ZHUANTIWU

專題五概率與統(tǒng)計(jì)

第1講計(jì)數(shù)原理與概率

［考情分析］1.主要考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列、組合的簡單應(yīng)用，時(shí)常與概率相結(jié)合，以選擇題、

填空題為主2二項(xiàng)式定理主要考查通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)等知識，近幾年也與函數(shù)、不等式、

數(shù)列交匯考查.3.概率重點(diǎn)考查古典概型、條件概率的基本應(yīng)用.

考點(diǎn)一排列與組合問題

【核心提煉】

解決排列、組合問題的一般過程

⑴認(rèn)真審題，弄清楚要做什么事情；

（2）要做的事情是需要分步還是分類，還是分步分類同時(shí)進(jìn)行，確定分多少步及多少美；

（3）確定每一步或每一類是排列（有序）問題還是組合（無序）問題，元素總數(shù)是多少及取出多少元

素.

例1（1）甲、乙、丙、丁四名交通志愿者申請?jiān)趪鴳c期間到A,B,。三個(gè)路口協(xié)助交警值勤，

他們申請值勤路口的意向如下表：

交通路口ABC

志愿者甲、乙、丙、「甲、乙、丙丙、丁

這4名志愿者的申請被批準(zhǔn)，且值勤安排也符合他們的意向，若要求A,從C三個(gè)路口都要

有志愿者值勤，則不同的安排方法有（）

A.14種B.11種

C.8種D.5種

（2）（2022.衡陽模擬）2022年2月4日，中國北京第24屆奧林匹克冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式以二十四

節(jié)氣的方式開始倒計(jì)時(shí)，創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾，某中學(xué)為了弘揚(yáng)我國二十四節(jié)氣文化,

特制作出“立春”、“驚蟄”、“清明”、“立夏”、“芒種”、“小暑”六張知識展板分

別放置在六個(gè)并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“驚蟄”兩塊展板相鄰，且“清明”與“驚

蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式有多少種？（）

A.192B.240C.120D.288

規(guī)律方法排列、組合問題的求解方法與技巧

（I）合理分類與準(zhǔn)確分步；［2）排列、組合混合問題要先選后排；（3）特殊元素優(yōu)先安排；（4）相

鄰問題捆綁處理：（5）不相鄰問題插空處理;（6）定序問題除法處理:（7）“小集團(tuán)”排列問題先

整體后局部：（8）正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化.

跟蹤演練I（1）2021年I月18號，國家航天局探月與航天工程中心表示，中國首輛火星車

全球征名活動(dòng)已經(jīng)完成了初次評審.評審委員會(huì)遴選出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求

索、風(fēng)火輪、追夢、天行、星火共10個(gè)名稱，將其作為中國首輛火星車的命名范圍.某同學(xué)

為了研究這些初選名稱的涵義，計(jì)劃從中選3個(gè)名稱依次進(jìn)行分析，其中有1個(gè)是祝融，其

余2個(gè)從剩下的9個(gè)名稱中隨機(jī)選取，則祝融不是第3人被分析的情況有（）

A.144種B.336種

C.672種D.1008種

⑵（2022.廣東聯(lián)考）現(xiàn)要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去國家高山滑雪館、國家速滑館、首

鋼滑雪大跳臺三個(gè)場館參加活動(dòng)，要求每個(gè)場館都有人去，且這四人都在這三:個(gè)場館，則甲

和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺的種數(shù)為（）

A.12B.14C.16D.18

考點(diǎn)二二項(xiàng)式定理

【核心提煉】

1.求二項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)問題的思路

（I）利用通項(xiàng)公式將乙+1項(xiàng)寫出并化簡.

（2）令字母的指數(shù)符合要求（求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零：求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等），解出七

（3）代回通項(xiàng)公式即得所求.

2.對于兩個(gè)因式的積的特定項(xiàng)問題，一般對某個(gè)因式用通項(xiàng)公式，再結(jié)合因式相乘，分類討

論求解.

例2（1）（2022?新高考全國I）（1一三）。+），）8的展開式中f），6的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

（2）已知的展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)為120,所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512,則實(shí)

數(shù)。的值為，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

易錯(cuò)提醒二項(xiàng)式3+與"的通項(xiàng)公式供=0,1,2,…，〃），它表示的是二項(xiàng)式的

展開式的第k+l項(xiàng)，而不是第4項(xiàng)；其中C6是二項(xiàng)式展開式的第A+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系敷，而

二項(xiàng)式的展開式的第左+1項(xiàng)的系數(shù)是字母寐前的常數(shù)，要區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù).

跟蹤演練2（1）（2022?淄博模擬）若（1—工）8=的+〃1（1+工）+〃2（1+x）2H---1~48（1+幻8,則。6等

于（）

A.-448B.-112

C.112D.448

2

（2）（多選）已知（1—2x）2°23=a（）+a]x+a2A2_（------FazQV。"，則（）

A.展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為1

B.展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22023

C.41+政+。3+…+42023=12

c??〃2I.。2023八

D.------------------------^22023=0

考點(diǎn)三概率

【核心提煉】

I.古典^型的概率公式

—事件4包含的樣本點(diǎn)數(shù)

"A)=試驗(yàn)的樣本點(diǎn)總數(shù).

2.條件概率公式

設(shè)A,3為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0,

P（AB）

則P（B\A）=W

3.全概率公式

設(shè)人，入2,…，4是一組丙兩互斤的事件，4LM25??LM〃=Q,且P(A/A0,i=l,2,…，H,

則對任意的事件BEQ,有P(8)=EP(A)P(為Ai).

例3(1)(2022?新高考全國I)從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)

的概率為()

A6B3C2Dl

(2)(多選)(2022臨沂模擬)甲和乙兩個(gè)箱子中各有質(zhì)地均勻的9個(gè)球，其中甲箱中有4個(gè)紅球，

2個(gè)白球，3個(gè)黑球，乙箱中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球，2個(gè)黑球，先從甲箱中隨機(jī)取出一球放

入乙箱中，分別以4,4,4表示從甲箱中取出的球是紅球、白球、黑球的事件，再從乙箱

中隨機(jī)取出一球，以B表示取出的球是紅球的事件，則()

A.A|,4，43兩兩互斥

B.P（B\A2）=l

C.P(B)=2

D.8與4相互獨(dú)立

(3)(2022?益陽調(diào)研)甲、乙、丙、丁4名棋手進(jìn)行象棋比賽，賽程如框圖所示，其中編號為i

的方框表示第i場比賽，方框中是進(jìn)行該場比賽的兩名棋手，第，?場比賽的勝者稱為“勝者產(chǎn)，

負(fù)者稱為“負(fù)者廣，第6場為決賽，獲勝的人是冠軍.已知甲每場比賽獲勝的概率均為東

而乙、丙、丁之間相互比賽,每人勝負(fù)的可能性相同.則甲獲得冠軍的概率為()

A-27B27C-81D-81

規(guī)律方法求概率的方法與技巧

(1)古典概型用古典概型概率公式求解.

(2)條件概率用條件概率公式及全概率公式求解.

(3)根據(jù)事件間關(guān)系，利用概率的加法、乘法公式及對應(yīng)事件的概率公式求解.

跟蹤演練3(1)某市在文明城市建設(shè)中，鼓勵(lì)市民“讀書好，好讀書，讀好書”.在各閱覽

室設(shè)立茶座，讓人們在休閑中閱讀有用有益圖書.某閱覽室為了提高閱讀率，對于周末前來

閱讀的前三名閱讀者各贈(zèng)送一本圖書，閱讀者從四種不同的書籍中隨意挑選一本，則他們有

且僅有2名閱讀者挑選同一種書的概率為()

1439

A3B.§C，4D.M

(2)(多選)一次“智力測試”活動(dòng)，在備選的10道題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中

的8題，測試時(shí)從備選的10道題中隨機(jī)抽出3題由甲、乙分別作答，至少答對2題者被評為