~8(l,p),乂，乂2「?,X〃為來自*的樣本，求：

pfx=-1Z=L2,…,幾

In)

解：X|X?…X“相互獨(dú)立且均服從B(l,p),故￡X‘~3(〃，P),即/僅~B(〃,p).

*=i

_L_

則P(X=-)=P(nX=k)=C：p"l—P)""?

n

5.2抽樣分布

1.下列關(guān)于上側(cè)。分位數(shù)的表述正確的是（）.

2

A.ka=l—%；B.z,.am）=-/；（?）；

C.La/D.Ja("Z，〃)=

Fa(m,fi)

解：根據(jù)上側(cè)分位數(shù)的性質(zhì)，uA_a=-ua,=-ta,=—----

工

C正確.

2.設(shè)々,…,X”是來自正態(tài)總體的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，冗S?分別為樣

本均值與樣本方差，則下列結(jié)論正確的是（）.

A.5?N（O,1）；B.S—DS??％2（〃一］）；

C.力?D.「?(―).

MS/V7?—1

解：由正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布，…存審~人”1），

￡區(qū)-〃）2

上￡~，(〃一1),選B.

-一---/（〃）

S/6

3,設(shè)隨機(jī)變量x>1,丫=白，則y服從（C）.

X

2

A./（〃）B.Z（/7-l）C.F5J）DI（1,〃）

解由分布知，X=r—,其中W~N（O,l）,Z~/（〃），且w與

yjZ/n

Z獨(dú)立，從而X?二"由于卬2?/⑴,z?/5）,所以由尸分布定義知

Zhi

X2-r（i,n）,即y~F（〃,D.

4.設(shè)總體X~N（1,36）,則容量為6的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的樣本均值又~.

解：刀?N（〃,二）所以又?N(l,6).

n

5.設(shè)X?/05),且P{X?x}=0.95,?Jx=

解：由題意P{X>x}=0.05,由上側(cè)分位數(shù)的概念，X=/05（15）.

2

6.設(shè)X?X2,X3,X4是來自正態(tài)總體7V（O,2）的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，若

(X,-2X)2(3X-4X)2

I-2I34，則當(dāng)。=______jb=時(shí)，統(tǒng)計(jì)量y服從

ab

/⑵分布.

解X1,X2，X3，X4WU2),且X1,X2,X3，X4獨(dú)立同分布，則

X,-2X2N(0,20),3X3-4X4N(0,100),

標(biāo)準(zhǔn)化得，"(0,1),冷常-N(O,1),且冬凝和包需￡兩個(gè)

7.設(shè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本XrX2…,X5來自正態(tài)總體N(0,l),求常數(shù)。使得統(tǒng)計(jì)量

C(X-XJ服從.分布.

\x；+X：+X；

V?V

解?：由題意?廠2~N(0,D，X；+X：+X；~/(3).

v2

~^=(X]+X2)

所以，/72

J(X；+X：+X；)/3

3

因此C=

8.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(12,l),X「X2，X3，X4是來自總體X的樣本，對(duì)求

樣本均值與總體均值之差的絕對(duì)值大于1的概率.

v_12

解.X~N(12,1),

1/V4'7

因此，12|>1}=1P{懈12|<1}

=1-P{-2<2(X-12)<2}

=1一(①(2)-①(-2))=1一(①⑵-1十①(2))=0.0456.

9.在總體MW4)中隨機(jī)抽容量為5的樣本XKZ.XQXS，求:

(1)P(|X-10|>2)；

(2)P{max(XpX2,X3,X4,X5)>12}；

(3)P{min(XpX2,X3,X4,X5)>8).

X-10

解:(1)P(|X-1O|>2)=P

2/V5

=2[1-①g]=0.026.

(2)P(max(XpX2,X3,X4,X5)>12}

517—10

=<12)=1-l(D(---------)]5=0.5785.

i=l2

5Q_IQ

5

(3)P{min(XPX2,X3,X4,X5)>8}="P(Xj>8)="一0(——)]=0.4215.

1=12

第5章測(cè)驗(yàn)題

一、選擇題

1.設(shè)隨機(jī)變量X和丫都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則

（A）X+y服從正態(tài)分布（B）X?+尸服從Z2分布

（C）X2和Y2都服從Z2分布（D）X2/Y2服從F分布

答案：C.

2.設(shè)X~N(1,2?),X/2…X〃為X的樣本，則().

(A)(又一1)/2?N(0,l)(B)(X-l)/4-N(0,l)

(C)(X-1)/(2Ar(0,l)(D)(X-l)/V2-WJ)

_2_92_

解由X~N(〃,一)，知X~N(1,—),/.(又一1)/(2/冊(cè))?N(0,l).

nn

所以選(C)

3.設(shè)X1,X2，X3，X4為來自總體X~N（l,/）的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量

氏+%-2|

的分布為（）

⑷mi)(8"⑴(C)/⑴(Q)F(l,l)

答案：B.

4.設(shè)毛,乂2…,X”為來自總體MO,。？）的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，9為樣本均值，記

y=X1-又，則。（丫）的值為（c）.

A.b;B.202；

/

Cr.-----;n

nD.-n-.

解：由題設(shè)知X”X2…,X”相互獨(dú)立，且EXj=0,DXj=b2a=],2,…,〃)，

___121

2222

所以,DY產(chǎn)D(Xj-又)=DX盧DX-2cov(XPX)=a+-CF--O-=(l--)cr.

nnn

5,設(shè)X「X2,…,X”(〃N2)為來自總體N((),l)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，歹為樣本均值,

S?為樣本方差，則().

(A)iiXN(O,1)(B)/IS?/⑺

(C)(〃一1冰一(〃-1)(D)("DX；F(l,n-1)

s￡x：

i=2

(D).XuX2,…,X”-N(O,1)且相互獨(dú)立，則;渣N(O,1),

解應(yīng)選

(n-\)S2.“

----力2(〃-1n)，----------n

i---------------------------------J

“X「/即牛嶼F(h/7-l).

i=2/i=2

二、填空題

1.已知總體X服從正態(tài)分布N（〃,4）,XI,X2,…,X〃是來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,

_1?1?__

22

x=—￡x「s=——y（x,.-x）,貝IJE（XS2）=____.

幾海n-1,=|

解由無與相相互獨(dú)立，可得風(fēng)二5’2）=后又.￡5'2="2.

2.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N（41,，），總體y服從正態(tài)分布NOG，/）,

乂12,「一乂〃和工,匕,…工分別是來自總體X和丫的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則

3.設(shè)隨機(jī)變量X，X，“瀉上相互獨(dú)立，且X~N（2J）,%?N（0,4）,i=l,2,3,4.則

Y

解：由于X—2?N（O,1）,i=l,2,3,4,所以由,分布定義知

2

4.設(shè)總體X?N（0,0.2?）,（X”X2,…，Xg）為其樣本，若尸（ZX；<。）=0.95,

1

則。=.

P(Z2(8)>=)=0.05.a=0.62.

0.2~

5.設(shè)總體X~為取自總體的一個(gè)樣本，歹為樣本均值,

要使七（又-〃）2（0.1成立，則樣本容量〃至少應(yīng)取多大s

_、_DX4

解E（X-2=DX=——=-<0.1,n>40,應(yīng)填40.

nn

三、解答題

1.設(shè)從正態(tài)總體N(〃02)中抽取一容量為16的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，S?為樣本方差,

S2]

求。

2

【解析】由于總體服從正態(tài)分布N(〃,b2)且樣本容量為16,可知152TZ(15)O

b

(s2\

進(jìn)而。151=15x2=30,

IW

”2)(s-2

再由方差的性質(zhì)可知15?。

=30,也即?！灿?5

2.設(shè)某廠生產(chǎn)的燈泡的使用壽命X~N(10(X),/)［單位：〃)，今抽取一容量為

9的樣本，得到工=940,5=100,試求P{XW938}.

解：因?yàn)?c半75-1),即為1呼~?8).于是

S/vw100/V9

X-1003938-1000又一1000

P{X<938)=P-<■=P'<-1.86^

100/79-100/眄100/次

?>1.86；,

=\-P

100/V9

由上側(cè)。分位數(shù)的概念，1.86即自由度為8的［分布的分位數(shù)，查表可知對(duì)應(yīng)的

?>1,86Uo.O5.

a為005,即尸

lOO/x/9

因此P{又<938}=1—0.05=0.95.

3.已知)的概率密度為

4?/,4/lr?4)

問…,戶服從什么分布?

402

【解析】將題目中的概率密度函數(shù)變形整理可化為二維正態(tài)分布的形式，可得

Jix.y)-----e"=----------e&

'llr2h2*3

所以(X,丫)服從正態(tài)分布y(o,l；22,32;O)，

則X-N(0.2)J-.V(l,3-),且1)相互獨(dú)立,

=LMOJ>?-丹(0/)，

，J

將所給統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行變形，湊成尸分布的形式，

''二°丫

4(r-l)2(YTJZ(O1

4.設(shè)X1,X2….,Xg是來自正態(tài)總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，K=l(X,+X,+...4-X6),

6

22

^=-(X7+X8+X9),5=U(XZ-K),z;何A、),證明統(tǒng)計(jì)量Z服從

32,=7S

自由度為2的/分布.

【證明】由于用,…,X,是來自總體x的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，故…,Xg獨(dú)立.

設(shè)X~N(〃,/),則X],,X9~N(〃Q2),則由正態(tài)總體下統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)可

22

知Y~N(〃,J),Y2-N(u,—)

6~3

又由于匕匕獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布，故X-匕也服從正態(tài)分布，其期望方