隨機(jī)游走與XXXX過程

一.基本原理

1.轉(zhuǎn)移概率：對(duì)于有限狀態(tài)集合S,定義：片j=P(Xe=j|Xg.)為從狀態(tài)i到狀態(tài)/的轉(zhuǎn)

移概率.

鏈：若

2.xxxxP(X“+pX|n=i，X”_|=*，，°，，X。氣)=p(xn+i=jIXg)=尾，即未來狀態(tài)X,出

只受當(dāng)前狀態(tài)x”的影響，與之前的X“T，X吁2,…,X。無關(guān).

3.一維隨機(jī)游走模

設(shè)數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)，它的位置只能位于整點(diǎn)處，在時(shí)刻，二()時(shí)，位于點(diǎn)x=i(iwN+),下一

個(gè)時(shí)刻，它將以概率a或者夕(?！?01)。+夕=1)向左或者向右平移一個(gè)單位.若記

狀態(tài)％二,表示：在時(shí)刻f該點(diǎn)位于位置.K=i(i€N+),那么由全概率公式可得：

p(XG=P(x』T)?P(%g|X…)+P(X,3)?P(XwIxq

另一方面，由于P(X*.JX…)=p,P(Xg|Xi)=a,代入上式可得：

匕=a，E+i+一?”十

進(jìn)一步，我們假設(shè)在x=()與1=皿〃?>0,〃2￡叱)處各有一個(gè)吸收壁，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)吸收壁時(shí)

被吸收，不再游走.于是，4=0,2=1.隨機(jī)游走模型是一個(gè)典型的馬爾科夫過程.

進(jìn)一步，若點(diǎn)在某個(gè)位置后有三種情況：向左平移一個(gè)單位，其概率為。，原地不動(dòng)，其

概率為〃，向右平移一個(gè)單位，其概率為0,那么根據(jù)全概率公式可得：

有了這樣的理論分析，下面我們看全概率公式及以為隨機(jī)游走模型在2019年全國1卷中的

應(yīng)用.

二.典例分析.

例1.(2019全國1卷).為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥

更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)

于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下

一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)

為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠

治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以

甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得。分.甲、

乙兩種藥的治愈率分別記為a和少，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，Pi(i=O』,,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i

時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效〃的概率，則為=0,Ps=L

Pi=api+bi%+ci、(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-l),b=P(X=0),

c=P(X=1).假設(shè)。=0.5,Z?=0.8.

(i)證明：｛〃引一〃/"=0,1,2,,7)為等比數(shù)列；

(ii)求/〃，并根據(jù)出的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

解析：(1)由題意可知X所有可能的取值為：-1,0,1

p(x=-i)=(i-?)/7.p(x=o)=c^+(l-a)(l-/?);P(X=l)=a(l-yff)

則X的分布列如下：

X-10\

P(l-a).麗/?)。(1-⑶

(2),/a=0.5,￡=0.8

=().5x0.8=0.4,/?=0.5x(18+0.5x0.2=0.5,c=0.5x().2=0.1

(i)?.Pj=ciPi+加+CR+i(i=1,2,…,7)

即Pi=0.4Pj+0.5p,+0.1Pi+i(i=1,2,…,7)

整理可得：5Pj=4PH+Pi+i(i=1,2，…,7).?.pi+l-p.=4(0-兒=1,2,…,7)

???{〃評(píng)一〃,}?二°，1，2J?,7)是以。|一。0為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列

(ii)由(i)知：Pj+|-pj=(p「〃o)"二P|M

?,邛8一［)7二區(qū)'4,〃7-〃6=，|,4",……，PLPO=P|,4°

i_4848—1

作和可得：凡一〃o=p］.(4°+4i+…+4?)=「j"p產(chǎn)工一四二1

1-4J

3

以。/=⑶1-444—1311

(4+4+4+4)=—A=—X—=—=—

〃4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的.由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為

0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為〃4=焉右0。039,此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，

說明這種實(shí)驗(yàn)方案合理.

注：1.雖然此時(shí)學(xué)生未學(xué)過全概率公式，但命題人也直接把巳=。?匕+|+〃?《+c給出，

并沒有讓考生推導(dǎo)這個(gè)遞推關(guān)系，實(shí)際上，由前面的基本原理，我們可以看到，這就是一

維隨機(jī)游走模型.

習(xí)題1.足球是一項(xiàng)大眾喜愛的運(yùn)動(dòng).2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年11月21日打

響，決賽定于12月18日晚進(jìn)行，全程為期28天.

校足球隊(duì)中的甲、乙、丙、丁四名球員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球

時(shí)，傳球者都等可能的將球傳給另外三個(gè)人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每

次傳球都能被接到.記開始傳球的人為第1次觸球者，第〃次觸球者是甲的概率記為。，

即［=1.

(1)求A(直接寫出結(jié)果即可)；

(2)證明：數(shù)列］匕-；)為等比數(shù)列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大小.

解析：(1)由題意得：第二次觸球者為乙，丙，丁中的一個(gè)，第二次觸球者傳給包括甲的

三人中的一人,故傳給甲的概率為:，故呂

JJ

(2)第〃次觸球者是甲的概率記為？，則當(dāng)〃22時(shí)，第〃-1次觸球者是甲的概率為匕

第〃—1次觸球者不是甲的概率為|一比1，則勺