§10.4隨機(jī)事件與概率

【考試要求】1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概

率的區(qū)別2理解事件間的關(guān)系與運(yùn)算3掌握占典概型及其計(jì)算公式，能計(jì)算占典概型中簡(jiǎn)單

隨機(jī)事件的概率.

-落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.樣本空間和隨機(jī)事件

⑴樣本點(diǎn)和有限樣本空間

①樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn),常用山表示.

全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的圖逢圓，常用。表示.

②有限樣本空間：如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有〃個(gè)可能結(jié)果0，/2,…，5,則稱樣本空間。={0,

①2，…，Q%}為有限樣本空間.

（2）隨機(jī)事件

①定義：將樣本空間。的壬集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件.

②表示：一般用大寫字母A,B,C,…表示.

③隨機(jī)事件的極端情形：必然事件、不可能事件.

2.兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算

含義符號(hào)表示

包含關(guān)系若A發(fā)生，則6一定發(fā)生4一—

相等關(guān)系83A且A38A=B

并事件（和事件）A與B至少有一個(gè)發(fā)生AUB或4+8

交事件（積事件）A與B同時(shí)發(fā)生4nB或4B

互斥（互不相容）A與8不能同時(shí)發(fā)生4n8=0

互為對(duì)立A與3有且僅有一個(gè)發(fā)生?04=0,且AU3=Q

3.古典概型的特征

⑴有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有職企；

（2）等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.

4.古典概型的概率公式

一般地，設(shè)試驗(yàn)￡是古典概型，樣本空間。包含〃個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的％個(gè)樣本點(diǎn),

則定義事件A的概率2田=)=鬻.

其中，〃(A)和〃(Q)分別表示事件A和樣本空間0包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).

5.概率的性質(zhì)

性質(zhì)1：對(duì)任意的事件4,都有P(A)20：

性質(zhì)2：必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即汽。)=1,尸(0)=0；

性質(zhì)3：如果事件4與事件8互斥，那么尸(AU8)=尸(A：+P(B)；

性質(zhì)4：如果事件A與事件4互為對(duì)立事件，那么P(4)=1—P(A),24)=1—0仍);

性質(zhì)5：如果4G8,那么P(A)WP(B),由該性質(zhì)可得，對(duì)于任意事件A,因?yàn)?G4G。，所

以O(shè)WP(A)W1；

性質(zhì)6：設(shè)48是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有AAJ8)=P(A)+P(BL0(4GB).

6.頻率與概率

(1)頻率的穩(wěn)定性

一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)〃的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)

會(huì)逐漸穩(wěn)定工事件A發(fā)生的概率尸(A),我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.

(2)頻率穩(wěn)定性的作用

可以用頻率加A)估計(jì)概率P(A).

【常用結(jié)論】

1.當(dāng)隨機(jī)事件4,B互斥時(shí)，不一定對(duì)立；當(dāng)隨機(jī)事件A,B對(duì)立時(shí)，一定互斥，即兩事件

互斥是對(duì)立的必要不充分條件.

2.若事件4,4,…，4兩兩互斥，則P(4IUA2U「?UA“)=P(A])+P(A2)+???+P(A〃).

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.(X)

(2)兩個(gè)事件的和事件發(fā)生是指這兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生.(7)

(3)從一3,-2,-10,1,2中任取一個(gè)數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同.(J)

(4)若4U8是必然事件，則A與8是對(duì)立事件.(X)

【教材改編題】

1.一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件”至多有一次中靶”的互斥事件是()

A.至少有一次中靶

B.兩次都中靶

C.只有一次中靶

D.兩次都不中靶

答案B

解析射擊兩次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或兩次都不中靶”，與該事件不能同

時(shí)發(fā)生的是“兩次都中靶”.

2.從某班學(xué)生中任意找出一人，如果該同學(xué)的身高小于160cm的概率為0.2,該同學(xué)的身高

在［160,175］（單位：cm）內(nèi)的概率為0.5,那么該同學(xué)的身高超過175cm的概率為（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.（）.8

答案B

解析由題意知該同學(xué)的身高小于160cm的概率、該同學(xué)的身高在［160,175］（單位：cm）內(nèi)的

概率和該同學(xué)的身高超過175cm的概率和為1,故所求概率為1-0.2—0.5=0.3.

3.（2022?全國(guó)乙卷）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的

概率為.

答案

解析從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，有Cg種情況，其中甲、乙都入選有CJ種情況，

Cl3

所以甲、Z,都入選的概率。=超=擊

■探究核心題型

題型一隨機(jī)事件

命題點(diǎn)I隨機(jī)事件間關(guān)系的判斷

例1（1）（多選）對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件A=｛兩彈都擊

中飛機(jī)｝,事件B=｛兩彈都沒擊中飛機(jī)｝,事件。=｛恰有一彈擊中飛機(jī)｝,事件。=｛至少有

一彈擊中飛機(jī)｝,則下列關(guān)系正確的是（）

A.Ano=0B.BQD=0

C.AUC=DD.AUB=BUD

答案BC

解析“恰有一彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中、第二枚沒D或第一枚沒中、第二枚擊中，“至

少有一彈擊中飛機(jī)”包含兩種情況，一種是恰有一彈擊中，另一種是兩彈都擊中，故

AC。#。，8G￡>=0,AUC=D,AUB^BUD.

（2）從裝有十個(gè)紅球和十個(gè)白球的罐子里任取兩球，下列情況中是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件的

是（）

A.至少有一個(gè)紅球；至少有一個(gè)白球

B.恰有一個(gè)紅球；都是白球

C.至少有一個(gè)紅球：都是白球

D.至多有一個(gè)紅球：都是紅球

答案B

解析對(duì)于A,“至少有一個(gè)紅球”可能為一個(gè)紅球、一個(gè)白球，”至少有一個(gè)白球”可能

為一個(gè)白球、一個(gè)紅球，故兩事件可能同時(shí)發(fā)生，所以不是互斥事件；對(duì)于B,“恰有一個(gè)

紅球”，則另一個(gè)必是白球，與''都是白球”是互斥事件，而任取兩球還可能都是紅球，故

兩事件不是對(duì)立事件；對(duì)于C,“至少有一個(gè)紅球”為都是紅球或一紅一白，與“都是白球”

顯然是對(duì)立事件；對(duì)于D,“至多有一個(gè)紅球”為都是白球或一紅一白，與“都是紅球”是

對(duì)立事件.

命題點(diǎn)2利用互斥、對(duì)立事件求概率

例2某商場(chǎng)進(jìn)行有獎(jiǎng)銷售，購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得.1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)

單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè).設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)

的事件分別為4,B，C,求：

(l)P(A),P(B),P(C)；

(2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；

(3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率.

=-

解⑴?(A)=]0G0,P(B)=]000=而，00020

(2)1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)包含中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng).設(shè)“1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”這個(gè)事件為M,則M

=AUBUC.

???事件4,B,C兩兩互斥，

:.P(M)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)

_l+10+50_61

1000=1000,

故I張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率為篇.

⑶設(shè)“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”為事件M則事件N與“1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)或中

一等獎(jiǎng)”為對(duì)立事件，

??.P(N)=1-P(4U8)=1-(壺+土)=尚

98Q

故1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率為湍正

思維升華事件關(guān)系的運(yùn)算策略

進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試臉可能出現(xiàn)的

全部結(jié)果，必要時(shí)可列出全部的試臉結(jié)果進(jìn)行分析.當(dāng)事件是由互斥事件組成時(shí)，運(yùn)用互斥

事件的概率加法公式.

跟蹤訓(xùn)練1(I)有一個(gè)游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個(gè)人從同一地點(diǎn)隨機(jī)地向東、南、

西、北四個(gè)方向前進(jìn)，一個(gè)方向只能有一個(gè)人.事件"日向南”與事件“乙向南”是()

A.互斥但非對(duì)立事件

B.對(duì)立事件

C.相互獨(dú)立事件

D.以上都不對(duì)

答案A

解析由于每人一個(gè)方向，故“甲向南”意味著“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但

不是對(duì)立事件.

（2）某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的

100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.

一次購(gòu)物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上

顧客數(shù)（人）X3025y10

結(jié)算時(shí)間

11.522.53

（分鐘/人）

已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過8件的顧客占55%.

①確定x,y的值，并估計(jì)顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值:

②估計(jì)一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率.

解①由已知得25+），+10=55,x+30=45,所以x=15,），=20.則顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)

1X15+1.5X30+2X25+2.5X20+3X10

間的平均值可用樣本平均數(shù)估計(jì)，其估計(jì)值為

100

1.9（分鐘）.

②記A為事件”一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘”，4,A2,4分別表示事伶''該

顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為1分鐘”“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為1.5分鐘”“該顧客一

次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為2分鐘”，則可估計(jì)概率約為

153303251

尸（4）=而=而，「（人2）=麗=而，°（43）=同=不

因?yàn)锳=AiUA2UA3,且4,A2,A3兩兩互斥，

所以P(A)=P(AiU/hUA3)=尸(4)+尸(4)+P(A3)=而+市+不=而

故一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率約為云7.

題型二古典概型

例3（1）（2023?榆林模擬）在2,357這四個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)，將其組成無重兔數(shù)字的三位數(shù),

則這個(gè)數(shù)是奇數(shù)的概率為（）

答案C

解析由題意,這個(gè)數(shù)可能為235,237,253,257,273,275,325,327,352,357,372,375,523,527,532,

537,572,573,723,725,732,735,752,753,共24種情況，

其中奇數(shù)共有18個(gè)，故所求概率2=皆=/

(2)在一次比賽中某隊(duì)共有甲、乙、丙等5位選手參加，賽前用抽簽的方法決定出場(chǎng)順序，則

乙、丙都不與甲相鄰出場(chǎng)的概率是()

1123

A?而BqCqD.布

答案D

解析在一次比賽中某隊(duì)共有甲、乙、丙等5位選手參加，賽前用抽簽的方法決定出場(chǎng)順序，

樣本點(diǎn)總數(shù)〃=A?=I2O,“乙、丙都不與甲相鄰出場(chǎng)”包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)加=AWA3+A通訊4

=36,所以“乙、丙都不與甲相鄰出場(chǎng)”的概率尸=彳=將=得.

思維升華利用公式法求解古典慨型問題的步驟

定型,根據(jù)事件的性質(zhì)，確定事件類

型為古典概型

定量，確定試臉包含的樣本點(diǎn)總數(shù)及

第二步所求事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)

求值，代入古典概型的概率計(jì)算公式

第三步一

求解

跟蹤訓(xùn)練2⑴(2022?全國(guó)甲卷)從分別寫有123,4,5,6的6張卡片中無放回地隨機(jī)抽取2張,

則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為()

解析從寫有1,2,345,6的6張卡片中無放回地隨機(jī)抽取2張，共有15種取法，它們分別是

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),

(5,6),其中卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的是(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6),共6

種取法，所以所求概率是—條=之

(2)(2022?宜賓質(zhì)檢)2022年冬奧會(huì)在北京、延慶、張家口三個(gè)區(qū)域布置賽場(chǎng)，北京承辦所有冰

上項(xiàng)目，延慶和張家口承辦所有雪上項(xiàng)目.組委會(huì)招聘了包括甲在內(nèi)的4名志愿者，準(zhǔn)備分

配到上述3個(gè)賽場(chǎng)參與賽后維護(hù)服務(wù)工作，要求每個(gè)賽場(chǎng)至少分到?名志愿者，則志愿者甲

正好分到北京賽場(chǎng)的概率為.

答案5

解析依題意3個(gè)賽場(chǎng)分配的志愿者人數(shù)只有1,1,2這種情況，則共有〃=CiM=36(種)安排

方法，

志愿者甲被分配到北京賽場(chǎng)有/〃=AS+GA名=12(種)安排方法，

所以志愿者甲正好分到北京賽場(chǎng)的概率。=妥12=看1

JUJ

題型三概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題

例4北京冬奧會(huì)順利閉幕后，某學(xué)校團(tuán)委組織了一次“奧運(yùn)會(huì)”知識(shí)講座活動(dòng)，活卻結(jié)束

后隨機(jī)抽取120名學(xué)生對(duì)講座情況進(jìn)行調(diào)查，其中男生與女生的人數(shù)之比為1：1,抽取的學(xué)

生中男生有40名對(duì)講座活動(dòng)滿意，女生中有3()名對(duì)講座活動(dòng)不滿意.

(1)完成下面2X2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.10的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否推斷對(duì)講座活現(xiàn)是否

滿意與性別有關(guān)？

滿意不滿意合計(jì)

男生

女生

合計(jì)120

(2)從被調(diào)查的對(duì)講座活動(dòng)滿意的學(xué)生中，利用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取7名學(xué)生，

再在這7名學(xué)生中抽取3名學(xué)生談?wù)勛约郝犞v座的心得體會(huì)，求其中恰好抽中2名男生與1

名女生的概率.

參考數(shù)據(jù)：*=/'八,其中〃=a+/?+c+d.

A(a-rb)(c-ra)(a+c)(b+d)

a0.100.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910,828

Xa

解(1)2X2列聯(lián)表如表所示.

滿意不滿意合計(jì)

男生402060

女生303060

合計(jì)7050120

零假設(shè)為為：對(duì)講座活動(dòng)是否滿意與性別無關(guān).

根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，

L、\仆,120X(40X30—20X30)224

紅計(jì)拜付L60X60X70X50=亍杵3.429>2.706=超10,

根據(jù)小概率值。=0.10的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷為不成文，即認(rèn)為對(duì)講座活動(dòng)是否滿意與性

別有關(guān).

（2）由（1）知，在樣本中對(duì)講座活動(dòng)滿意的學(xué)生有70人，從中抽取7人，其中

7

“男生滿意”的有40X方=4（人），

7

“女生滿意”的有30Xm=3（人），

記“恰好抽中2名男生與1名女生”為事件人

則戶（加=等=蕓，

所以恰好抽中2名男生與I名女生的概率為H

思維升華求解古典概型的綜合問題的步腺

（1）聘■題目條件中的相關(guān)知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件；

（2）判斷事件是否為古典榻型；

（3）選用合適的方法確定樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（4）代入古典概型的概率公式求解.

跟蹤訓(xùn)練3從參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中抽出40名，將其成績(jī)（均為整數(shù)）整理后畫出頻率

分布直方圖如圖所示，觀察圖形，回答下列問題.

⑴成績(jī)?cè)冢?0,90）這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？

（2）估計(jì)這次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)：（不要求寫過程）

（3）從成績(jī)是80分以上（包括80分）的學(xué)生中選2人，求他們?cè)谕?分?jǐn)?shù)段的概率.

解（1）根據(jù)題意，成績(jī)?cè)冢?0,60）這一組的頻率為0.015X10=0.15,在［60,70）這一組的頻率為

0.025X10=0.25,在［70,80）這一組的頻率為0.035X10=0.35,在［90,100）這一組的頻率為

0.005X10=0.05,則成績(jī)?cè)冢?0,90）這一組的頻率為:乂［1一（0.15+0.25+0.35+0.05）］=01，其

頻數(shù)為40X0.1=4.

（2）這次競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)約為45X0.1455X0.154-65X0.25+75X0.35+85X0.1+95X0.05

=68.5；

成績(jī)?cè)冢?0,80）這一組的頻率最大，人數(shù)最多，則眾數(shù)約為75；

70分左右兩側(cè)的頻率均為0.5,則中位數(shù)約為70.

（3）記”選出的2人在同一分?jǐn)?shù)段”為事件已成績(jī)?cè)冢?0.90）內(nèi)的有40X0.1=4（人），設(shè)為a,

b,c,d；成績(jī)?cè)冢?0,100）內(nèi)的有40X0.05=2（人），設(shè)為A,8.從這6人中選出2人，有⑷

b),(a,c),(a,d),(a,A),(a,8),(b,c),(b,d),(b,A),(b,B),(c,d),(c,A),(c,

B),(d,A),(d,B),(A,B),共15種選法，其中事件E包括(a,b),(a,c),(a,d),(b,

7

c),(瓦①,(c,①，(4,B),共7種選法，則尸(?=F

課時(shí)精練

q基礎(chǔ)保分練

1.同時(shí)擲兩枚硬幣，”向上的面都是正面”為事件A,“向上的面至少有一枚是正面”為事

件B,則有()

A.AG8B.A^B

C.A=BD.A<B

答案A

解析事件8包含“有一枚硬幣正面向上”與“兩枚硬幣都是正面向上”，故

2.杭州亞運(yùn)會(huì)的三個(gè)吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”，如圖.現(xiàn)將三張分別印有

“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片(卡片的形狀、大小和質(zhì)地完全相同)放入盒子中.若

從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，則一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的概率是()

答案C

解析記印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片分別為4,B,C,則樣本點(diǎn)有(A,A),

(A,B),(A,C),(&A),(伉B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),共9個(gè)，

其中一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的樣本點(diǎn)有(A,陰，仍，A),共2個(gè)，

2

所以所求的概率

3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開倉(cāng)收糧，有人送來米1534石,

驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為()

A.134石B.169石

C.338石D.1365石

答案B

解析這批米內(nèi)夾谷約為急XI534-169(石).

4.圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為寧，從中取出2粒都

是白子的概率是H，則從中任意取出2粒恰好是同色的概率是()

A.；B.||C.1|D.1

答案C

解析設(shè)“從中取出2粒都是黑子”為事件A,“從中取出2粒都是白子”為事件B,“從

中任意取出2粒恰好是同色”為事件C,則C=AU8,且事件A與事件8互斥.所以尸(C)

1I?1717

=P(A)+P(8)=升后=去，即從中任意取出2粒恰好是同色的概率為點(diǎn).

5.(2022?運(yùn)城模擬)現(xiàn)有A,B,C,D,E五人隨意并排站成一排，那么A,8相鄰且6在A

左邊的概率為()

A.古B.|C.|D.f

答案B

解析現(xiàn)有A,B,C,。，E五人隨意并排站成一排，

樣本點(diǎn)總數(shù)〃=A?=120,

A,8相鄰且8在A左邊包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)〃?=Aj=24,

；?A,B相鄰且B在A左邊的‘概率P=~=Y2Q=y

6.(多選)下列說法中正確的有()

A.若事件A與事件B是互斥事件，則P(AB)=0

B.若事件A與事件B是對(duì)立事件，則P(A+8)=1

C.某人打靶時(shí)連續(xù)射擊三次，則事件“至少有兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對(duì)

立事件

D.把紅、橙、黃3張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙3人，每人分得1張，則事件“甲分得的不

是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”是互斥事件

答案ABC

解析事件A與事件B互斥,則A.3不可能同時(shí)發(fā)生.所以P(A8)=0.故A正確：

事件A與事件8是對(duì)立事件，則事件B即為事件不，所以P(4+8)=l,故B正確；

事件“至少有兩次中靶”與“至多有一次中靶”不可能同時(shí)發(fā)生，且二者必有一個(gè)發(fā)生，所

以為對(duì)立事件，故C正確；

事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”可能同時(shí)發(fā)生，即“丙分得的是紅

牌”，所以不是互斥事件，故D錯(cuò)誤.

7.通過手機(jī)驗(yàn)證碼注冊(cè)某APP時(shí)，收到的驗(yàn)證碼由四位數(shù)字隨機(jī)組成，如I某人收到的驗(yàn)證

碼㈤，S，。3,出)滿足0<6<。3<出，則稱該驗(yàn)證碼為遞漕型驗(yàn)證碼，某人收到一個(gè)驗(yàn)證碼，

則它是首位為2的遞增型驗(yàn)證碼的概率為.

答案2000

解析?；。［=2,2<〃2<43<。4,

a2,。3,04從3,4,5,6,7,89中選,

選出3個(gè)數(shù)，讓其按照從小到大的順序有0?=35(種)排怯，

又四位驗(yàn)證碼共有10XI0X10X10=10000(種),

???它是首位為2的遞增型殮證碼的概率為彳35扁=777而.

8.(2022?全國(guó)甲卷)從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為

答案卷

解析從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，取法有&=7()(種).

其中4個(gè)點(diǎn)共面有以下兩種情況：

(1)所取的4個(gè)點(diǎn)為正方體同一個(gè)面上的4個(gè)頂點(diǎn)，如圖1,有6種取法；

(2)所取的4個(gè)點(diǎn)為正方體同一個(gè)對(duì)角面上的4個(gè)頂點(diǎn)，如圖2,也有6種取法.

故4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面共有6+6=12(種)情況.

所以所取的4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率2=圣=9

IUJJ

9.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口排隊(duì)的人數(shù)相應(yīng)的概率如下:

排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上

概率0.10.160.30工0.10.04

求：(1)至多2人排隊(duì)等候的概率；

(2)至少3人排隊(duì)等候的概率.

解記“無人排隊(duì)等候”為事件A,“1人排隊(duì)等候”為事件從“2人排隊(duì)等候”為事件C

“3人排隊(duì)等候”為事件。，“4人排隊(duì)等候”為事件￡“5人及5人以上排隊(duì)等候“為事

件尸，則事件A,B,C,D,E,尸彼此互斥.

(1)記“至多2人排隊(duì)等候”為事件。,則G=A+8+C,所以P(G)=aA+3+C)=P(A)+P(B)

+P（Q=0.1+0.16+0.3=0.56.

（2）方法一記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H,則”=￡>+￡+￡所以P（H）=P（D+E+F）

=P（0+P（E）+P（F）=0.3+0.1+0.04=0.44.

方法二記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H,則其對(duì)立事件為事件G,所以P（H）=\-P（G）

=0.44.

10.某縣共有90個(gè)農(nóng)村淘寶服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)，隨機(jī)抽取6個(gè)網(wǎng)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)得到其元旦期間的網(wǎng)購(gòu)金額（單

位：萬(wàn)元）的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù).

046

1228

20

（1）根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)；

（2）若網(wǎng)購(gòu)金額（單位：萬(wàn)元）不小于18的服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)定義為優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)，其余為非優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)

點(diǎn)，根據(jù)莖葉圖估計(jì)這90個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（3）從隨機(jī)抽取的6個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中任取2個(gè)做網(wǎng)購(gòu)商品的調(diào)查，求恰有1個(gè)網(wǎng)點(diǎn)是優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)

點(diǎn)的概率.

._,叫—4+6+12+12+18+20

解（1）由題意知，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)x=---------------------=12.

（2）樣本中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有2個(gè)，頻率為看=/由此估計(jì)這90個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)約

有90X：=30（個(gè)）.

（3）樣本中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有2個(gè)，分別記為0,縱，非優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有4個(gè)，分別記為⑦，岳,

力3,慶，

從隨機(jī)抽取的6個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中任取2個(gè)的可能情況有（m,6）,（m,bi）,（ai,岳），（a,bi）,

31,①），（。2，6），（。2，①），（42，加），（“2，54），01,歷），Sl，力3），Sl，仇），（仇，仇），（岳，

仇），（加，%,共15種，

記“恰有1個(gè)網(wǎng)點(diǎn)是優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)”為事件M,則事件M包含的可能情況有（0，歷）,（m,

歷），31，⑸，31，（〃2,6），（02,歷），（。2,歷）,（。2,力4）,共8種，

Q

故所求概率P（A/）=—

q綜合提升練

II.如果事件A,5互斥，記4,6分別為事件A,4的對(duì)立事件，那么（）

A.AU8是必然事件

B.TU石是必然事件

C.~與W一定互斥

D.A與8一定不互斥

答案B

解析如圖①所示，4U3不是必然事件，加U石是必然事件，二屋與萬(wàn)不互斥;如圖②所

示，4U3是必然事件，了U石是必然事件，工與石互斥.

圖①圖②

12.整數(shù)集就像一片浩瀚無邊的海洋，充滿了無盡的奧秘.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)220

和