《角的平分線的性質(zhì)（第二課時(shí)）》教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：運(yùn)用角平分線的性質(zhì)的解決問(wèn)題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的能力.教學(xué)重點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)并正確使用角平分線的性質(zhì)進(jìn)行推理與書寫.教學(xué)難點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)定理的應(yīng)用．教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)1-2分鐘4-5分鐘4-5分鐘3-4分鐘5-6分鐘5-6分鐘2-3分鐘定理復(fù)習(xí)例題與練習(xí)小結(jié)與作業(yè)定理復(fù)習(xí)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．使用定理時(shí)的書寫：∵∠AOP＝∠BOP（OP平分∠AOB），PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴PD＝PE．例1．如圖，△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：EB=FC．分析：由角平分線的性質(zhì)可求得DE＝DF，BE＝FC來(lái)自于證明Rt△BDE≌Rt△CDF．證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.在Rt△BDE和Rt△CDF中,∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.∴EB＝FC．點(diǎn)評(píng)：1．本題中角的平分線的性質(zhì)的題設(shè)非常明確，應(yīng)第一時(shí)間想到利用其得到DE＝DF．2．從結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知和已證的條件，可知需要證明△BDE≌△CDF．3．可以認(rèn)為是兩個(gè)板塊結(jié)合，注意每部分書寫，有了角的平分線的性質(zhì)不要再多證一次全等．例2．如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于P．求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等．分析：已知可推？提到距離，想到把它作出來(lái)；作PD，PE，PF分別垂直于三邊AB，BC，CA，D，E，F(xiàn)為垂足：根據(jù)角的平分線性質(zhì)可得PD＝PE，PF＝PE，得到PD＝PE＝PF．注意有不止一組基本圖可以用到角的平分線的性質(zhì)．證明：過(guò)點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn)．∵BM為△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，∴PD＝PE．（角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等）同理PE=PF．∴PD＝PE＝PF．即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等．點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是考慮復(fù)原基本圖，作出對(duì)應(yīng)的輔助線．練習(xí):如圖，△ABC的∠ABC外角的平分線BD與∠ACB的外角的平分線CE相交于點(diǎn)P．求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA所在的直線的距離相等．證明：過(guò)點(diǎn)P作PF，PG，PH分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為F，G，H．∵BD為∠ABC外角的平分線，點(diǎn)P在BD上，∴PF＝PG．（角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等）同理PG＝PH．∴PF＝PG＝PH．即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA所在的直線的距離相等．例3如圖，已知AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：DE＝DF．分析：“兩組等，待全等”，“有雙垂，補(bǔ)角分”．如圖，連接AD，先證△ABD≌△ACD（SSS），則對(duì)應(yīng)角∠BAD＝∠CAD．然后利用角平分線的性質(zhì)證得結(jié)論．證明：如圖，連接AD．在△ABD與△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠BAD＝∠CAD，即AD是∠BAC的平分線．又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是既可以從復(fù)原基本圖考慮，也可以從作公共部分來(lái)入手，作出對(duì)應(yīng)的輔助線．練習(xí)．如圖，OP平分∠AOB，點(diǎn)D，E分別在OA，OB上，且PD＝PE，圖中與∠PDA相等的角是∠PEO，并證明你的結(jié)論．分析：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥OA于點(diǎn)F，PH⊥OB于點(diǎn)H．構(gòu)造全等三角形Rt△PDF≌Rt△PEH（HL），則該全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等：∠PDA＝∠PEO．解：∠PDA＝∠PEO．理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥OA于點(diǎn)A，PH⊥OB于點(diǎn)H．∵OP平分∠AOB，∴PF＝PH．在Rt△PDF與Rt△PEH中，∴Rt△PDF≌Rt△PEH（HL）．∴∠PDF＝∠PEH.∴∠PDA＝∠PEO．小結(jié)在我們運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)處理問(wèn)題時(shí):1．熟悉定理及其對(duì)應(yīng)的基本圖；2．與角的平分線的性質(zhì)有關(guān)的常見(jiàn)的輔助線是：補(bǔ)全基本圖如，過(guò)角平分線上的點(diǎn)向角兩邊作垂線；3．特別注意，可以使用角的平分線的性質(zhì)定理時(shí)，不要再使用全等證明一遍這個(gè)結(jié)論．課后作業(yè)：1．如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線．求證：S△ABD：S△ACD＝AB：AC．分析：根據(jù)AD平分∠BAC，作DE⊥AB，DF⊥AC，由角平分線性質(zhì)可知DE＝DF，△ABD與△ACD等高，面積比即為底邊的比．證明：作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為E，F(xiàn)．∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF．∴S△ABD：S△ACD＝（×AB×DE）：（×AC×DF）＝AB：AC．2．已知，如圖，BD是∠ABC的平分線，AB＝BC，點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別是M，N．試說(shuō)明：PM＝PN．證明：在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD（SAS）．∴∠ADB＝∠CDB（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）．∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN（角平分線的性質(zhì)）．備用題（補(bǔ)充在例2之前）例．如圖，△ABC中，∠C＝90°，試在AC上找一點(diǎn)P，使P到斜邊的距離等于PC．（畫出圖形，并寫出畫法）分析：PC相當(dāng)于點(diǎn)P到邊BC的距離，所以我們可以這樣理解這個(gè)題，點(diǎn)P首先滿足到BC和到斜邊AB的距離相等，什么樣的點(diǎn)符合這個(gè)要求呢？根據(jù)我們近期所學(xué)，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等．因此我們判斷，點(diǎn)P應(yīng)該在∠ABC的平分線上．題目有告訴我們點(diǎn)P還在AC上，那么在兩條線上的點(diǎn)應(yīng)該就是它們的交點(diǎn)了．作法：作∠ABC的平分線，交AC于點(diǎn)P．則點(diǎn)P為所求．證明：作PH⊥AB于H．∵∠C＝90°∴PC⊥AB于C．∴PC＝PH（角平分線的性質(zhì)）．點(diǎn)評(píng)：1．本題沒(méi)有要求尺規(guī)作圖，因此基本作圖，如做角平分線，可以直接敘述．2.處理作圖題時(shí)，可以根據(jù)題目，先試想一下符合要求的圖形具備的特征，并加以證明，這樣比盲目一邊試作一邊找解決方法要好得多．知能演練提升一、能力提升1.如圖,用尺規(guī)作圖作∠AOB的平分線的方法如下:以O(shè)為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別交OA,OB于點(diǎn)C,D,再分別以點(diǎn)C,D為圓心,以大于12CD長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,作射線OP,由作法得△OCP≌△ODP的根據(jù)是(A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS2.如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC,交BC于點(diǎn)D,DE⊥AC,垂足為點(diǎn)E,若BD=3,則DE的長(zhǎng)為()A.3 B.32 C.2 D.3.如圖,AD是△ABC中∠BAC的平分線,DE⊥AB交AB于點(diǎn)E,DF⊥AC交AC于點(diǎn)F.若S△ABC=7,DE=2,AB=4,則AC的長(zhǎng)是()A.4 B.3 C.6 D.54.如圖,BD是∠ABC的平分線,DE⊥AB,垂足為E,S△ABC=36cm2,AB=18cm,BC=12cm,求DE的長(zhǎng).5.如圖,在四邊形ABCD中,∠B=90°,AB∥CD,M為BC邊上的一點(diǎn),且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC.求證:M為BC的中點(diǎn).6.如圖,已知AC平分∠BAD,CD=CB,AB>AD.求證:∠B+∠D=180°.7.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D,問(wèn)能否在AB上確定一點(diǎn)E,使△BDE的周長(zhǎng)等于AB的長(zhǎng)?★8.如圖,在△ABC中,AD是∠BAC的平分線,E,F分別為AB,AC上的點(diǎn),且∠EDF+∠EAF=180°.求證:DE=DF.二、創(chuàng)新應(yīng)用★9.如圖,已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分線,將三角尺的直角頂點(diǎn)P在射線OM上滑動(dòng),兩直角邊PC,PD分別與OA,OB相交于點(diǎn)C,D,PC和PD有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.知能演練·提升一、能力提升1.D2.A3.B4.解如圖,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF.∵S△ABC=S△ABD+S△BDC,∴12·AB·DE+12·BC·∴12×18DE+12×12DE=36,∴DE=1255.證明如圖,作MN⊥AD于點(diǎn)N.∵AM平分∠BAD,∠B=90°,MN⊥AD,∴BM=MN.∵AB∥CD,∠B=90°,∴∠C=90°.∵DM平分∠CDA,∠C=90°,MN⊥AD,∴MC=MN.∴BM=MC.即M為BC的中點(diǎn).6.證明如圖,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E,CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.因?yàn)锳C平分∠BAD,所以CE=CF.在Rt△CBE和Rt△CDF中,因?yàn)镃E=CF,CB=CD,所以Rt△CBE≌Rt△CDF,所以∠B=∠1.因?yàn)椤?+∠ADC=180°,所以∠B+∠ADC=180°.7.分析由于題目中存在AD平分∠CAB,且DC⊥AC的條件,聯(lián)想到角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等,故過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB,便可找到所求作的點(diǎn).解能在AB上確定一點(diǎn)E,使△BDE的周長(zhǎng)等于AB的長(zhǎng),即過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,則點(diǎn)E就是所要確定的點(diǎn).證明:∵AD平分∠CAB,CD⊥AC,DE⊥AB,∴DC=DE.在Rt△ACD與Rt△AED中,AD∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC=AE.∵AC=BC,∴△BDE的周長(zhǎng)為BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB.8.證明如圖,過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M,DN⊥AC于點(diǎn)N.∵AD平分∠BAC,∴DM=DN.∵∠AMD+∠MDN+∠AND+∠NAM=360°,∠AMD+∠AND=180°,∴∠MDN+∠NAM=180°.∵∠EDF+∠EAF=180°,∴∠MDN=∠EDF,∴∠MDE=∠ND