《角的平分線的性質(zhì)（第三課時）》教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.學(xué)習(xí)并使用新的定理——角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上；2.通過探究定理及應(yīng)用定理的過程，進(jìn)一步提高學(xué)生的邏輯推理能力．教學(xué)重點：掌握新的定理的內(nèi)容、證明，注意其與角的平分線的性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系，并會進(jìn)行推理與書寫．教學(xué)難點：準(zhǔn)確運用新定理綜合解決相關(guān)幾何問題．教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動1分鐘3分鐘2-3分鐘3-4分鐘4-5分鐘4-5分鐘5-6分鐘1-2分鐘知識回顧定理及證明例題講解小結(jié)與作業(yè)知識回顧角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．題設(shè)：一個點在一個角的平分線上．結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等．問題交換角的平分線的性質(zhì)中的題設(shè)和結(jié)論，你能得到什么命題？這個新命題正確嗎？我們用之前用過的圖配合具體例題來看一下．已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE．求證：點P在∠AOB的平分線上（AP平分∠AOB）．證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知），∴∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定義）．在Rt△PDO和Rt△PEO中，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）．∴∠POD＝∠POE．∴點P在∠AOB的平分線上．結(jié)論（這是在角的平分線的性質(zhì)一節(jié)出現(xiàn)的第2個定理）角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．即，單純交換角的平分線的性質(zhì)中的題設(shè)與結(jié)論，所得到的結(jié)論有問題．留一個思考問題：為什么會有“角的內(nèi)部”這個前提？沒有的話會怎樣？我們將在下節(jié)課來回答這個問題．使用這個定理時這樣書寫：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴點P在∠AOB的平分線上．“雙垂距等推角分”例1如圖所示，AM⊥BM于M，AN⊥BN于N，AM＝AN，求證：∠BAM＝∠BAN（要求不用全等的知識證明）．分析：標(biāo)圖．如果用全等是可以證明的，我們可以簡單試一試．已知可推？“雙垂等距推角分”根據(jù)定理2，∠ABM＝∠ABN．證明：∵AM⊥BM于M，AN⊥BN于N，AM＝AN，∴點B在∠MBN的平分線上，即∠ABM＝∠ABN．（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上）∴∠BAM＝∠BAN（等角的余角相等）．點評：角的平分線的性質(zhì)及其相關(guān)定理，為我們提供了另一種解決幾何問題的角度；遇到實際問題時，也許求證步驟相差無幾，也有可能某種思路更為簡潔，這就需要同學(xué)們具體分析，積累經(jīng)驗了．例2．如圖，在△ABC中，∠C＝36°，∠ABC＝110°，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝DF．求∠ADB的度數(shù)．分析：已知可推？雙垂等距推角分，根據(jù)角平分線的判定可得AD平分∠BAC．求值何來？利用三角形內(nèi)角和定理可得∠BAC的度數(shù)，然后再進(jìn)而可得∠BAD的度數(shù)，然后可得∠ADB的度數(shù)．解：∵∠C＝36°，∠ABC＝110°，∴∠BAC＝180°﹣36°﹣110°＝34°．∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝DF，∴AD平分∠BAC．∴∠BAD＝17°，∴∠ADB＝180°﹣110°﹣17°＝53°．例3（教材58頁習(xí)題12．3第3題）如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，BE，CD相交于點O，OB＝OC，連AO，求證：∠1＝∠2．分析：利用垂直的定義得到∠BDO＝∠CEO＝90°，∠ADO＝∠AEO＝90°，再根據(jù)全等三角形的判定方法得到△ODB≌△OEC，則OD＝OE，然后再根據(jù)OD⊥AB，OE⊥AC即可得到∠1＝∠2．證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO＝∠CEO＝90°．在△ODB和△OEC中∴△ODB≌△OEC（AAS）．∴OD＝OE．又OD⊥AB，OE⊥AC，∴點O在∠BOC的平分線上，即∠1＝∠2．（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上）點評：基本圖沒變．例4．如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC的三條邊上的點，BE＝CF，△DBE和△DCF的面積相等．求證：AD平分∠BAC．分析：標(biāo)圖已知可推？直接用面積要找底高，考慮作垂直，面積和一邊等，則高等．求證何來？“雙垂等距推角分”過D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，根據(jù)條件“△DBE和△DCF的面積相等”，分別表示出△DBE和△DCF的面積，可得到BE?DM＝CF?DN；由于BE＝CF，可得結(jié)論DM＝DN；根據(jù)新學(xué)的定理，進(jìn)而得到AD平分∠BAC．證明：過D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．∵△DBE和△DCF的面積相等，∴BE?DM＝CF?DN．又∵BE＝CF，∴DM＝DN．又∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴AD平分∠BAC（在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點在角的平分線上）．點評：基本輔助線沒變．例5．如圖，OP為∠AOB內(nèi)一條射線，C，D分別為OA，OB上兩點，且∠PCO+∠PDO＝180°，PC＝PD．求證：OP平分∠AOB．分析：標(biāo)圖已知可推？鄰補角好找180o，可以轉(zhuǎn)換為等角的條件求證何來？“雙垂等距推角分”作雙垂，欠等距，全等推整理一下思路：1．作雙垂2．由180o找等角，供全等用3．證明兩三角形全等4．得距離等，配雙垂證角等證明：過點P作PM⊥OA，PN⊥OB．則∠PMC＝∠PND＝90°∵∠PCO+∠PDO＝180°，∠PCO+∠PCM＝180°，∴∠PCM＝∠PDN．在△PMC與△PND中∴△PMC≌△PND．∴PM＝PN．∵PM⊥OA，PN⊥OB，∴OP平分∠AOB．小結(jié)今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容新的定理：在角的內(nèi)部，到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．新的應(yīng)用：“雙垂距離推角分”．務(wù)必關(guān)注到目前學(xué)過的兩個定理的異同．（基本圖不變，輔助線不變）課后作業(yè)1．小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點P，小明說：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”他這樣做的依據(jù)是（）．A．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上 B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等 C．三角形三條角平分線的交點到三條邊的距離相等 D．以上均不正確分析：過兩把直尺的交點C作CE⊥AO，CF⊥BO，根據(jù)題意可得CE＝CF，再根據(jù)角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上可得OP平分∠AOB；解：（1）如圖所示：過兩把直尺的交點P作PE⊥AO，PF⊥BO．又∵兩把完全相同的長方形直尺，∴PE＝PF．∴OP平分∠AOB（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上）．故選：A．2．如圖所示，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是點E，F(xiàn)，且BE＝CF，求證：AD是△ABC的角平分線．分析：首先可證明Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），再根據(jù)定理2，求得AD是△ABC的角平分線即可．證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴在Rt△BDE與Rt△DCF中．∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）．∴DE＝DF．又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是△ABC的角平分線．備用題練習(xí)如圖，BE＝CF，DE⊥AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，且DB＝DC，求證：AD是∠BAC的平分線．分析：根據(jù)全等三角形的判定定理得出Rt△BDE≌Rt△CDF，進(jìn)而得出DE＝DF，由定理2可知AD是∠BAC的平分線．證明：∵DE⊥AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，∴∠BED＝∠CFD＝90°．在Rt△BDE與Rt△CDF中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．∴DE＝DF．∴AD是∠BAC的平分線．知能演練提升一、能力提升1.如圖,點D在BC上,若DE⊥AB于點E,DF⊥AC于點F,則對于∠1和∠2的大小關(guān)系,下列說法正確的是()A.一定相等 B.一定不相等C.當(dāng)BD=CD時相等 D.當(dāng)DE=DF時相等2.一塊三角形草坪如圖所示,現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息,要使涼亭到草坪三條邊的距離相等,涼亭的位置應(yīng)選在()A.△ABC的三條中線的交點處B.邊BC的中點處C.△ABC三條角平分線的交點處D.△ABC三條高所在直線的交點處3.如圖,三條公路兩兩相交,交點分別為A,B,C.現(xiàn)計劃修一個油庫,要求到這三條公路的距離相等,可供選擇的地址有()A.一處 B.兩處 C.三處 D.四處4.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=8cm,AC=6cm,點O是△ABC三條角平分線的交點,OD⊥BC于點D,OE⊥AC于點E,OF⊥AB于點F,則點O到三邊AB,AC,BC的距離分別是()A.2cm,2cm,2cm B.4cm,4cm,4cmC.5cm,5cm,5cm D.2cm,3cm,5cm5.如圖,AB∥CD,點P到AB,BC,CD的距離相等,則∠P=.

6.如圖,在△ABC中,BP,CP分別是△ABC的外角的平分線.求證:點P在∠BAC的平分線上.二、創(chuàng)新應(yīng)用★7.小明發(fā)現(xiàn)了一種畫角的平分線的方法:如圖,在∠AOB的兩邊OA,OB上分別取OM=ON,OD=OE,DN和EM相交于點C.小明過點O,C畫射線OC,就得到OC是∠AOB的平分線.請你證明這一結(jié)論的正確性.知能演練·提升一、能力提升1.D2.C3.D△ABC的兩個內(nèi)角平分線的交點,以及三個外角兩兩平分線的交點都滿足要求.4.A如圖,連接OA,OB,OC,則S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA.而S△ABC=12×6×S△OAB=12×10·OF,S△OBC=12×8·OD,S△OCA=12×6因為點O是△ABC三條角平分線的交點,所以O(shè)D=OE=OF.設(shè)OD=xcm,則10x+6x+8x=48,解得x=2.5.90°由題意可知點P是∠ABC和∠BCD的平分線的交點.又因為AB∥CD,所以∠ABC+∠BCD=180°.所以∠PBC+∠PCB=90°,即∠P=90°.6.證明如圖,過點P作PE⊥AB于點E,PF⊥AC于點F,PD⊥BC于點D.∵點P在∠EBC的平分線上,PE⊥AB,PD⊥BC,∴PE=PD.同理PD=PF,∴PE=PD=PF.又PE⊥AB,PF⊥AC,∴點P在∠BAC的平分線上.二、創(chuàng)新應(yīng)用7.證