《垂直于弦的直徑（第二課時）》教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：探究垂徑定理的推論及簡單應(yīng)用.教學(xué)重點：垂徑定理推論及應(yīng)用.教學(xué)難點：垂徑定理推論的探究.教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動回顧引入復(fù)習(xí)舊知：1．弦和直徑：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑．2.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.2.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.符號語言：提出問題：圖7垂徑定理相當(dāng)于已知①②推出③④⑤.那在這五個條件中改變兩個條件是否能推出其它三個結(jié)論呢？圖7⌒⌒⌒⌒⌒探究新知探究1．如果條件改為①過圓心，③平分弦,可以推出②垂直于弦，④平分弦所對的優(yōu)弧,⑤平分弦所對的劣弧嗎？猜想1如果有一條直徑平分弦，那么它就能垂直于這條弦，也能平分這條弦所對的兩條弧.畫圖：題設(shè)結(jié)論同學(xué)們自己動手畫出符合題意的圖形.我們不妨按照被平分的弦AB是不是直徑來分分類。分為兩類：第一類說明當(dāng)被平分的弦AB為直徑時，猜想1不一定成立。所以我們將猜想1被平分的弦改為不是直徑的弦.如第二類圖形所示.猜想2：如果有一條直徑平分一條不是直徑的弦，那么它就能垂直于這條弦，也能平分這條弦所對的兩條弧.垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.如圖，幾何語言如下：∵CD是⊙O的直徑，AE=BE，∴CD⊥AB，練習(xí)：判斷垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.（×）2.平分弦的直徑垂直于弦.（×）3.平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑.（×）例1如圖，如果M是⊙O中弦CD的中點，EM經(jīng)過圓心O交⊙O于點E，并且CD=4cm,EM=6cm,求⊙O的半徑.分析：根據(jù)垂徑定理的推論，得EM⊥CD,連接OC,構(gòu)造直角三角形OCM，應(yīng)用勾股定理解決問題.例2.已知:如圖，⊙O中，半徑OE、OF分別平分弦AB、AC，交AB、AC于點D、G，交于點E、F，并且弦EF分別交AB、AC于點M、N.求證:△AMN是等腰三角形.新知應(yīng)用拓展探究我們再來看這五個條件，我們發(fā)現(xiàn)垂徑定理是已知①②推出③④⑤，推論是已知①③推出②④⑤，接下來我們不妨拓展探究一下，看看①⑤能推出②③④嗎？也就是說如果一條直線經(jīng)過圓心，并且平分了弦所對的劣弧，那么它能否垂直平分弦，并且平分弦所對的優(yōu)弧呢？猜想3：平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分這條弦,并且平分弦所對的另一條弧.如果CD是圓O的直徑，并且弧AD=弧BD，就可以推出CD垂直平分AB，并且還能得到弧AC=弧BC.思考：五個條件中任意選取2個條件作為已知條件，其他剩余條件作為結(jié)論，一共有多少種組合呢？一共有10種組合，由①②推出了③④⑤是垂徑定理，由①③推出了②④⑤是垂徑定理推論，①⑤推出②③④也是成立的，那其他組合也都能力嗎？其他組合也都成立，請同學(xué)們課后自己探究給出證明.思考：為什么在這五個條件中可以已知二個條件推出其他三個結(jié)論呢？將直線CD滿足的五個條件轉(zhuǎn)化為直線CD經(jīng)過不同的五個點，因為兩點確定一條直線，所以只要知道兩個條件成立就能推出其他三個結(jié)論成立.即“知二推三”.以上為我們的拓展探究內(nèi)容.課堂小結(jié)本節(jié)課我們一同學(xué)習(xí)了垂徑定理的推論及簡單應(yīng)用.布置作業(yè)1．下列命題錯誤的是（）A．垂直于弦的直徑平分這條弦．B．弦的垂直平分線經(jīng)過圓心．C．平分弧的直徑平分這條弧所對的弦．D．平分弦的直徑垂直于這條弦．2.如圖，在⊙O中，若弦AB的長為8，半徑OC平分弦AB，交AB于點D，CD=2，求⊙O的半徑.3.如圖，△ABC的三個頂點都在⊙O上，OE平分弦BC，AD⊥BC于D，則∠EAD與∠EAO相等嗎？為什么？知能演練提升一、能力提升1.如圖,AB是☉O的弦,半徑OA=2,∠AOB=120°,則弦AB的長為()A.22 B.23 C.5 D.322.如圖,☉O的半徑OA=6,以A為圓心,OA為半徑的弧交☉O于B,C點,則BC等于()A.63 B.62 C.33 D.323.我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個“圓材埋壁”的問題:“今有圓材埋在壁中,不知大小.以鋸鋸之,深一寸,鋸道長一尺.問徑幾何?”意思是:今有一圓柱形木材,埋在墻壁中,不知其大小.用鋸去鋸這木材,鋸口深ED=1寸,鋸道長AB=1尺(注:尺、寸是我國古代計量單位,1米=3尺,1尺=10寸).問這根圓形木材的直徑是寸.

4.已知AB是☉O的弦,OM⊥AB,垂足為M,連接OA.若△AOM中有一個角是30°,OM=23,則弦AB的長為.

★5.小敏利用課余時間制作了一個臉盆架,它的截面圖如圖所示,垂直放置的臉盆與架子的交點為A,B,AB=40cm,臉盆的最低點C到AB的距離為10cm,則該臉盆的半徑為cm.6.如圖,在☉O中,OD平分弦AB,OE平分弦AC,求證:AM=AN.7.如圖,將一個兩邊都帶有刻度的直尺放在半圓形紙片上,使其一邊經(jīng)過圓心O,另一邊所在直線與半圓相交于點D,E,量出半徑OC=5cm,弦DE=8cm.求直尺的寬.二、創(chuàng)新應(yīng)用★8.如圖,鐵路MN和公路PQ在點O處交會,∠QON=30°.在點A處有一棟居民樓,AO=200m,如果火車行駛時,周圍200m以內(nèi)會受噪音影響,那么火車在鐵路MN上沿ON方向行駛時,居民樓會受到影響.如果火車行駛的速度是72km/h,那么居民樓受噪音影響的時間約為多少秒?(參考數(shù)據(jù):3≈1.732,結(jié)果精確到0.1s)知能演練·提升一、能力提升1.B2.A3.264.12或45.25如圖,設(shè)圓心為O,連接OB,OC,則OC⊥AB,設(shè)垂足為點D,圓的半徑為r.由垂徑定理,得BD=20,OD=r-10,根據(jù)勾股定理,得(r-10)2+202=r2,解得r=25.6.證明∵OD平分弦AB,OE平分弦AC,∴OD⊥AB,OE⊥AC.∴∠D+∠DMB=90°,∠E+∠ENC=90°.∵OD=OE,∴∠D=∠E.∴∠DMB=∠ENC,即∠AMN=∠ANM.∴AM=AN.7.解如圖,過點O作OM⊥DE,垂足為M,連接OD.則DM=12DE∵DE=8cm,∴DM=4cm.在Rt△ODM中,∵OD=OC=5cm,∴OM=OD2-DM∴直尺的寬度為3cm.二、創(chuàng)新應(yīng)用8.分析要求居民樓受噪音影響的時間,首先要求出受噪音影響的路段.以A為圓心,200m為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)受噪音的影響,☉A與MN的交點之間的線段即為受影響的路段,利用垂徑定理與勾股定理即可求出此線段的長度.解如圖,過點A作AD⊥MN,垂足為D,∠AOD=30°,則AD=12OA=100m以A為圓心,