《平方差公式》教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.理解平方差公式，能利用公式進(jìn)行計(jì)算；2.在探索平方差公式的過(guò)程中，感悟從具體到抽象地研究問(wèn)題的方法，在驗(yàn)證平方差公式的過(guò)程中，感知數(shù)形結(jié)合思想.教學(xué)重點(diǎn)：平方差公式教學(xué)難點(diǎn)：平方差公式結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)與平方差公式的變式運(yùn)用教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)3min8min10min1.5min2min0.5min新知引入探究新知.例題講解例題講解歸納總結(jié)拓展提升課后作業(yè)新知引入閱讀小故事，并回答問(wèn)題小明和小蘭分別負(fù)責(zé)兩塊區(qū)域的值日工作.小明負(fù)責(zé)一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形空地，小蘭則負(fù)責(zé)一塊長(zhǎng)方形空地，長(zhǎng)為正方形空地邊長(zhǎng)加5米，寬度是正方形空地邊長(zhǎng)減5米.有一天，小明對(duì)小蘭說(shuō)：“咱們換一下值日的區(qū)域吧，反正這兩塊地大小都一樣.”你覺(jué)得小明說(shuō)的對(duì)嗎？為什么？不妨我們來(lái)算一下：，這是多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，應(yīng)如何計(jì)算呢？前面我們已經(jīng)學(xué)過(guò)法則：小明說(shuō)的不對(duì)，長(zhǎng)方形面積比正方形面積少了25平方米.【設(shè)計(jì)意圖】：一方面通過(guò)小故事激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生真正動(dòng)手計(jì)算得到結(jié)論.另一方面引出本節(jié)課的要學(xué)習(xí)的公式，為后續(xù)公式的代數(shù)推導(dǎo)和幾何推導(dǎo)做鋪墊.二．探究新知1.自主探究計(jì)算下面多項(xiàng)式的積，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？問(wèn)題1：根據(jù)以上算式的結(jié)構(gòu)和所得結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？（等式的左邊是兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，這兩個(gè)多項(xiàng)式分別是兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差；等式的右邊是這兩個(gè)數(shù)的平方之差）問(wèn)題2：你能否用含字母的式子來(lái)表示你所發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律呢？（不妨設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為a,b,則一般形式可以表示為：這種形式）【設(shè)計(jì)意圖】：通過(guò)計(jì)算得出結(jié)果后，進(jìn)一步分析所給這3個(gè)式子的結(jié)構(gòu)，通過(guò)比較可以總結(jié)出等式兩邊的特點(diǎn).學(xué)生根據(jù)所觀察到的特點(diǎn)，表達(dá)成一般形式，自然而然的引出新知，銜接緊湊，過(guò)程流暢.2.歸納新知由上面的幾個(gè)例子不難發(fā)現(xiàn)，都是形如的多項(xiàng)式和的多項(xiàng)式相乘，運(yùn)用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，可以得到：，乘完后是四項(xiàng)，而化簡(jiǎn)之后僅剩兩項(xiàng)。所以，這類式子是多項(xiàng)式乘法中比較特殊的一類，在遇到具有與此相同形式的多項(xiàng)式相乘，我們可以直接寫出運(yùn)算結(jié)果，即：讓我們的計(jì)算更加的快速和準(zhǔn)確。對(duì)于這個(gè)公式，它有自身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，用語(yǔ)言來(lái)描述，就是“兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差”。所以我們稱這個(gè)公式為乘法的平方差公式。問(wèn)題3：觀察上述公式，其結(jié)構(gòu)上有什么特征？我們不難發(fā)現(xiàn)，等號(hào)左邊的兩個(gè)多項(xiàng)式中，“第一個(gè)數(shù)”a符號(hào)相同，“第二個(gè)數(shù)”b符號(hào)相反，等號(hào)右邊是符號(hào)相同項(xiàng)a的平方減去符號(hào)相反項(xiàng)b的平方.所以，我們?nèi)粝肜闷椒讲罟竭M(jìn)行計(jì)算，可以先觀察多項(xiàng)式中是否有符號(hào)相同項(xiàng)，相反項(xiàng)，若滿足公式結(jié)構(gòu)，便可以直接使用公式計(jì)算，而無(wú)需再運(yùn)用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則.3.深入探索大家想一下，我們除了可以從多項(xiàng)式乘法的法則角度來(lái)說(shuō)明平方差公式，還能從什么角度說(shuō)明呢？還記得引例中的面積問(wèn)題嗎？我們可以嘗試?yán)瞄L(zhǎng)方形面積，從幾何角度說(shuō)明平方差公式.圖2圖1圖2圖1如圖1，是一個(gè)長(zhǎng)為寬為的長(zhǎng)方形，其面積是，而這塊面積可以分割成兩長(zhǎng)方形，將其中長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形剪下，拼到如圖2的位置，在剪切的過(guò)程中，總面積不變。我們發(fā)現(xiàn)在圖2中的面積是邊長(zhǎng)為的大正方形面積，減去空白部分，即邊長(zhǎng)為的小正方形面積.利用面積的方法，我們?cè)俅螐膸缀蔚慕嵌茸C明了平方差公式【設(shè)計(jì)意圖】：從幾何角度再次證明平方差公式，有利于讓學(xué)生認(rèn)識(shí)平方差公式的幾何意義，使學(xué)生更好地理解這一公式，并在此過(guò)程中體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.三.例題講解例1.運(yùn)用平方差公式計(jì)算（2）（3）（4）【分析】：能否利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，我們需要觀察所給式子是否滿足平方差公式的結(jié)構(gòu).也就是說(shuō)我們需要找到公式中的相同項(xiàng)a，相反項(xiàng)b，所得結(jié)果應(yīng)為相同項(xiàng)的a的平方減去相反項(xiàng)b的平方.（1）觀察可知，x為相同項(xiàng),相當(dāng)于公式中的a，為相反項(xiàng)，相當(dāng)于公式中的b，利用公式即為（2）中為相同項(xiàng)，這個(gè)整體看成，2為相反項(xiàng)，看成.最后應(yīng)為，是；為4，最終結(jié)果為.（3）中首先要進(jìn)行觀察，這里-x是相同項(xiàng)，這個(gè)整體相當(dāng)于a，而2y相當(dāng)于b，最后化簡(jiǎn)完是x2-4y2.（4）中相同項(xiàng)為(-2a)，相反項(xiàng)為3，所以最終結(jié)果為解:(1)練習(xí)：下列各式中，不能運(yùn)用平方差公式的是（）【分析】：若能利用平方差公式，則需要在式子中找到相同項(xiàng)a，相反項(xiàng)b,若兩項(xiàng)均為相同項(xiàng)，或者均為相反項(xiàng)，則無(wú)法利用公式計(jì)算.通過(guò)觀察可知C項(xiàng)中-m和m，n和-n都為相反項(xiàng)，不符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，因此選擇C.【設(shè)計(jì)意圖】：例1和練習(xí)可以幫助學(xué)生正向認(rèn)識(shí)公式的結(jié)構(gòu)，辨析使用公式所需的條件，為下面應(yīng)用公式計(jì)算打下基礎(chǔ).例2：計(jì)算：(1)(2)（3）（4）【分析】：（1）中只有前半部分符合公式條件，可以利用平方差公式簡(jiǎn)便運(yùn)算，其余的運(yùn)算仍按照乘法法則進(jìn)行；（2）是兩個(gè)數(shù)字相乘，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)數(shù)字很有特點(diǎn)，一個(gè)是102=100+2,98=100-2，可以利用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算；（3）中相同項(xiàng)為，相反項(xiàng)為，最終結(jié)果為；（4）需要先把前兩項(xiàng)利用平方差公式計(jì)算出來(lái)，然后利用結(jié)果二次利用平方差公式，從而得到最終結(jié)果.【設(shè)計(jì)意圖】：這兩道例題的選取目的是讓學(xué)生理解公式的結(jié)構(gòu)特征.公式中的a,b既可以表示具體的數(shù)字，也可以表示單項(xiàng)式，甚至可以表示多項(xiàng)式.只要符合公式的結(jié)構(gòu)，就可以利用它簡(jiǎn)便運(yùn)算.例題從不同角度強(qiáng)化了公式的靈活運(yùn)用，讓學(xué)生對(duì)公式中的字母含義有了更深刻的理解，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生利用類比遷移解決問(wèn)題.例3：在括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)恼剑?）(2)(3)(4)【分析】：觀察此題左右，可以利用平方差公式.根據(jù)給出化簡(jiǎn)后的結(jié)果，及等號(hào)右邊的式子，可從化簡(jiǎn)后的形如結(jié)果入手，找出誰(shuí)相當(dāng)于原公式的.對(duì)應(yīng)公式，我們發(fā)現(xiàn)是兩個(gè)多項(xiàng)式中相同的項(xiàng)，而是多項(xiàng)式中相反的項(xiàng)，由此可推斷出括號(hào)中的多項(xiàng)式.（1）中相同項(xiàng)為a，相反項(xiàng)為b，故括號(hào)里應(yīng)該為(a-b)（2）中結(jié)果為，故相同項(xiàng)為n，相反項(xiàng)為m，故括號(hào)里應(yīng)該為(-n-m)（3）中結(jié)果為，相同項(xiàng)為1，相反項(xiàng)為3x，故括號(hào)里應(yīng)該為(-1+3x)（4）中相同項(xiàng)為a2，相反項(xiàng)為b2，故括號(hào)里應(yīng)該為(a2-b2)解：【設(shè)計(jì)意圖】：此題從反方向考察對(duì)平方差公式結(jié)構(gòu)的理解和掌握，再次強(qiáng)化了公式的結(jié)構(gòu)。公式的反向運(yùn)用本質(zhì)為因式分解，所以此題也為后續(xù)利用平方差公式因式分解做一個(gè)鋪墊.例4：已知?jiǎng)t【分析】：此題給出和的值，由，求出。已知了，即得到一個(gè)方程組，可求得的值，從而的值也可以求出.解：由，且得：，所以又因?yàn)?，解得，所以?歸納總結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了平方差公式，和公式推導(dǎo).1.平方差公式：文字描述：“兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差”.2.平方差公式的推導(dǎo)代數(shù)推導(dǎo)：幾何推導(dǎo)：五．拓展提升計(jì)算：解：【設(shè)計(jì)意圖】：本題作為平方差公式的拓展，具有一定的難度，對(duì)能力也是一種提升，可作為基礎(chǔ)較好的學(xué)生可補(bǔ)充練習(xí).六．課后作業(yè)下面各式計(jì)算的對(duì)不對(duì)？如果不對(duì)，怎樣改正？2.運(yùn)用平方差公式計(jì)算知能演練提升一、能力提升1.用平方差公式計(jì)算(m+n-1)(m-n+1),下列變形正確的是()A.[m-(n+1)]2B.[m+(n-1)][m-(n-1)]C.[(m-n)+1][(m-n)-1]D.[m-(n-1)]22.若A·53m-n2=n4-259mA.-53m+n2 B.-C.-n2+53m D.533.計(jì)算x2+1A.x4+116 B.x4-C.x4-12x2+116 D.x4-18x4.對(duì)于任意的正整數(shù)n,能整除代數(shù)式(3n+1)·(3n-1)-(3-n)(3+n)的整數(shù)是()A.3 B.6 C.9 D.105.計(jì)算:13a2-6.用平方差公式計(jì)算:503×497-5002=.

★7.將圖甲中陰影部分的小長(zhǎng)方形變換到圖乙的位置,根據(jù)兩個(gè)圖形的面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是.

8.化簡(jiǎn)求值:(2a-b)(b+2a)-(2b+a)(2b-a),其中a=1,b=2.9.試說(shuō)明14m3+2n14m3-2n+二、創(chuàng)新應(yīng)用★10.計(jì)算:(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1).知能演練·提升一、能力提升1.B2.B3.B4.D(3n+1)(3n-1)-(3-n)·(3+n)=9n2-1-(9-n2)=10n2-10=10(n2-1),10能整除(3n+1)(3n-1)-(3-n)·(3+n).故選D.5.116b2-1913=-=-=116b2-19a6.-9503×497-5002=(500+3)(500-3)-5002=5002-32-5002=-9.7.(a+b)(a-b)=a2-b28.解(2a-b)(b+2a)-(2b+a)(2b-a)=4a2-b2-(4b2-a2)=4a2-b2-4b2+a2=5a2-5b2.∵a=1,b=2,∴原式=5×12-5×22=-15.9.解原式=14m32-(2n)2+(2n)2-42=116m