角三突破專(zhuān)項(xiàng)函數(shù)課改落實(shí)初探Ⅰ

考點(diǎn)概述[2018年Ⅰ卷理16.]已知函數(shù)則

的最小值是

.函數(shù)性變式1變式2已知函數(shù)

，則

的最大值是____．已知函數(shù)

，則

的最大值是____．對(duì)比1[2019年Ⅲ卷文5.]函數(shù)

在

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）

A．2

B．3

C．4

D．5定義域優(yōu)先求下列函數(shù)的定義域（1）（2）法1法2注意兩個(gè)圖像在同一坐標(biāo)系的畫(huà)法注意整體代換的思維[2024年Ⅰ卷4.][2023年Ⅰ卷8.]已知

，

，則

（

）A．-3m B． C．D．3m已知,，則

（

）A． B． C． D．穩(wěn)中求變鍛煉思維服務(wù)選才二倍角正切函數(shù)參數(shù)常數(shù)思考：1.參數(shù)與常數(shù)本無(wú)區(qū)別，為什么命題人作此改變？

2.弦切混合會(huì)不會(huì)增加難度？3.新高考選拔人才的指向性在哪里？穩(wěn)法1方程組思想所以注重整體代換即可求變法2像老鷹的眼睛同樣地，設(shè)對(duì)偶

關(guān)系兩式相除三角教學(xué)法指導(dǎo)Ⅱ基本概念01PART任意角初中同起點(diǎn)的兩條射線(xiàn)組成的圖形高中旋轉(zhuǎn)成角??????平面圖形數(shù)學(xué)研究對(duì)象（數(shù)學(xué)變量）定義意義范圍

任意實(shí)數(shù)取值可測(cè)量可運(yùn)算來(lái)源自然存在人為規(guī)定并按需拓展順時(shí)針為正、逆時(shí)針為負(fù)靜態(tài)動(dòng)態(tài)ABOAO始邊終邊弧度制角度制弧度制相同點(diǎn)都可以表示角度的大小是衡量角度大小的數(shù)學(xué)量

不同點(diǎn)

是弧長(zhǎng)與半徑的比值，單位實(shí)質(zhì)為1角度制向弧度制轉(zhuǎn)化的核心價(jià)值：為學(xué)習(xí)三角函數(shù)的變量統(tǒng)一作鋪墊.特別是三角函數(shù)圖像的橫縱坐標(biāo)單位的統(tǒng)一.扇形的面積公式及推導(dǎo)初中：圓的一部分（比例）因?yàn)榉唇庹?qǐng)同學(xué)們對(duì)比一下三角形的面積公式，你能領(lǐng)悟到什么？基本概念01PART第1定義第2定義第3定義單位圓任意圓三角函數(shù)線(xiàn)

TAPMO直觀理解三角函數(shù)的值域范圍！提升興趣

揭露本質(zhì)三角函數(shù)線(xiàn)正弦函數(shù)線(xiàn)正切函數(shù)線(xiàn)提升興趣

揭露本質(zhì)正余弦圖像是三維空間在二維中的不同投影知識(shí)遷移PO普通方程極坐標(biāo)方程參數(shù)方程平方關(guān)系商數(shù)關(guān)系極?直轉(zhuǎn)化兩個(gè)基本關(guān)系02PART平方關(guān)系商數(shù)關(guān)系三角函數(shù)中的“1”已經(jīng)不是前面所認(rèn)識(shí)的純粹.逆向思維整體代換二元二次方程組萬(wàn)能公式萬(wàn)能公式從本質(zhì)上說(shuō)明：

，

和

的內(nèi)在“血緣”關(guān)系.不要求掌握，但要了解.①參雜在

和

中時(shí)，可以考慮由此將

換掉.②若全部為

可以考慮整體代換?弦化切

平方關(guān)系[2018年Ⅱ卷理15.]已知?jiǎng)t

.商數(shù)關(guān)系兩個(gè)基本關(guān)系拓展技能02PART知一得二前提角度范圍平方關(guān)系商數(shù)關(guān)系兩個(gè)恒成立方程(默認(rèn))+1個(gè)方程(條件)=3個(gè)3元方程組如理論上一定可以解，但有2次方程.會(huì)產(chǎn)生多組解.需角度的范圍來(lái)進(jìn)行限制.角度范圍來(lái)進(jìn)行限制正負(fù)的給定條件化簡(jiǎn)舉例法1觀察到數(shù)值0的特殊性?移項(xiàng)得法2觀察到系數(shù)1，

的特殊性?輔助角公式得變1變2在三角形ABC中法3?解方程組觀察到反解代入或因?yàn)榻獾盟宰?法4?平方關(guān)系觀察到?弦化切所以變4(1)(2)求求法5?萬(wàn)能公式所以或或舍所以變5法6根與系數(shù)的關(guān)系?方程思想所以將看作方程解得：所以或者若所以改變6法7構(gòu)造共軛型?解方程組改所以在三角形中所以聯(lián)立得改7兩個(gè)基本關(guān)系拓展技能03PART弦化切前提齊次式模型一模型二分式二次式平方關(guān)系已知求：（1）（2）（3）弦化切已知?jiǎng)tA.B.C.D.誘導(dǎo)公式04PART奇變偶不變符號(hào)看象限變的是三角函數(shù)名看的是初始的正負(fù)適用前提變換規(guī)律需假設(shè)θ為銳角k的奇偶負(fù)化正，大化小，化到銳角就查表三角函數(shù)性質(zhì)初階探索從三角函數(shù)表說(shuō)起00PARTcot

tancos

sin12331239272793口訣：1、2、3，3、2、1；3、9、27，27、9、3.分子都得帶根號(hào)，正弦余弦同除2，正切余切同除3.還有0和90度，特殊情況222222333333保值變換06PART前提有值可保角度范圍對(duì)比1對(duì)比2已知?jiǎng)t

（

）

A.-8B.-9C.8D.9①已知?jiǎng)t

.

②已知?jiǎng)t

.

若典例2三角保值變換已知角α,β滿(mǎn)足,,則

觀察一觀察二共軛關(guān)系恒等變換07PART恒等變換是誘導(dǎo)公式的推廣與延申聯(lián)系與發(fā)展的眼光誘導(dǎo)公式是恒等變換的特殊情況哥哥—嫂嫂【2022年新課標(biāo)Ⅱ卷】若則()A．B．C．D．法一法二拆飛機(jī)賣(mài)零件分久必合合久必分倍角公式08PART恒等變換的變形降次公式降冪公式半角公式升冪公式注意求解三角問(wèn)題時(shí)，要注意隱藏著的角度范圍.例已知和是方程的兩個(gè)根，則A.B.C.D.或根與系數(shù)的關(guān)系隱藏的角度范圍恒等變換想一想：有和、有積，利用哪個(gè)公式可以形成聯(lián)系？背公式?理解公式√合理運(yùn)用√觀察結(jié)構(gòu)√思維敏捷√或所以[2021年甲卷理9.文11.]若

，則

（）

A．

B．

C．

D．特征：已知角度范圍+二倍角+sin\cos\tan混現(xiàn)+非齊次式知一得二降角商數(shù)關(guān)系不能弦化切輔助角公式09PART目前教材已經(jīng)刪掉，但時(shí)常需要它的輔助.輔助角公式對(duì)不能直接利用恒等變換的三角式子改造時(shí)進(jìn)行輔助形如其中三角函數(shù)的值域問(wèn)題10PART函數(shù)

在區(qū)間

上的值域?yàn)?/p>

.典例2三角函數(shù)的值域問(wèn)題10PART[2017年Ⅱ卷14.]函數(shù),的最大值是

.函數(shù)的值域?yàn)?/p>

.提升1提升2[2025年Ⅱ卷15.]真題演練?綜合提升單調(diào)性與區(qū)間端點(diǎn)問(wèn)題11PART[2018年卷Ⅱ理科10.]若

在

是減函數(shù)，則

的最大值是（

）A．

B．

C．

D．

[變式]已知函數(shù)

在

上的最大值是1，且單調(diào)遞增，則

的最大值是（

）A．6B．7C．8

D．9賞析：1.觀察兩題所探討的區(qū)間有什么共同特征？關(guān)于0對(duì)稱(chēng)確保0在幾何意義是區(qū)間長(zhǎng)度.[2023年乙卷理6.]典例3三角函數(shù)對(duì)稱(chēng)與單調(diào)性整體觀察絕不能盲人摸象[2025年Ⅰ卷4.][2020年Ⅲ卷文12.]已知函數(shù)

，則

的

（

）A．最小值為2

B．圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)C．圖象關(guān)于直線(xiàn)

對(duì)稱(chēng)

D．圖象關(guān)于直線(xiàn)

對(duì)稱(chēng)[2020年Ⅲ卷理16.]關(guān)于函數(shù)

有如下四個(gè)命題：①

的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．②

的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．③

的圖象關(guān)于直線(xiàn)

對(duì)稱(chēng)．④

的最小值為2．其中所有真命題的序號(hào)是______．12PART三角函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題已知函數(shù)

的圖像關(guān)于

對(duì)稱(chēng)，且（1）求函數(shù)

的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)

時(shí)，函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；13PART三角函數(shù)的周期規(guī)律周

期

減

半圖像翻折本質(zhì)原因二次式次數(shù)降低，導(dǎo)致角度升高.[2019年卷Ⅱ理9.]下列函數(shù)中，以

為周期且在區(qū)間

單調(diào)遞增的是（

）.A．

B．

C．

D．

典例4[2019年卷Ⅰ理科11.]關(guān)于函數(shù)

有下述四個(gè)結(jié)論：①

是偶函數(shù)

②

在區(qū)間

單調(diào)遞增③

在

有4個(gè)零點(diǎn)④

的最大值為2，其中正確結(jié)論的編號(hào)是（

）A.①②④B.②④C.①④D.①③綜合能力提升已知函數(shù)

，

，

，且

的最小值為

，則

.補(bǔ)充1綜合能力提升（多選題）已知函數(shù)

關(guān)于直線(xiàn)

對(duì)稱(chēng)，函數(shù)

，則下列四個(gè)命題中，真命題有（

）A.的圖像關(guān)于點(diǎn)

成中心對(duì)稱(chēng)；B.若對(duì)

，都有

，則

的最小值為

；C.將

的圖像向左平移

個(gè)單位，可以得到

的圖像；D.,使.14PART三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)[2022年甲卷理科11.]已知

，在

上恰有三個(gè)極值點(diǎn)，兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

的取值范圍是（

）

A.

B.

C.

D.

則得

伸縮變換14PART15PART三角函數(shù)中ω的求解技巧利用單調(diào)性求ω若函數(shù)

在區(qū)間

上單調(diào)遞增，則正數(shù)ω的最大值為（

）A．

B．

C．

D．

賞析：1.三角函數(shù)是周期函數(shù)的典型代表，而ω又是周期的決定量，在最近的高考中頻頻出現(xiàn).利用對(duì)稱(chēng)性求ω已知函數(shù)

的一條對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)

，一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn)

，則ω有（

）A.最小值2B.最大值2C.最小值1D.最大值1已知函數(shù)

，若

在區(qū)間

上是單調(diào)函數(shù)，且

，則ω的值為（

）A.B.或2C.D.或1[2022年甲卷文科5.]將函數(shù)

的圖像向左平移

個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線(xiàn)C，若C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則

的最小值是（

）

A．

B．

C．

D．

[2022年甲卷理科11.]已知

，在

上恰有三個(gè)極值點(diǎn)，兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

的取值范圍是（

）

A.

B.

C.

D.

[2019年全國(guó)卷Ⅲ12.]設(shè)函數(shù)

，已知

在

有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（

）①

在

有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn).

③

在

單調(diào)遞增.②

在

有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn).

④

的取值范圍是

.A．①④

B．②③

C．①②③

D．①③④

利用最值求ω設(shè)函數(shù)

，若

對(duì)任意x都成立，則ω的最小值為

.利用零點(diǎn)/極值點(diǎn)求ω[2023年Ⅰ卷15.]三角函數(shù)的圖像問(wèn)題16PART[2022年甲卷理5.文7.]函數(shù)

在區(qū)間

的圖象大致為（

）ABCD

類(lèi)型1判定函數(shù)圖像[2024年Ⅰ卷7.]類(lèi)型2[2023年甲卷10.]曲線(xiàn)函數(shù)

的圖象由函數(shù)

的圖象向左平移

個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則

的圖象與

的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4直線(xiàn)平移變換作圖已知函數(shù)

的部分圖像如圖所示，則滿(mǎn)足條件

的最小正整數(shù)x為_(kāi)___．已知函數(shù)

的部分圖像如圖所示，則

__．類(lèi)型3識(shí)圖[2021年甲理16.][2021年甲文15.]結(jié)論總結(jié)Ⅵ

策略總結(jié)

2.已知兩邊及一角3.已知兩角及一邊7.面積公式的選擇4.遇到二次式5.A，B，C同時(shí)出現(xiàn)6.有邊有角大角對(duì)大邊優(yōu)先正弦定理優(yōu)先余弦定理降次公式邊角互化由角決定11.求單調(diào)區(qū)間12.求值域13.求邊或角的范圍14.遇“1”8.倍角關(guān)系

10.伸縮變換倍角公式誘導(dǎo)公式永遠(yuǎn)對(duì)x作用反解代入利用函數(shù)/不等式平方關(guān)系弦化切輔助角公式保值變換15.已知角的范圍知一得二技能策略總結(jié)Ⅱ高考真題賞析[2025年Ⅱ卷8.][2024年Ⅱ卷9.]（多選）[2024年Ⅱ卷13.][2023年Ⅱ卷7.][2022年甲卷理科12.]已知

，

，

，則（

）A.

B.

C.