彈性波全波形反演理論基礎(chǔ)綜述目錄TOC\o"1-3"\h\u5234彈性波全波形反演理論基礎(chǔ)綜述 1141001.1彈性波時(shí)間域正演理論基礎(chǔ) 1167551.1.1彈性波波動(dòng)方程的差分格式 187551.1.2PML邊界條件 6154331.1.3數(shù)值穩(wěn)定性 9177181.2彈性波頻率域反演理論基礎(chǔ) 10164631.1.1彈性波波場(chǎng)分離 10315081.1.2梯度的計(jì)算 11157471.1.3迭代步長(zhǎng)的計(jì)算 141.1彈性波時(shí)間域正演理論基礎(chǔ)1.1.1彈性波波動(dòng)方程的差分格式在進(jìn)行彈性波正演模擬時(shí)，常常需要對(duì)彈性波方程進(jìn)行有限差分計(jì)算，有限差分法的基本原理是應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)對(duì)方程進(jìn)行展開(kāi)近似，將彈性波方程中的微分項(xiàng)用離散差分項(xiàng)替換，并進(jìn)行差分系數(shù)的求解。本篇論文給出了較為詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程，如下述所示。（1）一階速度-應(yīng)力彈性波方程通過(guò)對(duì)彈性波動(dòng)力學(xué)的學(xué)習(xí)，我們可以通過(guò)三大方程整理并推導(dǎo)出彈性波波動(dòng)方程。其中，幾何方程描述了物體位移與物體應(yīng)變的關(guān)系,其表達(dá)式為： εxx=本構(gòu)方程又稱(chēng)為廣義胡克定律，是彈性波動(dòng)理論的一個(gè)基本點(diǎn)，即給出了物體應(yīng)力與應(yīng)變之間的單值線(xiàn)性關(guān)系,具體表達(dá)式如下：σ（2-2）不同介質(zhì)條件下，彈性系數(shù)矩陣可以化簡(jiǎn)為不同的形式，在各向同性介質(zhì)中，可以對(duì)彈性系數(shù)矩陣C進(jìn)行如下形式的簡(jiǎn)化：C=其中C11=C22=C33根據(jù)牛頓第二定律對(duì)物體的受力進(jìn)行分析，則可以得到運(yùn)動(dòng)微分方程，表示形式如下: ?σxx通過(guò)幾何方程（2-1）、本構(gòu)方程（2-2）和運(yùn)動(dòng)平衡微分方程（2-3）三者之間的關(guān)系，在只考慮二維的條件下，一階速度-應(yīng)力彈性波方程的表示形式如下： ?vx在上式（2-4）中，vx,vz代表速度分量，σxx（2）彈性波方程時(shí)間上2M階差分近似在計(jì)算彈性波方程時(shí)間上2M階差分近似時(shí)，對(duì)上式（2-4）進(jìn)行泰勒展開(kāi)，以vx為例，將vx(t+v（2-5）同樣的方法對(duì)vz(t+Δtv（2-6）令t'=t?Δt2，同樣利用泰勒展開(kāi)的思想，帶入上式（2-5）στ（2-7）則上式（2-5）、（2-6）以及（2-7）為彈性波方程時(shí)間上2M階差分近似格式。令2M=2時(shí)，即可求得彈性波方程時(shí)間上2階差分近似公式，具體表示形式如下： vx(t+（3）彈性波方程空間上2N階差分近似在計(jì)算彈性波方程空間上2N階差分近似時(shí)，對(duì)一個(gè)給定的函數(shù)f（x），如果它的各階導(dǎo)數(shù)都是關(guān)于變量x的單值連續(xù)函數(shù)，則它的泰勒展開(kāi)可以表示為如下形式[25]：?f（2-9）對(duì)上式（2-9）進(jìn)行整理，則可以改寫(xiě)為：?f（2-10）在上式（2-10）中，Δx為網(wǎng)格間距，an、C?f（2-11）對(duì)上式（2-11）進(jìn)行合并同類(lèi)項(xiàng)整理可得：?f（2-12）對(duì)等式（2-12）左右兩側(cè)通過(guò)待定系數(shù)法進(jìn)行整理，可得關(guān)于系數(shù)的變量方程：C1(N)將上式方程組（2-13）改寫(xiě)成矩陣形式如下：135當(dāng)N的取值不同時(shí)，求解上式方程組（2-20）可得到不同的權(quán)系數(shù)Cn則彈性波方程空間上2N階差分近似為：?f（2-15）（4）彈性波波動(dòng)方程的差分格式通過(guò)上述的推導(dǎo)過(guò)程，可以求得彈性波方程的時(shí)間上2階差分近似和空間上2N階差分近似，在求出彈性波方程的時(shí)間上2階差分近似和空間上2N階差分近似之后，進(jìn)而求解彈性波方程的差分格式，設(shè)定相應(yīng)的交錯(cuò)差分網(wǎng)格如圖2-1所示，則時(shí)間上2階差分精度、空間上2N階差分精度的差分格式計(jì)算方法如下所述。圖2-1O(Δt2+Δ設(shè)Ui,jk+1/2、Vi+1/2,j+1/2k+1/2、Ri+1/2,jk、UVRTH（2-16）1.1.2PML邊界條件在實(shí)際生產(chǎn)生活中，實(shí)際地下介質(zhì)為一個(gè)半無(wú)限的空間，對(duì)地下介質(zhì)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集時(shí)，實(shí)際數(shù)據(jù)量巨大，通常情況下都以T為單位，普通的計(jì)算機(jī)內(nèi)存很難滿(mǎn)足需求。因此，在進(jìn)行地震波模擬時(shí)，需要對(duì)半無(wú)限空間進(jìn)行人工截?cái)?，引入一個(gè)邊界，但是邊界的出現(xiàn)使得地震波在傳播到邊界上時(shí)出現(xiàn)反射現(xiàn)象，形成干擾波。如何引入人工邊界，在截?cái)酂o(wú)限空間的同時(shí)也能保證盡量減小地震波的反射，削弱不必要的干擾波，是目前需要攻克的難題。1994年，Berenger利用電磁波的傳播特點(diǎn)，提出了一種高效的完美匹配層吸收邊界條件PML。通過(guò)文獻(xiàn)閱讀與分析，本篇論文選擇了效果相對(duì)較好的裂化PML邊界條件，該方法最早是由Berenger提出，后來(lái)，王守東[28]將該思想引入到聲波方程中,得出了令人滿(mǎn)意的數(shù)值模擬結(jié)果。PML示意圖如下圖2-2所示：圖2-2PML示意圖（據(jù)王守東[28]）下面給出在各向同性介質(zhì)中彈性波一階速度-應(yīng)力方程的PML吸收邊界條件的推導(dǎo)過(guò)程，對(duì)上式方程組（2-4）中速度、應(yīng)力進(jìn)行變量分離，在二維的條件下，每一個(gè)變量都可分為如下的兩部分[29]：vx上式（2-17）中上標(biāo)x代表只與x的空間導(dǎo)數(shù)有關(guān)，上標(biāo)z代表只與z的空間導(dǎo)數(shù)有關(guān)，根據(jù)上式（2-17）對(duì)彈性波方程組（2-4）進(jìn)行分裂，同時(shí)，引入與x、z方向?qū)?shù)有關(guān)的衰減因子dx、d(??t+d在式（2-18）中，dx、dz分別代表與x、z方向?qū)?shù)有關(guān)的衰減因子，對(duì)于衰減因子的選擇十分重要，通常dd其中，xδ區(qū)域1：d區(qū)域2：d區(qū)域3：d設(shè)Uxi,jk+1/2、Vxi+1/2,j+1/2k+1/2、RxUUVVRRzTHH（2-19）1.1.3數(shù)值穩(wěn)定性時(shí)間域彈性波方程有限差分解法是以一組以差分方程形式近似代替連續(xù)方程形式的彈性波方程，即將彈性波方程中的微分項(xiàng)用離散差分項(xiàng)替換，以差分方程組的解代替波動(dòng)偏微分方程的解，差分格式對(duì)最終的計(jì)算結(jié)果有重要的影響。因此，如何在有限差分?jǐn)?shù)值模擬過(guò)程中確保穩(wěn)定性是一項(xiàng)難題。董良國(guó)[27]等人對(duì)一階彈性波波動(dòng)方程進(jìn)行了詳細(xì)的研究，本篇論文引用了董良國(guó)給出的穩(wěn)定性條件，由此我們得出二維穩(wěn)定性條件：0≤（2-20）其中，在上述方程（2-20）中;LLd=當(dāng)Δx=Δz=l，最大縱波速度為vmax，則精度為O(Δm=1(2-21)在上式(2-21)中，ρ表示密度，Cn1.2彈性波頻率域反演理論基礎(chǔ)1.1.1彈性波波場(chǎng)分離由縱波速度、橫波速度與拉梅常數(shù)的關(guān)系λ=ρ(v ?v為構(gòu)造等價(jià)方程式，引入混合波場(chǎng)新變量U、P波波場(chǎng)新變量Up和S波波場(chǎng)新變量Us，即如下表現(xiàn)形式[32]：U={則可得到混合波場(chǎng)U、P波波場(chǎng)Up和S波波場(chǎng)Us之間的關(guān)系： vx=v對(duì)一階速度-應(yīng)力彈性波方程（2-22）進(jìn)行分解，即可得到縱橫波波場(chǎng)分離后的彈性波方程：ρ（2-24）1.1.2梯度的計(jì)算確定搜索方向是彈性全波形反演中至關(guān)重要的一步。通常情況之下，確定搜索方向主要有兩種方法：梯度引導(dǎo)類(lèi)方法和牛頓類(lèi)方法。其中，在梯度引導(dǎo)類(lèi)方法中，較為常用的方法就是最速下降法和共軛梯度法，相比之下此類(lèi)方法計(jì)算量相對(duì)較小、便于實(shí)現(xiàn)，但是此類(lèi)方法只能進(jìn)行一階收斂，相對(duì)而言收斂精度較低。牛頓類(lèi)方法中較為常用的方法相對(duì)較多，包括牛頓法、擬牛頓法、高斯牛頓法、BFGS法、L-BFGS法等等，此類(lèi)方法與梯度引導(dǎo)類(lèi)方法剛好相反，牛頓法計(jì)算繁瑣、計(jì)算量大，但是它的收斂精度較高，具有二階收斂精度。本篇論文簡(jiǎn)單闡述其中的兩種方法，即牛頓法和共軛梯度法：（1）牛頓法在野外實(shí)際地質(zhì)資料采集過(guò)程中，常常會(huì)遇到各種各樣的問(wèn)題，例如，地表的噪音會(huì)對(duì)數(shù)據(jù)的觀(guān)測(cè)產(chǎn)生干擾以及由于觀(guān)測(cè)系統(tǒng)的不完備使得測(cè)量數(shù)據(jù)缺失等問(wèn)題，都會(huì)影響到反演過(guò)程，會(huì)使得反演陷入局部極值。因此，如何解決波動(dòng)方程在反演過(guò)程中的所得方程解的不唯一性是目前困惑諸多學(xué)者的難題。一般情況下，非線(xiàn)性問(wèn)題的線(xiàn)性化求解方法分兩類(lèi)，其中一類(lèi)為全局優(yōu)化算法，另一類(lèi)為局部?jī)?yōu)化算法。全局優(yōu)化算法的最大優(yōu)點(diǎn)在于其對(duì)目標(biāo)函數(shù)的依賴(lài)程度不高，但其缺點(diǎn)也較為明顯，就是在反演過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)隨機(jī)性，計(jì)算量也極大，因此，此類(lèi)方法在實(shí)際生產(chǎn)生活中應(yīng)用率不高。局部?jī)?yōu)化算法其計(jì)算量相對(duì)較小，因此，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)用范圍較為廣泛，下面重點(diǎn)介紹牛頓法，即利用牛頓法將非線(xiàn)性問(wèn)題線(xiàn)性化。在全波形反演方法中，一般定義誤差向量為：δdm=dobsmC(m)=1在上述方程（2-25）中，*代表共軛轉(zhuǎn)置。牛頓法認(rèn)為，目標(biāo)函數(shù)在初始模型附近滿(mǎn)足二次型，因此將其進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)：C（2-26）在上式（2-26）中，m0代表初始模型，δm代表模型擾動(dòng)量，則真實(shí)模型m表示為m= ?Cm?m令目標(biāo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零，即方程（2-27）等于零時(shí)，都過(guò)整理可解得擾動(dòng)模型向量δm為： δm=??2在上式（2-28）中，令目標(biāo)函數(shù)的梯度為：?mC=?Cδm=?H?1將上式（2-29）帶入m=mmi+1=（2）共軛梯度法共軛梯度法是在最速下降法的基礎(chǔ)之上發(fā)展而來(lái)的一種非線(xiàn)性的梯度類(lèi)局部尋優(yōu)方法，共軛梯度法能夠很好地解決最速下降法產(chǎn)生的鋸齒效應(yīng)，同時(shí)又能有效地提高收斂精度。共軛梯度法是利用兩次梯度方向來(lái)構(gòu)建出一個(gè)更新方向，因此，在實(shí)際的全波形反演計(jì)算中，應(yīng)用更為廣泛。共軛梯度法是迄今為止較為常用且有效的一種方法，在每次迭代的過(guò)程中，利用當(dāng)前位置的最速下降方向生成共軛方向。對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)f(x)，其一般迭代公式為[33]： xk+1=在上式（2-31）中，gk=?fxPRP公式：βFR公式：βi對(duì)牛頓法、最速下降法和共軛梯度法進(jìn)行分析對(duì)比，總結(jié)三種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，可以得出結(jié)論：牛頓法的收斂精度要求較高，具有二階收斂精度，但計(jì)算量較大，尤其是Hessian矩陣及其逆矩陣的求取往往較為繁瑣。共軛梯度法相較與牛頓法，計(jì)算效率高、便于實(shí)現(xiàn)，并且與最速下降法相比，收斂精度較高。考慮到彈性波全波形反演本身計(jì)算量已十分巨大，所以在搜索方向方面，本篇論文選擇的是計(jì)算高效且便于實(shí)現(xiàn)的共軛梯度類(lèi)方法，將共軛梯度的方向作為搜索方向指引模型更新。同時(shí)，考慮到各方面的影響因素，本篇論文在進(jìn)行梯度處理的過(guò)程中，引入衰減補(bǔ)償因子，以同時(shí)滿(mǎn)足全波形反演過(guò)程中壓制淺層噪音和補(bǔ)償深層能量。進(jìn)行梯度處理后的速度迭代公式可表示為如下形式：mk+1=在上式（2-32）中，αk表示第k次的迭代步長(zhǎng)，gk表示第k次的梯度，β=exp(在上式（2-33）中，f代表頻率，z代表深度，C是常數(shù)，γ為衰減因子，不同情況下取值不同，一般都在0和1之間進(jìn)行取