《最短路徑問題（第一課時(shí)）》教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：（1）利用軸對(duì)稱解決最短路徑的問題，體會(huì)圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟化歸思想。（2）在將實(shí)際問題抽象成幾何圖形的過程中，提高分析問題、解決問題的能力，滲透數(shù)學(xué)建模的思想。教學(xué)重點(diǎn)：利用軸對(duì)稱解決最短路徑的問題教學(xué)難點(diǎn)：如何利用軸對(duì)稱將問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”的問題。教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)復(fù)習(xí)引入在我們的學(xué)習(xí)生活中，接觸過很多“最值問題”：最多最少，最長最短。思考以下兩個(gè)問題：復(fù)習(xí)1：如圖，連接A、B兩點(diǎn)的所有連線中，哪條最短？為什么？答：路線2最短，因?yàn)閮牲c(diǎn)的所有連線中，線段最短，簡(jiǎn)稱：兩點(diǎn)之間，線段最短復(fù)習(xí)2：點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)P與該直線l上各點(diǎn)連接的所有線段中，哪條最短？為什么？答：PC最短，因?yàn)檫B接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線段最短”，為最短路徑問題做好鋪墊。通過識(shí)別，也讓學(xué)生有動(dòng)態(tài)的思想，在比較中，找到最短路徑。探索新知教師：剛剛的兩個(gè)問題都是識(shí)別最短路徑，接下來，我們嘗試通過畫圖，找到最短路徑。引例1：如圖，在直線l上求作一點(diǎn)C，使得CA+CB最短。教師：（1）點(diǎn)C是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。我們不妨先畫一個(gè)一般的點(diǎn)C，連接CA，CB，我們的目標(biāo)：找到一個(gè)點(diǎn)C，使得CA+CB最小。（2）觀察幾何畫板的演示：當(dāng)C在運(yùn)動(dòng)的過程中，線段CA，CB也在移動(dòng)，觀察：什么時(shí)候線段和最短？（3）同學(xué)們可以觀察到：當(dāng)C是線段AB和l的交點(diǎn)，即ACB共線時(shí)，CA+CB最短。依據(jù)是：兩點(diǎn)之間，線段最短。作圖方法：連接AB，交直線l于點(diǎn)C，點(diǎn)C即為所求?？偨Y(jié)：從一般的點(diǎn)C出發(fā)，從運(yùn)動(dòng)變化的角度觀察圖形，并用到“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決問題。教師：接下來，我們用這樣的方法，研究數(shù)學(xué)史上經(jīng)典的“牧馬人飲馬問題”。例1：如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？ABlABl教師：（1）實(shí)際問題，首先做什么？將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，用文、圖、示的語言表達(dá)。圖形語言：把AB兩地看成兩個(gè)點(diǎn)，把河近似看成一條直線，C為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。文字/符號(hào)語言：在直線l上求作一點(diǎn)C，使CA+CB最短（2）觀察幾何畫板：從一般的點(diǎn)C出發(fā)，連結(jié)CA，CB，觀察：什么時(shí)候線段和最短？遇到了問題：無法通過觀察，找到滿足條件的點(diǎn)C的位置。（3）繼續(xù)思考：若AB在l異側(cè)，只需連接AB即可。能否通過圖形的變化（軸對(duì)稱、平移等），將問題轉(zhuǎn)化為我們研究過的問題呢？問題的關(guān)鍵：如何把同側(cè)的點(diǎn)B移到另一側(cè)B’，同時(shí)CB=CB’呢？解決的方案：利用軸對(duì)稱的知識(shí)。做法如下：（2）連接AB′交直線l于點(diǎn)C；（3）則點(diǎn)C即為所求的點(diǎn).教師：如何證明這條路徑最短？為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點(diǎn)C′，連接AC′，BC′，B′C′，只需證明AC+CB<AC′+C′B即可。證明：由作圖可知，點(diǎn)B和B′關(guān)于直線l對(duì)稱，所以直線l是線段BB′的垂直平分線.因?yàn)辄c(diǎn)C與C′在直線l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短：AB′<AC′+B′C′，（△AB′C′中，兩邊之和大于第三邊）所以AC+B′C<AC′+B′C′，所以AC+BC<AC′+C′B.總結(jié)：（1）實(shí)際問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)語言（文、圖、示）表達(dá)。需要注意，C是l上的動(dòng)點(diǎn)，A，B為定點(diǎn)。（2）軸對(duì)稱的目的是轉(zhuǎn)移線段，即：將點(diǎn)B轉(zhuǎn)移到直線的異側(cè)，同時(shí)CB=CB′，從而轉(zhuǎn)化為研究過的引例：即兩點(diǎn)之間，線段最短的問題。練習(xí)：有兩棵樹位置如圖，樹的底部分別為A，B，地上有一只昆蟲沿著A—B的路徑在地面上爬行。小樹頂D處一只小鳥想飛下來抓住小蟲后，再飛到大樹的樹頂C處。問小鳥飛至AB之間何處時(shí)，飛行距離最短，在圖中畫出該點(diǎn)的位置。教師：類比例1分析方法。（1）先把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題。小蟲在A——B路徑爬行，即小蟲P是線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小鳥的路線為：DP，PC。那么D，C是兩個(gè)定點(diǎn)。（2）將文字轉(zhuǎn)化成文/圖/示的語言，在AB上求作一點(diǎn)P，使得PC+PD最短。（3）回顧剛剛例1的做法即可。轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，迎刃而解啦。能力提升例2：如圖，已知點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點(diǎn)，AD=5，點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為_________.思考：（1）圖形中，B，E，F(xiàn)三個(gè)點(diǎn)，哪些是定點(diǎn)，哪些是動(dòng)點(diǎn)？B，E是定點(diǎn)，F(xiàn)是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)（2）剝離出基本圖形，求作一點(diǎn)F，使得BF+FE最小?？紤]：AD是河，牧馬人在點(diǎn)B，去河邊飲馬，再去點(diǎn)E。方法：作對(duì)稱點(diǎn)（3）B和E，作哪個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)更方便？△ABC為等邊三角形（軸對(duì)稱圖形），點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，即點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線AD對(duì)稱.∵點(diǎn)F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可轉(zhuǎn)化為求CF+EF的最小值，故連接CE即可，線段CE的長即為BF+EF的最小值。總結(jié)：（1）此類求線段和的最小值問題，分析題目中的定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的最短路徑問題。（2）找準(zhǔn)對(duì)稱點(diǎn)是關(guān)鍵（利用等邊三角形的軸對(duì)稱性）。而后將求線段長的和轉(zhuǎn)化為求某一線段的長，而再根據(jù)已知條件求解.小結(jié)課堂小結(jié)（1）解決最短路徑問題的基本方法利用軸對(duì)稱實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移，從而轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”的問題。（2）進(jìn)行軸對(duì)稱變換需要注意的事情可以從一般點(diǎn)入手，既要弄清楚選哪條直線為對(duì)稱軸，也要區(qū)分哪些點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，哪些點(diǎn)是定點(diǎn)。作業(yè)如圖,P、Q為邊上的兩個(gè)定點(diǎn).在BC邊上求作一點(diǎn)M,使PM+MQ最短知能演練提升一、能力提升1.如圖,OA,OB分別是線段MC,MD的垂直平分線,MD=5cm,MC=7cm,CD=10cm,一只小螞蟻從點(diǎn)M出發(fā)爬到OA邊上任意一點(diǎn)E,再爬到OB邊上任意一點(diǎn)F,然后爬回點(diǎn)M處,則小螞蟻爬行的路徑最短可為()A.12cm B.10cm C.7cm D.5cm2.如圖,在四邊形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分別找一點(diǎn)M,N,使△AMN的周長最小,則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為()A.60° B.120° C.90° D.45°3.如圖,牧童在A處放牛,其家在B處,A,B到河岸的距離分別為AC和BD,且AC=BD.若點(diǎn)A到河岸CD的中點(diǎn)的距離為500m,則牧童從A處把牛牽到河邊飲水再回家,所走的最短路程是m.

4.如圖,某公路(視為x軸)的同一側(cè)有A,B,C三個(gè)村莊,要在公路邊建一貨棧(即在x軸上找一點(diǎn))D,向A,B,C三個(gè)村莊運(yùn)送農(nóng)用物資,路線是:D→A→B→C→D(或D→C→B→A→D).試問在公路上是否存在點(diǎn)D使送貨路程之和最短?若存在,請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)D所在的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.5.如圖,單位A與B分別位于一條封閉式街道的兩旁,現(xiàn)在準(zhǔn)備合作修建一條過街天橋(橋必須與街道垂直).在圖中畫出橋,使由A到B的路程最短.二、創(chuàng)新應(yīng)用★6.某中學(xué)八(2)班舉行文藝晚會(huì),桌子擺成如圖所示的兩直排(圖中的AO,BO),AO桌面上擺滿了橘子,BO桌面上擺滿了糖果,站在C處的學(xué)生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D處座位上,請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線,使其所走的總路程最短.

知能演練·提升一、能力提升1.B設(shè)CD與OA的交點(diǎn)為E,與OB的交點(diǎn)為F.因?yàn)镺A,OB分別是線段MC,MD的垂直平分線,所以ME=CE,MF=DF,所以小螞蟻爬行的路徑最短為CD=10cm,故選B.2.B如圖,作點(diǎn)A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A',A″,連接A'A″,交BC于點(diǎn)M,交CD于點(diǎn)N,則A'A″即為△AMN的周長的最小值.∵∠DAB=120°,∴∠A'+∠A″=180°-120°=60°.∵∠A'=∠MAA',∠NAD=∠A″,且∠A'+∠MAA'=∠AMN,∠NAD+∠A″=∠ANM,∴∠AMN+∠ANM=∠A'+∠MAA'+∠NAD+∠A″=2(∠A'+∠A″)=2×60°=120°,故選B.3.10004.解存在點(diǎn)D使所走路線D→A→B→C→D的路程之和最短.作法:(1)作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A';(2)連接A'C,交x軸于點(diǎn)D.如圖.則點(diǎn)D(3,0)就是要建貨棧的位置.5.解設(shè)橋?yàn)镃D,則這個(gè)問題中的路程為AD,CD,CB三條線段之和,