HR數(shù)字濾波器C語(yǔ)言

分類：數(shù)字信號(hào)處理2013-09-1614:042146人閱讀評(píng)論(2)收藏舉報(bào)

目錄(?)[+]

11巴特沃斯濾波器的次數(shù)

12巴特沃斯濾波器的傳遞函數(shù)

13巴特沃斯濾波器的實(shí)現(xiàn)C語(yǔ)言

雙1次z變換

21雙I次z變換的原理

22雙I次z變換的實(shí)現(xiàn)C語(yǔ)言

IIR濾波器的間接設(shè)計(jì)代碼C語(yǔ)言

間接設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)的HR濾波器的性能

31設(shè)計(jì)指標(biāo)

32程序執(zhí)行結(jié)果

1.模擬濾波器的設(shè)計(jì)

1.1巴特沃斯濾波器的次數(shù)

根據(jù)給定的參數(shù)設(shè)計(jì)模擬漉波器，然后進(jìn)行變數(shù)變換，求取數(shù)字濾波器的方法，稱為

濾波器的間接設(shè)計(jì)。做為數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)的模擬濾波器，稱之為原型濾波器。這里，

我們首先介紹的足最簡(jiǎn)單最基礎(chǔ)的原型濾波微，巴特沃斯低通濾波器。由于IIR濾波器不具

有線性相位特性，因此不必考慮相位特性，直接考慮其振幅特性。

也gl=I1Q=-8---F8

5=jQ.

在這里，N是濾波器的次數(shù)，Cc是截止頻率。從上式的振幅特性可以看出，這個(gè)是單

調(diào)遞減的函數(shù)，其振幅特性是不存在紋波的。設(shè)計(jì)的時(shí)候，一般需要先計(jì)算跟所需要設(shè)計(jì)參

數(shù)相符合的次數(shù)N。首先，就需要先由阻帶頻率，計(jì)算出阻帶衰減

4=—201。氏。瓦(JQJ

將巴特沃斯低通濾波器的振幅特性，直接帶入上式，則有

.45=-201og10

1+(-1)哈產(chǎn)

最后，可以解得次數(shù)N為

當(dāng)然，這里的N只能為正數(shù)，因此，若結(jié)果為小數(shù)，則舍棄小數(shù)，向上取整。

1.2巴特沃斯濾波器的傳遞函數(shù)

巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)，可由其振幅特性的分母多項(xiàng)式求得。其分母多項(xiàng)

1+(“

根據(jù)S解開，可以得到極點(diǎn)。這里，為了方便處理，我們分為兩種情況去解這個(gè)方程。當(dāng)N

為偶數(shù)的時(shí)候，

3.

3萬+1=0,k=0,2,3…,2N-1

這里，使用了歐拉公式。同樣佗，當(dāng)

N為奇數(shù)的時(shí)候，

1—=0

/、2N

—=，履

IQ,

同樣的，這里也使用了歐拉公式。歸納以上，極點(diǎn)的解為

(2k+l'}

Q,expj-------7i,N:evennumber,k=0,l,2,...52N-l

<2N)

(k\

Q,expj-Jr.N:oddnumber*=0.1.2…??2N-1

IN/

上式所求得的極點(diǎn)，是在s平面內(nèi)，在半徑為Cc的圓上等間距的點(diǎn)，其數(shù)量為2N個(gè)。為

了使得其HR濾波器穩(wěn)定，那么，只能選取極點(diǎn)在S平面左半平面的點(diǎn)。選定了穩(wěn)定的極點(diǎn)

之后，其模擬濾波器的傳遞函數(shù)就可由下式求得。

%G)=n—

Re。］<0S~Pk

1.3巴特沃斯濾波器的實(shí)現(xiàn)(C語(yǔ)言)

首先，是次數(shù)的計(jì)算。次數(shù)的計(jì)算，我們可以由下式求得。

_1log10(10^-1)

其對(duì)應(yīng)的C語(yǔ)言程序?yàn)?/p>

[cpp]viewplaincopy

N=Ceil(0.5*(loglO(pow(10,Stopband_attenuation/10)-1)/

log10(Stopband/Cotoff)));

然后是極點(diǎn)的選擇，這里由于涉及到復(fù)數(shù)的操作，我們就聲明一個(gè)復(fù)數(shù)結(jié)構(gòu)體就可

以了。最重要的是，極點(diǎn)的計(jì)算含有自然指數(shù)函數(shù)，這點(diǎn)對(duì)于計(jì)算機(jī)來講，不是太方便，所

以，我們將其替換為三角函數(shù)，

Ck+(1/2)八.左+(1/2)、TK7c「

Q,cos-----------;r+/C,sni-----------兀、N:evennumber,4=0.1.2,

cNN'

Irjrkr

Q.cos—+sin—,N:oddnumber^=0,L2…2N-1

'N'N?

這樣的話，實(shí)部與虛部就還可以分開來計(jì)算。其代碼實(shí)現(xiàn)為

[cppjviewplaincopy

typedefstruct

(

doubleReal_part;

doubleImag_Part;

}COMPLEX;

COMPLEXpolesfN];

for(k=0;k<=((2*N)-1);k++)

(

if(Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N))<0)

{

poles[count].Rcal_part=-Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N));

poles[count].Imag_Part=-Cotoff*sin((k+dk)*(pi/N));

count++;

if(count==N)break;

計(jì)算出穩(wěn)定的極點(diǎn)之后，就可以進(jìn)行傳遞函數(shù)的計(jì)算了。傳遞的函數(shù)的計(jì)算，就像下

式一樣

H°G)=n-

S

Re0]<0-Pk

這里，為了得到模擬濾波器的系數(shù)，需要將分母乘開。很顯然，這里的極點(diǎn)不-一定是整數(shù),

或者來說，這里的乘開需要做復(fù)數(shù)運(yùn)算。其復(fù)數(shù)的乘法代碼如下，

[cpp]viewplaincopy

intComplex_Multiple(COMPLEXa,COMPLEXb,

double*Res_Real,double*Res_Imag)

(

*(Res_Real)=(a.Real_part)*(b.Real_part)-(a.Imag_Part)*(b.Imag_Part);

*(Res_Imag)=(a.Imag_Part)*(b.Real_part)+(a.Real_part)*(b.Imag_Part);

return(int)l;

有了乘法代碼之后，我們現(xiàn)在簡(jiǎn)單的情況下，看看其如何計(jì)算其濾波器系數(shù)。我們做如下假

設(shè)

N=2，P]=4+%2，。2=b\+a2

這個(gè)時(shí)候，其傳遞函數(shù)為

44XZ

H「G)=-------------------!-------------------

(s-(4+Ja2))($-(4+jb2))

將其乘開，其大致的關(guān)系就像下圖所示一樣。

ReImReIm

a,a、、

?*b:b■

1010

計(jì)算的關(guān)系一目了然，這樣的話，實(shí)現(xiàn)就簡(jiǎn)單多了。高階的情況下也一樣，重復(fù):這種計(jì)算就

可以了。其代碼為

[cpp]viewplaincopy

Res[O].Real_part=poles[0].Real_part;

Res[O].Imag_Part=poles[OJ.Imag_Part;

Resll].Real_part=I;

Res[l].Imag_Part=0;

for(count_l=0;count_l<N-l;count_l++)

(

for(counl=0;count<=count_l+2;count++)

{

if(0==count)

|

Complex_Multiple(Res[count],poles[count_l+l],

&(Res_Savefcount].Real_part),

&(Res_Save[count].lmag_Pan));

)

elseif((count_l+2)==count)

Res_Save[count].Real_part+=Res[count-l].Real_part;

Res_Savc[countJ.Iniag_Part+=Res[count-1].Iniag_Part;

else

(

Complex_Multiple(Res[count],poles[count_l+l],

&(Res_Save[count].Real_part),

&(Res_Save[count].Imag_Part));

1Res_Savelcount].Real_part+=Reslcount-1J.Rcal_part;

Res_Save[countl.Iniag_Part+=Resfcount-1l.Imag_Part;

*(b+N)=*(a+N);

到此，我們就可以得到一個(gè)模擬濾波器巴特沃斯低通濾波器了。

2.雙1次z變換

2.1雙1次z變換的原理

我們?yōu)榱藢⒛M濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的，可以用的方法很多。這里著重說說雙1

次z變換。我們希望通過雙1次z變換，建立一個(gè)s平面到z平面的映射關(guān)系，將模擬漉波

那轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。

和之前的例子?樣，我們假設(shè)有如下模擬濾波器的傳遞函數(shù)。

b

H(s)=

(S+Q)

將其做拉普拉斯逆變換，可得到其時(shí)間域內(nèi)的連續(xù)微分方程式，

dv(t)/、7/、

---+=

dt

其中，x⑴表示輸入，y⑴表示輸出。然后我們需要將其離散化，假設(shè)其采樣周期是T,用差

分方程去近似的替代微分方程，可以得到下面結(jié)果

—卜(〃)一+y\y(n)+>'(77-l)]=-[x(n)+x(?7-1)]

然后使用z變換，再將其化簡(jiǎn)?？傻玫饺缦陆Y(jié)果

y(z)b

H(z)=H3”(z)

X(z)21-z-1

f1+z-1

從而，我們可以得到了s平面到z平面的映射關(guān)系，即

S=/(N)=匕

T1+Z

由于所有的高階系統(tǒng)都可以視為一階系統(tǒng)的并聯(lián)，所以，這個(gè)映射關(guān)系在高階系統(tǒng)中，也是

成立的。

然后，將關(guān)系式

z=e沁ands=b+jQ

帶入上式，可得

21—i

5-----------：-

T1+eJO

_21-C0S69-jsina>

Tl+cosa>+ysin69

_2l-(cos2G+sin%)-j2sina>

T24-2COS69

=0+y—tan—=5+JQ

T2

到這里，我們可以就可以得到Q與①的對(duì)應(yīng)關(guān)系了。

Q=-tan-

T2

這里的c與⑴的對(duì)應(yīng)關(guān)系很重要。我們最終的目的設(shè)計(jì)的是數(shù)字謔波器，所以，設(shè)

計(jì)時(shí)候給的參數(shù)必定是數(shù)字濾波器的指標(biāo)。而我們通過間接設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)IIR濾波器時(shí)候，首先

是要設(shè)計(jì)模擬濾波器，再通過變換，得到數(shù)字濾波器。那么，我們首先需要做的，就是將數(shù)

字濾波器的指標(biāo)，轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的指標(biāo)，基于這個(gè)指標(biāo)去設(shè)計(jì)模擬濾波器。另外，這里

的采樣時(shí)間T的取值很隨意，為了方便計(jì)算，一般取Is就可以。

2.2雙1次z變換的實(shí)現(xiàn)(C語(yǔ)言)

我們?cè)O(shè)計(jì)好的巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)如下所示。

/⑸=―-------------------------------

CIQS+4]S+…+4一5+

我們將其進(jìn)行雙1次z變換，我們可以得到如下式子

H(z)=4(s)|3i-：

=______________________________________(1+Z-T

a0!!!(1一2-丫+點(diǎn)；(IT嚴(yán)(l+z-〉+…+ay.(1—z]產(chǎn)(1+z-,+…+a/l+;

可以看出，我們還是需要洛式子乘開，進(jìn)行合并同類項(xiàng)，這個(gè)跟之前說的算法相差不大。其

代碼為。

[cpp]viewplaincopy

for(Count=();Count<=N;Count++)

{

for(Count_Z=0;Count_Z<=N;Count_Z++)

{

Res[Count_Z]=0;

Res_Save[Count_Z)=0;

)

Res_Save[0]=1;

for(Count_l=0;Count_l<N-Count;Count_1++)

{

for(Count_2=0;Count_2<=Count_l+l;Counl_2++)

{

if(Count_2==0)Res[Count_2]+=Res_Save[Count_2];

elseif((Count_2==(Count_14-1))&&(Count_1!=0))

ReslCount_2]+=-Res_Save[Count_2-I];

elseRes[Count_2]+=Res_Save[Count_2]-Res_Save[Count_2-1

]；

for(Count_Z=0;Count_Z<=N;Count_Z++)

{

Res_Save[Count_Z]=Res[Count_Z];

Res(Count_Z]=0;

)

)

for(Count_1=(N-Count);Count_I<N;Count_l++)

{

for(Count_2=0;Count_2<=Count_l+1;Count_2++)

(

if(Count_2==0)Res[Count_2]+=Res_Save[Count_2];

elseif((Counl_2==(Counl_1+1))&&(Count_1!=0))

Res[Count_2]+=Res_Save[Count_2-1];

else

Res[Count_21+=Res_Save[Count_21+Res_Save[Counl_2-11；

)

for(Count_Z=0;Count_Z<=N;Count_Z++)

{

Res_Save[Count_Z]=Res[Count_Z];

Res[Count_Z]=0;

)

)

for(Count_Z=0;Count_Z<=N;Count_Z++)

{

*(az+Count_Z)+=pow(2,N-Count)*(*(as+Count))*

Res_Save[Count_Z|;

*(bz+Count_Z)+=(*(bs+Count))*Res_Save[Count_Z];

)

到此，我們就已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了一個(gè)數(shù)字濾波器。

3.IIR濾波器的間接設(shè)計(jì)代碼(C語(yǔ)言)

[cpp]viewplaincopy

#include<stdio.h>

#include<math.h>

#includevmaHoc.h、

#includc<string.h>

#definepi((double*.1415926)

structDESIGN_SPECIFICATION

(

doubleCotoff;

doubleStopband;

doubleStopband_attenualion;

)；

typedefstruct

|

doubleReal_part;

doubleIniag_Part;

}COMPLEX;

intCeil(doubleinput)

(

if(input!=(int)input)return((int)input)+1;

elsereturn((in()input);

intComplex_Multiple(COMPLEXa,COMPLEXb

double*Res_Real,double*Res_Imag)

(

*(Res_Real)=(a.Real_part)*(b.Real_part)-(a.Imag_Part)*(b.Imag_Part);

*(Res_Imag)=(a.Imag_Part)*(b.Real_part)+(a.Real_part)*(b.Imag_Part);

return(int)l;

in(But(ord(doubleCotoff,

doubleStopband,

doubleStopband_a(tenuation)

(

intN;

printf("Wc=%lf[rad/sec]\nu,Cotoff);

printf("Ws=%lf[rad/sec]\n",Slopband);

piintf("As=%lf[dB]\n",Stopband_attenuation);

printfC-----------------------------------------------\n”)：

N=Ceil(0.5*(log1()(pow(10,Stopband_attenuation/10)-I)/

log10(Stopband/Cotoff)));

return(int)N;

intButter(intN,doubleCotoff,

double*a,

double*b)

(

doubledk=0;

intk=0;

intcount=0,count_l=0;

COMPLEXpoles[N];

COMPLEXReslN+l],Res_SavelN+lJ;

if((N%2)==0)dk=0.5;

elsedk=0;

for(k=0;k<=((2*N)-1);k++)

(

if(Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N))<0)

{

poles[count].Real_part=-Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N));

poles[countl.Imag_Part=-Cotoff*sin((k+dk)*(pi/N));

count++;

if(count==N)break;

printf("Pk=\n")；

fbr(counl=O;count<N;count++)

(

printf("(%lf)+(%lfi)\nH,-poles[count].Real_part

,-poles[count].Imag_Part);

)

printfC------------------------------------------------------------\n");

Res|O].Real_part=poles[0].Real_part;

Res[O].Imag_Part=poles[0].Imag_Part;

Res[l].Real_part=1;

Res[1].Imag_Part=0;

for(count_l=0;count_l<N-l;count_l++)

(

for(count=0:count<=count_l+2;count++)

{

if(0==count)

(

Complex_Multiple(Res[count],poles[count_l+1],

&(Res_Save[countJ.Real_part),

&(Res_Savefcount].Imag_Part));

//printf("Rcs_Save:(%lf)+(%lfi)\n",Res_Save[O].Real_part,Res_Save[O].Imag_Part)

elseif((count_l+2)==count)

|

Res_Save[count].Real_part+=Res[count-ll.Real_part;

Rcs_Save[count].1mag_Part+=Res[count-l].Imag_Part;

}

else

(

Complex_Multiple(Res[count],poles[count_1+1],

&(Res_Save[count].Real_part),

&(Res_Save[count].Imag_Part));

//printf("Res:(%lf)+(%lfi)\n",Res[count-1].Real_par(,Res[counl-I|.Ima

g_Part);

//prinlf("Res_Save:(%lf)+(%lfi)\n",Res_Save[count].Real_part,Res_Save[count].I

mag_Part);

Res_Save[count].Real_part+=Resfcount-1].Real_part;

Rcs_Savc[countJ.1inag_Part+=Res[count-1].lmag_Part;

//printf("Res_Save:(%lf)+(%lfi)\n",Res_Save[count].Real_part,Res_Save[count].I

mag_Part);

)

//prinlfC'There\nn);

)

for(count=0:count<=N:count++)

{

Res[count].Real_part=Res_Save[count].Real_part;

Res[count].Imag_Part=Res_Save[count].1mag_Part;

*(a+N-count)=Reslcount].Rcal_part;

}

//prinlfC'There!!\n");

}

*(b+N)=*(a+N);

//.................................display-.............................................//

printf("bs=[");

fbr(count=0;count<=N;count++)

I

printf("%lf",*(b+count));

}

printf("!\n");

printf("as=[");

fbr(count=0;count<=N;count++)

I

printf("%lf",*(a+count));

)

printf(n1\n");

printfC'------------------------------------------------------------\n");

return(ini)1;

1

intBilincar(intN,

double*as,double*bs,

double*az,double*bz)

(

intCount=0,Count_l=0,Count_2=0,Count_Z=0;

doubleReslN+1J;

doubleRes_Save[N+ll;

for(Count_Z=0;Counl_Z<=N;Count_Z++)

{

*(az+Count_Z)=0;

*(bz+Count_Z)=0;

for(Count=0;Count<=N;Count++)

{

for(Count_Z=0;Count_Z<=N;Count_Z++)

RcslCount_Z|=0;

Res_Save[Count_Z)=0;

)

Res_Savef0]=1;

for(Count_l=0;Counl_l<N-Count;Count_l++)

{

for(Count_2=0;Count_2<=Count_1+1;Count_2++)

{

if(Count_2==0)

(

Res[Count_2J+=Res_Save[Count_2];

//printf("Res[%d]%lf\n",Count_2,Res[Count_2]);

)

elseif((Count_2==(Count_1+1))&&(Count_1!=0))

{

Res[Count_2]+=-Res_Save[Count_2-1];

//printf('Res[%d]%lf\n",Count_2,Res[Count_2]);

else

Rcs[Count_2]+=Res_Savc[Count_2]-Res_Savc[Count_2-11;

//printf("Res[%d]%lf\n",Count_2,Res[Count_2]);

)

//printf("Res:");

for(Count_Z=0;Count_Z<=N;Count_Z++)

|

Res_Save[Count_Zl=Res[Count_Zl;

Rcs[Count_Z]=0;

//printf(nr%d]%lf",Count_Z,Res_Save[Count_Z]);

)

//printfC*\n");

for(Count_1=(N-Count);Count_l<N;Count_l++)

(

for(Count_2=0;Count_2<=Count_1+1:Count_2++)

{

if(Count_2==0)

(

Res[Count_21+=Res_Save[Count_2];

//printf(HRes[%dJ%lf\n",Count_2,Res[Count_2J);

)

elseif((Counl_2==(Coun(_l+l))&&(Count_l!=0))

{

Res[Count_2J+=Res_Save[Count_2-I];

//printf('Res[%d]%lf\n",Count_2,Res[Count_2]);

)

else

{

Res[Count_2J+=Res_Save[Count_2]+Res_Save[Count_2-1];

//printf("Res[%d]%lf\n",Couni_2,Res[Count_2]);

//printf("Res:");

for(Count_Z=O;Count_Z<=N;Count_Z++)

(

Res_Save[Count_Z]=Res[Count_Z];

Res[Count_Z]=0;

//printf("[%dj%lf",Count_Z,Res_Save[Count_Z]);

)

//printfC1'\n");

//printf("Res:");

for(Count_Z=0;Count_Z<=N;Count_Z++)

{

*(az+Count_Z)+=pow(2,N-Count)*(*(as+Count))*Res_SavelCount_ZJ;

*(bz+Count_Z)+=(*(bs+Count))*Res_Save[Count_Z];

//printf(0%lf",*(bz+Count_Z));

)

//printf("\n");

I

for(Count_Z=N;Count_Z>=0;Count_Z—)

(

*(bz+Count_Z)=(*(bz+Count_Z))/(*(az+0));

*(az+Count_Z)=(*(az+Count_Z))/(*(az+0));

//---------------------------display--------------------------------------//

printf("bz=[");

for(Count_Z=0;Count_Z<=N;Count_Z++)

(

printf("%lf\*(bz+Count_Z));

)

printf("]\n");

printfC'az=[");

for(Count_Z=0;Count_Z<=N;Count_Z++)

(

printf("%lf",*(az+Count_Z));

}

printf(H1\n");

printf(".........................................................................................................\n");

return(int)1;

intmain(void)

intcount;

structDESIGN_SPECIFICATIONIIR_Filter;

HR.Filter.Cotoff=(double)(pi/2);//[red]

IIR_FiIter.Stopband=(double)((pi*3)/4);//[red]

11R_Filter.Stopband_attenuation=30;//[dB]

intN;

IIR_Filter.Cotoff=2*tan((IIR_Filtcr.Cotoff)/2);//[red/sec]

IIR_Filcer.Stopband=2*lan((IIR_Filter.Stopband)/2);//[red/sec]

N=Buttord(IIR_Filter.Cotoff,

11R_FiIter.Stopband,

IIR_Filtcr.Stopband_attcnuation);

printfC'N:%d\n",N);

printfC1...............................................................................\n");

doubleas[N+l],bs[N+l];

But(er(N,

IIR_Filter.Cotoff,

as,

bs);

doubleaz[N+1],bz[N+l];

Bilinear(N,

as.bs,

az,bz);

printf("Finish\n");

relum(int)O;

3.間接設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)的IIR濾波器的性能

3.1設(shè)計(jì)指標(biāo)

a.截止頻率從q=g[rad]

b.阻帶起始頻率生=；i[rad]

c.阻帶衰減4=30[dB]

3.2程序執(zhí)行結(jié)果

使用上述程序，gcc編譯通過，執(zhí)行結(jié)果如下。

畫kter